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三角形全等的应用
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观察发现 （1）如图①，四边形ABCD是菱形，∠B=60°，点E在BC上，∠AEF=60°，EF交CD于点F，当点
E是线段BC的中点时，AE__=___EF（填“&”、“=”或“&”）.思考探究（2）当点E是直线BC上的动点（不与B、C重合）时，其他条件不变，（1）中发现的结论是否成立？若成立，请你从“点E在...
E是线段BC的中点时，AE__=___EF（填“&”、“=”或“&”）.思考探究（2）当点E是直线BC上的动点（不与B、C重合）时，其他条件不变，（1）中发现的结论是否成立？若成立，请你从“点E在线段BC上”、“点E在线段BC的延长线上”、“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中任选一种，在图②中画出图形，并写出证明过程；若不成立，请说明理由.拓展应用（3）当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图③中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值
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知道合伙人
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证明：（1）连接AC，∵菱形ABCD中，∠B=60°， ∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°，∴∠FEC=∠CFE，∴EC=CF，∴BE=DF；（2）连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60° ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE和△AFC中， ∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC
∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE=AF， ∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形．
匿名用户知道合伙人
平形四边形。
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PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． （Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN，过角尺顶点 P 的射线 OP 就是∠AOB 的平分线． （1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由． （2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行？请 说明理由．考点：全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质；多边形内角与外角． 分析： （1） 方案 （Ⅰ） 中判定 PM=PN 并不能判断 P 就是∠AOB 的角平分线， 关键是缺少△OPM≌△OPN的条件，只有“边边”的条件； 方案（Ⅱ）中△OPM 和△OPN 是全等三角形（三边相等），则∠MOP=∠NOP，所以 OP 为∠AOB 的角 平分线； （2）可行．此时△OPM 和△OPN 都是直角三角形，可以利用 HL 证明它们全等，然后利用全等三角形的 性质即可证明 OP 为∠AOB 的角平分线．解答：解：（1）方案（Ⅰ）不可行．缺少证明三角形全等的条件，∵只有 OP=OP，PM=PN 不能判断△OPM≌△OPN； ∴就不能判定 OP 就是∠AOB 的平分线； 方案（Ⅱ）可行． 证明：在△OPM 和△OPN 中∴△OPM≌△OPN（SSS）， ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形对应角相等）（5 分）； ∴OP 就是∠AOB 的平分线．（2）当∠AOB 是直角时，方案（Ⅰ）可行． ∵四边形内角和为 360° ，又若 PM⊥OA，PN⊥OB，∠OMP=∠ONP=90° ，∠MPN=90° ， ∴∠AOB=90° ， ∵若 PM⊥OA，PN⊥OB， 且 PM=PN， ∴OP 为∠AOB 的平分线（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）； 当∠AOB 不为直角时，此方案不可行．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，是一个开放性试题，可以提高学生解决实际的能力．答题：mama258 老师；审题：nhx600 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮604、 （2010?台州）如图 1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90° ，∠A=∠E=30° ．△EDF 绕着边 AB 的中 点 D 旋转，DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K． （1）观察：①如图 2、图 3，当∠CDF=0° 60° 或 时，AM+CK=MK（填“＞”，“＜”或“=”）． ②如图 4，当∠CDF=30° 时，AM+CK＞MK（只填“＞”或“＜”）． （2）猜想：如图 1，当 0° ＜∠CDF＜60° 时，AM+CK＞MK，证明你所得到的结论． （3）如果 MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CDF 的度数和 值． 的考点：全等三角形的判定；三角形三边关系；全等三角形的性质；轴对称的性质． 分析： 先证明△CDA 是等腰三角形， （1） 再根据等腰三角形的性质证明 AM+CK=MK； 在△MKD 中， AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）； （2）作点 C 关于 FD 的对称点 G，连接 GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM 后，根据全等三角形的性 质，GM=AM，GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK； （3）根据勾股定理的逆定理求得∠GKM=90° ，又∵点 C 关于 FD 的对称点 G，∴＜CKG=90° ，＜FKC= ＜CKG=45° ，根据三角形的外角定理，就可以求得∠CDF=15° ；在 Rt△GKM 中，∠MGK=∠DGK+∠ ，∴∠GMK=30° ，利用余弦定理解得 MGD=∠A+∠ACD=60° = ．（2 分）解答：解：（1）①在 Rt△ABC 中，D 是 AB 的中点，∴AD=BD=AD= ，∠B=∠BDC=60°又∵∠A=30° ， ∴∠ACD=60° ， -30° =30° 又∵∠CDE=60° ，或∠CDF=60° 时， ∴∠CKD=90° ， ∴在△CDA 中，AM（K）=CM（K），即 AM（K）=KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合），∵CK=0，或 AM=0， ∴AM+CK=MK；（2 分） ②由①，得 ∠ACD=30° ，∠CDB=60° ， 又∵∠A=30° ，∠CDF=30，∠EDF=60° ， ∴∠ADM=30° ， ∴AM=MD，CK=KD， ∴AM+CK=MD+KD， ∴在△MKD 中，AM+CK＞MK（两边之和大于第三边）．（2 分） （2）＞（2 分） 证明：作点 C 关于 FD 的对称点 G， 连接 GK，GM，GD， 则 CD=GD，GK=CK，∠GDK=∠CDK， ∵D 是 AB 的中点，∴AD=CD=GD、 ∵∠A=30° ，∴∠CDA=120° ， ∵∠EDF=60° ，∴∠GDM+∠GDK=60° ， ∠ADM+∠CDK=60° ． ∴∠ADM=∠GDM，（3 分） ∵DM=DM， ∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM． ∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．（1 分）（3）解：由（2），得 GM=AM，GK=CK，∵MK2+CK2=AM2， ∴MK2+GK2=GM2， ∴∠GKM=90° ， 又∵点 C 关于 FD 的对称点 G， ∴＜CKG=90° ，∠FKC= ∠CKG=45° ，又有（1），得∠A=∠ACD=30° ， ∴＜FKC=∠CDF+∠ACD， ∴∠CDF=＜FKC-+∠ACD=15° ， 在 Rt△GKM 中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60° ， ∴∠GMK=30° ， ∴ ∴ = ， ．（2 分）=点评：本题综合考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、轴对称图形的性质以及三角形的两边之和大于第三边的性质． 答题：nhx600 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮605、 （2010?黔南布依族苗族自治州）已知：如图，在?ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角 线，AG∥DB 交 CB 的延长线于 G．（1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定． 专题：证明题；综合题． 分析： （1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；（2）先由菱形的性质得出 AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90° 即∠ADB=90° ，所以判定 四边形 AGBD 是矩形．解答：解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点 ∴AE= AB，CF= CD∴AE=CF ∴△ADE≌△CBF；（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形 ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC ∵AG∥BD ∴四边形 AGBD 是平行四边形 ∵四边形 BEDF 是菱形 ∴DE=BE ∵AE=BE ∴AE=BE=DE ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°∴2∠2+2∠3=180° ∴∠2+∠3=90° 即∠ADB=90° ∴四边形 AGBD 是矩形．点评：主要考查了平行四边行的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④ 平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA． 答题：lanyuemeng 老师；审题：wangcen 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮606、 （2010?宁德） 如图， 已知 AD 是△ABC 的角平分线， 在不添加任何辅助线的前提下， 要使△AED≌△AFD， 需添加一个条件是：AE=AF 或∠EDA=∠FDA，并给予证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．解答：解：①添加条件：AE=AF，证明：在△AED 与△AFD 中， ∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD ∴△AED≌△AFD（SAS）， ②添加条件：∠EDA=∠FDA， 证明：在△AED 与△AFD 中， ∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）．点评：本题是开放性题目，主要考查三角形全等的判定方法，只要符合题意即可．答题：shenzigang 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮607、 （2010?泸州）如图，已知 AC∥DF，且 BE=CF． （1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是AC=DF（或 AB∥DE、∠B=∠DEF、∠A=∠D）； （2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型．分析：（1）证明两三角形全等的现有条件是 BC=EF，∠ACB=∠F，所以可以添加边 AC=DF 利用 SAS，也可以添加角相等，利用 AAS 或 ASA．（2）根据添加的条件利用三角形全等的判定证明即可．解答：解：（1）添加的条件是 AC=DF．（2）证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠F ∵BE=CF， ∴BC=EF 在△ABC 和△DEF 中， ，∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查了三角形全等的判定方法；是开放型题目，根据已有条件，结合判定方法即可找出还差哪一条件，就是所要添加的条件，要根据现有已知的位置结合判定方法进行添加． 