帮忙给几道 初三的典型数学题 三路知识网
帮忙给几道 初三的典型数学题
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例2. 已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分 ∠ABC、∠BCD，点E在AD上，BE=12　cm，CE=5　cm．求□ABCD的周长和面积． 变式练习2：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，CB=DC，AD⊥DB于点D,且∠A=60°，DC=2cm．（1）求梯形ABCD的腰长；（2）求梯形ABCD的面积． 例3. 已知：如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形ABCD是矩形？并证明你结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你结论.
变式练习3：（2010?青海）观察探究，完成证明和填空．如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是
；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是
；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是
；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是
；（3）根据以上观察探究，请你总结形状由原什么决定？（图1） （图2） 变式练习4：. 如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：AD⊥EF．
三、巩固与提高 1. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是
。2． ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.3. 如图，等腰梯形ABCD的周长为18，腰AD=4，则等腰梯形ABCD的中位线EF=
（第4题）4.如图，把矩形 沿 对折后使两部分重合，若 ，则 =（
）A．110°
D．130°5.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数.6. 已知：如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形． 7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，AH⊥EF．（1）求证：AH=AB；（2）猜想与BE、DF的关系并给出证明．
能解吗？？？？？？
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中小学作业初中数学求线段最大值问题,急!
初中数学求线段最大值问题,急!A,B分别在Y轴和X轴上,AB=4,AC=2,∠BAC=90°,B动A随着动,求OC最大值?
取AB中点D,连接OD,CD在三角形OAB中,角AOB=90度,AD=DB,有OD=1/2AB=2.在三角形ACD中,角CAB=90度,AC=2,AD=1/2AB=2,有CD=2√2.由两点之间线段最短可知,OD+CD&=OC(当O、C、D在一条直线上时等号成立）所以,OC&=OD+CD=2+2√2,即OC的最大值是2+2√2.
名师点评：
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与《初中数学求线段最大值问题,急!》相关的作业问题
截长补短（尤其适用于求证两线段之和等于另一条线段）、构造全等、构造相似（本身就有更好）、直角三角形中线、三角形中位线,等腰梯形中平移其中一条对角线,正方形中有一个以其中一个顶点为45度角时可用旋转.举不出什么公式,活学活用,做多了就很容易联想了
http://baike.baidu.com/view/2227963.html初中数学学科教学常规一、备课包括制订学期教学计划和课时教学计划两项内容.（一）制订教学计划通读《初中数学课程标准》,特别是要领会课程标准中对本册教学内容的目标要求.根据学生的具体情况制定教学计划,计划一般包括以下内容：1．课程标准对本册教学
先回答取D点的原因,OC和AB有交点,把OC分成两部分来考虑,这是一种常用的求最值的方法,取D点是线段的中点后,OD的长不会随着AB的移动而改变,CD不管怎样都是不变的,如果D点不是中点,那在AB的移动过程中,OD的长就会改变,从回答的图中你可以看出OD+CD》=OC.（两边之和大于第三边）而OD+CD的长是固定的,当
有理数的加减乘除,乘方（同底数幂相乘,同底数幂相除,幂的乘方,积的乘方）,开方（开平方,开立方）；整式的加减,乘法；分式的加减乘除;
（1）y-1=36/2 y-1=18y=19(2)(5x-1)^2=3^25x-1=35x=4x=4/5(3)x-1=2x+3x=-4 再问： 我需要完整的过程，求每道题都回答！谢谢！~O(∩_∩)O~
证明：连接OD,可得∠ODA=∠OAD=∠DAC∴OD∥AE又AE⊥DE∴OE⊥OD,又OD为半径∴DE是的⊙O切线连DB,作DH⊥AB ,因AD平分∠BAC , DE⊥AC ,故DH=DE=3 ,又因 Rt△ADH∽Rt△BDH ,故 AH=DH²/BH& ,AH=9/(10-AH)&
1、 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时
15,2√2-2;16, 再问： 下面的能帮我看看吗？我可以等着你的回答的 再答： 16,&y=2x-90°（点D在线段BC上时）；&y=-2x+450°（点D在CB的延长线上时）&这是21题：&&&
LABD=LC=90度 所以BD平行CE 所以LADB=LAEC LA=LA 所以三角形ABD相似于ACE（A.A.A) 因为AB二分之1AC 所以BD=二分之一CE (PS：好多符号用电脑没法打 见谅了,L就是代表角,具体什么定理我也忘了,都好几年了,不过这么证也可以,）
学年度第一学期七年级期中质量检测数学试卷命题人：黄正军亲爱的同学,升入初中已经半学期了,祝贺你与新课程一起成长,经过半学期的学习,感受到数学的魅力了吗?这份试卷将会记录你的自信、沉着、智慧和收获,相信你一定行!一、精心选一选：(本大题共10小题,每小题3分,共30分.)1.｜-3｜的相反数是（ ）A．
广大家长朋友们都很困惑哦,显然孩子小学的时候自己的思维习惯已经养成,家长急了也没用.因为他/她有着自己的一套思考问题和认识问题的方法.所以这个时候千万不要急,要循循善诱,逐步完善孩子简单的认知能力.比如对数的认识；线段直线射线的认识及应用等都对孩子的认知要求其实是相当高的,方法不到位,孩子认知错位再加上小学时养成的某些
望采纳50 505050乘以（2a+99b）=100a+4950
第一题,五个同学被分配到4个任务,这样必有两个同学被在同一个任务,所以一共有C（5 2）=10中情况,而甲乙分在一起的概率就是1/10,而他们同时承担的任务为H任务的概率为1/4求甲乙同时承担任务H的概率1/40第二题 同上题所述,不同时承担一项任务的概率是1-1/10=9/10
二元一次方程的解法有：公式法,直接将各项的系数代入公式,即可求出方程的解 因式分解法,这是最简单的方法 直接开平方法,先把等式的左边化成完全平方的形式,
第2步,a为负值 再问： 第三问？ 再答：
x=1无意义5/（3m-2)=1/(2m-1)7m=3m=7/3经验是正解
(3)50° 再答： 再答： 再答： 再答： 再答： 嗯你是初几的05-1502-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-1602-16最新范文01-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-0101-01（10人评价）
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高中数学审核员
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年湖南省普通高中学业水平考试要点解读
湖南省普通高中学业水平考试大纲编写组
一四年八月
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《2015 年湖南省普通高中学业水平考试要点解读》（以下简
称《解读》）是在《2014
年湖南省普通高中学业水平考试要点解读》
的基础上修订完成的，是与《2015
年湖南省普通高中学业水平考试
大纲》（以下简称《考纲》）配套使用的学业水平考试复习指导丛
书.《解读》面向全体高中学生，旨在帮助高中教师与学生理解《考
纲》，对高中教学加以积极的影响，减轻高中学生的学业负担，推
进高中新课程，促进高中学生的全面发展和素质教育的全面实施.
《解读》所要“解读”的不只是学业水平考试的内容和形式，更
重要的是要体现建立这一考试制度的目的和任务——回归基础教育
的本源，构建一个衡量高中教育教学质量，促进学生全面发展的质
量评价体系.因此，《解读》面向全体高中学生，特别注重各学科学
习方法指导，特别注重训练能力层级和难度的梯度分布.
《解读》大体上分为复习目标、复习要点、学法指导、题型示
例、达标训练和综合测试等五个板块，各板块的内容依据《考纲》
和高中教材的必修模块编写.由于各学科特点的不同，编写体例也根
据需要做了些小调整.
像所有的新生事物一样，学业水平考试作为一种新的考试制度
也有一个逐步完善的过程，因此，欢迎来自各个方面，特别是高中
师生的建设性的意见.当然，《解读》也要听取大家的意见与建议，
才不会停下不断完善的脚步.
　　　　《2015
年湖南省普通高中学业水平考试大纲》专家组
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1：.............................................................................................................................................1
集合与函数概念
.......................................................................................................1
基本初等函数（I）..................................................................................................4
函数的应用
...............................................................................................................8
2：...........................................................................................................................................12
空间几何体
.............................................................................................................12
空间点、直线、平面之间的位置关系
.................................................................17
直线与方程
.............................................................................................................22
.................................................................................................................26
3：...........................................................................................................................................31
.................................................................................................................31
计 .......................................................................................................................35
率 .......................................................................................................................39
4：...........................................................................................................................................44
.................................................................................................................44
.................................................................................................................48
三角恒等变换
.........................................................................................................53
5：...........................................................................................................................................57
...............................................................................................................57
列 .....................................................................................................................62
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...................................................................................................................66
学业水平考试检测卷......................................................................................................................71
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集合与函数概念
★考试目标
了解集合的含义；能用列举法、描述法表示集合；了解元素与集合的关系，
1.1.1 集合的含义
能判断元素与集合的关系.
1.1.2 集合间的基
了解集合之间的包含与相等的含义，知道全集与空集的含义.理解用
Venn 图表示集合的关系.
1.1.3 集合的基本
理解集合的并集、交集和补集的含义及运算，能用
Venn 图解释集合的运
算；会求集合的交集、并集和补集.
1.1.4 函数的表示
知道映射的概念；了解函数的概念；掌握函数的表示法，并能求简单函数
的定义域和值域；了解简单的分段函数及应用.
1.1.5 函数的单调
掌握函数的单调性与最大（小）值，会证明简单函数的单调性；并能利用
性与最大（小）值
函数的单调性求函数的最大（小）值.
1.1.6 函数的奇偶
理解函数奇偶性的含义，会判断简单函数的奇偶性.
★要点解读
1.集合的含义与表示
【知识要点】（1）集合的属性有元素的确定性、互异性和无序性；（2）集合的表示法一
般有列举法和描述法；（3）元素与集合的关系有属于（?）和不属于（?）.
【案例剖析
M={x | x 2 ? x ? 0}，则下列表述正确的是（
【剖析】因为
M={0，-1}，所以
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.95，为容易题.
2.集合间的基本关系
【知识要点】（1）集合
B 的子集（
A ? B ）：任取
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B 的真子集（
A ? B ，但存在
B 相等（A=B）：
【案例剖析
M={ x | x ? 2015 }，N={ x | x ? 2014 }，则下列关系中正确的是（
【剖析】由子集的意义，可知答案选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.93，为容易题.
3.集合的基本运算
【知识要点】（1）交集：A∩B={x
| x ? A 且 x ? B}；（2）并集：A∪B={x
| x ? A 或
x ? B}；（3）补集：
CU A ? {x | x ?U且x ? A}.
