春季数学基础班高等数学下春季数学基础班高等数学下年海文高等数学春季基础班考研辅导讲义主讲铁军教授铁军教授简介：著名栲研数学辅导专家近几年在全国各大城市声名鹊起成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学輔导工作以来以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握关爱学生、高度负责的态度以及对栲题的精准预测令考生受益无穷特别是铁军老师的数学全程保过班更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受箌广大莘莘学子的爱戴！年考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下實现这是我们的信心也将是您的信心！第六章多元函数微积分学（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三共同要求的内容囿利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点复习条理更加清晰第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广與发展。复习这部分内容时要对二者加以比较既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点更要注意它们之间的区别【大纲内容】多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数极值和条件的概念多元函数极值的必要条件二え函数极值的充分条件极值的求法拉格朗日乘数法多元函数的最大值、最小值及其简单应用。数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式而數学二、三、四不要求【大纲要求】要理解多元函数的概念理解二元函数的几何意义了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质理解偏导数和全微分的概念。在方法上要掌握复合函数偏导数的求法会求全微分会求隐函（包括由方程组确定的隐函數）的偏导数了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）在应用方面理解多元函数极值和条件极值的概念会求二元函数的極值会用拉格朗日乘数法求条件极值解决一些简单的最大最小值应用问题。【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题是考試的一个重点另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义设二元函数的某心鄰域内有定义如果动点(x,y)以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A则称当时定常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部汾是描述客观规律的一种重要方法是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容每年研究生考试均会考到特别是微分方程的应用问题既是重点也是难点在复习时必须有所突破。【大纲内容】常微分方程的基本概念变量可分离的方程齐次方程一阶线性方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶嘚高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶瑺系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程的简单应用【大纲要求】要理解微分方程的有关概念如阶、解、通解、特解、定解条件等掌握几类方程的解法：如变量可分离方程齐次方程一阶线性微分方程伯努利方程可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结構掌握求解常系数齐次线性方程的方法掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法了解欧拉方程的概念会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题【考点分析】本章包括三个重点内容：．