答题：shenzigang 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮608、（2010?柳州）如图，在 8×8 的正方形网格中，△ABC 的顶点和线段 EF 的端点都在边长为 1 的小正方形 的顶点上． （1）填空：∠ABC=135°，BC=． （2）请你在图中找出一点 D，再连接 DE、DF，使以 D、E、F 为顶点的三角形与△ABC 全等，并加以证 明．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题；分类讨论． 分析：（1）根据图形知道 CB 是一个等腰直角三角形的斜边，所以容易确定∠ABC 的度数，利用勾股定理也可以求出 BC 的长度； （2）D 的位置有四种情况，如图所示，其中 AB=EF、∠EFD=∠ABC=135° 、DF=CB，利用全等三角形的 边角边公理即可证明△EFD≌△ABC．解答：（1）解：依题意得∠ABC=135° ，BC=2；（2）证明：∵FD=BC=，∴∠EFD=∠ABC=90° ， +45° =135°EF=AB=2， ∴△EFD≌△ABC．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 答题：mama258 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮609、 （2010?丽江）如图，OP 平分∠AOB，且 OA=OB． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：先根据∠AOP=∠BOP，OP=OP，OA=OB，（SAS）得出△APO≌△BPO，其他三角形全等就能依次得出．解答：解：（1）△APO≌△BPO，△ADO≌△BCO，△OCP≌△ODP，△ACP≌△BDP．（2）证明△APO≌△BPO， ∵OP 平分∠AOB， ∴∠AOP=∠BOP， 又∵OP=OP，OA=OB，（SAS） ∴△APO≌△BPO．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条 件． 答题：yingzi 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮610、 （2010?昆明）如图，点 B、D、C、F 在一条直线上，且 BC=FD，AB=EF． （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是∠B=∠F 或 AB∥EF 或 AC=ED； （2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：（1）本题要判定△ABC≌△EFD，已知 BC=DF，AB=EF，具备了两组边对应相等，故添加∠B=∠F 或 AB∥EF 或 AC=ED 后可分别根据 SAS、AAS、SSS 来判定其全等； （2）因为 AB=EF，∠B=∠F，BC=FD，可根据 SAS 判定△ABC≌△EFD．解答：解：（1）∠B=∠F 或 AB∥EF 或 AC=ED；（2）证明：当∠B=∠F 时在△ABC 和△EFD 中∴△ABC≌△EFD（SAS）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条 件． 611、 （2010?金华）如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），F，E 分别是 AD 及其延长线 上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字 母），并给出证明． （1）你添加的条件是：BD=DC（或点 D 是线段 BC 的中点）或 FD=ED 或 CF=BE； （2）证明：考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：（1）由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等． 故添加的条件是： （或点 D 是线段 BC 的中点） FD=ED 或 CF=BE． 或 BD=DC （2）以 BD=DC 为例进行证明，由已知可证∠FCD﹦∠EBD，又∠FDC﹦∠EDB，可根据 AAS 判定 △BDE≌△CDF．解答：解： BD=DC （1） （或点 D 是线段 BC 的中点） FD=ED 或 CF=BE 或中 任选一个即可．（2）以 BD=DC 为例进行证明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD， 又∵BD=DC，∠FDC﹦∠EDB， ∴△BDE≌△CDF（AAS）点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条 件． 答题：lihongfang 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮612、 （2010?吉林）如图，在△ABC 中，∠ACB=90° ，AC=BC，CE⊥BE，CE 与 AB 相交于点 F，AD⊥CF 于 点 D，且 AD 平分∠FAC，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：根据全等三角形的判定定理：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称 SSS 或者“边边边”） （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称 SAS 或者“边角边”） （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简称 ASA 或者“角边角”） （4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称 AAS 或者“角角边”）（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称 HL 或者“斜边，直 角边”）解答：解：△ADC≌△ADF、△ADC≌△CEB．：若选择△ADC≌△ADF，证明如下： ∵AD 平分∠FAC， ∴∠CAD=∠FAD， ∵AD⊥CF， ∴∠ADC=∠ADF=90° ， 又∵AD=AD， ∴△ADC≌△ADF；点评：考查了全等三角形的判定定理；做题时要结合已知条件图形在图形上的位置与判定方法在图形上做题，多个直角在一题中出现时常常能提供角相等，注意应用． 答题：nyx 老师；审题：张伟东老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮613、 （2010?河池）如图所示，点 B 和点 C 分别为∠MAN 两边上的点，AB=AC． （1）按下列语句画出图形： ①AD⊥BC，垂足为 D；②∠BCN 的平分线 CE 与 AD 的延长线交于点 E； ③连接 BE． （2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD 外的两对全等三角形：△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；并选择其中的一对全等三角形，予以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题． 分析：（1）①从 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，D 在线段 BC 上；②作∠BCN 的平分线 CE 与 AD 的延长线交于点 E，E 在线段 AD 的延长线上； ③连接 BE 就是过 B、E 两点画线段； （2） 还有△ABE≌△ACE； △BDE≌△CDE． 其中证明△ABE≌△ACE 的条件有 AB=AC、 ∠BAE=∠CAE、 AE 公共，由此即可证明；证明△BDE≌△CDE 的全等条件有 ，由此即可证明结论．解答：解：（1）①②③，如图所示：（2）△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE． （3）选择△ABE≌△ACE 进行证明．∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAE=∠CAE， 在△ABE 和△ACE 中∴△ABE≌△ACE（SAS）；选择△BDE≌△CDE 进行证明． ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD， 在△BDE 和△CDE 中 ，∴△BDE≌△CDE（SAS） ．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 答题：mama258 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮614、 （2010?达州）如图所示，将一长方形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，点 D 落在点 E 处，折痕为 MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题．分析：根据折叠前后不变的量，找到△ABN≌△AEM，两边和夹角对应相等． 解答：解：有，△ABN≌△AEM．证明：∵四边形 ABCD 是长方形， ∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90° ∵四边形 NCDM 翻折得到四边形 NAEM， ∴AE=CD，∠E=∠D=90° ，∠EAN=∠C=90° ． ∴AB=AE，∠B=∠E， ∠DAB=∠EAN， 即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM， ∴∠BAN=∠EAM． 在△ABN 与△AEM 中，∴△ABN≌△AEM．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 答题：bjy 老师；审题：张伟东老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮615、 （2010?常德）如图，已知四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ABC≌△CDF．考点：全等三角形的判定；菱形的性质． 专题：证明题． 分析：先利用菱形的性质可求出一组对应角相等，一组对应边相等，再结合已知条件中的垂直条件，又可得一组对应角相等，从而利用 AAS 可证两个三角形全等．解答：证明：在△ADE 和△CDF 中，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠A=∠C，AD=CD，（2 分） 又 DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠AED=∠CFD=90° ，（4 分） ∴△ADE≌△CDF．（6 分）点评：本题利用了菱形的性质、全等三角形的判定．答题：wangcen 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮616、 （2010?长春）如图，△ABC 中，AB=AC，延长 BC 至 D，使 CD=BC，点 E 在边 AC 上，以 CE，CD 为 邻边做?CDFE，过点 C 作 CG∥AB 交 EF 于点 G，连接 BG，DE．（1）∠ACB 与∠GCD 有怎样的数量关系？请说明理由． （2）求证：△BCG≌△DCE．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质． 专题：证明题． 分析：根据全等三角形的判定定理． 解答：解：（1）∠ACB=∠GCD．理由如下：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB ∵CG∥AB， ∴∠ABC=∠GCD， ∴∠ACB=∠GCD．证明：（2）∵四边形 CDFE 是平行四边形， ∴EF∥CD． ∴∠ACB=∠GEC，∠EGC=∠GCD． ∵∠ACB=∠GCD ∴∠GEC=EGC ∴EC=GC ∵∠GCD=∠ACB， ∴∠GCB=∠ECD． ∵BC=DC， ∴△ECG≌△DCE． （7 分）点评：考查全等三角形的判定定理．答题：nyx 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮617、 （2010?包头）如图，已知△ABC 中，AB=AC=10 厘米，BC=8 厘米，点 D 为 AB 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全 等？ （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？考点：全等三角形的判定；一元一次方程的应用；全等三角形的性质． 专题：几何图形问题． 分析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据 SAS 判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系， 再根据路程=速度×时间公式， 先求得点 P 运动的时间， 再求得点 Q 的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点 Q 的速度快，且在点 P 的前边，所以要想第一次相遇，则应该 比点 P 多走等边三角形的两个边长．解答：解：（1）①∵t=1 秒，∴BP=CQ=3×1=3 厘米， ∵AB=10 厘米，点 D 为 AB 的中点， ∴BD=5 厘米． 又∵PC=BC-BP，BC=8 厘米， ∴PC=8-3=5 厘米， ∴PC=BD． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△BPD≌△CQP．