已知数列An的通项公式为An=pn+q.其中p,q为常数。求证An为等差数列。求数列An的前n项和S_百度知道
已知数列An的通项公式为An=pn+q.其中p,q为常数。求证An为等差数列。求数列An的前n项和S
已知数列An的通项公式为An=pn+q.其中p,q为常数。求证An为等差数列。求数列An的前n项和Sn
∵An=pn+q∴A(n+1)=p(n+1)+qA(n+1)-An=p(n+1）+q-pn-q=pp为常数∴ An为等差数列公差为p数列An的前n项和 Sn=(a1+an)n/2=(p+q+pn+q)n/2Sn=p/2*n²+(p/2+q)n
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An=pn+q A(n-1)=p(n-1)+qAn-A(n-1)=p满足定义您当前的位置：&＞&正文
2013届高考数学理一轮复习课件：5.33 等差、等比数列的概念及基本运算
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【点评】要求{bn}的通项公式，须先寻找{bn}的递推关
系，即通过bn＋1与an＋1，an＋1与an，an与bn的关系找到bn＋1与bn的关系，也可以从特殊到一般，先求b1，b2，b3，b4，再猜得{bn}为等比数列，再证 {bn} 为等 比 数 列，这样目标更明确．第二问中也可以先求c1，c2，c3，要使2c2＝c1＋c3，求出λ的值，再进一步验证． 【命题立意】本小题考查等比数列的基本量的计算及裂项法求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力． B
a2＋a6<a3＋a5
第33讲　 等差、等比数列的概念及基本运算
【学习目标】 理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的递推关系式、通项公式及前n项和公式，并能灵活运用．
同一个常数
a1＋(n－1)d
【点评】运用等差、等比数列的基本公式，将已知 条件转化为关于等差、等比数列特征量a1和d(q)的 方程是求解等差、等比数列问题的常用方法之一． 同时应注意，在使用等比数列前n项和公式时，应 讨论公比q是否等于1. 【点评】本题(1)的解法一是基于等差数列本身的特性，从定性的角度考虑和研究；解法二则是基于函数思想(数列的本质特性：定义在N*或其子集上的函数)，从定量的角度，建立Sn关于n的函数，再归结为求函数的最大(小)值问题．这是处理有关等差数列前n项和最大(小)值问题的两种基本思想，应很好地理解． 本题(2)中有两点值得注意：一是分类讨论思想，对n≤21和n＞21两种情形加以讨论；二是转化思想，将求Tn问题仍然转化为求Sn的问题． 【点评】归纳、猜想、证明是解决数列问题的常用技巧，其中猜想是关键． 【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．给出下列等式：an＋1－an＝p(p为常数，nN*)；2an＋1＝an＋an＋2(nN*)；an＝pn＋q(p，q为常数，nN*)，则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是()A． B． C． D．【解析】由等差数列定义可知正确；由2an＋1＝an＋an＋2an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知正确；对于因an＋1－an＝p(n＋1)＋q－(pn＋q)＝p{an}为等差数列，可知正确，故选D.2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…构成等比数列，则实数a满足()A．a≠1 B．a≠0或a≠1C．a≠0
D．a≠0且a≠1【解析】显然＝＝1－a，但a≠0且1－a≠0，故选D.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝__.【解析】由a6＝S3＝12得，.∴an＝2＋2(n－1)＝2n.4．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，则{an}的通项公式an＝_
_.【解析】∴an＝a1qn－1＝(－2)n－1＝(－1)n－1?2n－2.(－1)n－12n－25．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝，则{bn}的通项公式为bn＝__ __.【解析】由an＋1＝2an＋2n得＝＋1bn＋1＝bn＋1，bn＋1－bn＝1{bn}是等差数列，b1＝＝1bn＝b1＋(n－1)?1＝n.【知识要点】1．等差、等比数列的概念(1)等差数列：如果一个数列从起，每一项与它相邻的前一项的差等于，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．(2)等比数列：如果一个数列从起，每一项和它相邻的前一项的比为同一常数(不为零)，则称这个数列为等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等差、等比数列的递推公式数列{an}为等差数列an＋1－an＝d(d为常数)an＋2－an＋1＝an＋1－an2an＋1＝an＋an＋2.数列{an}为等比数列＝q(q为常数，且q≠0)＝a＝an?an＋2.3．等差数列的基本公式通项公式：an＝＝ak＋(n－k)d(n，kN*)变式：a1＝an－(n－1)d，d＝＝(n，kN*)．特征：an＝dn＋(a1－d)，即an＝f(n)＝kn＋m(k，m为常数)；an＝kn＋m是{an}成等差数列的充要条件．前n项和：Sn＝＝.特征：Sn＝n2＋(a1－)n，即Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)；Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．na1＋d4．等比数列的基本公式通项公式：an＝____＝ak?qn－k(n，kN*)．特征：an是指数型函数f(n)＝Aqn(A，q为常数)．前n项和：当q＝1时，Sn＝__ __；当q≠1时，Sn＝＝.a1qn－15．等差中项与等比中项若a、p、b成等差数列，则p＝，称p为a、b的等差中项．若A、G、B成等比数列，则G＝，称G为A、B的等比中项．一、等差、等比数列的通项公式与前n项和公式综合应用例1(1)等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n；(2)等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40，求公比q，a1及n.【解析】(1)d＝＝＝2.由a10＝a1＋9d得a1＝a10－9d＝30－18＝12.Sn＝na1＋d＝12n＋d＝n2＋11nn2＋11n＝242，n2＋11n－242＝0n＝11或n＝－22(舍)，n＝11.(2)显然公比q≠1，由已知可得由得(a1q2－a1)q3＝216将代入得8q3＝216，q＝3，a1＝1.＝40，3n＝81，n＝4.故q＝3，a1＝1，n＝4为所求．例2在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项的和为Sn.