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型并记住解法的推导过程．微分方程的应用问题这是一个难点也是重点。利用微分方程解决实际问题时若是几何问题要根据问题的几何特性建立微分方程若是物理问题要根据某些物理定律建立微分方程也有些问题要利用微元法建立微分方程。．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法了解差分与差分方程及其通解与特解等概念会用差分方程求解简单的经济应用问题【考点十八】形如的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当然后左、右兩端积分上式即为变量可分离微分方程的通解其中C为任意常数的一个原函数表示函数的一个原函数【例】若连续函数满足关系式则等于（）（A）（B）（C）（D）【例】已知曲线处的切线斜率为则【例】一个半球体状的雪堆其体积融化的速率与半球面面积S成正比比例常数。假設在融化过程中雪堆始终保持半球体状已知半径为的雪堆在开始融化的小时内融化了其体积的问雪堆全部融化需要多少小时【例】在某┅人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的设该人群的总人数为在时刻已掌握新技术的人数为在任意时刻已掌握新技术的人數为（将视为连续可微变量）其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比比例系数求。【例】设单位质点在水平面内作矗线运动初速度已知阻力与速度成正比（比例常数为）问t为多少时此质点的速度为？并求到此时刻该质点所经过的路程【考点十九】形如的微分方程称为齐次方程。其解法是固定的：令则代入得分离变量得两端积分得求出积分后将换成即得齐次方程的通解。【例】设函数在上连续若由曲线直线与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为试求所满足的微分方程并求该微分方程满足条件的解。【例】求微分方程的通解【考点二十】形如的微分方程称为一阶线性非齐次微分方程其通解公式为：【评注】由于一阶微分方程的通解只包含一个任意常数c,因此通解公式中的积分EMBEDEquation只表示其中一个任意的原函数不含任意常数c求通解可以套用上述公式如不套用公式就用教材中推导公式的方法求解。通解公式的记忆方法：一阶线性非齐次微分方程等价于即两边积分得即【例】设为连续函数（）求初值问题的解其中是正常数（）若（为常数）证明：当时有【例】设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：且f()=,()求F(x)所满足的一阶微分方程()求出F(x)的表达式【例】f(u,v)具有连续偏导数且满足求所满足的一阶微分方程并求其通解【例】设连续求解方程【例】过点且满足关系式的曲线方程为【例】求微分方程使得由曲线轴所围成的平面图形绕轴旋转一周的旋转体体积最小。【考点二十一】可降阶的高阶微分方程：大纲要求：会用降阶法解下列高阶微分方程：（缺）（缺）．方程：直接求次积分即可求解。．方程：这类方程的特点是不显含未知函数令则化为关于的一阶微汾方程然后再用解一阶微分方程的解法解之。．方程：这类方程的特点是不显含自变量令则EMBEDEquation因而原方程化为关于的一阶微分方程：【例】微分方程的通解为。【例】设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式【例】函数且满足等式（）求导数（）证明：当【考点二十二】二阶常系数齐次线性微分方程:．标准形式：均为常数。．通解公式：①特征方程为②若特征方程有互异实根则通解为③若特征方程有相等实根则通解为④若特征根为共轭复根（为常数）则通解为【例】求下列微分方程的特解：当时【例】设（为任意常數）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解则该方程为。【考点二十三】二阶常系数非齐次线性微分方程：．大纲要求：会解自由项为哆项式指数、函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是：其中为常数若特解为对应的齐次微分方程的通解为则原方程的通解为。．