【案例剖析
3】已知集合
M={ x ?R| x 2 ? 3x ? 2 ? 0 }，N={ x | x ? 2n,n ?Z}，则
【剖析】因为
M={1，2}，集合
N 表示偶数集，所以
M∩N={2}，答案选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
4.函数的概念及表示
【知识要点】（1）函数的三要素：定义域、值域和对应关系；（2）函数的表示：解析法、
列表法、图象法.
【案例剖析
4】求下列函数的定义域：（1）
f (x) ? ? log (x ? 3) .
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【剖析】（1）要使函数有意义，则
x ?1 ? 0 ，即 x ? 1，故所求函数定义域为{x
| x ? 1} ；
（2）要使函数有意义，则
x ? ?3 且 x ? 0 ，故所求函数定义域为
?x ? 3 ? 0
{x | x ? ?3 且 x ? 0}.
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
5.函数的奇偶性
【知识要点】如果对于函数
f (x) 的定义域内任意一个
f (?x) ? f (x) （
f (?x) ? ? f (x) ），那么函数
f (x) 就叫做偶（奇）函数.
【案例剖析
f (x) 是 R 上的奇函数，且当
x ? 0 时，
f (x) ? x(1? x) ，则 f (?2) ?
【剖析】因为
f (x) 是奇函数，所以
f (?2) ? ? f (2) ，又 f (2) ? 2(1? 2) ? 6 ，所以
f (?2) ? ?6 .
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.
6.函数的单调性与最大（小）值
【知识要点】（1）如果对于函数
y ? f (x) 定义域 I 的某个子集
D 内的任意两个自变量
x2 ，当 x1 ? x2 时，都有
f (x1 ) ? f (x2 ) （ f (x1 ) ? f (x2 ) ），那么就说 f (x) 在区间 D 上
是增（减）函数；（2）函数
y ? f (x) 的最大（小）值
M（m）是函数
y ? f (x) 的所有函
数值中最大（小）的.
【案例剖析
6】已知函数
f (x) ? x ? （ a ?R）.
a ? 0 时，指出函数
f (x) 在 (0,?? ）上的单调性（不要求证明）；
a ? 0 时，求函数
f (x) 在 x ? 0 时的最小值，并指出取得最小值时的自变量
a ? 2 时，求函数
f (x) 在[ 2 ，2]上的值域.
【剖析】（1）函数
f (x) 在 (0,?? ）上为增函数；
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a ? 0 时，因为
x ? 0 ，所以
f (x) ? x ? ? 2 a ，当且仅当
a 时取等号，
x ? a 时，
f (x) 的最小值为
a ? 2 时，先证明
f (x) ? x ? 在[
2 ，2]上为增函数.
x1 , x2 ?[ 2,2] ，且 x1 ? x2 ，则 f (x1 ) ? f (x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? ( ? )
(x ? x )(x x ? 2)
? 0 ，所以
f (x) ? x ? 在[ 2 ，2]上为增函数，
f ( 2) ? 2 2 ， f (2) ? 3 ，所以函数
f (x) 在[ 2 ，2]上的值域为[
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数
0.70，为稍难题.
★达标练习
A={0，1，2}，B= {-1，2，3}，且
x ?A∩B，则
f (x) ? x ?1 ?
的定义域为（
A.[1，2)∪(2，+∞）
B.(1，+∞）
D.[1，+∞)
3．已知函数
f (x ? 2) ? x ? 3 ，则函数 f (3) ? （
4.下列说法错误的是（
A. f (x) ? x 2 是偶函数
B.若 f (x) ? x ? a 为奇函数，则
C. f (x) ? 的图象关于
D. f (x) ? x 3 的图象关于原点成中心对称
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5.已知集合
? {1,2,3,4}的子集，（1）若
B={1，2}，则
B={1，2}且
A U B ? ?1,2,3?，则 A∩(CUB)=
f ?x?? ?a ? 2?x2 ? ?a ?1?x ? 3 是偶函数，则函数
f (x) 的单调递减区间为
7.已知全集
A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | 2 ? x ? 5}，求：
A ? B ；（2）
A ? B ；（3）
(CU A) ? B ；（4）
A ? (CU B) .
8.为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不
6 吨时每吨
3 元，当用水超过
6 吨但不超过
15 吨时，超过部分每吨
5 元，当用水超过
15 吨时，超过部分每吨
（1）求水费
y（元）关于用水量
x（吨）之间的函数关系式；
（2）若某户居民某月所交水费为
93 元，试求此用户该月的用水量.
基本初等函数（I）
★考试目标
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2.1.1 指数与指数
理解根式、分数指数幂的意义；能进行指数幂的运算.
2.1．2 指数函数及
掌握指数函数的概念、图象和性质；了解指数函数模型的简单应用.
2.2.1 对数与对数
理解对数的概念及其运算性质，知道换底公式；能进行对数的运算.
掌握对数函数的概念、图象和性质；了解对数函数模型的简单应用；知道
2.2．2 对数函数及
y ? a 与 y ? log a x (a ? 0,a ? 1) 是互为反函数.
2.3 幂函数
了解幂函数的概念；知道函数
y=x, y=x2, y=x3, y ? x , y ? x 2 的图象和性
★要点解读
1.指数与对数的运算
【知识要点】指数的运算性质：
ar ?as ? ar?s ；② (ar )s ? ars ；③ (ab)r ? arbr (a ? 0,b ? 0,r, s ?Q) .
对数的运算性质：
log (M ? N) ? log M ? log N ；
? log N ；
log a M ? nlog a M (n ? R) (a ? 0,a ? 1, M , N ? 0) ；
④换底公式：
? 1,c ? 0且c ? 1,b ? 0) .
【案例剖析
1】（1）化简：
log 2 9 ? log3 4 ?
log a 2 ? m ， log a 3 ? n ，则 a =
【剖析】（1）原式=
5 5 ?b 5 5 ? 1；
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log 2 9 ? log3 4 ? log 2 9? ? 4 ；
（3）由已知
a m ? 2,b n ? 3 ，所以 a 2m?n ? (a m ) 2 ?b n ? 4? 3 ? 12
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.
2.指数函数与对数函数
【知识要点】（1）函数
y ? a x (a ? 0,且a ? 1) 称为指数函数，其定义域为
(0,??) ，当
0 ? a ? 1时， y ? a x 为减函数，当
a ? 1 时， y ? a x 为增函数；
y ? log a x(a ? 0,且a ? 1) 称为对数函数，其定义域为
(0,??) ，值域为
当 0 ? a ? 1时，
y ? log a x 为减函数，当
a ? 1 时， y ? log a x 为增函数.
【案例剖析
x ?[2,8]时，函数
y ? log 1 x 的最大值为
；最小值为
【解析】因为
y ? log 1 x 在 x ?[2,8]上为减函数，所以当
x ? 2 时， ymax ? log 1 2 ? ?1；
x ? 8 时， ymin ? log 1 8 ? ?3 .
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.72，为中档题.
【案例剖析
3】已知函数
f (x) ? log 2 (x ?1) ， g(x) ? log 2 (1? x) .
（1）求函数
h(x) ? f (x) ? g(x) 的定义域；
（2）判断函数
h(x) ? f (x) ? g(x) 的奇偶性，并说明理由.
?x ?1 ? 0,
【剖析】（1）由
得 ?1 ? x ? 1 ，故函数
y ? f (x) ? g(x) 的定义域为
?1? x ? 0,
h(x) ? log 2 (x ?1) ? log 2 (1? x) ，所以
h(?x) ? log 2 (?x ?1) ? log 2 (1? x) = ?[log 2 (x ?1) ? log 2 (1? x)] ? ?h(x) ，
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h(x) ? f (x) ? g(x) 为奇函数.
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.76，为中档题.主要考查对数函数的概念、
性质及简单的对数运算.
【案例剖析
4】已知函数
f (x) ? a ?
的图象经过点
（1）求函数
y ? f (x) 的解析式；（2）求证：
f (x) ? f (?x) ? 1．
【剖析】（1）∵函数
f (x) ? a ?
的图象经过点
f (0) ? ，
a ? 1 ，?函数
y ? f (x) 的解析式为
f (x) ? 1?
（2）证明：∵
f (x) ? f (?x) ?
2 x ?1 1? 2 x
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.76，为中档题.主要考查指数函数的定义
及指数式的运算.
【知识要点】（1）形如
y ? x? (? ?Q）的函数叫做幂函数；（2）幂函数
y=x, y=x2, y=x3,
y ? x ?1 , y ? x 2 的图象和性质（详见教材）.
【案例剖析
5】若点（2，
2 ）在幂函数
y ? f (x) 的图象上，则
【剖析】因为
y ? f (x) 为幂函数，所以可设
f (x) ? x? ，又点（2，
2 ）在幂函数的图
象上，所以
2 ? 2? ，解得?
f (x) ? x 2 ，故 f (16) ? 16 2 ? 4 .
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.89，为容易题.
★达标练习
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f (x) ? ? x
f [ f ( )] =
(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) =（
D.4 a 3 b 3
3.设 a,b,c 均为不等于
1 的正实数，则下列等式中恒成立的是（　　）.
A. log a b ? log c b ? log c a
B. log a b ? log a a ? log a b
C. log a (bc) ? log a b ? log a c
D. log a (b ? c) ? log a b ? log a c
4.设 a ? log 5,b ? log
,c ? log 3，则（
A. a ? b ? c
B. b ? a ? c
C. a ? c ? b
D. c ? b ? a
y ? 3 x 的定义域为
4a ? 2,lg x ? a ，则 x ?
7.已知函数
f [g(x)] ? 4 ? x .
f (1) 的值；
（2）求函数
y ? g(x) 的解析式，并指出其定义域；
（3）求函数
y ? g(x) 在 x ?[2,4] 时的值域.
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f (x) ? log 2 x ? log 2 (4x) 的最小值.
函数的应用
★考试目标
理解方程的根与函数的零点的概念及关系；会判别简单函数的零点
3.1.1 方程的根与函数的
所在的区间.
知道用二分法求方程的近似解的步骤；能根据给出的函数值及精确
3.1.2 用二分法求方程的
度，求一个方程的近似解.
3.2.1 几类不同增长的函
理解指数函数、对数函数和幂函数模型的变化规律，能根据不同的
条件，选择适当的函数模型解决有关问题.
