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如图所示在△ABC,AD是∠BAC的平分线，EF分别是ABAC 上的点
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如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF∶FD=4∶3。（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积。
题型：解答题难度：中档来源：北京月考题
解：（1）先证∠ADE=∠DAE；（2）作AN⊥BE于N，设FE=4x，FD=3x，可求DE=5x，由AD·EF=DE·AN得：AN=4.8x，可得EN=1.4x，cos∠AED=；（3）△CAE∽△ABE，=72。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交..”主要考查你对&&全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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全等三角形的性质勾股定理相似三角形的性质
全等三角形：两个全等的三角形，而该两个三角形的三条边及三个角都对应地相等。全等三角形是几何中全等的一种。根据全等转换，两个全等三角形可以是平移、旋转、轴对称，或重叠等。当两个三角形的对应边及角都完全相对时，该两个三角形就是全等三角形。正常来说，验证两个全等三角形时都以三个相等部分来验证，最后便能得出结果。全等三角形的对应边相等，对应角相等。①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角;③有公共边的，公共边一定是对应边;④有公共角的，角一定是对应角;⑤有对顶角的，对顶角一定是对应角。全等三角形的性质：1.全等三角形的对应角相等。2.全等三角形的对应边相等。3.全等三角形的对应边上的高对应相等。4.全等三角形的对应角的角平分线相等。5.全等三角形的对应边上的中线相等。6.全等三角形面积相等。7.全等三角形周长相等。8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。&勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用：数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说，就是分三步走：第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交..”考查相似的试题有：
160130144995139266186564212654361193如图所示在△ABC,AD是∠BAC的平分线,EF分别是ABAC 上的点 _百度作业帮
如图所示在△ABC,AD是∠BAC的平分线,EF分别是ABAC 上的点
如图所示在△ABC,AD是∠BAC的平分线,EF分别是ABAC 上的点&
对角互补,A,E,D,F四点共圆,相等的圆周角对应的弦长也相等.
能把过程给我吗？
过程已经很清楚详细了，学过圆的性质吗？
没有，你能用角平分线做一下吗？
过D作DG垂直于AB，DH垂直于AC，垂足分别是G,H则DG=DH再根据角的关系证明角EDG=角HDF两个小直角三角形全等
过D作DG垂直于AB，DH垂直于AC，垂足分别是G,H则DG=DH再根据角的关系证明角EDG=角HDF两个小直角三角形全等举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()题库系统分析，
试题“如图所示在三角形△ABC中AB＝AC，AD是△ABC的角平分...”，相似的试题还有：
如图所示在三角形△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上有一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正确的个数是()
如图所示在三角形△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上有一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正确的个数是()
如图所示在三角形△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论中，①AB上有一点与AC上一点到D的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC．其中正确的个数是()数学题 如图,已知:在三角形ABC中,AD为角BAC的平分线,以C为圆心.CD为半径的半圆交BC延长线于E,交AD于点F,交AE于点M,且角B=角CAE,FE:FD=4:3
数学题 如图,已知:在三角形ABC中,AD为角BAC的平分线,以C为圆心.CD为半径的半圆交BC延长线于E,交AD于点F,交AE于点M,且角B=角CAE,FE:FD=4:3
数学题 如图,已知:在三角形ABC中,AD为角BAC的平分线,以C为圆心.CD为半径的半圆交BC延长线于E,交AD于点F,交AE于点M,且角B=角CAE,FE:FD=4:3
2.求角AED的余弦值3.如果BD=10,求三角形ABC的面积
不区分大小写匿名
由于 ∠CAE=∠B& AD为角平分线 故 ∠DAE=∠ADE 即△EAD 为等腰三角形 由于DE为圆C的直径
&故EF⊥AD 故AF=DF
要求∠AED的余弦值 只需要求它的半角& ∠FED的值即可 由于△DFE为直角三角形 EF:FD=4:3 故
cos∠FED=4/5& 由倍角公式 cos∠AED=2cos∠FED?-1=7/25
第三问 等下我再看看
&& 嗯嗯，&和我做的一样
你不必那么麻烦，& 直接打个答案就行&&，我看看我写对不对，& 如果答案不一样你再教教我吧、
1&因为AD平分&BAC,所以&BAD=&DAC&&
因为&ADE=&BAD+&B
又因为&B=&CAE所以&ADE=&DAC+&CAE=&DAE
所以△ADE为等腰三角形，所以AE=DE
因为DE为半圆直径，所以&DFE为直角
所以DF垂直AD
综上所述知EF垂直且平分AD
2&在直角三角形DFE中，因为FE/FD=4/3
设FE=3X有勾股定理知DE=5X
已知DE=AE所以AE=5X
AF=DF所以AD=6X已知三角形AED三边不难求出cos&AED
3&因为AD平分BC所以CD/AC=BD/AB
在三角形ABE和三角形CEA中为&B=&CAE,&AEC共用，
2&在直角三角形DFE中,EF/DF=4/3所以DF/DE=4/5 ,即sin&FDE=4/5,
在三角形ADE中，有正玄定理知AD/sin&AED=AE/sin&ADE
有1&结论知，AE=DE,DF=1/2AD
代入等式解得sin&AED=24/25
cos&AED=7/25
3&z在三角形ABE和三角形CAE中
&B=&CAE且&AEC公用所以△ABE∽△CAE
所以AE/CE=BE/AE
因为DE=AE,CE=1/2DE,BE=BD+DE,BD=10代入解得AE=DE=10
所以S△ABC=S△ABE-S△ACE=1/2BE*AE*cos&AEB-1/2CE*AE*cos&AEC
将AE=10,CE=5,BE=20,cos&AEC=7/25代入解得S△ABC=21
咱俩前面算的答案都一样，可是、最后BD边上的高& 应该是 sin&AED=24/25&&& 算出来高是48/5吧
然后再算面积、10*48/5*1/2=48？&& 这样做对不对？
解：（1）证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC∵∠B=∠CAE∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE∵∠ADE=∠BAD+∠B∴∠ADE=∠DAE∴EA=ED∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=90°∴AF=DF（2）解：连接DM∵DE是半圆C的直径∴∠DME=90°∵FE：FD=4：3∴可设FE=4x，则FD=3x∴DE=5x∴AE=DE=5x，AF=FD=3x∵AFoAD=AMoAE∴3x（3x+3x）=AMo5x∴AM= 18x/5∴ME=AE-AM=5x- 18x/5= 7x/5在Rt△DME中，cos∠AED= ME/DE=7x/5/5x=7/25（3）解：过A点作AN⊥BE于N∵cos∠AED= 7/25∴sin∠AED= 24/25∴AN= 24AE/25= 24x/5在△CAE和△ABE中∵∠CAE=∠B，∠AEC=∠BEA∴△CAE∽△ABE∴ AE/BE=CE/AE∴AE2=BEoCE∴（5x)?=（10+5x）o 5x/2∴x=2∴AN= 24x/5= 48/5∴BC=BD+DC=10+ 5/2×2=15∴S△ABC= 1/2BCoAN= 1/2×15× 48/5=72．
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