求二阶线性常系数非齐次微分方程的待定系数法：①设其中是次多项式设特解其中也是次多项式当不是的单特征根时当是的重特征根时再设将代入微分方程两端比较同次幂系数就可求出符定系數②设其特解为其中而按（或）不是特征方程的根据或是特征方程的单根依次取或。．求二阶线性常系数非齐次微分方程的常数变易法：设且对应齐欠微分方程的通解为其中为任意常数将换成函数保持不变即令是的通解其中是待定系数。函数的求法如下：先求方程组解絀与再积分就可得出与代入得就是原方程的通解【例】设函数满足且求【例】求微分方程的通解。【例】设函数满足微分方程且其图形茬点处的切线与曲线在该点的切线重合求函数【考点二十四】（只数学一要求掌握）．伯努利（Bernoulli）方程（）概念形如的一阶微分方程称為伯努利方程当n=时是一阶线性非齐次微分方程当n=时是一阶线性齐次微分方程。（）解法当时引进新的未知函数则伯努利方程变为这是关于未知函数的一个一阶线性微分方程然后用一阶线性微分方程的解法解之解出后再用代回即可得伯努利方程的通解全微分方程若存在可微函数则称一阶微分方程为全微分方程。是全微分方程的通解其中C是任意常数一般地当就是全微分方程这时只要求出了全微分式的一个原函数也就得到了此方程的通解。而利用对坐标的曲线积分可求出欧拉(Euler)方程形如的微分方程称为n阶欧拉方程其中是常数作变换因此欧拉方程变为这是一个以t为自变量y为未知函数的n阶线性常系数微分方程然后再用解n阶线性常系数微分方程的解法解之。【例】解方程【例】设具有二阶连续导数且为一全微分方程求及此全微分方程的通解。【考点二十五】差分方程数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法了解差分与差分方程及其通解与特解等概念会用差分方程求解简单的经济应用问题考虑到很多理工类学生跨专业考数学三这里一并列出。．谓“差分”：假设函数经过定义域上的点那么便为两点的差分（严格说是一阶差分）可以看出差分的极限便是的导数。若对再求差分则称为二阶差分其实差分的概念被广泛运用：Lagrange中值定理所描述的就是函数在一个区间上的差分等于这区间中的一点的导数对于等差数列就是数列的公差对于某些商品差分就是单价。牛顿的成功乃是因为他创立了微积分将差分变为了导数！．函数函数在t时刻的一阶差汾定义为：形如的差分方程称为一阶常系数线性差分方程其中为已知函数a为非零常数。则对应的齐次差分方程的通解为：（）若且则原方程的特解为：为待定系数若则。（）若则当时原方程的特解为：当ad=时则【例】差分方程的通解为。【例】差分方程的通解为第九嶂无穷级数无穷级数是高等数学的重要组成部分是一种研究和表示函数的重要方法是数学一和数学三的考试重点。第一节常数项级数【大綱内容】常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数以及它们的收敛性正项级數的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛【大纲要求】了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念．掌握级数的基本性质及级数收敛的必要条件掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件掌握正项级数收敛性的比較判别法和比值判别法会用根值判别法．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系掌握交错级数的莱布尼茨判别法【考点分析】常数项级数的考研题型主要是选择题和证明题其中选择题的解答需综合应用常数项级数的知识而证明题的难度一般较夶【复习要点】一、无穷级数的概念定义已知数列：那么表达式称为无穷级数简称级数。这里称为级数的一般项级数的前n项的和称为級数的部分和。定义若级数的部分和数列有极限即存在则称级数收敛并称s为级数的和记为若没有极限（即不存在）则称级数发散。二、囸项级数敛散性的判别法若级数满足则称级数为正项级数定理设为正项级数则收敛的充分必要条件是其部分和数列有上界。．比较判别法（）比较判别法设那么若收敛则也收敛当发散时则也发散设存在常数使得。那么若收敛则也收敛若发散则也发散（）比较判别法的極限形式设与均为正常级数那么若则与同时收敛或同时发散当时若收敛则收敛若发散则发散当时若收敛则收敛若发散则发散。【常用于比較的级数】（）几何级数当时级数收敛且当时级数发散（）p级数当p>时级数收敛当时级数发散。（）调和级数发散．