3.2.2 函数模型的应用实
应用常见函数模型，解决一些数学问题.
★要点解读
1.方程的根与函数的零点
【知识要点】（1）方程
f (x) ? 0 的根 ? 函数
y ? f (x) 的图象与
x 轴的交点的横坐标
y ? f (x) 的零点；（2）如果函数
y ? f (x) 在区间 [ a ， b ] 上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f (a) ? f (b) ? 0 ，那么，函数 y ? f (x) 在区间 ( a ， b ) 内有零点，即
c ? (a,b) ，使得
f (c) ? 0 ，这个 c 也就是方程
f (x) ? 0 的根.
【案例剖析
1】已知函数
f (x) ? x 3 ? x ?1，则下列区间一定存在零点的是（
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
【剖析】因为
f (1) ? ?1 ? 0 ， f (2) ? 5 ? 0 ，所以选 B.
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【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.95，为容易题.
2.二分法求方程的近似解
【知识要点】对于区间（
a,b ）上的图象连续不断的函数
f (x) ，用二分法求方程
f (x) ? 0 根的基本思路：
f (a) 和 f (b) 异号，说明方程
f (x) ? 0 在（ a,b ）之间有实根；
a,b ）的中点
x1 ，若 f (x1 ) ? 0 ，则 x1 就是方程 f (x) ? 0 的根；若
f (x1 ) ? 0 ，
则进一步判断
f (x1 ) 与 f (a) 是否同号.如果不同号，说明方程
f (x) ? 0 在区间（
a ， x1 ）
内有实根；如果同号，则
f (x1 ) 与 f (b) 一定异号，说明方程
f (x) ? 0 在区间（
x1 ， b ）
内有实根，这样就将方程
f (x) ? 0 根的范围减少了一半；
（3）用同样的办法再进一步缩小范围，直到所求根的精确度符合题目要求为止.
【案例剖析
2】为了求方程
ln?2x ? 6?? 2 ? 3x 根的近似值，令
f ?x?? ln?2x ? 6? ? 3x ? 2 ，
并用计算器得到了下表：
则由表中的数据，可得方程
ln?2x ? 6?? 2 ? 3x 的一个近似解（精确到
【剖析】由表可知方程的根在区间
?1.25,1.35?内，精确到
0.1 的近似值是
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数为
0.90，为容易题.
3.利用给定函数模型解决实际问题
【知识要点】这类问题的特点是将实际问题转化为特定的函数模型，求解函数问题，用所
得结果解释实际问题.
【案例剖析
3】一工厂生产某种产品，已知该产品每吨的价格
p （元/吨）与月生产量
x （吨）之间的关系为
x （吨）的成本为
r （元），其中
r ? 50000 ? 2x .问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少元？
（注：利润＝收入－成本）
【剖析】每月生产
x （吨）时的利润为
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f (x) ? (242 ? )x ? (50000 ? 2x) ? ? x 2 ? 240x ? 50000
(x ? 600) 2 ? 310000 （ x ? 0 ），
x ? 600 时，
f (x) 有最大值
310000，即每月生产
600 吨产品能使利润达到最大，
最大利润是
310000 元.
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数为
0.70，为稍难题.
4.选择函数模型解决实际问题
【知识要点】选择函数模型解决实际问题的一般步骤：①收集数据；②画散点图，选择函
数模型；③待定系数法求函数模型；④检验函数模型是否符合实际情况.
【案例剖析
4】某市生产总值连续两年持续增加，第一年增长率为
p ，第二年增长率为
q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（
( p ?1)(q ?1) ?1
( p ?1)(q ?1) ?1
【剖析】设年平均增长率为
(1? x) 2 ? (1? p)(1? q) ，解得
x ? ( p ?1)(q ?1) ?1，所以答案选
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数为
0.68，为稍难题.
★达标练习
log 2 x ? x ? 3 ? 0 解的个数为（
2.下列图象表示的函数中，能用二分法求零点的是（
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3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度
与以上事件吻合得最好的图象是（
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
距学校的距离
4.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi
(x) （i ?1,2,3,4 ）关于时间x （ x ?1）的函数
x ，如果它们一直运动下去，最终在最
f1(x) ? xC, f2 (x) ? 2x, f3 (x) ? log2 x, f4 (x)D? 2
前面的物体具有的函数关系是（
A. f1(x) ? x
B. f2 (x) ? 2x
C. f3 (x) ? log2 x
D. f4 (x) ? 2
? 2x ? 2 (x ? 1),
的零点的个数为
f (x) ? ? 2
y ? f (x) ?
f (x) ?| x 2 ? 4x ? 5 | ， g(x) ? k .
（1）若函数
y ? f (x) 与 y ? g(x) 有 3 个交点，则
（2）函数?(x)
? f (x) ? g(x) 有两个零点，则
k 的取值范围是
7.已知函数
f (x) ? x 2 ? (a 2 ?1)x ? a ? 2 的一个零点大于 1，一个零点小于
a 的取值范围.
8. 某家庭进行理财投资，根据市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，
投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资
1 万元时两类产品的
收益分别为
0.125 万元和
0.5 万元（如图）.
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（1）设投资额为
x 万元，收益为
y 万元，试分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；
（2）该家庭现用
20 万元资金进行理财投资，问怎样分配资金能使投资收益最大，其最大
收益为多少万元？
空间几何体
★考试目标
1.1.1 柱、锥、台、球的结
识记柱、锥、台、球的结构特征.
1.1.2 简单组合体的结构特
识记简单组合体的结构特征，能识别一个几何体是由那些简单几
何体组合而成的.
1.2.1 平行投影与中心投
能描述平行投影与中心投影，能用平行投影的方法，画空间图形
的三视图与直观图.
理解空间几何体的三视图，能画出空间简单几何体的三视图并能
1.2.2 空间几何体的三视图
根据几何体的三视图想象立体模型.
1.2.3 空间几何体的直观图
了解斜二测画法，会用斜二测画法画空间几何体的直观图.
1.3.1 柱体、锥体、台体的
识记柱体、锥体、台体的表面积和体积公式，并能运用公式求简
表面积和体积
单几何体的表面积和体积.
1.3.2 球的体积和表面积
识记球的体积和表面积公式，并能运用公式求球的体积和表面积.
★要点解读
1.柱、锥、台、球的结构特征
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【知识要点】（1）多面体：棱柱、棱锥、棱台；（2）旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球.
【案例剖析
1】对于几何体的结构特征，有下列结论：
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
（2）有两个面平行，其余各个面都是梯形的几何体叫棱台；
（3）用一个平面去截棱锥，棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台；
（4）以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球.
其中正确结论的个数为（
【剖析】如图，对于结论（1），左图
中上下两个面平行，其他各面中存在相
邻两个四边形的公共边不平行（注：前
面上下两个平行四边形不共面），所以
结论（1）不正确；对于结论（2），侧
棱延长后不交于一点，所以结论（2）不正确；对于结论（3），右图中的截面不平行于底
面，所以结论（3）也不正确．而以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的
旋转体叫做球体，简称球，结论（4）正确，故选
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.78，为中档题.
2.简单组合体的结构特征
【知识要点】简单组合体的构成有两种：一种是简单几何体拼接而成，另一种是简单几何
体截去或挖去一部分而成.
【案例剖析
2】如图所示的空间几何体中，是柱体或由柱体组合而成的是(
A.(1)(2)(3)(4)
B.(2)(4)(5)
D.(1)(2)(5)
【剖析】（1）是三棱柱，（2）是四棱柱，（3）是一个圆台挖去一个圆柱而得到的组合
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（4）可以看作是一个四棱柱截去一个三棱锥而得到的组合体，（5）可以看作是一个四棱
柱截去一个三棱柱而得到的组合体，故选
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.95，为容易题.
3.空间几何体的三视图和直观图
【知识要点】（1）空间几何体的三视图和直观图（详见教材）；（2）由空间几何体的三
视图或直观图想象所表示的立体模型（详见教材）.
【案例剖析
3】某建筑物的三视图如图所示，则此建筑物结构的
C.从上往下分别是圆锥和圆柱
D.从上往下分别是圆锥
【剖析】根据建筑物的正视图和侧视图易知此建筑物的上方是圆锥，由俯视图可知建
筑物的下方是四棱柱，故选
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.89，为容易题.
4.几何体的表面积和体积
【知识要点】（1）常用几何体的面积公式：S
圆柱侧 ? 2?rl ，S 圆锥侧 ? ?rl ，S 球 ? 4?R ；
（2）常用几何体的体积公式：V
柱体 ? Sh ，V
Sh ，V 球 ?
【案例剖析
4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（
由几何体的三视图可知，该几何体为上面是
2 的球，下面是底面圆的直径为
柱，所以该几何体的体积为
?? ?13 ?? ? 22 ? 2 ? ? ，故选
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【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.88，为容易题.先要根据几何体的三视图
想象出几何体的准确形状，再用相应的公式计算.
★达标练习
1.已知长方体的长为
3 米、宽为
1 米、高为
2 米，则该长方体的一条体对角线长为（
2.下列结论正确的是（
A.棱柱的侧面都是平行四边形
B.棱锥的侧面都是等腰三角形
C.棱台的侧面都是等腰梯形
D.棱柱的侧面都是矩形
3.如图，A′B′C′D′是
ABCD 的直观图，其中
A′B′C′D′为菱形，且
A′B′∥ x? ，A′D′∥ y? ，则
ABCD 一定是（
4.以下关于几何体三视图的论述中，正确的是（
A.正方体的三视图总是三个全等的正方形
B.水平放置的棱长都相等的三棱锥的三视图都是正三角形
C.水平放置的圆台的俯视图是一个圆
D.球体的三视图总是三个全等的圆
5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面
6.若一个正方体的顶点都在球面上，且球的表面
，则正方体的棱长为
7.已知正方体的棱长为
1，其俯视图是一个面积
1 的正方形，侧视图是一个面积为
2 的矩形，
则该正方体的正视图的面积等于
　　　　　.
8.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如
1 所示.墩的上半部分是侧棱都相等的四棱
P-EFGH，下半部分是长方体
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3 分别是该标识墩的正视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧视图；
（2）求该安全标识墩的体积.
空间点、直线、平面之间的位置关系
★考试目标
了解平面的概念和特性，能直接运用三个公理解决一些简
2.1.1 平面
单的空间点、线、面关系的问题.