②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ， 又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则 BP=PC=4，CQ=BD=5， ∴点 P，点 Q 运动的时间 ∴ 厘米/秒； 秒，（2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇， 由题意，得 解得 x=3x+2×10， 秒． ×3=80 厘米．∴点 P 共运动了 ∵80=2×28+24，∴点 P、点 Q 在 AB 边上相遇， ∴经过 秒点 P 与点 Q 第一次在边 AB 上相遇．点评：此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系． 答题：kuaile 老师；审题：zxw 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮618、 （2009?遵义） 如图， 在△ABC 中， N 分别为 AB、 边上的中点． E 为 BC 边上的两点， DE=BD+EC， 且 M、 AC D、 ME 与 ND 交于点 O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．考点：全等三角形的判定；相似三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：因为 M、N 分别为 AB、AC 边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则 MN∥BC，又因为 DE=BD+EC，所以有△MON≌△EOD．解答：证明：△MON≌△EOD．∵M、N 分别为 AB、AC 边上的中点 ∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2 ∵∠A=∠A ∴△AMN∽△ABC ∴∠AMN=∠ABC，MN= BC∴MN∥BC ∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE ∵DE=BD+EC，∴DE=BC∴MN=DE ∴△MON≌△DOE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条 件． 答题：py168 老师；审题：Linaliu 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮619、 （2009?武汉）如图，已知点 E，C 在线段 BF 上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：△ABC≌△ DEF．考点：全等三角形的判定；平行线的性质． 专题：证明题． 分析：根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据 ASA 定理可知△ABC≌△DEF． 解答：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF． ∵BE=CF， ∴BC=EF． ∵∠ACB=∠F， ∴△ABC≌△DEF．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角．答题：CJX 老师；审题：wangcen 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮620、 （2009?铁岭）△ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B、C 重合），△ADE 是以 AD 为边的等边三角形，过点 E 作 BC 的平行线，分别交射线 AB、AC 于点 F、G，连接 BE． （1）如图（a）所示，当点 D 在线段 BC 上时． ①求证：△AEB≌△ADC； ②探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由； （2）如图（b）所示，当点 D 在 BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立； （3）在（2）的情况下，当点 D 运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定． 专题：动点型． 分析：此题要熟练多方面的知识，特别是全等三角形和平行四边形和菱形的判定． 解答：证明：（1）①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60° ．（1 分）又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD， ∴∠EAB=∠DAC， ∴△AEB≌△ADC．（3 分）②方法一：由①得△AEB≌△ADC， ∴∠ABE=∠C=60° ． 又∵∠BAC=∠C=60° ， ∴∠ABE=∠BAC， ∴EB∥GC．（5 分） 又∵EG∥BC， ∴四边形 BCGE 是平行四边形．（6 分）方法二：证出△AEG≌△ADB，得 EG=AB=BC．（5 分） 由①得△AEB≌△ADC．得 BE=CG． ∴四边形 BCGE 是平行四边形．（6 分）（2）①②都成立．（8 分）（3）当 CD=CB （BD=2CD 或 CD=或∠ BD 或∠CAD=30°或∠ADC=30° ）时，四边形 BCGE 是菱形．（9 分） BAD=90° 理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，∴BE=CD（10 分） 又∵CD=CB， ∴BE=CB．（11 分） 由②得四边形 BCGE 是平行四边形， ∴四边形 BCGE 是菱形．（12 分）方法二：由①得△AEB≌△ADC， ∴BE=CD．（9 分） 又∵四边形 BCGE 是菱形， ∴BE=CB（11 分） ∴CD=CB．（12 分）方法三：∵四边形 BCGE 是平行四边形， ∴BE∥CG，EG∥BC， ∴∠FBE=∠BAC=60° ，∠F=∠ABC=60° 分） （9 ∴∠F=∠FBE=60° ，∴△BEF 是等边三角形．（10 分） 又∵AB=BC，四边形 BCGE 是菱形， ∴AB=BE=BF， ∴AE⊥FG（11 分） ∴∠EAG=30° ， ∵∠EAD=60° ， ∴∠CAD=30 度．（12 分）点评：是一道考查学生综合能力的开放性题目，稍微偏难．621、（2009?青海）请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1） 如图 1， 正三角形 ABC 中， AB、 边上分别取点 M、 使 BM=AN， 在 连接 BN、 发现 BN=CM， AC N， CM， 且∠NOC=60 度．请证明：∠NOC=60 度． （2）如图 2，正方形 ABCD 中，在 AB、BC 边上分别取点 M、N，使 AM=BN，连接 AN、DM，那么 AN= ，且∠DON= 度． （3）如图 3，正五边形 ABCDE 中，在 AB、BC 边上分别取点 M、N，使 AM=BN，连接 AN、EM，那么 AN= ，且∠EON= 度． （4）在正 n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；多边形内角与外角． 专题：阅读型． 分析： （1） 利用△ABC 是正三角形， 可得∠A=∠ABC=60° AB=BC， ， 又因 BM=AN， 所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60° ； （2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90° ； （3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108° ； （4）以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角 ．（10 分）解答：证明：（1）∵△ABC 是正三角形， ∴∠A=∠ABC=60° ，AB=BC， 在△ABN 和△BCM 中， ，∴△ABN≌△BCM，（2 分） ∴∠ABN=∠BCM， 又∵∠ABN+∠OBC=60° ， ∴∠BCM+∠OBC=60° ， ∴∠NOC=60° ； （2）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠DAM=∠ABN=90° ，AD=AB， 又∵AM=DN， ∴△ABN≌△DAM， ∴AN=DM，∠ADM=∠BAN， 又∵∠ADM+∠AMD=90° ， ∴∠BAN+∠AMD=90° ∴∠AOM=90° ；即∠DON=90° ． （3）∵五边形 ABCDE 式正五边形， ∴∠A=∠B，AB=AE， 又∵AM=BN， ∴△ABN≌△EAM， ∴AN=ME， ∴∠AEM=∠BAN， ∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108° ；（4）以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角．（10 分）注：学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．点评：本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 答题：hnaylzhyk 老师；审题：wangcen 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮622、 （2009?青海）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，P 为梯形 ABCD 外一点，PA、PD 分别交线段 BC 于点 E、F，且 PA=PD． （1）图中除了△ABE≌△DCF 外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）． （2）求证：△ABE≌△DCF．考点：全等三角形的判定；梯形． 专题：证明题；开放型． 分析：（1）AP=DP?∠PAD=∠PDA，∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP，∵AB=DC PA=PB?△ABP≌△DCP； △ABE≌△DCF?∠AEB=∠DFC?∠BEP=∠CFP，又∠BPE=∠CPF，BP=CP?△BEP≌△CEP； △BFP≌△CEP 也可以推理得到． （2）AP=DP?∠PAD=∠PDA，又∠BAD=∠CDA?∠BAP=∠CDP． ∵AB=DC，∠ABE=∠DCF?△ABE≌△DCF．解答：解：（1）△ABP≌△DCP；△BEP≌△CEP；△BFP≌△CEP．（3 分）（2）∵AD∥BC，AB=DC， ∴梯形 ABCD 为等腰梯形． ∴∠BAD=∠CDA，∠ABE=∠DCF．（4 分） 又∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA， ∴∠BAD-∠PAD=∠CDA-∠PDA． 即∠BAP=∠CDP．（6 分） 在△ABE 和△DCF 中，∴△ABE≌△DCF．（7 分）点评：本题要熟练等腰梯形的性质，并且考查判定三角形全等的方法，难度属于中等．答题：137-hui 老师；审题：zxw 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮623、 （2009?泸州）如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD 的度数．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质． 专题：证明题．分析： （1） 根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60° AB=CA， ， 结合 AE=CD， 可证明△ABE≌△CAD；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° ．解答：证明：（1）∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60° ，AB=CA 在△ABE 和△CAD 中， AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD ∴△ABE≌△CAD解：（2）∵∠BFD=∠ABE+∠BAD 又∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三 角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 答题：lanyuemeng 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮624、 （2009?娄底）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，连接 AD，在 AD 的延长线上取一点 E，连 接 BE，CE． （1）求证：△ABE≌△ACE； （2）当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由．考点：全等三角形的判定；菱形的判定． 专题：证明题． 分析：由题意可知三角形三线合一，结合 SAS 可得△ABE≌△ACE．四边形 ABEC 相邻两边 AB=AC，只需要证明四边形 ABEC 是平行四边形的条件，当 AE=2AD（或 AD=DE 或 DE= 相平分，可得四边形是平行四边形． AE）时，根据对角线互解答：证明：（1）∵AB=AC，点 D 为 BC 的中点，∴∠BAE=∠CAE， ∵AE=AE ∴△ABE≌△ACE（SAS）．（2）当 AE=2AD（或 AD=DE 或 DE= 理由如下： ∵AE=2AD，∴AD=DE， 又点 D 为 BC 中点，∴BD=CD， ∴四边形 ABEC 为平行四形边， ∵AB=AC， ∴四边形 ABEC 为菱形．