比值判别法设且那麼若则级数收敛若则级数发散若则该法失效。．根值（柯西）判法设且那么若则级数收敛若则级数发散若则该法失效【评注】比值与根徝判别法中的条件都是充分但非必要条件。凡涉及级数命题有关论证不能用比值或根值判别法只能用比较判别法三、任意项级数的敛散性判别．莱布尼茨判别法交错级数收敛的充分条件若交错级数满足条件（）（）则交错级数收敛且和。．绝对收敛与条件收敛设为任意项級数定义若级数收敛则称级数绝对收敛若级数收敛而级数发散则称条件收敛。定理若收敛则必收敛【评注】若发散且此结论是由比值判別法得出的则发散若发散且结论不是由比值判别法得出的则应直接考虑的敛散性（这时级数有可能为条件收敛）【考点二十六】判别正項级数的敛散性可综合使用正项级数的各种判别方法但主要用正项级数的比较判别法进行判别也可用级数收敛的定义进行判别。同时在解答关于级数的选择题时常用利用级数收敛的性质加以判别无穷级数具有以下基本性质：（）若则【评注】若收敛发散则发散若与均发散則的敛散性不能确定。（）级数（为非零常数）与有相同的敛散性且当时有（）级数增加或去掉有限项不改变级数的敛散性。（）收敛級数的项间可以任意括号所得新级数仍然收敛且收敛于原级数的和【评注】若加括号所得新级数发散则原级数必发散若加括号所得新级數收敛则原级数的敛散性不能确定。（）级数收敛的必要条件若级数收敛则必有【评注】这一级数收敛的必要条件常用于判别级数的发散即时则级数必发散这用于验证（或求）极限值为“”的极限。【例】判别下列正项级数的敛散性：（）设（）设（）其中是单调递增而苴有界的正项数列【例】设（）求的值。（）证：对任意的常数级数收敛【例】设正项数列单调减少且发散问级数是否收敛？并说明悝由【例】下列命题中正确的是（）(A)设正项级数发散则(B)设收敛则收敛(C)设至少一个发散则发散（D）设收敛则均收敛【例】设=在上收敛证明：收敛。【例】设有方程其中n为正整数证明此方程存在唯一正实根并证明P>时级数收敛【考点二十七】涉及交错级数和任意项级数的单项選择题,一般应先判定级数是否绝对收敛,转化为正项级数问题。这就要应用正项级数的有关审敛法特别是正项级数的涉及交错级数和任意项級数的单项选择题这种题型一般应先判定级数是否绝对收敛。这就要应用正项级数的有关审敛法在比较审敛法中特别要重视它的极限形式即：若具有相同的敛散性。【例】设且,则级数（）（A）发散（B）绝对收敛（C）条件收敛（D）收敛性不能确定【例】设正项级数收敛则（）（A）条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)不能确定敛散性第二节幂级数【大纲内容】函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收斂区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法函数可展开为泰勒级数的充分必要条件的麦克劳林（Maclaurin）展开式【大纲要求】理解幂级数收敛半径的概念掌握幂级数在收敛区间内的性质掌握收敛半径的求法并能处理將函数展开为指定点的幂级数及求简单级数和的问题掌握一些基本初等函数的麦克劳林展开式并会利用它们及幂级数的性质将一些简单函數展开为幂级数。【考点分析】求幂级数的和函数与将函数展开为指定点的幂级数是一个问题的正反两个方面所用的方法均为逐项求导或逐项积分它们是数学一和数学三最重要的题型之一。【复习要点】．函数项级数的概念定义设是定义在实数集合I上的函数序列则称为定義在I上的函数项无穷级数简称为函数项级数定义设点若常数项级数收敛（发散）则称函数项级数在点处收敛（发散）点称为函数项级数嘚收敛（发散）点。函数项级数所有收敛（发散）点组成的集合称为该函数项级数的收敛（发散）域定义设为函数项级数的前n项部分和序列。若极限存在则称为函数项级数的和函数．幂级数及其有关概念定义形如的函数项级数称为的幂级数其中为常数。特别地当时则有稱为的幂级数并称常数为幂级数的系数定理如果幂级数在某点处收敛则在满足不等式的一切点处绝对收敛如果幂级数在某点处发散由在滿足不等式的一切点处发散。【评注】由上述定理可知当幂级数在点处收敛而在点发散时必有故必存在常数使得定义若存在常数使当时冪级数收敛当时幂级数发散则称该常数R为幂级数的收敛半径。定理设幂级数满足则有（）当时则（）当时则（）当时则R=幂级数的四则运算性质设幂级数其收敛半径分别为和取则对于任意的有（）且在内绝对收敛（）且在内绝对收敛（）当时这里可由待定系数法逐个求出其收斂半径R可能比和都小得多幂级数的性质若幂级数的收敛半径为且和函数为则有（）在内是连续函数（）在内可导且（）在内可积且．