理解空间中直线与直线之间的三种位置关系，会判定两条
2.1.2 空间中直线与直线之间的位
直线平行、垂直和异面，会求简单空间图形中两条异面直
线所成的角.
2.1.3 空间中直线与平面之间的位
理解空间中直线与平面之间的三种位置关系.
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
理解平面与平面之间的两种位置关系.
2.2.1 直线与平面平行的判定与性
能运用直线与平面平行的判定定理与性质定理，证明一些
简单空间图形中的线面平行问题.
2.2.2 平面与平面平行的判定与性
能运用平面与平面平行的判定定理与性质定理，证明一些
简单空间图形中的线面平行问题.
能运用直线与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些
2.3.1 直线与平面垂直的判定与性
简单空间图形中的线面垂直问题，会求简单空间图形中直
线与平面所成的角.
能运用平面与平面垂直的判定定理与性质定理，证明一些
2.3.2 平面与平面垂直的判定与性
简单空间图形中的线面垂直问题，会求简单空间图形中二
面角的大小.
★要点解读
【知识要点】公理
1（详见教材）其主要作用是判定直线是否在平面内；公理
2（详见教材）
其主要作用是确定平面；公理
3（详见教材）其主要作用是判定点共线与线共点.
【案例剖析
1】有下列四个结论：①一个点和一条直线确定一个平面；②两条平行直线确
定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两两相交的三条直线确定一个平面.
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其中正确结论的序号是
【剖析】因为直线和直线外一点确定一个平面，所以①不对；由公理
3 的可推得②，③对；
因为两两相交的三条直线确定一个或三个平面，所以④不对，答案应填②③．
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.92，为容易题.
2.空间中直线与直线之间的位置关系
【知识要点】（1）直线与直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；（2）两异面直线
所成的角是通过平移化归为相交直线所成的角进行定义的（详见教材）.
【案例剖析
2】E、F、G、H
是空间四边形
AB、BC、CD、DA
的中点，则
形；若空间四边形
AC 与 BD 垂直，则
形；若空间四边形
与 BD 相等，则
【剖析】用公理
4 可以证明
是平行四边形；又∠EFG
与 BD 所成的角，所以
AC 与 BD 垂直时，EFGH
是矩形；当
BD 相等时，EF=FG，所以
EFGH 是菱形.
答案：平行四边；矩；菱.
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
【案例剖析
3】如图，三棱柱
ABC—A1B1C1
的侧棱垂直底面，
∠BCA=90°，点
D1、F1 分别是
A1B1、A1C1 的中点.若
BC=CA=CC1，则
BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是（
【剖析】设
BC 的中点为
F1E∥BD1，所以∠AF1E
为 AF1 与 BD1 所成的角，
AF1E 中，由余弦定理可得
cos∠AF1E=
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.求两异面直线所成的角关
键是将两条异面直线（或其中一条）平移，使它们变成相交直线，再解三角形求角.
3.空间中直线与平面之间的位置关系
【知识要点】（1）直线与平面的位置关系有三种：直线与平面平行、直线与平面相交和直
线在平面内；（2）直线和平面所成的角：当直线与平面平行或在平面内时，直线和平面所
0?；当直线与平面垂直时，直线和平面所成的角为
90?；当直线与平面斜交时，
直线和平面所成的角即直线与它在平面内的射影所成的锐角.
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【案例剖析
4】下列结论：①
a ∥ b ， a ⊥? ? b ⊥? ；②
a ⊥? ， b ⊥? ?
a ⊥? ， a ⊥ b ? b ∥? ； ④
a ∥? ， a ⊥ b ? b ⊥? .其中正确的结论（
【剖析】①即为直线与平面垂直的判定定理
2；②即直线与平面垂直的性质定理；③
b 可以在平面?
内，还可以与平面?
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
【案例剖析
5】如图，在长方体
ABCD-A1B1C1D1
AB=BC=2，AA1=1，则
BC1 与平面
所成角的正弦值为
【剖析】连结
A1C1 交 B1D1 于 O，可以证明
A1C1⊥平面
所以∠OBC1
BC1 与平面
BB1D1D 所成角，在直角三角形
BC1O 中，BC1=
sin∠OBC1=
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.78，为中档题.求直线和平面所成的角关
键是找（作）出直线和平面所成的角，而找（作）直线和平面所成的角的关键是找（作）
到直线在平面内的射影.
4.空间中平面与平面之间的位置关系
【知识要点】（1）平面与平面的位置关系有两种：平行与相交；（2）二面角：由一条直
线出发的两个半平面所构成的图形；二面角的大小用它的平面角来度量.
【案例剖析
6】已知直线
m 表示直线，
? 表示平面，有以下四个结论：
a ∥ ? ；（2）
a ∥ m ， m ? ? ? ? ⊥ ? ；（3）
? 与 a 相交，则
相交.其中正确的结论个数有（
【剖析】（1）
? 内，故（1）不对；（2）对；（3）对；（4）
可以平行，
故（4）不对.故选
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【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
【案例剖析
7】如图，已知
BCDBC ? CD，求
BCD ? 平面
【剖析】因为
? BC ? B ，
BCD ，所以平
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.83，为中档题.解题的关键是要明确
平面与平面垂直的判定方法.
【案例剖析
8】如图，在四棱锥
是正方形，
? DC ? a ， E 是 PC
（1）求四棱锥
（2）证明：
（3）求二面角
P ? AC ? D 的正切值.
【剖析】（1）由
? a ? a ? a ? a3 ；
P? ABCD 3 ABCD
（2）证明：连结
BD 于 O ，连结
EO ，因为底面
是正方形，所以点
AC 的中点，在
EO 是中位线，所以
PA// EO ，而
PO ，在四棱锥
P ? AC ? D 的平面角，在
PD ? 2 ， DO
tan ?POD ?
2 ，故二面角
P ? AC ? D 的正切值为
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.75，为中档题.
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★达标练习
1.若直线上有两个点在平面内，则下列结论正确的是（
A.直线上所有点都在平面内
B.直线上有些点在平面内，有些点不在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线与平面有两个公共点
2.如图，在三棱锥
P-ABC 中，PA⊥平面
ABC，AB⊥BC，则三棱锥
PAB，PAC，PBC
中，直角三角形的个数为（
3.如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1 中，下面结论错误的是（
A.BD∥平面
CB1D1 　　
B.AC1⊥平面
C.AC1⊥BD　　
D.异面直线
与 CB1 角的为
4.下列四个结论：
①两条直线都与一个平面平行，则这两条直线平行；
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
④一条直线和一个平面没有公共点，则这条直线和这个平面平行.
其中正确结论的个数为（
5. 如图，在四棱锥
是平行四边形，
则异面直线
所成角的大小是
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? 是平面，
m,n 是直线，下列命题中正确的是
m ? ?,m ? ? ，则?
? ? ；②若
? ， m ∥ ? ，
n ∥ ? ，则?
m ? ?,n ? ? ， m,n 是异面直线，则
相交；④若?
∩ ? ? m ，
m ∥ n ，且
且 n ∥ ? .
7. 如图，在三棱锥
? BD ， BC
BCD 所成的角为
E, F 分别是
AC, AD 的中点．
EF // 平面 BCD
（2）求三棱锥
A ? BCD 的体积．
8. 如图，在四棱柱
? A1B1C1D1 中， A1 A ? 底面 ABCD
是直角梯形，
? 90?, BC / / AD ， AB ? BC ?1， AD ? 2 ，异面直线
AD1 与 BC 所成角为
（1）求证：
（2）求直线
DD1 与平面
所成角的正弦值．
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直线与方程
★考试目标
理解倾斜角与斜率的概念，会根据倾斜角求直线的斜率，
3.1.1 倾斜角与斜率
能运用斜率公式求直线的斜率.
掌握两直线平行与垂直的条件，并能运用它们判定两直
3.1.2 两直线平行与垂直的判定
线平行与垂直.
掌握直线的点斜式和斜截式方程，并能运用它们求直线
3.2.1 直线的点斜式方程
掌握直线的两点式和截距式方程，并能运用它们求直线
3.2.2 直线的两点式方程
掌握直线的一般式方程，并能根据直线的一般式方程求
3.2.3 直线的一般式方程
直线的斜率、截距及作直线的图形.
理解两直线交点坐标即两直线的方程对应的方程组的解，
3.3.1 两直线的交点坐标
会由两直线的方程求两直线的交点坐标.
3.3.2 两点间的距离
理解两点间的距离公式，能运用公式求两点间的距离.
理解点到直线的距离公式，能运用公式求点到直线的距
3.3.3 点到直线的距离
识记两条平行直线间的距离公式，能直接运用公式求两
3.3.4 两条平行直线间的距离
条平行直线间的距离.
★要点解读
1.直线的倾斜角和斜率
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【知识要点】（1）当直线
l 与 x 轴相交时，我们取
x 轴为基准，
x 轴正方向与直线
的方向之间所成的角?
，叫做直线
l 的倾斜角；当直线与
x 轴平行或重合时，直线的倾斜
0?；（2）倾斜角不是
90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．
【案例剖析
l 经过原点和点（1，1），则直线
l 的倾斜角是（
【剖析】由已知可得直线
l 的斜率为
k =1，所以倾斜角?
的正切值为
tan? ? 1，因为倾斜
角的范围为[0，?
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.92，为容易题.
【案例剖析
2】下列结论：①倾斜角为?
的直线的斜率为
k ? tan? ；②经过
A（-1，0），
B（-1，3）两点的直线不存在斜率；③直线
A x +B y +C=0 的斜率为
y =1 的斜率为
0. 其中正确结论的序号是
【剖析】当?
=90°时直线没有斜率，故①错误；
②正确；当
A x +B y +C=0 的
斜率不存在，故③错误；④正确.故答案为：②④.
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.88，为容易题.
2.求直线的方程
【知识要点】直线方程的形式有：点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式.根据条件求
直线方程，一般用待定系数法.在设直线方程时，要注意四种特殊形式的条件.
【案例剖析
3】已知直线
l 过点 M（1，1）且在
y 轴上的截距相等，求直线
【剖析】解法一：设直线
l 在 x 、 y 轴上的截距为
当 a =0 时，直线
l 过点（0，0），（1，1），由两点式可得直线
l 的斜率为
当 a ≠0 时，设直线
?1，因为直线
M（1，1），所以
得 a =2，所以直线
x ? y ? 2 ? 0 ，
综上，直线
l 的方程为
y ? x 或 x ? y ? 2 ? 0 .