AE）时，四边形 ABEC 是菱形点评：本题考查了全等三角形和等腰三角形的性质和菱形的判定定理，比较容易．答题：137-hui 老师．★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮625、（2009?丽水）已知命题：如图，点 A，D，B，E 在同一条直线上，且 AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC ≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个 适当条件使它成为真命题，并加以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析： 本题中要证△ABC≌△DEF， 已知的条件有一组对应边 AB=DE （AD=BE）一组对应角∠A=∠FDE． ， 要想证得全等， 根据全等三角形的判定， 缺少的条件是一组对应角 （AAS 或 ASA） 或者是一组对应边 AC=EF ， （SAS）．只要有这两种情况就能证得三角形全等．解答：解：是假命题．以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF． 证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD，即 AB=DE． 在△ABC 和△DEF 中， AB=DE， ∠A=∠FDE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF（SAS）；②添加条件：∠CBA=∠E． 证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD，即 AB=DE． 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠FDE， AB=DE， ∠CBA=∠E， ∴△ABC≌△DEF（ASA）；③添加条件：∠C=∠F． 证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD，即 AB=DE． 在△ABC 和△DEF 中， ∠A=∠FDE， ∠C=∠F， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF（AAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 答题：MMCH 老师；审题：lihongfang 老师．★★★☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮626、（2009?荆州）如图，D 是等边△ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边△EDC，连接 AE， 找出图中的一组全等三角形，并说明理由．考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质． 专题：证明题． 分析：根据等边三角形的性质得出 BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60° ，从而得出∠BCD=∠ACE，利用 SAS 判定△BDC≌△AEC．解答：解：△BDC≌△AEC，∵△ABC、△EDC 均为等为三角形 ∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠ECD=60° 从而∠BCD=∠ACE 在△BDC 和△AEC 中，∴△BDC≌△AEC（SAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 答题：ln_86 老师；审题：wangcen 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮627、 （2009?江汉区）如图所示，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ ADE 绕 A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM= BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：（1）若 AB=AC，请探究下列数量关系： ①在图②中，BD 与 CE 的数量关系是 ； ②在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； （2）若 AB=k?AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM 与 AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．考点：全等三角形的判定． 分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以 BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，所以得到△BAD≌△CAE， 在△ABM 和△ACN 中， AB=AC，AD=AE， DM= ≌△ACN，所以 AM=AN，即∠MAN=∠BAC ． （2）直接类比（1）中结果可知 AM=k?AN，∠MAN=∠BAC． BD， EN= CE 可证△ABM解答：解：（1）①BD=CE ②AM=AN，∠MAN=∠BAC 中 ∵∠DAE=∠BAC ∴∠CAE=BAD 由题意可知：AB=AC，AD=AE ∴△BAD≌△CAE 在△ABM 和△ACN 中，DM= BD，EN= CE∴BM=CN 又 AB=AC ∴△ABM≌△ACN ∴AM=AN ∴∠BAM=∠CAN 即∠MAN=∠BAC（2）AM=k?AN ∠MAN=∠BAC点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、判定两个三角形全等， 先根据已知条件或求证的结论确定三角形， 然后再根据三角形全等的判定方法， HL． 看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．答题：lanyuemeng 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮628、 （2009?吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，AD=AE，AB 平分∠DAE 交 DE 于点 F，请你写出图中 三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题；开放型． 分析：本题考查的是全等三角形的判定的有关知识，可根据全等三角形的判定定理进行求解，答案不唯一． 解答：解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）．（2）以△ADB≌ADC 为例证明． 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90° ； 在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中， ∵AB=AC，AD=AD， ∴Rt△ADB≌Rt△ADC．点评：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，做题时从已知开始思考，结合判定方法由易到难逐个验证，做到不重不漏．答题：csiya 老师；审题：MMCH 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮629、 （2009?本溪）在△ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B、C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE，使 AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接 CE． （1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上，如果∠BAC=90° ，则∠BCE= 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点 D 在直线 BC 上移动，则 α，β 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．考点：全等三角形的判定；等腰三角形的性质． 分析：（1）问要求∠BCE 的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将 α+β 转化成三角形的内角和； （3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．解答：解：（1）90° ． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 又 AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE，∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠=90° ∴∠BCE=90° ；（2）①α+β=180°， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 又 AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180° ， ∴α+β=180°； ②当点 D 在射线 BC 上时，α+β=180°； 当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时，α=β．点评：本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质，两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况． 答题：lihongfang 老师；审题：mama258 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮630、 （2008?永春县）已知：如图，∠A=∠DCF，F 是 AC 的中点． 求证：△AEF≌△CDF．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题． 分析：要证明两三角形全等，已知的条件有一组对顶角相等，∠A=∠DCF，那么只要得出一组对应边相等即可，题中 F 是 AC 的中点，因此 AF=CF，由此构成了全等三角形判定中的 ASA，于是两三角形全等．解答：证明：∵F 是 AC 的中点∴AF=CF ∵∠A=∠DCF，∠AFE=∠CFD ∴△AEF≌△CDF（ASA）．点评：本题考查了全等三角形的判定，证明三角形全等的过程中，要先看已知了什么条件，然后缺什么再证什么即可．631、 （2008?益阳）△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形 DEFG，使正方形的一条边 DE 落在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上．Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF； Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形． 小聪和小明各给出了一种想法， 请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答． 如果两题都解， 只以Ⅱa 的解答记分． Ⅱa、小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长，从而确定 D 点 和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了． 设△ABC 的边长为 2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化） Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是： ①在 AB 边上任取一点 G′，如图作正方形 G′D′E′F′； ②连接 BF′并延长交 AC 于 F； ③作 FE∥F′E′交 BC 于 E，FG∥F′G′交 AB 于 G，GD∥G′D′交 BC 于 D，则四边形 DEFG 即为所求． 你认为小明的作法正确吗？说明理由．考点：全等三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：综合题；压轴题；探究型；数形结合；转化思想． 分析： （1） 根据正方形的性质可以得到 GD=FE， ∠GDB=∠FEC=90° 利用等边三角形得到∠B=∠C=60° ， ，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了； 2a．设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH，可以求出 AH 的长，然后根据△AGF∽△ABC 利用其对应 边成比例 可以列出关于 x 的方程，然后求出 x，也就求出了正方形的边长； 2b．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形 DEFG，利用作法中的平行线可以得到 比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．