已知f(x)的已知定义域为为R对任意整数k当...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-29 15:54 标签： arctanx的定义域
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已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，都有f （x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x&1时，f（x）&0，f（2）=1。（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式：f（2x2-1）&2。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1）再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0， 于是有f（-x）=f（x） ∴f（x）是偶函数；&（2）设0&x1&x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-由于0&x1&x2∴从而故f（x1）-f（x2）&0，即f（x1）&f（x2）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）由于f（2）=1，所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），于是待解不等式可化为f（2x2-1）&f（4）结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|&4解得。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性、最值，绝对值不等式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数的单调性、最值绝对值不等式
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。绝对值不等式：
当a&0时，有；或x＜-a 。绝对值不等式的解法：
&&&&&&&&&& (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法去绝对值符号求解，也可以用图象法求解。
发现相似题
与“已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..”考查相似的试题有：
485780557897445341832143335519436054【答案】分析：由题意对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k+1）≥（k+1）2成立的含义是对前一个数成立，则能推出后一个数成立，反之不成立．解答：解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，应有f（k）≥k2成立；对C，只能得出：对于任意的k≥7，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k＜7，均有f（k）＜k2成立；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选D点评：本题考查对命题的理解，本题体现的是一种递推关系．
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已知f（x）是定义域在R上的奇函数，若f（x）的最小正周期为3，且f（1）＞0，f（2）=2m-3m+1，求m的取值范围．
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已知f（x）是定义域为R的偶函数，若f（x+2）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=x2+2x-1，那么f（x）在[0，1]上的表达式是（　　）A．x2-2x-1B．x2+2x-1C．x2-6x+7D．x2+6x+7
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已知f（x）是定义域为R的偶函数，若f（x）的最小正周期是2，且当&x∈[1，2]时，f（x）=x2-2x-1，那么f（x）在[0，1]上的表达式是f（x）=x2-2x-1．
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(2006重庆)已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x．(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析表达式．
主讲：曹浩
(1)因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[x(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2．又由f(2)＝3，得f(3－22＋2)＝3－22＋2，即f(1)＝1．若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a．(2)因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，所以对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0．在上式中令x＝x0，有，又因为f(x0)＝x0，所以，故x0＝0或x0＝1．若x0＝0，则f(x)－x2＋x＝0，即f(x)＝x2－x．但方程x2－x＝x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0．若x0＝1，则有f(x)－x2＋x＝1，即f(x)＝x2－x＋1．易验证该函数满足题设条件．综上，所求函数为f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．
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函数&y=f\left({x}\right)，x∈A&中函数值的集合&\left\{{f\left({x}\right)\left|{x∈A}\right}\right\}&称为函数的值域（range）．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知定义域为D的函数f（x），对任意x∈D，存在正数K，都有...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称函数f(x)为F-函数．给出下列函数：①f(x)=x2；②f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}；③f(x)=2x；④f(x)=sin2x．其中是F-函数的序号为_____．
已知定义域为D的函数f(x)，对任意x∈D，存在正数K，都有|f(x)|≤K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”．已知下列函数：①f(x)=2sin&x；②f(x)=\sqrt{1-x^{2}}；③f(x)=1-2x；④f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}，其中是“有界函数”的是
_____．(写出所有满足要求的函数的序号)
已知定义域为D的函数f(x)，对任意x∈D，存在正数K，都有|f(x)|≤K成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”．已知下列函数：①f(x)=2sin x；②f(x)=；③f(x)=1-2x；④f(x)=，其中是“有界函数”的是()．(写出所有满足要求的函数的序号)

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