(1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值；(2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.【解析】a16＋a17＋a18＝3a17＝－36a17＝－12.又a9＝－36，所以公差d＝＝3.首项a1＝a9 －8d＝－60，所以an＝3n－63.(1)解法一：设前n项的和Sn最小，则 ，nN*，即 ，nN*?n＝20或21.所以当n＝20或21时，Sn取最小值，最小值为S20＝S21＝－630.解法二：Sn＝－60n＋×3＝(n2－41n)＝ (n－)2－×.因为nN*，所以当n＝20或21时，Sn取最小值，最小值为S20＝S21＝－630.(2)由an＝3n－63≤0n≤21，所以当n≤21时，Tn＝－Sn＝(41n－n2)；当n＞21时，Tn＝－a1－a2－…－a21＋a22＋…＋an＝Sn －2S21＝(n2－41n)＋1260.综合得Tn＝二、等差、等比数列的判定与证明例3已知{an}是公比为q的等比数列，且am，am＋2，am＋1成等差数列．(1)求公比q的值；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，试判定Sm，Sm＋2，Sm＋1是否成等差数列？说明理由．【解析】(1)依题意，得2am＋2＝am＋1＋am，所以2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，所以2q2＝q＋1，解得q＝1或q＝－.(2)若q＝1，则Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，而Sm＋2＝(m＋2)a1，因为a1≠0，所以2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，即q＝1时，Sm，Sm＋2，Sm＋1不构成等差数列．当q＝－时，Sm＋2＝＝[－(－)m]a1，Sm＋1＋Sm＝＋＝[－(－)m]a1.所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，即当q＝－时，Sm，Sm＋2，Sm＋1构成等差数列．例4设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝.记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，…(1)求a2，a3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．【解析】(1)a2＝a1＋＝a＋，a3＝a2＝a＋.(2)a4＝a3＋＝a＋，a5＝a4＝a＋.b1＝a1－＝a－，b2＝a3－＝(a－)，b3＝a5－＝(a－)．猜想：{bn}是公比为的等比数列．证明如下：bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝(a2n－1－)＝bn　(nN*)，{bn}是首项为a－，公比为的等比数列．〔备选题〕例5数列{an}，{bn}满足a1＝2,2an＋1＝an＋n，bn＝an－n＋2.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)设数列{an}、{bn}的前n项和分别为An，Bn，问是否存在实数λ，使得{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)bn＋1＝an＋1－(n＋1)＋2＝－n＋1＝－＋1＝(an－n＋2)＝bn.又b1＝a1－1＋2＝3≠0{bn}是首项为3，公比为的等比数列bn＝3?()n－1(nN＋)．(2)Bn＝＝6(1－)．an＝bn＋n－2，An＝Bn＋－2n＝6(1－)＋cn＝＝＝＋故当λ＝－1时，{}为等差数列．1．等差、等比数列的五个基本量a1、an、n、d(q)、Sn.一般地“知三求二”，通过构建方程(组)求出特征量a1、d(q)，则其余问题可解．2．等差、等比计算型问题注意函数思想、方程思想的渗透；消元法和整体代入法的灵活运用．3．等差数列{an}的单调性由公差d确定．若d>0，则等差数列{an}递增；若d<0，则等差数列{an}递减．4．等比数列{an}的单调性由首项a1和公比q综合确定．若q0，q>1或a1<0,0<q<1，则等比数列{an}递增；若a11或a1>0,0<q<1，则等比数列{an}递减．(2011全国新课标)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{}的前n项和．【解析】(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件可知q>0，故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2(－)，＋＋…＋＝－2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝－.所以数列{}的前n项和为－.1．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若{}为等差数列，则a11＝()A．0 B.
D．22．等比数列{an}的公比为q，则“q>1”是“对于任意正整数n，都有an＋1>an”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有()A．13项
B．12项C．11项
D．10项4．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么a2＋a6与a3＋a5的大小关系是.【解析】因为(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1q＋a1q5－a1q2－a1q4＝a1q(1－q)(1－q3)＝a1q(1－q)2(1＋q＋q2)<0，所以a2＋a6<a3＋a5.5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{ －53，－23，19,37,82}中，则6q＝【解析】由an＝bn－1，且数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，则{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断知{an}的四项应为－24,36，－54,81.2013届高考数学理一轮复习课件：5.33 等差、等比数列的概念及基本运算--博才网
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&#8226; 版权所有 Copyright 2011 All rights reserved.高中数学:已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=22,a3*a4=117
高中数学:已知公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=22,a3*a4=117
(1)求通项an
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=Sn/(n+c),求常数c.