解答：证明：Ⅰ∵DEFG 为正方形∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 分） （2 ∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60° 分） （3∴△BDG≌△CEF（AAS）（5 分） Ⅱ解法一：设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH， 求得 （7 分） （9 分） ）（10 分）由△AGF∽△ABC 得： 解之得： （或解法二：设正方形的边长为 x，则 在 Rt△BDG 中，tan∠B= ，（7 分）∴ 解之得：（9 分） （或 ）（10 分）解法三：设正方形的边长为 x， 则 由勾股定理得： （7 分） （9 分）解之得： Ⅱb．解：正确（6 分）（10 分）由已知可知，四边形 GDEF 为矩形（7 分） ∵FE∥F’E’ ∴同理 ∴又∵F’E’=F’G’ ∴FE=FG ∴矩形 GDEF 为正方形（10 分）点评：此题主要考查了全等三角形，相似三角形的判定及矩形及正方形的性质等知识点的综合运用．答题：mama258 老师；审题：ln_86 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮632、 （2008?宜昌）如图，在△ABC 与△ABD 中，BC=BD．设点 E 是 BC 的中点，点 F 是 BD 的中点． （1）请你在图中作出点 E 和点 F； （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接 AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题． 分析：（1）由作一条线段中垂线的方法作出点 E 和点 F．（2）由题意 BC=BD 推出 BE=BF，然后证明△ABE≌△ABF．解答：解：（1）能看到“分别以 B，C 为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点 M、N， 连接 MN，交 BC 于 E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点 F（或以 B 为圆心，BE 为半径画弧交 BD 于点 F）”的痕（凡正确作出点 E，F 中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置． （2）∵BC=BD，E，F 分别是 BC，BD 的中点， ∴BE=BF， 在△ABE 和△ABF 中 BE=BF AB=AB， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABE≌△ABF．点评：本题考查了全等三角形的判定；命题意图：掌握知识同时要培养学生的能力，尺规作图就是考查的动手能力，三角形全等的证明是几何证明的基础，考查是必要的．中点作法用作垂直平分线的方法，三角 形全等利用边角边定理． 答题：csiya 老师；审题：bjy 老师．★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮633、 （2008?盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边 且在 AD 的右侧作正方形 ADEF． 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90° ， ①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF，BD 之间的位置关系为垂直，数量关系为相等． ②当点 D 在线段 BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°，点 D 在线段 BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C，F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画 图不写作法） （3）若 AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值．考点：全等三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：综合题；压轴题． 分析： （1）可通过证明三角形 ABC 和三角形 ACF 全等来实现．因为 AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF 即可，∠BAD=90° -∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的 SAS，△ABD≌△ACF， 因此 BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90° ，那么∠ACF+ACD=90° ，即 FC⊥BC，也就是 FC⊥ BD． （2） 可通过构建三角形来求解． 过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G， 如果 CF⊥BD， 那么∠ACF=∠AGD=90° ∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90° -∠CAD．AG=AC 那么根据 AAS 可得出△AGD≌△ACF，AG=AC， 又因为∠GAC=90° ，可得出∠BCA=45° ． 因此△BAC 满足∠BCA=45° 时，CF⊥BD． （3）过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解． 图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90° ，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角 形 ADQ∽直角三角形 PDC， 那么可得出关于 CP、 因为∠BCA=45° ∠Q=90° ， ， CD、 AQ、 QD 的比例关系， 那么 AQ=QC=4，如果设 CD=x，那么可用 x 表示出 CD、QD，又知道 AQ 的值和 CP、CD、QD、AQ 的 比例关系，那么可得出关于 CP 和 x 的函数关系式，然后根据函数的性质和 x 的取值范围求出 CP 的最大 值．解答：解：（1）①CF 与 BD 位置关系是垂直，数量关系是相等②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF，∠DAF=90 度 ∵∠BAC=90° ，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC 又 AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ∵∠BAC=90° ，AB=AC，∴∠ABC=45° ，∴∠ACF=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度．即 CF⊥BD ．（2）当∠BCA=45° 时，CF⊥BD（如图） 理由是：过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45° ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度．即 CF⊥BD．（3）当具备∠BCA=45° 时 过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，（如图） ∵DE 与 CF 交于点 P 时，∴此时点 D 位于线段 CQ 上 ∵∠BCA=45° ，可求出 AQ=CQ=4．设 CD=x，∴DQ=4-x 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，∴∴CP=-+x∵0＜x≤3∴当 x=2 时，CP 有最大值 1．点评：本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及函数关系式等综合知识．本题的关键是根据题意通过作辅助线来构建出和已知，所求等条件相关的三角形，然后通过相似，全等等知识来求解．答题：MMCH 老师；审题：wenming 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮634、 （2008?湘西土家族苗族自治州）已知：如图，在?ABCD 中，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质． 专题：证明题． 分析：要证明三角形全等，可根据三角形全等的判定来寻找条件，再结合平行四边形的性质，很容易确定SAS，只需一一对应证明就可以了．解答：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB∥CD AB=CD（2 分） ∴∠ABE=∠CDF（3 分） ∴在△ABE 和△CDF 中 （5 分）∴△ABE≌△CDF（SAS）（6 分）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 答题：lihongfang 老师；审题：wenming 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮635、（2008?太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和△ DEF．将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把△DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相 交于点 O．（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点 B（E），C，D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是 ； （2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图③中，连接 BO，AD，探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质． 分析：（1）、要证∠AFD=∠DCA，只需证△ABC≌△DEF 即可；（2）、结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA； （3）、BO⊥AD，由△ABC≌△DEF 得 BA=BD，点 B 在 AD 的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，继而 证得∠OAD=∠ODA，OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上，即 BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA．证明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB=∠DFE， ∴∠AFD=∠DCA；（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下： 方法一：由△ABC≌△DEF，得： AB=DE，BC=EF（或 BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC， 在△ABF 和△DEC 中， ，∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC， ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF， ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA， ∴∠AFD=∠DCA；方法二：连接 AD， 同方法一△ABF≌△DEC， ∴AF=DC， ∵△ABC≌△DEF， ∴FD=CA， 在△AFD 和△DCA 中， ，∴△AFD≌△DCA， ∴∠AFD=∠DCA；（3）如图，BO⊥AD． 方法一：由△ABC≌△DEF，点 B 与点 E 重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD， ∴点 B 在 AD 的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA， ∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA， ∴OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上， ∴直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即 BO⊥AD；方法二：延长 BO 交 AD 于点 G， 同方法一，OA=OD， 在△ABO 和△DBO 中， ，∴△ABO≌△DBO， ∴∠ABO=∠DBO， 在△ABG 和△DBG 中， ，∴△ABG≌△DBG， ∴∠AGB=∠DGB=90° ， ∴BO⊥AD．点评：应用．本题综合考查全等三角形、等腰三角形和旋转的有关知识．注意对三角形全等知识的综合答题：lihongfang 老师；审题：wangcen 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮636、 （2008?陕西）已知：如图，B，C，E 三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B． 求证：△ABC≌△CDE．考点：全等三角形的判定；平行线的性质． 专题：证明题． 分析：△ABC 和△CDE 中，已知的条件有 AC=AE，因此还需得出两组对应角相等；已知了 AC∥DE，即可得出∠D=∠ACD=∠B，∠ACB=∠E，由此可得证．