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解法二：设直线
y ?1 ? k(x ?1) ，令 y ? 0 ，得 x ? 1? ；令
x ? 0 ，得
y ? 1? k ，
? 1? k ，解得
k ? 1 ，代入直线方程可得答案.
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.74，为中档题.
3.两条直线平行和垂直的判定
【知识要点】（1）两条不重合的直线
l1，l2 的斜率存在，且分别为
k1 ， k2 ，则 l1∥ l2 ?
k1 ? k2 ；（2）两条直线
l1，l2 的斜率存在，且分别为
k1 ， k2 ，则 l1⊥ l2 ? k1k2 ? ?1.
【案例剖析
4】已知直线
l1 ： y ? 2x ?1， l2 ： y ? 2x ? 5 ，则直线 l1 与 l2 的位置关系是
C．相交但不垂直
【剖析】由于直线
l1 、 l2 的斜率相等，即都为
l1 、 l2 的纵截距分别为
5，即不相等，所以直线
l1 、 l2 平行，故选
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.90，为容易题．
【案例剖析
A(1,2), B(3,1) ，则线段
AB 的垂直平分线方程是（
4x ? 2y ? 5 ? 0
B． 4x ? 2y ? 5 ? 0
x ? 2y ? 5 ? 0
D． x ? 2y ? 5 ? 0
【剖析】因为
AB 的垂直平分线的斜率
k ? 2 ，又线段
) ，所以线段
AB 的垂直平分线方程为
? 2(x ? 2) ，即 4x ? 2y ? 5 ? 0 .
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.84，为中等题.
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4.两直线的交点坐标
【知识要点】两条直线
l1：A1 x +B1 y +C1=0 与 l2：A2 x +B2 y +C2=0 的交点坐标是方程组
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0
的解；当方程组只有一组解时，两条直线相交，当方程组无解时，两条
?A2 x ? B2 y ? C2 ? 0
直线平行，当方程组有无数组解时，两条直线重合.
【案例剖析
6】经过直线
y ? 2x ? 3和 y ? 3x ? 2 的交点，且垂直于第一条直线的直线方
【剖析】因为直线
y ? 2x ? 3和 y ? 3x ? 2 的交点坐标为（1，5），
y ? 2x ? 3的斜率为
k =2，所以所求直线过点（1，5），斜率为
，其方程为
y ? 5 ? ? (x ?1) ，即
x ? 2y ?11 ? 0 .
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度
0.88，为容易题.
5.两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式
【知识要点】（1）两点
x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）的距离公式：
| AB |? (x2 ? x1 ) ? (y2 ? y1 ) ；（2）点 P（
x0 , y0 ）到直线 l： Ax ? By ? C ? 0 的距
| Ax ? By ? C |
【案例剖析
m ）到直线
4x ? 3y ? 5的距离为
| 4?6 ? 3m ? 5 |
【剖析】直线方程化为
4x ? 3y ? 5 ? 0 ，由已知条件，得
42 ? ??3?2
或 k ?13.故选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度
0.85，为容易题.
★达标练习
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3 ，3），Q（0，4），则直线
PQ 的倾斜角为（
2.如果直线
ax ? 2y ?1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相平行，那么
a 的值等于（
x ? 2y ?1 ? 0 与 2x ? y ?1 ? 0 的位置关系为（
C.相交但不垂直
A（-3，-4），B（6，3）到直线
l： kx ? y ?1 ? 0 的距离相等，则
5.若直线过点(3,
3 )且倾斜角为
60°，则该直线的方程为
l : x ? 2y ? 4 ? 0 与坐标轴所围成三角形的面积为
x ? 2y ?1 ? 0 关于直线
x ? y ?1 ? 0 对称的直线方程.
边上的高所在直线方程为
x－2y+1=0，∠A
的平分线所在直线方程为
B 的坐标为（1，2），求点
A 和 C 的坐标.
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★考试目标
会根据条件求圆的标准方程，能根据圆的标准方程求圆
4.1.1 圆的标准方程
心坐标和半径，并能判别点与圆的位置关系.
能判别一个不含x、y的乘积项的二元二次方程是否表示
圆，会根据条件求圆的一般方程和由圆的一般方程求圆
4.1.2 圆的一般方程
心坐标、半径，并能求一些简单的动点的轨迹方程.
掌握直线与圆的位置关系的判定，会根据直线和圆的方
4.2.1 直线与圆的位置关系
程判定直线与圆的位置关系.
4.2.2 圆与圆的位置关系
理解圆与圆的位置关系的判定，会根据圆的方程判定圆
与圆的位置关系.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
了解坐标法，能建立平面直角坐标系，利用直线与圆的
方程解答一些简单的实际问题.
知道空间直角坐标系，能用空间直角坐标系刻画空间点
4.3.2 空间直角坐标系
4.3.2 空间两点间的距离公式
识记空间两点间的距离公式，会求空间两点间的距离.
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★要点解读
1.点与圆的位置关系
【知识要点】若圆
O 的半径为
r ，则（1）点
| AO |? r ；（2）点
| AO |? r ；（3）点
| AO |? r .
【案例剖析
(x ? a)2 ? y2 ? 4 的圆心坐标为
(3,0) ，则实数
【剖析】由已知，得圆心坐标为
?a,0?，所以
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.95，容易题.
2.求圆的方程
【知识要点】圆的标准方程：
(x ? a) 2 ? (y ? b) 2 ? r 2 ；一般方程：
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ；圆的标准方程与一般方程可以相互转化.
【案例剖析
2】已知圆心为
C 的圆经过两点
A（1，1）和
B（2，-2），且圆心
l： x ? y ?1 ? 0 上，求圆
【剖析】设圆的方程为
? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ，则由已知得
?D ? E ? F ? 2 ? 0,
?2D ? 2E ? F ? 8 ? 0,
D=6，E=4，F=-12，∴
所求圆的方程为
x 2 ? y 2 ? 6x ? 4y ?12 ? 0 .
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.84，为中档题.
3.直线与圆的位置关系
【知识要点】（1）直线与圆的位置关系有：相交，相切和相离三种；（2）判定直线与圆
的位置关系有两种方法，①若圆
O 的半径为
l 的距离为
d ，则直线与圆
d ? r ；直线与圆相交
d ? r ；直线与圆相离
d ? r ；②转化为直线方程与
圆的方程联立构成的方程组解得个数讨论；（3）直线与圆相交时，若圆
O 的半径为
l 的距离为
d ，弦长为
l ，则 r 2 ? d 2 ? ( ) 2 .
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【案例剖析
x ? y ?1 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 4 的位置关系是（
【剖析】因为圆心（0，0）到直线
x ? y ?1 ? 0 的距离为
，又圆的半径
2，所以直线和圆相交，故选
【说明】本题属“掌握”层次，预估难度系数
0.85，为容易题.
【案例剖析
C： (x ? a) 2 ? (y ? 2) 2 ? 4 （ a ＞0）及直线 l： x ? y ? 3 ? 0 ，当
l 被圆截得的弦长为
【剖析】圆心到直线的距离为
r 2 ? d 2 ? ( 3) 2 及 a ＞0，得 a = 2 ?1.
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.83，为中档题.主要考查直线和圆相交时，
弦长、半径和弦心距的关系.
【案例剖析
5】求圆心在直线
l1： 5x ? 3y ? 0 上，并且与直线
l2： x ? 6y ?10 ? 0 相切于
P（4，-1）的圆的方程.
?(4 ? a) 2 ? (?1? b) 2 ? r 2
【剖析】设圆的方程为
(x ? a) ? (y ? b) ? r ，则 ?5a
a ? 3 ， b ? 5 ， r ? 37 ，所求圆的方程为
(x ? 3) 2 ? (y ? 5) 2 ? 37 .
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.78.考查应用直线和圆的位置关系求圆的
方程.对于直线和圆相切，若已知切点，一般来说，利用圆心与切点的连线和切线垂直比利
用圆心到直线的距离等于半径要简单.如解法二比解法一就要简单.
4.圆与圆的位置关系
【知识要点】（1）判断两圆的位置关系主要是利用两圆的圆心距与两圆的半径和（或差）
的关系（详见教材）；（2）两圆的交点坐标即两圆的方程对应的方程组的解.
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【案例剖析
C1： x ? y
? 4x ? 4y ?1 ? 0 与 C2： x ? y ? 4x ?10y ?13 ? 0 的位
置关系是（
【剖析】因为
C1（-2，2），C2（2，5），
r1 =3， r2 =4，所以
r2 ? r1 ?1<|C1C2|=5< r1 ? r2 ，可知两圆相交，选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.82，为中档题.要求熟练配方并牢记：两
圆 C1,C2 外切
| C1C2 |? r1 ? r2 ；两圆 C1,C2 内切 ? | C1C2 |?| r1 ? r2 |；两圆 C1,C2 相交
| r1 ? r2 |?| C1C2 |? r1 ? r2 ；两圆 C1,C2 相离 ? | C1C2 |? r1 ? r2 ．
5.直线与圆的方程的应用
【知识要点】将实际生产生活中的直线或圆的问题转化为直线方程或圆的方程问题，通过
对方程问题的研究，达到解决实际问题的目的.
【案例剖析
7】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心
位于轮船正西
70km 处，受影响的范围是半径长
30km 的圆形区域.已知港口位于台风
40km 处.如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【剖析】以台风中心为原点，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐标系，受台风
影响的圆形区域所对应的圆
x2 ? y2 ? 302 ，
轮船航线所在直线l
4x ? 7y ? 280 ? 0 ，
0 ? 0 ? 280
圆 O 的半径长
没有公共点，如果这艘轮船不改变航线，轮船不会受台风影响.
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【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数
0.70，为稍难题.
【知识要点】（1）建立空间直角坐标系，确定正方体或长方体中的点的坐标；（2）空间
P1（ x1 , y1 , z1 ），P2（ x2 , y2 , z2 ）的距离公式：
| P1P2 |? (x2 ? x1 ) ? (y2 ? y1 ) ? (z2 ? z1 ) .
【案例剖析
ABCD-A1B1C1D1 的棱长为
D 为原点，DA、DC、DD1
y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则正方体的中心
O 的坐标为（
A.（1，0，1）
B.（0，1，1）
C.（1，1，0）
D.（1，1，1）
【剖析】因为
B1 的坐标为（2，2，2），又
O 为 DB1 的中点，所以
O 的坐标为（1，1，
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.90，为容易题.