要有过程哦.
等差数列{an}中有性质：a2+a5=a3+a4 ，题目条件可以化为 a3+a4=22 a3*a4=117，说明a3，a4是一元二次方程x^2-22x+117=0的根 解两根为9和13，由于公差大于0，所以a3=9, a4=13，进而可以得到 首项a1=1，公差d=4，an=1+（n-1)*4=4n-3 Sn=(a1+an)n/2=(1+4n-3)n/2=n(2n-1)=2n^2-n 数列{bn}是等差数列,它的通项公式最多是关于n的一次式， 设bn=pn+q,由于bn=Sn/(n+c), 所以pn+q=Sn/(n+c), 即(pn+q)(n+c)=Sn 整理得：pn^2+(cp+q)n+qc=2n^2-n，两边对应系数相等 就有：p=2,cp+q=-1,qc=0, 在qc=0当中，由于c≠0,所以q=0，代入到cp+q=-1中去，可以得到 cp=-1,从而c=-1/p=-1/2，所求的c的值就是-1/2。
提问者 的感言：谢谢
其他回答 (2)
1,因为a2+a5=22
所以a1+a6=22
所以s6=6*22/2=66=6*(a1+a1+5d)/2=6a1+15d
所以a1=11-5/2d
因为a3*a4=(a1+2d)*(a1+3d)=(11-5/2d+2d)*(11-5/2d+3d)=117
所以121-1/4d?=117
所以d?=16
因为d＞0
所以d=4,a1=1
an=1+4(n-1)
&
&
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理工学科领域专家设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0） 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an大于_百度知道
设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0） 数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an大于
设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0）数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an大于等于m成立的所有n中的最小值。（1）若p=2
q=-1 求数列{bm}的前2m项和公式（2）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m属于N+）？如果存在，求p和q的取值范围，如果不存在，说明理由。第2小题应该怎么做
来自河北农业大学
2009北京高考题 (1)an=2n-1所以an&m可以转化为2n&=m+1,n&=(m+1)&#47;2，bm就是满足左边的不等式的最小的n所以bm&=(m+1)&#47;2&(bm)-1所以当m是奇数时(m+1)&#47;2是整数，bm=(m+1)&#47;2所以当m是偶数时(m+2)&#47;2&(m+1)&#47;2&m&#47;2,bm=(m+2)&#47;2综合起来，数列bm中奇数项是以b1=1为首项公差为1的数列
数列bm中偶数项是以b2=2为首项公差为1的数列
数列bm是首项为1，公差为1的数列所以数列{bm}的前2m项和公式(1+2+3+…+2m)=m*(2m+1)
(根据等差数列求和公式即可)(2)存在an=pn+q，pn+q&=m,因为p&0,所以n&=(m-q)&#47;p,bm就是满足左边的不等式的最小的n所以bm&=(m-q)&#47;p&(bm)-1若bm=3m+2，则3m+2&=(m-q)&#47;p&3m+1所以3mp+2p&=m-q&3mp+p所以(3p-1)m+2p&=-q&(3p-1)m+p若3p-1不等于0，则(2p+q)&#47;(1-3p)&=m&(p+q)&#47;(1-3p)
这些都是移项搞定的注意这个m是对任意的m，也就是说m=1，2，3，……所以m不可能存在上限所以不存在这样的p，q所以3p-1=0，p=1&#47;3此时2p&=-q&p,也就是2&#47;3&=-q&1&#47;3所以-1&#47;3&q&=-2&#47;3；p=1&#47;3满意请好评 谢谢
“bm&=(m-q)&#47;p&(bm)-1”，这一步在解题时是如何想到的？我自己做时怎么也想不出这一步
这种难度的题基本上 只能取巧、、除非你实力远高出、。、其实很少有人真正考场上做得出来 多做吧 见多识广、、有些全凭借长期积累的经验而关键的时候迸发的灵感 满意请好评 谢谢
这道题在高考上算是难题吗，还是中等题？
中等偏难、、或者可以说是难题、、你哪个省份？但是最近新课改之后 很少出这么难的数列题、、以前会出、、其实写出第一问、和部分第二问 就已经能拿6 到10分、、决定高考成绩的不是会不会难题、、是正确率、、中档题能够做好水平就够了 注意、、是正确率、、别追求难题
好地方、、还是那句、、提高正确率、别关注难题、、啥时候会做的都做对了 、那再努力做不会做的。
李陈军&&学生
韦婉娟&&学生
吴雅静&&学生
崔凤婷&&学生
范欣&&学生设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0）_百度知道
设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0）
设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n属于N+，P&0）数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an大于等于m成立的所有n中的最小值。 若p=1&#47;2 q=-1&#47;3 求b3
提问者采纳
b3是使n/2-1/3&=3,即n&=20/3成立的最小整数，故b3=7
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