解答：证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠BCA=∠E； 又∵∠ACD=∠B， ∴∠B=∠D； 又∵AC=CE， ∴△ABC≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么 条件． 答题：CJX 老师；审题：MMCH 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮637、 （2008?衢州）如图，AB∥CD． （1）用直尺和圆规作∠C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）中作出的线段 CE 上取一点 F，连接 AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？ 请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题；开放型．分析：（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加 AF⊥CE 或∠CAF=∠EAF 后可分别根据 AAS 判定△ACF≌△AEF．解答：解：（1）作图如右；（2）取点 F 和画 AF 正确（如图）； 添加的条件可以是： 添加 AF⊥CE，可根据 AAS 判定△ACF≌△AEF；添加 ∠CAF=∠EAF 可根据 AAS 判定△ACF≌△AEF 等．（选一个即可）点评：是一个尺规作图题．[常见错误] 主要问题有作图后没有留下痕迹， 没有在图中标出应有的字母 F． 补充的条件时， 只是补充∠ACE=∠CEA， 没有对这种图形分析． 答题：csiya 老师；审题：bjy 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮638、 （2008?莆田）如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90° ，DB 平分∠ADC，BE⊥CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CF=DF． （1）找出图中与△DEF 全等的三角形；△DEF≌ ，△DEF≌． （2）请您从（1）中选择一对全等三角形加以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题． 分析：根据已知条件利用全等三角形的判定方法可得到；△DEF≌△CBF，△DEF≌△DBF． 解答：解：△CBF，△DBF．试证明△DEF≌△CBF 证明：∵AD∥BC ∴∠EDF=∠CBF ∵BE⊥CD 于点 F ∴∠DFE=∠CFB=90° ∵CF=DF ∴△DEF≌△CBF（ASA）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 答题：ln_86 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮639、 （2008?南平）（1）如图 1，图 2，图 3，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边，向△ABC 外作正三角形， 正四边形，正五边形，BE，CD 相交于点 O ①如图 1，求证：△ABD≌△ADC；②探究：如图 1，∠BOC=120° ； 如图 2，∠BOC=90° ； 如图 3，∠BOC=60° ． （2）如图 4，已知：AB，AD 是以 AB 为边向△ABC 外所作正 n 边形的一组邻边；AC，AE 是以 AC 为边 向△ABC 外所作正 n 边形的一组邻边，BE，CD 的延长相交于点 O． ①猜想：如图 4，∠BOC=360÷ n（用含 n 的式子表示）； ②根据图 4 证明你的猜想．考点：全等三角形的判定；多边形内角与外角． 分析：（1）要证明△ABE≌△ADC，题中△ABD 与△ACE 均为等边三角形，容易得出 AD=AB，AC=AE，对应全等条件找边，或夹角，可由∠DAB=∠EAC=60° 转换得出∠DAC=∠BAE 来证明； （2）欲求∠BOC 的度数，可以通过证明△ABE≌△ADC 及正 n 边形的内角和定理，得出∠BOC+∠ ，得出∠BOC=360÷ 度的结论． DAB=180° n解答：解：（1）①证法一∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形 ∴AD=AB，AC=AE 且∠BAD=∠CAE=60° ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠DAC=∠BAE ∴△ABE≌△ADC；证法二：∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形 ∴AD=AB，AC=AE 且∠BAD=∠CAE=60° ∴△ADC 可由△ABE 绕着点 A 按顺时针方向旋转 60° 得到 ∴△ABE≌△ADC； ②120° ，90° ，72° ．（2）①②证法一：依题意，知∠BAD 和∠CAE 都是正 n 边形的内角，AB=AD，AE=AC ∴∠BAD=∠CAE=∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，即∠BAE=∠DAC ∴△ABE≌△ADC， ∴∠ABE=∠ADC， ∵∠ADC+∠ODA=180° ， ∴∠ABO+∠ODA=180° ， ∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360° ， ∴∠BOC+∠DAB=180° ∴∠BOC=180° -∠DAB= ；证法二：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠ABE=∠ADC，如图，延长 BA 交 CO 于 F∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180° ，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180° ∴∠BOC=∠DAF=180° -∠BAD= ；证法三：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠ABE=∠ADC． ∵∠BOC=180° -（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD） ∴∠BOC=180° -（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD） ∵∠ABC+∠ACB=180° -∠BAC，∠ADC+∠ACD=180° -∠DAC ∴∠BOC=180° -（360° -∠BAC-∠DAC） 即∴∠BOC=180° -∠BAD= ；证法四：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠AEB=∠ACD．如图，连接 CE， ∵∠BEC=∠BOC+∠OCE ∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE ∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．（13 分） 即∴∠BOC=180° -∠CAE= ．注意：此题还有其它证法，可相应评分．点评：本题图形复杂，考查了正多边形的内角相等，内角和定理：（n-2）?180°，及全等三角形的判断和性质． 答题：huangling 老师；审题：wangcen 老师．★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮640、（2008?金华）如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与 BD 相交于点 O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ ABC≌△DCB； （2）△OBC 的形状是等腰三角形．（直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定． 专题：证明题． 分析：可以利用 SSS 判定△ABC≌△DCB，证明可得 OB=OC，所以△OBC 是等腰三角形． 解答：证明：（1）在△ABC 和△DCB 中∴△ABC≌△DCB（SSS）；（2）∵△ABC≌△DCB ∴∠OBC=∠OCB ∴OB=OC ∴△OBC 为等腰三角形．点评：此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．631、 （2008?益阳）△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形 DEFG，使正方形的一条边 DE 落在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上． Ⅰ、证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ、探究：怎样在铁片上准确地画出正方形． 小聪和小明各给出了一种想法， 请你在Ⅱa 和Ⅱb 的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答． 如果两题都解， 只以Ⅱa 的解答记分． Ⅱa、小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和 CE 的长，从而确定 D 点 和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了． 设△ABC 的边长为 2，请你帮小聪求出正方形的边长．（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化） Ⅱb、小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是： ①在 AB 边上任取一点 G′，如图作正方形 G′D′E′F′； ②连接 BF′并延长交 AC 于 F； ③作 FE∥F′E′交 BC 于 E，FG∥F′G′交 AB 于 G，GD∥G′D′交 BC 于 D，则四边形 DEFG 即为所求． 你认为小明的作法正确吗？说明理由．考点：全等三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：综合题；压轴题；探究型；数形结合；转化思想． 分析： （1） 根据正方形的性质可以得到 GD=FE， ∠GDB=∠FEC=90° 利用等边三角形得到∠B=∠C=60° ， ，然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了； 2a．设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH，可以求出 AH 的长，然后根据△AGF∽△ABC 利用其对应 边成比例 可以列出关于 x 的方程，然后求出 x，也就求出了正方形的边长； 2b．首先作一个正方形，然后利用位似图形作图就可以得到正方形 DEFG，利用作法中的平行线可以得到 比例线段，再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了．解答：证明：Ⅰ∵DEFG 为正方形∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 分） （2 ∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60° 分） （3∴△BDG≌△CEF（AAS）（5 分） Ⅱ解法一：设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH， 求得 （7 分） （9 分） ）（10 分）由△AGF∽△ABC 得： 解之得： （或解法二：设正方形的边长为 x，则 在 Rt△BDG 中，tan∠B= ，（7 分）∴ 解之得：（9 分） （或 ）（10 分）解法三：设正方形的边长为 x， 则 由勾股定理得： （7 分） （9 分）解之得： Ⅱb．解：正确（6 分）（10 分）由已知可知，四边形 GDEF 为矩形（7 分） ∵FE∥F’E’ ∴同理 ∴又∵F’E’=F’G’ ∴FE=FG ∴矩形 GDEF 为正方形（10 分）点评：此题主要考查了全等三角形，相似三角形的判定及矩形及正方形的性质等知识点的综合运用．答题：mama258 老师；审题：ln_86 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮632、 （2008?宜昌）如图，在△ABC 与△ABD 中，BC=BD．设点 E 是 BC 的中点，点 F 是 BD 的中点． （1）请你在图中作出点 E 和点 F； （要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）连接 AE，AF．若∠ABC=∠ABD，请你证明△ABE≌△ABF．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题． 分析：（1）由作一条线段中垂线的方法作出点 E 和点 F．（2）由题意 BC=BD 推出 BE=BF，然后证明△ABE≌△ABF．解答：解：（1）能看到“分别以 B，C 为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点 M、N， 连接 MN，交 BC 于 E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点 F（或以 B 为圆心，BE 为半径画弧交 BD 于点 F）”的痕（凡正确作出点 E，F 中的一个后，另一个只要在图上标注了大致位置． （2）∵BC=BD，E，F 分别是 BC，BD 的中点， ∴BE=BF， 在△ABE 和△ABF 中 BE=BF AB=AB， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABE≌△ABF．点评：本题考查了全等三角形的判定；命题意图：掌握知识同时要培养学生的能力，尺规作图就是考查的动手能力，三角形全等的证明是几何证明的基础，考查是必要的．中点作法用作垂直平分线的方法，三角 形全等利用边角边定理． 答题：csiya 老师；审题：bjy 老师．★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮633、 （2008?盐城）如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD，以 AD 为一边 且在 AD 的右侧作正方形 ADEF． 解答下列问题： （1）如果 AB=AC，∠BAC=90° ， ①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图乙，线段 CF，BD 之间的位置关系为垂直，数量关系为相等． ②当点 D 在线段 BC 的延长线时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果 AB≠AC，∠BAC≠90°，点 D 在线段 BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF⊥BC（点 C，F 重合除外）画出相应图形，并说明理由．（画 图不写作法） （3）若 AC=4 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P，求线段 CP 长的最大值．考点：全等三角形的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：综合题；压轴题． 分析： （1）可通过证明三角形 ABC 和三角形 ACF 全等来实现．因为 AD=AF，AB=AC，只要证明∠BAD=∠CAF 即可，∠BAD=90° -∠DAC=∠FAC，这样就构成了全等三角形判定中的 SAS，△ABD≌△ACF， 因此 BC=CF，∠B=∠ACF，因为∠B+∠ACB=90° ，那么∠ACF+ACD=90° ，即 FC⊥BC，也就是 FC⊥ BD． （2） 可通过构建三角形来求解． 过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G， 如果 CF⊥BD， 那么∠ACF=∠AGD=90° ∠ACD，又因为∠GAD=∠CAE=90° -∠CAD．AG=AC 那么根据 AAS 可得出△AGD≌△ACF，AG=AC， 又因为∠GAC=90° ，可得出∠BCA=45° ． 因此△BAC 满足∠BCA=45° 时，CF⊥BD． （3）过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，通过构建与线段相关的三角形相似来求解． 图中我们可以看出∠ADQ+∠PDC=90° ，那么很容易就能得出，∠QAD=∠PDC，那么就能得出直角三角 形 ADQ∽直角三角形 PDC， 那么可得出关于 CP、 因为∠BCA=45° ∠Q=90° ， ， CD、 AQ、 QD 的比例关系， 那么 AQ=QC=4，如果设 CD=x，那么可用 x 表示出 CD、QD，又知道 AQ 的值和 CP、CD、QD、AQ 的 比例关系，那么可得出关于 CP 和 x 的函数关系式，然后根据函数的性质和 x 的取值范围求出 CP 的最大 值．解答：解：（1）①CF 与 BD 位置关系是垂直，数量关系是相等②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立 由正方形 ADEF 得 AD=AF，∠DAF=90 度 ∵∠BAC=90° ，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC 又 AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ∵∠BAC=90° ，AB=AC，∴∠ABC=45° ，∴∠ACF=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度．即 CF⊥BD ．（2）当∠BCA=45° 时，CF⊥BD（如图） 理由是：过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45° ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90 度．即 CF⊥BD．（3）当具备∠BCA=45° 时 过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q，（如图） ∵DE 与 CF 交于点 P 时，∴此时点 D 位于线段 CQ 上 ∵∠BCA=45° ，可求出 AQ=CQ=4．设 CD=x，∴DQ=4-x 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ，∴∴CP=-+x∵0＜x≤3∴当 x=2 时，CP 有最大值 1．点评：本题中综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及函数关系式等综合知识．本题的关键是根据题意通过作辅助线来构建出和已知，所求等条件相关的三角形，然后通过相似，全等等知识来求解．答题：MMCH 老师；审题：wenming 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮634、 （2008?湘西土家族苗族自治州）已知：如图，在?ABCD 中，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质． 专题：证明题． 分析：要证明三角形全等，可根据三角形全等的判定来寻找条件，再结合平行四边形的性质，很容易确定SAS，只需一一对应证明就可以了．解答：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形∴AB∥CD AB=CD（2 分） ∴∠ABE=∠CDF（3 分） ∴在△ABE 和△CDF 中 （5 分）∴△ABE≌△CDF（SAS）（6 分）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 答题：lihongfang 老师；审题：wenming 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮635、（2008?太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC 和△ DEF．将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把△DEF 绕点 B 顺时针方向旋转，这时 AC 与 DF 相 交于点 O．（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点 B（E），C，D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是 ； （2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图③中，连接 BO，AD，探索 BO 与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质． 分析：（1）、要证∠AFD=∠DCA，只需证△ABC≌△DEF 即可；（2）、结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA； （3）、BO⊥AD，由△ABC≌△DEF 得 BA=BD，点 B 在 AD 的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，继而 证得∠OAD=∠ODA，OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上，即 BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA．证明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF， ∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB=∠DFE， ∴∠AFD=∠DCA；（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下： 方法一：由△ABC≌△DEF，得： AB=DE，BC=EF（或 BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF，∴∠ABF=∠DEC， 在△ABF 和△DEC 中， ，∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC， ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF， ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA， ∴∠AFD=∠DCA；方法二：连接 AD， 同方法一△ABF≌△DEC， ∴AF=DC， ∵△ABC≌△DEF， ∴FD=CA， 在△AFD 和△DCA 中， ，∴△AFD≌△DCA， ∴∠AFD=∠DCA；（3）如图，BO⊥AD． 方法一：由△ABC≌△DEF，点 B 与点 E 重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD， ∴点 B 在 AD 的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA， ∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA， ∴OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上， ∴直线 BO 是 AD 的垂直平分线，即 BO⊥AD；方法二：延长 BO 交 AD 于点 G， 同方法一，OA=OD， 在△ABO 和△DBO 中， ，∴△ABO≌△DBO， ∴∠ABO=∠DBO， 在△ABG 和△DBG 中， ，∴△ABG≌△DBG， ∴∠AGB=∠DGB=90° ， ∴BO⊥AD．点评：应用．本题综合考查全等三角形、等腰三角形和旋转的有关知识．注意对三角形全等知识的综合答题：lihongfang 老师；审题：wangcen 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮636、 （2008?陕西）已知：如图，B，C，E 三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B． 求证：△ABC≌△CDE．考点：全等三角形的判定；平行线的性质． 专题：证明题． 分析：△ABC 和△CDE 中，已知的条件有 AC=AE，因此还需得出两组对应角相等；已知了 AC∥DE，即可得出∠D=∠ACD=∠B，∠ACB=∠E，由此可得证．解答：证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠BCA=∠E； 又∵∠ACD=∠B， ∴∠B=∠D； 又∵AC=CE， ∴△ABC≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么 条件． 答题：CJX 老师；审题：MMCH 老师．★★★★★隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮637、 （2008?衢州）如图，AB∥CD． （1）用直尺和圆规作∠C 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）中作出的线段 CE 上取一点 F，连接 AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？ 请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明）．考点：全等三角形的判定． 专题：作图题；开放型．分析：（1）本题首先作出图形．（2）要使△ACF≌△AEF，添加 AF⊥CE 或∠CAF=∠EAF 后可分别根据 AAS 判定△ACF≌△AEF．解答：解：（1）作图如右；（2）取点 F 和画 AF 正确（如图）； 添加的条件可以是： 添加 AF⊥CE，可根据 AAS 判定△ACF≌△AEF；添加 ∠CAF=∠EAF 可根据 AAS 判定△ACF≌△AEF 等．（选一个即可）点评：是一个尺规作图题．[常见错误] 主要问题有作图后没有留下痕迹， 没有在图中标出应有的字母 F． 补充的条件时， 只是补充∠ACE=∠CEA， 没有对这种图形分析． 答题：csiya 老师；审题：bjy 老师．☆☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮638、 （2008?莆田）如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90° ，DB 平分∠ADC，BE⊥CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，CF=DF． （1）找出图中与△DEF 全等的三角形；△DEF≌ ，△DEF≌． （2）请您从（1）中选择一对全等三角形加以证明．考点：全等三角形的判定． 专题：证明题． 分析：根据已知条件利用全等三角形的判定方法可得到；△DEF≌△CBF，△DEF≌△DBF． 解答：解：△CBF，△DBF．试证明△DEF≌△CBF 证明：∵AD∥BC ∴∠EDF=∠CBF ∵BE⊥CD 于点 F ∴∠DFE=∠CFB=90° ∵CF=DF ∴△DEF≌△CBF（ASA）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对 应相等时，角必须是两边的夹角． 答题：ln_86 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮639、 （2008?南平）（1）如图 1，图 2，图 3，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边，向△ABC 外作正三角形， 正四边形，正五边形，BE，CD 相交于点 O ①如图 1，求证：△ABD≌△ADC；②探究：如图 1，∠BOC=120° ； 如图 2，∠BOC=90° ； 如图 3，∠BOC=60° ． （2）如图 4，已知：AB，AD 是以 AB 为边向△ABC 外所作正 n 边形的一组邻边；AC，AE 是以 AC 为边 向△ABC 外所作正 n 边形的一组邻边，BE，CD 的延长相交于点 O． ①猜想：如图 4，∠BOC=360÷ n（用含 n 的式子表示）； ②根据图 4 证明你的猜想．考点：全等三角形的判定；多边形内角与外角． 分析：（1）要证明△ABE≌△ADC，题中△ABD 与△ACE 均为等边三角形，容易得出 AD=AB，AC=AE，对应全等条件找边，或夹角，可由∠DAB=∠EAC=60° 转换得出∠DAC=∠BAE 来证明； （2）欲求∠BOC 的度数，可以通过证明△ABE≌△ADC 及正 n 边形的内角和定理，得出∠BOC+∠ ，得出∠BOC=360÷ 度的结论． DAB=180° n解答：解：（1）①证法一∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形 ∴AD=AB，AC=AE 且∠BAD=∠CAE=60° ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠DAC=∠BAE ∴△ABE≌△ADC；证法二：∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形 ∴AD=AB，AC=AE 且∠BAD=∠CAE=60° ∴△ADC 可由△ABE 绕着点 A 按顺时针方向旋转 60° 得到 ∴△ABE≌△ADC； ②120° ，90° ，72° ．（2）①②证法一：依题意，知∠BAD 和∠CAE 都是正 n 边形的内角，AB=AD，AE=AC ∴∠BAD=∠CAE=∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE，即∠BAE=∠DAC ∴△ABE≌△ADC， ∴∠ABE=∠ADC， ∵∠ADC+∠ODA=180° ， ∴∠ABO+∠ODA=180° ， ∵∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360° ， ∴∠BOC+∠DAB=180° ∴∠BOC=180° -∠DAB= ；证法二：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠ABE=∠ADC，如图，延长 BA 交 CO 于 F∵∠AFD+∠ABE+∠BOC=180° ，∠AFD+∠ADC+∠DAF=180° ∴∠BOC=∠DAF=180° -∠BAD= ；证法三：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠ABE=∠ADC． ∵∠BOC=180° -（∠ABE+∠ABC+∠ACB+∠ACD） ∴∠BOC=180° -（∠ADC+∠ABC+∠ACB+∠ACD） ∵∠ABC+∠ACB=180° -∠BAC，∠ADC+∠ACD=180° -∠DAC ∴∠BOC=180° -（360° -∠BAC-∠DAC） 即∴∠BOC=180° -∠BAD= ；证法四：同上可证△ABE≌△ADC． ∴∠AEB=∠ACD．如图，连接 CE， ∵∠BEC=∠BOC+∠OCE ∴∠AEB+∠AEC=∠BOC+∠ACD-∠ACE ∴∠BOC=∠AEC+∠ACE．（13 分） 即∴∠BOC=180° -∠CAE= ．注意：此题还有其它证法，可相应评分．点评：本题图形复杂，考查了正多边形的内角相等，内角和定理：（n-2）?180°，及全等三角形的判断和性质． 答题：huangling 老师；审题：wangcen 老师．★★☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮640、（2008?金华）如图，在△ABC 和△DCB 中，AC 与 BD 相交于点 O．AB=DC，AC=BD．（1）求证：△ ABC≌△DCB； （2）△OBC 的形状是等腰三角形．（直接写出结论，不需证明）考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定． 专题：证明题． 分析：可以利用 SSS 判定△ABC≌△DCB，证明可得 OB=OC，所以△OBC 是等腰三角形． 解答：证明：（1）在△ABC 和△DCB 中∴△ABC≌△DCB（SSS）；（2）∵△ABC≌△DCB ∴∠OBC=∠OCB ∴OB=OC ∴△OBC 为等腰三角形．点评：此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．641、 （2008?呼和浩特）将图中的矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把△ABC 沿着 AD 方向平移，得到图 2 中 的△A′B′C′，其中 E 是 A′B′与 AC 的交点，F 是 A′C′与 CD 的交点．在图中除△ADC 与△C′B′A′全等外，还 有几对全等三角形（不添加辅助线和字母）请一一指出，并选择其中一对证 明．考点：全等三角形的判定；平移的性质．专题：证明题；开放型． 分析：本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．解答：解：（1）△AA'E≌△C'CF（2）△A'DF≌△CB'E证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC ∴∠DAC=∠ACB 由平移的性质得：∠ACB=∠C'，AA'=CC'，∠AA'E=∠C'CF=90° ∴∠DAC=∠C′ ∴△AA'E≌△C'CF（2）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD=B'C'，且∠DAC=∠ACB 由平移的性质得：AA'=CC'，∠D=∠B'=90° ，∠ACB=∠C' ∴A'D=B'C 又∠DA'F=∠C'，∠ECB'=∠DAC ∴∠DA'F=∠ECB' ∴△A'DF≌△CB'E点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，但 AAA、SSA，无法证明三角形全等． 答题：ln_86 老师；审题：lihongfang 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮642、 （2008?贵阳）如图，在?ABCD 中，E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE、BF、BD． （1）求证：△ADE≌△CBF． （2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定． 专题：证明题；探究型． 分析： （1） 根据题中已知条件不难得出， ∠A=∠C， F 分别为边 AB、 的中点， 那么 AE=CF， AD=BC， E、 CD这样就具备了全等三角形判定中的 SAS，由此可得出△AED≌△CFB． （2）直角三角形 ADB 中，DE 是斜边上的中线，因此 DE=BE，又由 DE=BF，FD∥BE 那么可得出四边 形 BFDE 是个菱形．解答：证明：（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A=∠C，AD=CD，∵E、F 分别为 AB、CD 的中点， ∴AE=CF； 在△AED 和△CFB 中，∴△AED≌△CFB（SAS）；（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形； 证明：∵AD⊥BD， ∴△ABD 是直角三角形，且∠ADB=90 度； ∵E 是 AB 的中点， ∴DE= AB=BE；由题意可知 EB∥DF 且 EB=DF，∴四边形 BFDE 是平行四边形； ∴四边形 BFDE 是菱形．点评：本题主要考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和菱形的判定等知识点．答题：MMCH 老师；审题：bjy 老师．★☆☆☆☆隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮643、 （2008?甘南藏族自治州）已知：如图，E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AE=CF． 求证：（1）△CBE≌△ADF； （2）试判断 EB 与 DF 的位置关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定；平行线的判定． 专题：证明题． 分析：根据平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角线平分对角，然后根据已知条件转化求证． 解答：证明：（1）∵E，F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点∴∠BCE=∠DAF， ∵AE=CF ∴EC=CF+EF，AF=AE+EF ∴AF=EC 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ∴△CBE 与△ADF 满足边角边相等的条件 ∴△CBE≌△ADF．（2）∵△CBE≌△ADF∴∠DFE=∠FEB ∴EB∥DF．点评：本题利用平行四边形的性质求证角的相等关系，确定边的相等关系，从而得到判定全等三角形的条件． 答题：zhjh 老师．隐藏解析体验训练收藏评论下载试题篮644、 （2008?恩施土家族苗族自治州）如图 1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放 在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90° ，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点 A 旋 转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合），设 BE=m，CD=n． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明； （2）求 m 与 n 的函数关系式， 直接写出自变量 n 的取值范围； （3）以△ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系（如 图 2）．在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD2+CE2=DE2； （4）在旋转过程中，（3）中的等量关系 BD2+CE2=DE2 是否始终成立，若成立，请证明，若不成立，请 说明理由．考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题：综合题；压轴题；开放型；数形结合．分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；（2）可根据（1）中的相似三角形 BAE 和 CDA 得出关于 AB，BE，CD，AC 的比例关系，AB，AC 可通 过等腰直角三角形求出，因此根据比例关系即可得出 m，n 的函数关系式． （3）根据（2）的函数关系式，即可求出 BE，CD 的长，从而也就能求出 OD，OE，DE，BD，CE 的长， 那么可通过计算得出本题的结论． （4）根据旋转角，我们知道 HB⊥BD，那么 DH2=BH2+BD2，而 BH=CE，于是关键是证明 HD=DE，连接 AH，DH 那么可通过证三角形 AHD 和 ADE 全等来求解．解答：解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．∵∠BAE=∠BAD+45° ，∠CDA=∠BAD+45° ， ∴∠BAE=∠CDA． 又∠B=∠C=45° ， ∴△ABE∽△DCA．（2）∵△ABE∽△DCA， ∴ ．由依题意可知 CA=BA= ∴ ．．∴m=．自变量 n 的取值范围为 1＜n＜2．（3）由 BD=CE 可得 BE=CD，即 m=n，∵m= ∴m=n=， ． BC=1，∵OB=OC=∴OE=OD= ∴D（1--1． ，0）． -1）=2）=2 =CE． -2． ，DE2=（2 -2） =12-82∴BD=OB-OD=1-（ DE=BC-2BD=2-2（2∵BD2+CE2=2BD2=2（2∴BD2+CE2=DE2．）2=12-8，（4）成立． 证明：如图，将△ACE 绕点 A 顺时针旋转 90° 至△ABH 的位置，则 CE=HB，AE=AH， ∠ABH=∠C=45° ，旋转角∠EAH=90° ． 连接 HD，在△EAD 和△HAD 中． ∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45° =∠EAD，AD=AD． ∴△EAD≌△HAD． ∴DH=DE． ∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90° ， ∴BD2+HB2=DH2． ∴BD2+CE2=DE2．点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据相似三角形或全等三角形得出线段成比例或相等是解题的关键． 答题：MMCH 老