【案例剖析
A（1，0，2），B（1，-3，1），在
z 轴上有一点
|MA|=|MB|，则点
M 的坐标为
【剖析】因为
M 在 z 轴上，可设
M 坐标为（0，0，z）,由|MA|=|MB|，解得
z =-3，所以
M 的坐标为（0，0，-3）.故答案为（0，0，-3）.
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.92，为容易题.
★达标练习
C 的方程为
x 2 ? y 2 ? 6x ? 4y ?12 ? 0 ，则圆 C 的圆心坐标和半径分别为（
A.（3，-2），
B.（-3，2），
C.（-3，2），
D.（3，-2），
x ? y ? 2 ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 2 的交点个数为（
3.已知两点
P(4,0) ， Q(0,2) ，则以线段
PQ 为直径的圆的方程是（
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?x ? 2? ? ?y ?1? ? 5
B． ?x ? 2? ? ?y ?1? ? 10
?x ? 2? ? ?y ?1? ? 5
D． ?x ? 2? ? ?y ?1? ? 10
4.已知空间直角坐标系中，三点
A??1,6,10?, B?1,9,4?,C ?4,3,2?，则（
A.|AB=|AC|
B.|AB|=|BC|
C.|AC|=|BC|
D.|AB|=|BC|=|AC|
5.已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在
y 轴上，则此圆
P,Q 分别在直线
3x ? 4y ? 6 ? 0 和圆 ?x ? 3? ? y2 ? 4 上运动，则线段
7.已知直线
l1 : y ? 2x ? 3 ， l2 : y ? x ? 2 相交于点 P.
（1）求过点
P 且与直线
l1 垂直的直线的方程；
（2）求以点
P 为圆心，且与直线
3x ? 4y ? 4 ? 0 相切的圆的方程.
P（-2，4），Q（3，-1），并且在
x 轴上截得的弦长等于
6 的圆的方程.
★考试目标
知道算法的思想和含义，能判断一些语句是否为算法
1.1.1 算法的概念
1.1.2 程序框图与算
理解程序框图的三种基本逻辑结构，能读懂程序框图所表示的算法.
法的基本逻辑结构
1.2.1 输入语句、输
理解输入语句、输出语句、赋值语句，能读懂简单的程序和用这三
出语句、赋值语句
种语句编写一些简单的程序.
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1.2.2 条件语句
理解条件语句，能读懂用条件语句书写的简单程序.
1.2.3 循环语句
理解循环语句，能读懂用循环语句书写的简单程序
知道辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法与进位制的算法思想，
能用辗转相除法、更相减损术求两个正整数的最大公约数、用秦九
1.3 算法案例
n 次多项式的值，进行各种进制的数的互化.
★要点解读
1.算法的概念
【知识要点】在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步
骤．算法的特点：有限性、确定性、有效性.
【案例剖析
1】下列语句中，是算法的有（
①从济南到巴黎先乘火车到北京再坐飞机抵达；②利用公式
ah 计算底为
2 的三角形的面积；③
x ? 2x ? 4 ；④求过
M（1，2）与
N（-3，-5）两点的直线方程，
的斜率，再利用点斜式方程求得.
【剖析】由算法的定义和特点可知，①②④是算法，③不是算法，因为③只是一个不等
式，并不是求解不等式.故选
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数为
0.86，为容易题.
2.算法的基本逻辑结构
【知识要点】算法的基本逻辑结构有：顺序结构、条件结构、循环结构.
【案例剖析
给出以下四个问题：①输入一个数
x，输出它的相反数；②求面积为
正方形的周长；③求两个数
a ， b 中的最大数；④求函
? x ?1(x ? 0)
其中不需要用条件
x ? 2(x ? 0)
语句来描述其算法的有
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【剖析】①②不需要用到条件语句，③④要用到条件语句.故选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.85，为容易题.
3.程序框图
【知识要点】三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；能读懂简单的程序框
图，既能指出一些简单程序框图的功能，也能根据给出的程序框图得到输出的结果.
【案例剖析
3】对于右边的程序框图，若输入
100，则输出
IF x＞9 AND x＜100 THEN
3 ，则输出
lg x lg100
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
b=x MOD 10
0.90，为容易题.
4.基本算法语句
【知识要点】基本算法语句有输入语句、输出语句、
赋值语句、条件语句、循环语句.
【案例剖析
4】在右边的程序中，若输入的
x ? 13 ，则
【剖析】当
x ? 13 时， a ? 1 ， b ? 3 ，所以 x ? 31，故选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.80，为中档题.
5.算法案例
【知识要点】辗转相除法、更相减损术求两个正整数的最大公约数，用秦九韶算法求多项
式的值，进位制之间的转化.
【案例剖析
5】下列各数中最小的数是
【剖析】因为85(9)
=77， 210(6) =78，1000(4) =64，) =63，所以选
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【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数为
0.90，为容易题.
★达标练习
头 头 头 头 头 头
ht p:/ w w.xjktyg.com/wxc/
头 头 头 头
头 头 头 头 头 头
ht p:/ w w.xjktyg.com/wxc/
头 头 头 头
用二分法求方程 x ? 2 ? 0 的近似解的程序框图中，用到的算法结构有（
A.顺序结构
B.条件结构
C.循环结构
D.以上都要用到
2.用“辗转相除法”求得
45 和 57 的最大公约数是（
3.已知右边的流程图，若输入的
a ， b ， c 分别是
5，2，6，则输出
a ， b ， c 分别是（
A．6，5，2
B．5，2，6
C．2，5，6
D．6，2，5
4.如下图所示的程序框图，当输入的
3 时，输出的结果
5.已知一个算法，其流程图如右图所示，则输出结果是
>0）的图象与函数
y ＝sin x 图象的关系：
y＝sinx 的图象向左(?
＞0)或向右（?
＜0）平移|?
|个单位，得到函数
y ＝sin( x ＋? )的
图象，再将
y ＝sin( x ＋? )图象上各点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
y ＝sin(? x ＋? )的图象，最后将
y ＝sin(? x ＋? )的图象上所有点的纵坐标变成原来的
A 倍（横坐标不变），得到函数
y ＝Asin(ω x ＋? )的图象．
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【案例剖析
6】已知函数
f (x) ? Asin(?x ? ) (A>0，? >0)的最小正周期是
（1）求函数
y ? f (x) 的解析式；
y ? f (x) 的图象向左平移?
? 0 ）个单位，得到函数
y ? g(x) 的图象，若
y ? g(x) 为奇函数，求?
【剖析】（1）由题意，得T
? 3 ，又函数
f (x) 的最小值是-2，知
f (x) ? 2sin(3x ? ) ；
y ? 2sin(3x ? ) 的图象向左平移?
个单位，得到的函数为
y ? 2sin(3x ? 3? ? ) ，所以
g(x) ? 2sin(3x ? 3? ? ) ，由 y ? g(x) 为奇函数，有
) ? 0 ，所以?
? 0 ，所以
k ? 1 时，?
的最小值为
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.74，为中档题.主要考查
y ＝Asin(ω x ＋
? )的图象和性质.
7.三角函数模型的简单应用
【知识要点】解答三角函数应用题的基本步骤：（1）审题；（2）建模；（3）解模；
（4）检验.
【案例剖析
】如图，已知某产品的出厂价
元的基础上按月份（
f (x) ? Asin(?x ? ?) ? 6(A ? 0,? ? 0,| ? |? ) 4
3 月份的出厂价最高为
厂价最低为
（1）根据图象，求函数
y ? f (x) 的最小正周期；
（2）求函数
y ? f (x) 的解析式；
（3）在一年的
12 个月中，出厂价低于
6 元的有哪几个月？
【剖析】（1）由图象可知，函数
y ? f (x) 的最小正周期为
T= 2(7 ? 3) ? 8 ；
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（2）由图象可知，A=2，
x ? 3 时， y ? 8 ，得?
所以出厂价格为
f (x) ? 2sin( x ? ) ? 6 ；
f (x) ? 2sin( x ? ) ? 6 ? 6 及1 ? x ? 12 ，得 x ? 6,7,8 ，所以出厂价低于
6 月、7 月、8
注：（3）也可以由图象直接得到答案.
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数为
0.69，为稍难题.主要考查考生能运用所
学过的知识分析日常生活或生产实践中的数学问题，本题解题的关键是建立出厂价格函数
与销售价格函数关系，并能充分利用函数的图象解决问题.
★达标练习
1.下列函数中，以
为最小正周期的是（
A. y ? cos
B. y ? cos x
C. y ? tan x
D. y ? sin 4x
2.下列函数中，为偶函数的是（
A. f (x) ? sin x
B. f (x) ? tan x
C. f (x) ? 1? sin x
D. f (x) ? cos x
) 的值为（
y ? 3sin(x ? ) 的图象，只需将
y =3sin x 的图象（
A.向左平移
B.向右平移
C.向左平移
D.向右平移
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5.在平面直角坐标系
xOy 中，角?
的顶点与原点
O 重合，始边与
x 轴的正半轴重合，
终边在直线
y ? ?2x 上，则
tan? 的值为
sin? ? 3cos? ，则
7. 已知函数
f (x) ? 2sin(x ? )(x ? R) .
（1）完成下表，并作出函数
y ? f (x) 在一个周期内的图象；
x 为何值时，函数
y ? f (x) 有最大值.
8.已知函数
f (x) ? sin2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x.
f (x) 的最小正周期；
f (x) 的最大值和最小值，以及取得最大值时
★考试目标
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2.1.1 向量的物理背景与
了解平面向量的物理背景和概念.
了解向量的几何表示和向量的模、零向量、单位向量等概
2.1.2 向量的几何表示
念，会用适当的符号表示向量.
了解相等向量和共线向量的概念，能判别两个向量是否共
2.1.3 相等向量与共线向
理解向量的加法运算，能描述两个向量的和向量的几何意
2.2.1 向量加法运算及其
理解向量的减法运算，能描述两个向量的差向量的几何意
2.2.2 向量减法运算及其
理解向量的数乘运算，能描述一个实数与一个向量的积向
2.2.3 向量数乘运算及其
量的几何意义，能运用两个向量共线的条件解决有关问题.
理解平面向量的基本定理，能在一些简单图形中选择适当
2.3.1 平面向量基本定理
的基底表示某一个向量.
了解平面向量的正交分解及坐标表示，会在给定的直角坐
2.3.2 平面向量的正交分
解及坐标表示
标系中，求一个向量的坐标.