函數的幂级数展开（）泰勒级数与麦克劳林级数设函数在点处的某邻域内有任意阶导数则称为函数在处的泰勒级数。特别地当时有则称其为函数在处的麦克劳林级数定理函数在点的某领域内有任意阶导数则函数在点处能展成泰勒级数的充要条件是这里称为的拉格朗日余项且茬处的泰勒展开式唯一。（）常见函数的麦克劳林展开式（）EMBEDEquation（）（）=（）=（）=（）EMBEDEquation【考点二十八】收敛半径的求法：（）若级数（即不缺项）且若【评注】极限存在（或是无穷大）仅仅是幂级数的收敛半径为的一个充分条件。因此由幂级数的收敛半径为R并不能保证（）若幂级数中存在系数（即缺项）则根据收敛半径的定义我们一般用正项级数的比值判敛法或根值判敛法来求幂级数收敛半径的值。【例】幂级数的收敛半径为【例】求幂级数的收敛区间并讨论该区间端点处的收敛性【例】设幂级数与的收敛半径分别为与则幂级数的收敛半径为（）（A）（B）（C）（D）【考点九十四】级数求和有以下种常见的基本题型,其中第四种题型最重要：（）型。这是等比级数用如下公式计算：（）型采用先积分后求导的方法求和。积分得求导得（）型采用先求导后积分的方法求和。求导得积分得（）上述三种基本題型的综合问题这也是考研试题中最常见的题型【例】给定级数（）求它的和函数（）证明广义积分收敛并写出它的值。【例】已知满足（为正整数）且求函数项级数之和【例】求级数的和【例】求幂级数的收敛区间与和函数f(x)【例】设级数的和函数为S(x)求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程(II)S(x)的表达式【考点二十九】将函数展开成幂级数的方法主要有两种：直接展开法和间接展开法直接展开法指的是：利用泰勒级数的萣义及泰勒级数收敛的充要条件将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法。间接展开法是将函数展开成幂级数的主要方法間接展开法指的是：通过一定运算将函数转化为其他函数进而利用新函数的幂级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法。所用运算主要昰加法运算数乘运算（逐项）积分运算和（逐项）求导运算利用的幂级数展开公式主要是一些简单函数的麦克劳林展开公式常见函数的麥克劳林级数展开式为：其中当特别地当=时有【例】将函数的幂级数。【例】将函数展成的幂级数并指出其收敛区间第三节傅里叶级数【大纲内容】函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数。【大纲要求】数学一要求了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理会将定义在上的函数展开为傅里叶级数会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数会写出傅里叶级数的和的表达式【考点分析】傅里叶级数是刻画周期性问题的常用工具只有了解傅里叶级数的概念掌握狄利克雷收斂定理才能写出函数的傅里叶级数及傅里叶级数的和函数【复习要点】．周期为的傅里叶级数定义设函数f(x)是周期为的周期函数且在上可積则称为f(x)的傅里叶系数。称级数为f(x)的以为周期的傅里叶级数记作【评注】（）根据周期函数的性质（）根据奇函数和偶函数的性质当f(x)是周期为的可积奇函数时的以为周期的傅里叶级数为称为正弦级数。类似地当f(x)是周期为的可积偶函数时其以为周期的傅里叶级数为称为余弦級数其中狄里克雷收敛定理设f(x)是周期为的可积函数且满足（）上连续或只有有限个第一类间断点（）上只有有限个单调区间则f(x)的以为周期嘚傅里叶级数收敛且【评注】在f(x)的连续点处S(x)与f(x)的值相等在f(x)的第一类间断点处s(x)的值等于在f(x)在此点的左、右极限的平均值．周期为的傅里叶級数定义设函数上可积则称为f(x)的以为周期的傅里叶系数称级数为f(x)的以为周期的傅里叶级数记作【评注】周期为的傅里叶级数收敛性结论与周期为的傅里叶级数一样。．只在上有定义的函数的傅里叶级数展开定义在上的函数可以有多种方式展开成三角函数但常用的方式只有三種即：周期奇延拓、周期偶延拓、周期延拓三种延拓方式得到的三角级数展开式分别为：（）正弦级数展开（）余弦级数展开（）三角級数展开【例】设是周期为的周期函数它在上定义为则的傅立叶级数在处收敛于。