函数可导与连续的关系
函数可导与连续的关系
函数在x点可导，则它在x点必联系，如果函数在某一区间可导，那它在此区间也必定连续吗？怎么看到书本上说还需要函数在此区间具有单调性？
在某点可导，则在这点必然连续。但连续不一定可导，假如这点是两条曲线的交点就不一定可导。同样，如果在某个区间可导，那么在这个区间必然连续。
用例子说说单调性问题。例如对于三次函数图像，通常都两个极值点，一个极大点，一个极小点，在这两个极值点之间曲线是连续的，导函数的符号会从大于零转换到小于零(或从小于零转换到大于零)，恰恰在这符号变化点处(拐点)，导函数不存在，这就是要求在该区间必须是单调的。
请观察下面图像中的Q点。
书上是对的，有一个很简单的例子，y=1/x& 这个函数可导，但是不一定连续，因为x不等于0，同时，它确实是在负无穷到正无穷间不是连续单调的。
其他回答 (2)
可导必然连续，充分条件
可导必然连续，不需单调
相关知识等待您来回答
理工学科领域专家扫扫二维码，随身浏览文档
手机或平板扫扫即可继续访问
函数的极值点和拐点的一个判别法
举报该文档为侵权文档。
举报该文档含有违规或不良信息。
反馈该文档无法正常浏览。
举报该文档为重复文档。
推荐理由：
将文档分享至：
分享完整地址
文档地址：
粘贴到BBS或博客
flash地址：
支持嵌入FLASH地址的网站使用
html代码：
&embed src='/DocinViewer-4.swf' width='100%' height='600' type=application/x-shockwave-flash ALLOWFULLSCREEN='true' ALLOWSCRIPTACCESS='always'&&/embed&
450px*300px480px*400px650px*490px
支持嵌入HTML代码的网站使用
您的内容已经提交成功
您所提交的内容需要审核后才能发布，请您等待！
3秒自动关闭窗口函数的凸性与拐点_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
喜欢此文档的还喜欢
函数的凸性与拐点
阅读已结束，如果下载本文需要使用
想免费下载本文？
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
你可能喜欢导数_百度百科
关闭特色百科用户权威合作手机百科
收藏 查看&导数
导数（Derivative）是中的重要基础概念。当y=f(x)的X在一点x0上产生一个Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在中，物体的对于的导数就是物体的。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点，否则称为不可导。然而，可导的函数一定；不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，x?f'(x)也是一个函数，称作f的。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即。说明了求原函数与是等价的。求导和积分是一对互逆的操作[1]，它们都是微积分学中最为基础的概念。外文名Derivative表达式y'=f'(x)应用学科数学、物理学等适用领域范围求函数增减性、加速度等
大约在1629年，数学家研究了作曲线的切线和求的方法；1637年左右，他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时，他构造了f(A+E)-f(A)，发现的E就是我们所说的导数f'(A)。17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。牛顿的有关“术”的主要著作是《求曲边形》、《运用无穷多项的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成；最在于这个比当变化趋于零时的极限。1750年在为法国科学家院出版的《》第四版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点，可以用现代符号简单表示：
1823年，在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后，创造了ε-δ语言[2]，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达。导数的定义也就获得了今天常见的形式。
微积分学理论基础，大体可以分为两个部分。一个是实无限理论，即无限是一个具体的东西，一种真实的存在；另一种是潜无限，指一种意识形态上的过程，比如无限接近。　　就数学历史来看，两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年，后来极限论就是现在所使用的。
光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。设函数 在点 的某个内有定义，当 在 处有 ( 也在该邻域内)时，相应地取得增量 ；如果 与 之比当 时存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限值为函数 在点 处的导数记为 ，即
也记作 ， ，或 。设函数 在点 的某个邻域内有定义，当 在 处有变化 ( ， 也在该邻域内)时，相应地变化 ；如果 与 之比当 时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限值为函数 在点 处的导数记为 ，即
如果函数 在开区间I内每一点都可导，就称函数 在区间I内可导。这时函数 对于区间I内的每一个确定的 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 的，记作 ， ， ， 。导函数简称导数。导数的几何意义函数 在 点的导数 的几何意义：表示函数曲线在点 处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。这里将列举12个的导数以及它们的推导过程，初等函数的导数可由之推算。
函数原函数导函数
（ 为常数）
（ 且 ， ）　
为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：
常为零，幂降次，对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
2. 原函数与导数关系（由导数推的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.
3. 的导数：
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的基本导数公式导数--称为。
4. 积分号下的求导法则：
(a(x),b(x)为子函数)求导公式的证明：
证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的： 。
2．这个公式的证明过程见右图。幂函数的求导公式证明
如果直接令 ，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数 通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道： 。
显然，当 时，β也是趋向于0的。而 ,所以 ，
可以知道，当 时有 。
因为当 时， ，所以 ,所以有
也可以进一步用
可以知道，当 时有 。
这时可以进行 的推导了。因为 ,所以 ，
6．类似地，可以导出 。
1．直接法：由的定义逐步求。
一般用来寻找解题方法。
2．高阶导数的运算法则：高阶导数运算法则‘注意：必须在各自的导数存在时应用（和差点导数）’
3．间接法：利用已知的高阶导数公式，
代换等方法，‘注意：代换后函数要便于求，尽量已知公式’
求出阶导数。
对数求导法
常见的公式：
常见高阶导数公式计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：
求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积
两个函数的商的导函数也是一个分式。其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。
复合函数的求导法则：如果有复合函数，那么若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。
x变化时函数f(x) = 1+ x*sin (x^2)根据，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。而如果存在使得在区间上都大于等于零或都小于等于零，那么称这个点为拐点。
x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凸的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上 恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的。另外在对shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅和运用开头的公式与
y=u±v,y'=u'±v'
y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果。
对于y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法。
由定义可知，y&0
等式两边取
ln y=n*ln x
等式两边对x求导，注意y是y对x的
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是,也就是我们所说的导数不存在。
x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去了解什么是，极限是一个可望不可及的概念。可以很接近它，但永远到不了那个岸。
导数是微积分的一个重要的支柱。及对此做出了卓越的贡献。导数与物理，，代数关系密切：在几何中可求；在代数中可求瞬时变化率；在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、（中的概念），是由速度变化问题和的问题（矢量速度的方向）而抽象出来的概念，又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置s与时间t的关系为：
那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是：
当 t1与t0无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度 。
自然就把当t1→t0时的 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度.这实际上是由平均速度到瞬时速度的过程 （如我们驾驶时的限“速” 指瞬时速度）。
导数另一个定义：当x=x0时，f'(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function），简称导数）.
y=f(x)的导数有时也记作y'，即（如右图） ：
物理学、、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速加速度运动为例 位移关于时间的是瞬时速度是加速度）、可以表示曲线在一点的（矢量速度的方向）、还可以表示经济学中的边际和。
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部的函数变化。为了研究更一般的上的（比如）的变化，导数的概念被推广为所谓的“”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是与中最重要的基础概念之一。
注意：1.f'(x)&0是f(x)为减函数的，不是。
2．导数为零的点不一定是点。当函数为，没有增减性，即没有。但导数为零。（导数为零的点称之为，如果驻点两侧的导数的符号相反，则该点为极值点，否则为一般的驻点，如y=x^3中f‘(0)=0，x=0的左右导数符号为正，该点为一般驻点。）
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率③ 取极限，得导数。利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了的思想．
一般地，在某个区间(a，b)内，如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)&0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减．
如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)是常数函数．
注意：在某个区间内，f'(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的必要条件，而不是充分条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f'(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f'(x)≥0。
①确定f(x)的定义域
③由（或）解出相应的x的范围．当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f'(x)&0时，f(x)在相应区间上是减函数．①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的
②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。
①确定函数的定义域
③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求及其所有实根
④检查在左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．①求f(x)在(a，b)内的极值
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为最值问题．解决这些问题具有非常现实的意义．这些问题通常可以为中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题．1．函数图像看增减，导数图像看。
2．极大值不一定比极小值大。
3．是局部的性质，最值是整体的性质
导数应用：洛必达法则 罗尔中值与其它中值定理
应用实例：问题：设计一个圆柱形容器，要求容积为335ml，使用的材料最少。
求解：求解
V (r, h) = r^2h (1)
Vd = 355mL = 0.355*0.01m3 (2)
f(r, h) = A(r, h) = 2πr^2 + 2πrh (3)
X = (r, h) : r, h ∈ R+ (4)
h = Vd/πr^2 = 0.003 55m3/πr^2 (5)
f(r) = 2πr^2 + 2 Vd*r^(-1) (6)
f′(r) = 4πr + 2Vd*(-r)^(-2) (7)
r ≈ 3.8cm (8)
h ≈ 7.7cm (9)
f′′(r) = 4π + 4Vd*r(-3) (10)
f′′(r) & 0 →得到的解 x = (r, h) 是要求的解 (11)
利用导数知识能很轻松的解决这个问题。
纠错 关闭纠错
纠错 关闭纠错
新手上路我有疑问投诉建议参考资料 查看高数红宝书――第二章
一元函数微分学_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
评价文档：
喜欢此文档的还喜欢
高数红宝书――第二章
一元函数微分学
高​数​红​宝​书​―​―​第​二​章​ ​ ​一​元​函​数​微​分​学
阅读已结束，如果下载本文需要使用
想免费下载本文？
把文档贴到Blog、BBS或个人站等：
普通尺寸(450*500pix)
较大尺寸(630*500pix)
你可能喜欢