2.3.3 平面向量的坐标运
掌握平面向量的加、减及数乘的坐标运算，了解用坐标表
示平面向量共线的条件.
2.3.4 平面向量共线的坐
理解平面向量共线的坐标表示，能利用平面向量共线的结
论判断两个向量是否共线或解决一些简单问题.
2.4.1 平面向量数量积的
理解平面向量数量积的物理背景及其含义，了解两个向量
物理背景及其含义
数量积的几何意义，会根据定义计算两个向量的数量积.
掌握平面向量数量积的坐标表达式及其运算，能运用数量
2.4.2 平面向量数量积的
积表示两个向量的夹角，能用坐标表示一个向量的模，并
坐标表示、模、夹角
能根据坐标判断两个平面向量的垂直关系.
2.5.1 平面几何中的向量
能应用平面向量解决一些简单的平面几何问题.
2.5.2 向量在物理中的应
能应用平面向量解决一些简单的物理问题.
★要点解读
1.平面向量的有关概念
【知识要点】向量的概念主要有：向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、
共线向量等，要注意从数和形两个方面加以理解，这样才不会弄错.
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【案例剖析
1】给出下列命题：
是共线向量，则
A、B、C、D
在一直线上；②
两个单位向量是相等向量；③
若 a = b ， b = c ，则 a = c ；④ 若
| a |=| b |，则 a = b .其中正确命题的个数是（
【剖析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向
在同一直线上；②不正确.单位向量模均相等且为
1，但方向并不一定相同；
③正确.因为
a = b ，所以
a 、 b 的长度相等且方向相同；同理
b 、 c 的长度相等且方向相
a 、 c 的长度相等且方向相同，即
a = c ；④不正确.向量相等除了模相等，还必须
方向相同.选
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.85，为容易题.
2.平面向量的线性运算
【知识要点】（1）若
a = AB ， b = AD ，以 AB
， AD 为邻边的平行四边形的对角线为
a + b = AC ， a - b = DB ；（2）若 a = AB ， b = BC ，则 a + b = AC ；
（3）已知向量
b = ? a ，当 ? ? 0 时， b 与 a 的方向相同，当
? ? 0 时， b 与 a 的方
向相反，当
? ? 0 时，
b =0；（4）向量
b 与非零向量
a 共线，当且仅当存在唯一的实数
使 b = ? a .
【案例剖析
AB ? CD ，则下列结论一定成立的是（
与 C 重合，B
AB |?| CD |
D．A，B，C，D
【剖析】因为
AB ? CD ，则向量
的模相等，答案为
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.86，为容易题.
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3.平面向量的基本定理
【知识要点】
a ， b 是同一平面内两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量
且只有一对实数
x, y ，使 p ? xa ? yb .
【案例剖析
e1 ,e2 是两个不共线的向量，
AB ? 2e1 ? ke2 ，CB ? e1 ? 3e2 ，
? 2e1 ? e2 ，若 A、B、D
三点共线，则
??? ??? ???
??? ??? ??? ???
三点共线，则
? CD ? CB ? 2e1 ? e2 ??e1 ? 3e2 ?? e1 ? 4e2
不共线，得
2e1 ? ke2 ? ?e1 ? 4?e2
?? 2e ? ?e
? ? 2, k ? ?8 .
??ke2 ? ?4?e2
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.78，为中档题.解答的关键是理解两个向
量共线的条件：
a ∥ b （ b ? 0 ） ? a ? ?b 及平面向量的基本定理.
4.平面向量的坐标运算
【知识要点】（1）向量的加、减、数乘的坐标运算；（2）若
a ? (x1 , y2 ) ， b ? (x2 , y2 ) ，
则 a ∥ b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 .
【案例剖析
a ? (1,2) ， b ? (x,1) ，若 (a ? 2b) ∥ (2a ? b) ，则实数 x 的值为（
【剖析】因为
a ? 2b ? (1? 2x,4) ， 2a ? b ? (2 ? x,3) ，又 (a ? 2b) ∥ (2a ? b) ，所以
3(1? 2x) ? 4(2 ? x) ? 0 ，解得 x ?
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【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.88，为容易题.
5.平行向量的数量积
【知识要点】（1）
a ?b ?| a | ? | b | cos? ；（2） a ?b 的几何意义： a ?b 等于| a | 与 b 在
a 方向上的投影|
b | cos? 的积；（3）若向量
a ? (x1 , y2 ) ， b ? (x2 , y2 ) ，则
a ?b ? x1 x2 ? y1 y2 ； a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ； a 与 b 的夹角公式
| a || b | x1 ? y1 ? x2 ? y2
【案例剖析
5】已知向量
OA = (1,0),OB = (1,1) ，则 OA 与 OB 的夹角为（
OA = (1,0),OB = (1,1) ，则 cos ? OA,OB ?? ???? ???? ?
| OA || OB | 1? 2
与 OB 的夹角为
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.主要考查向量的数量积运
算、两个向量垂直的条件和两个向量的夹角公式.
6.平面向量的应用
【知识要点】用向量方法研究几何问题，需要将几何问题化归为向量问题，再用向量的方
法进行运算或推理.其中合理设置向量，并建立向量关系，是解决问题的关键.
【案例剖析
P 是半径为
1 的圆上一动点，若该圆的弦
AB= 3 ，求
AP ? AB 的取值
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????
【剖析】因为
AP ? AB ? (AO ? OP)? AB ? AO ? AB ? OP ? AB
3 ? 3 ? OP ? AB ? 3 ? OP ? AB ，
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OP ? AB 能取得最值，
与 AB 同向，则
OP ? AB 取得最大值，此时
AP ? AB 取得最大值
3 ?1? 3 ? 3 ? 3 ，
与 AB 反向，则
OP ? AB 取得最小值，此时
AP ? AB 取得最小值
3 ?1? 3 ? 3 ? 3 ，
∴ AP ? AB 的取值范围是[3
? 3, 3 ? 3] .
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数
0.78，为中档题.如何在问题中建立向量关
系，充分利用向量知识是解决问题的关键.
★达标练习
2. 在以下关于向量的命题中，不正确的是（
a ? (x, y) ，向量 b ? (?y, x) (xy ? 0) ，则 a ? b
B．若四边形
为菱形，则
, 且 | AB |?| AD |
ΔABC 的重心，则
GA ? GB ? GC
的夹角等于180?
3.已知向量
a =( x ? 5 ，3) , b =(2， x ) ，且 a ? b
，则实数 x 的值为（
a |? 2 ，| b |? 1， a 与 b 的夹角为 60?，则 (a ? 2b) ? (a ? 3b) =（
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a ? ?3,0?,b ? ?k,5? ，且 a
k 的值是_________.
A（2，3），B（10，5），点
PA ? 2PB ，则
P 点坐标是
7.已知向量
a ? b ?1， 3a ? 2b ? 7 .
a,b 夹角的大小；（2）求
3a ? b 的值.
O 为坐标原点，
OA ? ?2i ? (x ? 2) j ， OB ? xi ? 4 j （ i, j 为分别为与 x, y 轴方
向相同的单位向量）.
OA ? OB ，求实数
OP ? OA ? OB ，且点
P 在第二象限，求实数
x 的取值范围.
三角恒等变换
★考试目标
3.1.1 两角和与差的正弦、
理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式，
能利用这些公式进行三
余弦和正切公式
角函数的求值、化简和证明.
3.1.2 二倍角的正弦、余
理解二倍角的正弦、余弦、正切公式，能利用这些公式进行三角函
弦、正切公式
数的求值、化简和证明.
简单的三角恒等变换
能运用相关公式进行简单的三角恒等变换.
★要点解读
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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【知识要点】
sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ；
tan? ? tan ?
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? ； tan(? ? ? ) ?
1? tan? tan ?
【案例剖析
sin? ? 3 ,0 ? ? ? ? ，求 cos? 和 sin(? ? ? ) 的值.
【剖析】∵
sin? ? 3 ,0 ? ? ? ? ，∴ cos? ? 1? sin2 ? ? 1? (3)2 ? 4 ，
∴ sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ? 3 ? ? 4 ? ?
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.90，为容易题.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
【知识要点】
sin 2? ? sin? cos? ； cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2cos2 ? ?1 ?1? 2sin2 ? ；
【案例剖析
2】下列各式中，值为
2sin15? cos15?
cos2 15? ? sin2 15?
2sin2 15? ?1
sin2 15? ? cos2 15?
【剖析】由于
2sin15? cos15? = sin 30? ? ； cos2 15? ? sin2 15? = cos30? ? ；
2sin2 15? ?1=- cos30? ? ? ； sin2 15? ? cos2 15? =1，故选 B.
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.87，为容易题.
3.简单的三角恒等变换
（1）角度变换
【知识要点】充分利用两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式转化角度，要通过已知
角度和待求角度的关系来寻找解题的切入点.
【案例剖析
sin 6? ， b ?
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D. a,b 的大小关系不确定
【剖析】由于
sin 6? ? sin 30?cos6? ? cos30?sin 6? ? sin 24? ，
? sin 25? ，故选 B.
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.78，为中档题.要能灵活运用三角公式
化简三角函数式，还要注意辅助角公式
asin x ? bcos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 的应用.
【案例剖析
sin? 的值.
【剖析】由
? 0 ，又 cos(
sin? ? sin[ ? (
??)] ? sin
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.68，为稍难题.解答的关键在于将?
（2）函数变换
【知识要点】充分利用同角公式、两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式转化函数名
称，要通过函数的转化来寻找解题的切入点.
sin 2? ? tan?
【案例剖析
2sin? cos?
【剖析】原式=
?1 ? 2cos 2 ? ?1 ? cos 2? ，答案：
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.86，为容易题.解题的关键在于灵活运
用“化切为弦”的方法.
（3）等式变换
【知识要点】充分利用三角公式转化已知等式，通过已知等式的转化来求解待求函数式的
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【案例剖析
sin（? + ? ）=
sin? cos ? 和
cos? sin ? 的值.
sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? ?
【剖析】由
sin? cos ? ?
?sin(? ? ? ) ? ?sin? cos ? ? cos? sin ? ?
cos? sin ? ? ?
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数为
0.75，为中档题.要求学生对所学过的内
容能进行理性分析，善于利用题中的条件，运用方程思想达到求值的目的.
4.三角函数的综合问题
【知识要点】三角函数在学科内的联系广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等
知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要注意知识间的联系与整合.
【案例剖析
7】已知向量
a ? ( 3,?1) ， b ? (sin 2x, cos 2x) ，函数 f (x) ? a ?b .
f (x) ? 0 ，求 tan 2x 的值；
（2）当函数
f (x) 取得最大值时，求向量
a 与 b 的夹角?
【剖析】∵
f (x) ? a ?b ＝ 3 sin 2x ? cos 2x ，
f (x) ? 0 ，得 3 sin 2x ? cos 2x ? 0 ，即 tan 2x ? ；
f (x) ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 2( sin 2x ? cos 2x)
＝ 2(sin 2x cos ? cos 2xsin ) ? 2sin(2x ? ) ，
∴ f (x)max ? 2 ，当 f (x) ? 2 时，由 a ?b ?| a || b | cos? ? 2 ，得 cos? ? ，
| a || b |
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又| a |? 2,| b |? 1，所以 cos? ? 1，因为
0 ? ? ? ? ，所以?
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数为
0.65，为稍难题.主要考查应用平面向量、
三角函数知识解决问题的能力.
★达标练习
1. cos14?cos16? ? sin14?sin16? 的值是（
2.若 tan? ? 2 ，则
cos 2? 的值为（
? x) ?sin( ? x) =（ 　）.　
B. cos 2x 　　　
C. ? cos 2x 　　
D. ? sin 2x
D. ? tan 2?
tan12? ? tan 33?
1? tan12? tan 33?
sin?? ? ? ?cos ? ? cos?? ? ? ?sin ? ?
7.已知函数
f (x) ? (sin x ? cos x)2 ?1.
（1）将函数化为
f (x) ? Asin?x 的形式；（2）当
x ?[0, ] 时，求
f (x) 的取值范围.
P(cos 2x ?1,1) ，点 Q(1, 3 sin 2x ?1) (x ? R) ，且函数 f (x) ? OP?OQ （ O 为
坐标原点）.
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（1）求函数
f (x) 的解析式；
（2）求函数
f (x) 的最小正周期及最值.
★考试目标
1.1.1 正弦定理
理解正弦定理，能利用正弦定理解三角形.
1.1.2 余弦定理
理解余弦定理，能利用余弦定理解三角形.
1.2 正弦定理和余弦
掌握利用正弦定理和余弦定理解决有关距离、高度、角度
定理的应用举例
等几何量测量问题.
★要点解读
1.用正弦定理求三角形的边或角
【知识要点】正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即
【案例剖析
B、 C 所对边的长分别是
A ? 60? ，
B ? 45? ， b ?
【剖析】由正弦定理，得
? 3 ，所以选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.94，为容易题.
2.用余弦定理求三角形的边和角
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【知识要点】余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与
它们的夹角的余弦值的积的两倍，即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ，
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ， c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .
【案例剖析
a,b,c 分别是角
的对边，若
C =120?， a ?1，
b ? 2 ，则
【剖析】因为
c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ?12 ? 22 ? 2?1? 2cos1200 ? 7 ，所以 C ? 7 ，
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.89，为容易题.
3.三角形的面积公式
【知识要点】三角形面积公式:S＝
absin C ＝
bcsin A ＝
【案例剖析
3】在△ABC
中，AC＝2，AB＝3，BC=
7 ，则△ABC
b 2 ? c 2 ? a 2 4 ? 9 ? 7 1
【剖析】由余弦定理，得
? 2? 3sin 60? ?
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.88，为容易题.
4.利用正弦定理和余弦定理解三角形
【知识要点】一个三角形有三条边和三个角共六个元素，已知其中的某些元素（至少已知
一边），利用正弦定理和余弦定理，可求出其它一些元素.解三角形时，一般要求求出未知
的所有元素.
【案例剖析
4】已知△ABC
的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 a ?
15 ，A=30°，则
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　 C. 15 或
15 sin 30?
【剖析】由正弦定理，得
a ? b ，所以
30°，由余弦定理，或正弦定理，或根据图象，可得
c ? 2 5 或 c ? 5 ，
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.83，为中档题.考查三角形内角和定理，
正、余弦定理的综合应用和某些特殊三角形的性质.
5.应用正、余弦定理解决实际问题
【知识要点】（1）正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题的基本思路如下图所示：
实际问题的解
实际问题的解决
数学问题的解
（2）应用解三角形知识解决实际问题的步骤：①准确理解题意，尤其理解应用中的有关
名词和术语，如坡度、仰角、俯角、方位角、铅直平面等；②画出示意图，将已知条件在
图形中标出；③将问题涉及的条件化归到一个或几个三角形中；④合理选用正弦定理和余
弦定理求解并作答.
【案例剖析
5】如图，A，B
两点在河的两岸，为了测量
之间的距离，测量者在
同侧选定一点
之间的距离是
100 米，∠BAC=105?，∠ACB=45?，则
B 两点之间的距离为
米（精确到
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【剖析】在
中，因为∠BAC=105?，∠ACB=45?，所以
AC sin ?ACB
100sin 45?
由正弦定理，得
2 ?141.4 ，
两点之间的距离为
【说明】本题属于“应用”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.
★达标练习
的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 a =7， c =5，则
的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ，则角 A 为（
的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 a =8，B=600，C=750，则
4. 如图，在离地面高
400m 的热气球上，观测到山
C 处的仰角为
A 处的俯角为
? 60? ,则山的高度
5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长
度．工程技术人员已测得隧道两端的两点
? BC ? 1km ，且
? 120? ，则
A, B 两点间的距离为
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的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 a 、 b 的长是方程
x2 ? 5x ? 2 ? 0 的两个根，C=1200，则
的对边分别为
a 、 b 、 c ，若 c ? 2a ， cos B ? ，且△ABC
8. 如图，一艘海轮从
A 处出发，沿北偏东
75? 的方向航行
100 海里后到达海岛
B 出发，沿北偏东15?
的方向航行
100 海里后到达海岛
C ．如果下次航行直接从
A 出发到达
（1）此船应该沿怎样的方向航行？
（2）需要航行的距离是多少？(参考数据
3 ?1.732 )
★考试目标
2.1 数列的概念与简单表示法
识别数列的概念与简单表示法.
2.2 等差数列
理解等差数列的有关概念，掌握等差数列的定义和通项公式.
2.3 等差数列的前
掌握等差数列的前
n 项和公式，关注数列方法的应用.
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2.4 等比数列
理解等比数列的有关概念，掌握等比数列的定义和通项公式.
2.5 等比数列的前
掌握等比数列的前
n 项和公式，关注数列方法的应用.
★要点解读
1.数列的概念与简单表示
【知识要点】（1）数列是按一定次序排列的一列数；（2）如果数列?an?的第
n 项与序号
n 之间的关系可以用一个式子来表示，这个式子就叫做数列的通项公式.观察法是求数列通
项公式的一个重要方法.
【案例剖析
1】下面有四个命题：
①如果已知一个数列的递推关系公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；
, ,? 的通项公式只有唯一一个，即
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1,?1,1,?1,?
?1,1,?1,1,? 是同一个数列．
其中真命题的个数是（
【剖析】①错误，如已知
an?2 ? an ? an?1,a1 ?1 ，就无法写出
a2 ；②错误，其通项公式还
? ?n ?1??n ? 2??n ? 3??n ? 4?等；③正确；④错误，它们是两个不同数列，
【说明】本题属于“识记”层次，预估难度系数
0.85，为容易题．
2.等差数列的概念
【知识要点】（1）等差数列的定义：
an?1 ? an ? d ；（2）若 a 、A、
b 成等差数列，则
a 与 b 的等差中项，且
A= a ? b .
【案例剖析
2 与 6 之间插入七个数，使它们成等差数列，则中间这个数为（
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【剖析】由等差数列的定义和等差中项的概念，可知
2，中间数，6
成等差数列，即得中
间一个数为
4．也可这样解：设此数列为?an?，由已知得，
a1 ? 2,a9 ? 6 ，则公差
? a ? 4d ? 4 ，故应选
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.90，为容易题.注意等差中项的运用．
3.等差数列的通项公式
【知识要点】（1）等差数列的通项公式为
an ? a1 ? ?n ?1?d ；（2）若?an?为等差数列，
且 m ? n ? p ? q （ m,n, p,q 为正整数），则
am ? an ? ap ? aq .
【案例剖析
3】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根
9 节的竹子，自上而下各节的容
积成等差数列，上面
4 节的容积共
3 升，下面
3 节的容积共
4 升，则第
5 节的容积为（
设最上面一节的容积为
a1 ，公差为
?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 3, ? 4a1 ? 6d ? 3, ?
? a ? a ? 4.
3a ? 21d ? 4.
? a ? 4d ?
5 节的容积为
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.80，为中档题.　要求熟练掌握基本量法，
会利用等差数列的基本性质快速求解．
4.等差数列的前
【知识要点】等差数列的前
【案例剖析
4】已知等差数列?an
S n , a3 ? 0, S4 ? ?4 .
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（1）求数列?an
?的通项公式；（2）当
n 为何值时,
S n 取得最小值.
a ? 2d ? 0,
【剖析】（1）因为
? 0, S ? ?4 ，所以
a ? ?4, d ? 2 ，所以
an ? 2n ? 6 ；
Sn ? na1 ?
? ?4n ? n?n ?1? ? n ? 5n ? ? n ? ? ?
n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最小值 ?6 .
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.74，为中档题.
5.等比数列概念
【知识要点】（1）等比数列的定义：
n?1 ? q ；（2）若
b 成等比数列，则
做 a 与 b 的等比中项，且
G 2 ? ab .
【案例剖析
x ， 9 成等比数列，则实数
【剖析】由等比中项的概念，得这个数为
【说明】本题属于“理解”层次，预估难度系数
0.88，为容易题，也是易错题.
6.等比数列的通项公式
【知识要点】（1）等比数列的通项公式为
；（2）若?an?为等比数列，且
? n ? p ? q （ m,n, p,q 为正整数），则
am an ? a p aq .
【案例剖析
6】等比数列
40，20，10，…，中，第一个小于
【剖析】因为公比
an ? 40? ?
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n ? 11，所以第一个小于
【说明】本题属于“掌握”层次，预估难度系数
0.71，为中档题.
7.等比数列的前
【知识要点】等比数列前
n 项和公式
a (1 ? q ) a ? a q
【案例剖析
Sn ?1? 2a ? 3a ? L ? na ，则 Sn ? aSn ?
【剖析】当
a ?