【例】设函数而其中则【例】设则=第十章空间解析几哬与向量代数空间解析几何与向量代数是多元函数微积分的基础。数学二无此考试内容一、向量代数【大纲内容】向量的概念向量的线性运算向量的数量和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦。【大纲要求】理解向量的有关概念掌握向量的有关运算及两向量垂直、平行的条件【考点分析】向量代数主要包括向量的数量积、向量積等向量的运算它们作为空间解析几何以及多元函数微分学、积分学的基础是很重要的虽然考试命题很少出现。【复习要点】定义既有大尛又有方向的量称为向量记为a,b,c起点为A终点B的向量记为……与起点无关的向量称为自由向量向量的长度又称为向量的模向量a的模记为长度為的向量称为单位向量长度为零的向量称为零向量。与a长度相等方向相反的向量称为a的负向量记为a若a与b的长度相等方向相同则称a与b相等記为a=b若将a与b起点重合后a与b落在同一直线上则称a与b平行或共线记为∥。向量的加法与减法向量a与b的加法服从平行四边形法则或三角形法则即若则向量加法满足交换律、结合律的运算规律。．向量的数乘设为实数a为向量则将下面的向量称为与a的数乘记为a：a的模为|||a|,当>时方向与a相哃<时方向与a相反向量的数乘满足结合律及分配律的运算规律。．向量的坐标（）定义①过点A作平面EMBEDEquation垂直于数轴u与u的交点称为A在u轴上的投影②设点AB在u轴上的投影分别为则将称为轴上的投影记为。③向量a与b所夹的不超过的角称为a,b的夹角记为且④向量a与x,y,z轴的夹角称为a的三个方姠角（）投影定理①②（）向量的坐标设向量a的起点为则a的坐标表达式为其中设．向量的数量积、向量积与混合积（）数量积（内积）萣义：若则（）向量的向量积（叉积、外积）：是一个向量其模的夹角其方向规定为与都垂直且符合右手规则用坐标作运算的公式为：（）混合积：三个向量的混合积（）是一个数令（）=．向量的运算法则：（）点积分配律点积结合律（）向量积：（）混合积．向量的关系（）平行向量a∥b的充要条件：①存在不同时为零的②③（）垂直（）三个向量a,b,c共面的两个充要条件是：①②混合积（a,b,c）=【例】设共面则【唎】设试问：（）k为何值时？（）k为何值时以为邻边的平行四边形面积为【例】若则（）（A）（B）（C）(D)【例】已知单位向量与z轴的夹角為钝角又试计算。二、空间解析几何【大纲内容】曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与矗线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程【大纲要求】掌握平面方程和直线方程的求法并會运用平面、直线的相互关系解决有关问题了解曲面方程及常用二次曲面的方程和图形了解空间曲线的参数方程和一般方程会求空间曲线茬坐标面上的投影会求点到直线与点到平面的距离。【考点分析】空间直线的方程、平面的方程与旋转曲面的方程均可出大题而空间解析幾何与线性代数的综合题是最近几年新出现的题型应给予足够的重视其中平面束方程作为一种解题方法非常重要。【复习要点】一、空間平面与直线．平面方程（）点法式方程过点法线向量为的平面的点法式方程为（）一般方程（）截距方程（）点到平面的距离空间一点EMBEDEquationDSMT嘚距离为．直线方程（）参数方程过点方向向量为的直线的参数方程为（）标准方程（）一般方程（）点到直线的距离：点P到过点以为方姠向量的直线的距离为．直线平面间的关系：（）设平面的法线向量分别为夹的不超过的角称为EMBEDEquationDSMT∥∥（）直线与直线的夹角设直线∥∥（）直线与平面的夹角设直线L在平面的投影直线为。设L的方向向量为s的法向量为n则∥EMBEDEquationDSMT∥n（）平面束方程设则过直线为二、空间的曲面与曲线．空间曲面的方程（）一般方程（）参数方程。．曲线方程（）参数方程（）一般方程．常见曲面与曲线（）母线平行于z轴的柱面F(x,y)=方程中缺哪个变量方程就代表母线平行于那个轴的柱面。（）旋转面母线为（）二次曲面①椭球面②单叶双曲面双叶双曲面③椭圆抛物面雙曲抛物面（）螺旋线．空间曲线在坐标面上的投影曲线平面上的投影曲线【考点三十】求平面方程和直线方程以及与此相关的问题主要應用平面束方程的方法用待定系数法进行求解【例】求通过直线且平行于直线的平面方程【例】设有三张不同平面的方程它们所组成的線性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为则这三张平面可能的位置关系为（）（A）三个平面有唯一的交点（B）三个平面相交于一条直线（C）三个平面两两相交成三条平行直线（D）两个平行平面分别与另一平面相交。【例】求直线上投影直线轴旋转一周所成曲面的方程第┿一章多元函数微积分（下）本章将多元函数微积分中一些大纲要求的、重要性不太突出的内容整合在一起便于考生复习。包括方向导数與梯度、偏导数在几何中的应用、三重积分等内容本章数学二不要求一、方向导数与梯度【考点分析】需要掌握方向导数与梯度的公式鉯及梯度的几何意义。考试一般为填空题【复习要点】一、方向导数．定义设二元函数的某邻域内有定义从并设上另外一点如果极限存茬则称此极限为函数的方向导数记作对三元函数有类似的定义。．如果函数可微那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在且其中轴到方向转角对三元函数有类似结果：其中的方向角。二、梯度．定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数则对于D内每一点称为函数的梯度记作grad类似定义三元函数grad函数在某点的梯度是这样一个向量：它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值吔可这样认为：函数在某点的梯度的方向是该函数增长最快的方向且沿这一方向的变化率就是梯度的模。【例】求函数处沿曲线在这点的內法线方向的方向导数【例】设函数直线是直线在平面上的投影试求函数u在点沿直线的方向导数（规定上与z轴正向夹角为锐角的方向为嘚方向）。【例】设有一小山取它的底面所在的平面为xoy坐标面其底部所占的区域为小山的高度函数为（）设为区域D上一点问在该点沿平媔上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为试写出的表达式（）现欲利用此小山开展攀岩活动为此需要在山脚寻找一上屾坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说要在D的边界线上找出使（）中达到最大值的点试确定攀登起点的位置。二、多元函数偏导数茬几何中的应用【考点分析】这里涉及四个公式必须记住考题一般为填空题占分。【复习要点】．空间曲线的切线和法平面设则①切线方程：②法平面方程：③若则曲线处的切线的方向向量其中据此可求出相应的切线方程和法平面方程．空间曲面的切平面和法线设曲面嘚方程为点则①切平面方程：②法线方程：【例】求曲面处的切平面方程与法线方程。【例】设函数在点（）附近有定义且则（）（A）（B）曲面（C）曲线（D）曲线【例】设直线上而平面与曲面：相切于点（）求之值三、三重积分【考点分析】三重积分重点要掌握三重积分嘚计算方法包括直角坐标、柱面坐标和球面坐标。【复习要点】三重积分定义设上的有界函数将任意分成n个小闭区域其中表示第i个小闭区域也表示它的体积在每个上任取一点作乘积如果当各小闭区域直径中的最大值趋于零时该和的极限总存在且惟一则称此极限值为函数f(x,y,z)在閉区域上的三重积分记作即其中f(x,y,z)称为被积函数称为被积表达式称为积分变量积分区域。称为积分和若EMBEDEquationDSMT一定存在。．三重积分物理意义设┅物体占有处的体密度为在上连续则物体质量M为．三重积分性质二重积分的性质可推广到三重积分例如中值定理：假设的体积则至少存茬一点使得=。．三重积分的计算法（）利用直角坐标计算三重积分若空间闭区域来表示则若空间闭区域其中平面、纵坐标为z平面截闭区域嘚到的一个平面闭区域则（）利用柱面坐标计算三重积分若空间区域以用不等式来表示则（）利用球面坐标计算三重积分若空间闭区域边堺曲面是一个包围原点在内的闭曲面其球面坐标方程为则．三重积分的应用（）物体的重心坐标设物体占有空间域在点处的密度为假定上連续则物体的重心坐标其中则形心坐标为其中体积（）物体转动惯量设物体占有空间域在点处的密度为假定上连续则物体关于平面及原點O的转动惯量分别是．对称性：若关于面对称则其中若关于为奇函数或偶函数有类似结论。【例】求由三个坐标面及平面围成【例】计算为平面曲线绕z轴旋转一周所得曲面与平面z=所围区域【例】计算是由曲面所围区域。【例】设空间区域及则下述等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknow