高一数学《函数的概念》教案_百度文库
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高一数学《函数的概念》教案
教​案​：​§..函​数​的​概​念​(​人​教​版​)
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高一数学必修1知识点总结--集合与函数
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高一数学第二章函数同步辅导讲义
函数同步辅导　　　　　　第一讲映射与函数一、辅导内容1． 映射、一一映射的定义和概念的理解2． 函数的定义、表示。3． 函数的三要素及函数的表达方法。二、重点、难点讲解1．映射、一一映射（1）集合A到集合B的映射有三个要素，即集合A、集合B和对应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的，因为一般情况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么，映射的定义未对此作具体要求，它们的元素可以是数，可以是点，也可以是其他对象.（2）一个对应要满足下面两个条件才能称为集合A到集合B的映射：①集合A中的每一个元素（一个不漏地）在集合B中都有象（但集合B中的每一个元素不一定都有原象）；②集合A中的每一个元素在集合B中的象只有唯一的一个（集合B中的元素在集合A中的原象可能不止一个）.也就是说，图1和图2所示的两种对应不能称为映射.（3）对于上述映射，如果加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，则这样的映射称为"集合A到集合B上的映射".如果在此基础上再加上一个条件，要求集合B中的每一个元素在集合A中的原象只有唯一的一个，则这样的映射称为"集合A到集合B上的一一映射".例1
如图3，集合A={1、2、3、4、5}，B={、、、、}.判断下列对应中，（1）哪些是集合A到集合B的映射；(2)哪些是集合A到集合B上的映射；（3）哪些是集合A到集合B上的一一映射.解（1）②和④是集合A到集合B的映射，①中集合A的元素3在集合中没有象；③中集合A的元素3在集合B中有两个象，它们都不是映射.（2）②是集合A到集合B上的映射.④中集合B的元素b在集合A中没有原象.（3）②是集合A到集合B上的一一映射.例2
已知集合A={}，B={}.判断下列各对应f是否是集合A到集合B的映射？一一映射？并说明理由.(1):；
(2) :；(3) :；
(4) :；(5) :解
因此对集合A的每一个元素，，所以对应:是集合A到集合B的映射.对于集合B中的每一个元素，由及，有.即集合B中的每一个元素在集合A中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应:是一一映射.（2）∵，
∴.所以对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，因此对应:是映射.而集合B中有些元素，如，在集合A中没有原象，因此映射:不是一一映射.（3）∵，
∴.由此知集合A的某些元素，如，在集合B中没有象，因此对应:不是映射，更不是一一映射.（4）∵，
∴.因此对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的象，所以对应:是映射.　　由，对于集合B中的每一个元素，，即集合B中的每一个元素在集合A中有唯一的原象，因此映射:是一一映射.　　（5）集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的象.对于集合A中的元素和，都对应于集合B中的同一个元素，所以对应:是映射，但不是一一映射.2. 函 数（1）函数的定义.在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发，用变量来定义的，习惯上称为传统定义.传统定义由研究变量的物理意义而产生，反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制，对某些函数难以进行研究，因为有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义，它更具有一般性.当然，两种定义的本质是一样的.集合A到集合B的映射:要成为函数，还必须满足两个条件：①集合A、B都是非空集合；②集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域，而集合B不一定是值域.一般地说，值域C是集合B的子集，即.（若集合，则这个映射就成为集合A到集合B上的映射）.（2）函数的三要素.定义域A，值域C和定义域A到值域C的对应法则，构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相同时，两个函数才是同一个函数. 在判断两个函数是否同一函数时，主要观察它们的定义域和对应法则是否相同.（3）区间设、，且.用闭区间[]表示集合{}，用开区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}，用半开半闭区间表示集合{}.（4）函数的表示法.函数常用的表示法有：解析法，列表法及图像法，三种表示法各有其长处.要搞清符号和（为常数）的区别.一般情况下，是一个随自变量的变化而变化的变量，而是当自变量时函数的值，是一个确定的量.与初中接触到的函数不一样，这里的函数可以是在不同区间中（或不同条件下）表达式不同的分段函数，因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线，它可能是一些孤立的点，一些线段，或一些曲线.例3
判断下列各对函数是否是同一个函数，并说明理由.(1)
（1）不是同一个函数，两者的定义域不同， 它们的定义域分别为和.（2）不是同一个函数，它们的对应法则和值域都不同.，其值域为；
，其值域为.（3）不是同一个函数，它们的定义域不同.定义域分别为和.（4）不是同一个函数，它们的定义域不同，定义域分别是和.（5）是同一个函数， .（6）是同一个函数，虽然自变量用不同的字母表示，但定义域、值域和对应法则都相同.例4
由此可见，在求时，只要用代替表达式中的，然后再将的表达式代入其中，就可以求得.一般来说，.例5
（1）已知求，，，；（2）已知
且， 求.解
∴...(2)当；
当；当.例6
（1）画出函数的图像；（2）画出函数的图像；（3）已知函数的图像如右图，写出的解析式.解
图7-4图像如下图左.(2)当,即或时，；　　当，即时，　　.　　∴　　 图像如下图右.　　（3）　　　　　　　　　　　　　　　　评析
（1）对于含有绝对值的函数的图像，通常先用零点分区间法得出函数的解析式，然后以分段函数的形式写出函数的解析式，再画出函数的图像.　　（2）由第（2）题可见，画的图像，只要把的图像在轴下方部分"翻到"轴上方，即作出这一部分图像关于轴的对称曲线，而在轴上方的曲线保持不变，就可以得到函数的图像.　　（3）函数的定义域如果没有特别说明，通常指使式子有意义的一切自变量的集合，在实际问题中，还应考虑自变量要满足的实际问题的条件.　　 我们现在涉及到的使式子有意义的情况，仅是分母不能为零，负数不能开偶次方.今后学习了其他函数，还会出现另外一些情况.例7
求下列函数的定义域：（1）
（2） ；（3） .解
（1）∴定义域为.（2）由由,
.∴定义域为
.∴定义域为.评析
对于繁分式，一条分数线即有一个限制条件，本题有三条分数线，因此有三个限制条件.例8
已知函数的定义域为[-1，2]，求函数的定义域.解
由中的必须满足，因此中的必须满足：即　　∴的定义域为 .例9
（1）已知，求 ；（2）已知函数 的定义域是 ，且，求；(3)已知 ，求.解
（1）设，则
.（2）由，
将换成，得，
②3×①－2×② ，得
(x≠0)（3）令，则
.∴.∴例10
画出函数的图像.解
由已知，∴图像如图所示.练 习一、选择题　　1．设是从集合A到集合B的映射，下列四个说法：①集合A中的每一个元素在集合B中都有象；②集合B中的每一个元素在集合A中都有原象；③集合A中不同的元素在集合B中的象也不同；④集合B中不同的元素在集合A中的原象也不同，其中正确的是 （
B．②和③　　
D．①和④　　2．已知集合A=，B=，则下列对应关系中，不能看成是从集合A到集合B的映射的是
D．：　　3．下列三个命题：①函数是从定义域到值域的一一映射；②函数的定义域和值域可能是数集，也可能不是数集；③函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 （
D．①和③　　4．下列各组函数：①，；②，；③，；④，.其中和表示同一个函数的是
B．①和②　　
D．④　　5．函数的定义域是
D．　　6．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 （
D．二、填空题　　7．已知在映射下的象是，则在下的原象　　
。　　8．函数的定义域是
。　　9．已知
.　　10．已知，则
.三、解答题　　11．求下列函数的定义域：　　（1）；　　（2）.　　12．若是从集合A=到集合B=的一个映射，求自然数和的值及集合A和B.　　　　13．若函数的定义域为，求实数的取值范围.　　　　　　　　　　14．已知，作函数的图像.答案与提示[答案]一、1．D
3．C　　4．A
6．B二、7．
9．8，0，2
10．三、11．（1），
（2）　　12．　　13．　　14．[提示]一、6．二、7．由
解得10．令 则三、11．（1）由
.（2）由　　12．∵，，
∴(Ⅰ)或　　（Ⅱ）由(Ⅰ)，舍去.由（Ⅱ）， （舍去），∴　　13．
（1）若　　
（2）若 △=　　14．当，即，
当，即或，　　
图像如右上.第二讲 函数的单调性一、辅导内容1．函数的单调性二、重点、难点讲解1．函数的单调性　　（1） 函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间．　　（2） 函数不一定有单调区间，如函数的定义域为，显然不存在单调区间.又如函数也不存在单调区间．　　（3） 判断函数的增减性，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数在区间上的单调性时，通常设，然后作差式，将该差式作适当的变形并判断差式的符号，从而得出结论．　　（4）复合函数的单调性　　 若函数 在区间 上是单调函数,函数 在 或 上也是单调函数,那么复合函数 在区间 上是单调函数,其单调性规律是:函数单调性增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数增函数即 , 增减性相同时, 为增函数,增减性相反时, 为减函数.　　例1
画出函数的图像，并由图像写出函数的单调区间．　　解
，或，　　∴　　函数的图像如图　　由图像可见，函数的递增区间为及，递减区间为及．　　评析
⑴根据函数的图像观察函数的单调区间是一种直观的方法．　　
⑵函数的递增区间不能写成．例2
画出函数的图像，并根据图像写出函数的单调区间．　　　　解　　由图像可知，函数的递增区间是，递减区间是.　　评析
在区间上，.对一切且，都有，因此函数在区间上既非增函数，也非减函数．例3
求证：函数在定义域上是减函数.　　证
函数的定义域为，设，则　　　　
，　　∴即，　　∴函数在上是减函数.　　评析
证明函数在某个区间上的单调性通常都是根据函数增减性的定义去证明．例4
求证：函数在区间上递减，在区间上递增.　　证
设，则　　.　　∵
∴, ,,　　∴
∴函数在上递减　　设，则.　　∵，，,　　∴，,　　∴函数在上递增.　　评析
⑴用定义证明函数的单调性时，常将差变形为若干个代数式的积或商，并由每一个代数式的符号确定的符号.　　⑵可以证明，当时，一般地有在区间以及上是减函数，在区间以及上是增函数.例5
求函数的单调区间.　　分析
求函数的单调区间之前，先要求出函数的定义域，单调区间必是定义区间的子区间.　　解
∵，，　　∴，函数的定义域为.　　设，.　　二次函数的递增区间是，递减区间是.　　∴函数的单调递增区间是，单调减区间是　　评析
⑴对于二次函数等已研究过的函数，可以直接运用其单调性结论.　　
⑵本题中，，即是的函数，是的函数，称是的复合函数，对于复合函数的单调性，其规律如下：　　函数单调性增增增增减减减增减减减增　　例6　已知函数 与 的定义域都是 ,值域分别是 与 ,在 上 是增函数而 是减函数,　　求证: 在 上为减函数.　　分析：证明的依据应是减函数的定义.　　证明：设 是 上的任意两个实数,且 ,　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 是 上的增函数, 是 上的减函数,且 .　　 , 即 , .　　又 的值域为 , 的值域为 ,　　 .　　 即　　 在 上为减函数.　　说明：此题涉及抽象函数的有关证明,要求较高,此外在 的变形中涉及到增减项的技巧,它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值,必须构造出 与 的差和 与 的差.巩固练习1．如果偶函数在区间上是增函数，那么在区间上（ A
）A．是减函数
B．是增函数C．可能是减函数，也可能是增函数
D．不一定具有单调性2．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（D
D．3．函数 递增区间是（ C
D．4．若，求证：在区间上逆增，在区间上　　　递减.证明：设，　　在区间上递增.设，在区间上递减.5．已知，且.求的解析式.解：　　　　　　又　　　　　　第三讲
反函数一、辅导内容1．反函数的定义　2．反函数的求法二、重点、难点讲解1. 反函数的定义　　一般地，函数中y=f(x)(xA)，设它的值哉为C。我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有惟一的值和它对应，那么x=(y),就表示y是自变量，x是自变量的函数，这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x) (xA)的反函数，记作x=f(x)。在函数中x=f(x)，y是自变量，x表示函数，但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f(x)中的字母x,y，把它改写成x=f(x)。2. 反函数存在的条件　　设函数y=f(x)是定义在M上的函数，若对任意的x,xM ，当x≠x时，都有f(x)≠f x并且对于每一个函数值y=f(x)，都有xM，则y=f(x)存在反函数y=f(x)。即确是函数的映射是定义域到值域的一一映射。由此可见，并不是所有函数都存在反函数。3. 反函数的求法　　当函数存在反函数时，求其反函数的程序是：（1） 由y=f(x)解出x=f(y)（2） 将x=f(y)中的x与y互换位置，得y=f(x)由y=f(x)的值域，写出y=f(x)的定义域4. 反函数与原函数的关系　　原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。　　Y=f(x)与y= f(x)互这反函数，设f(x)的定义域为A，值域为C，则有　　　f〔f(x)〕=x(xC)
f〔f(x)〕= x(xA)5. 掌握下列一些结论　（1）定义域上的单调函数必有反函数；　（2）奇函数的反函数也是奇函数；　（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。　若原函数是奇函数，则反函数也一定是奇函数，而奇函数未必都存在反函数。1
(x>0)　例如函数 f(x)=
是奇函数，但却不存在反函数。　　　　　　　　　　-1
(x<0)　偶函数一般不存在反函数，但特殊的偶函数存在反函。如函数f(x)=1(x=0)是偶函数，它的反函数是f(x)=0(x=1).三、例题解析例1
给出下列函数:　　(1) ;
(2) ;　　(3) ;　　(4) ;　
(5) .　　其中不存在反函数的是__________________.　　分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量 总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.　　解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当 时, 和 ,且 .　　对于(4) 时, 和 .对于(5)当 时, 和 .　　故(3),(4),(5)均不存在反函数.　　说明:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.　　例2　求下列函数的反函数:　　 (1) (2)　　(3) .　　
(x＜0＝,（4） f(x)＝－1
(5) f(x)＝
(0≤x≤1),　　
x2－2x＋3.
(x＞1).　　分析:求反函数时,通常先由给定的解析式 中解出 ,再求出原来的函数的值域,再把 与 互换.　　解: (1)由 得 ,又 得值域是 ..　　(2)由 变形得 .　　又 得值域是 ,　　　　(3)由 得 ; 由 得 .　　又 ( 的值域是 ,而 的值域是 ,　　
.　　(4) y＝－1≥－1
(x≥0).　　由y＝－1，
得＝(y＋1),　　∵ x≥0，
∴ x＝ ,　　∴ f -1(x)＝
(x≥－1).　　(5) 当x＜0，y＝＜0， x＝y3.　　∴ f -1(x)＝x3
(x＜0)．　　当0≤x≤1, y＝2x∈[0,2], x＝y．　　∴ f -1(x)＝x
(0≤x≤2)．　　当x＞1，y＝(x－1)2＋2＞2,
(x－1)2＝y－2，　　∵ x＞1,
x＝1＋.　　∴ f -1(x)＝1＋
(x＞2)．　　
(x＜0),　　∴
(0≤x≤2),　　
1＋， (x＞2).　　说明:在求解方程时,一定要注意题目中对 的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.　　例3　已知函数 ,求 的值.　　分析: 符号 的意义即反函数 在 时的值,故可先求 ,再求 的值,但如果真正搞清了反函数与原来函数的关系,就会知道它的另一层含义即当原来函数的函数值为4时相应的自变量的取值.　　解: 令 ,解此方程得 ,再考虑到 ,故 .　　说明:此题意在要求学生不仅能在定义中理解互为反函数的两个函数之间的关系,还能从符号角度认识它们之间的关系,也正是基于这种理解才找到了更为简捷的方法.(此法对于求反函数比较复杂的题目尤为适用)例4　已知函数 与其反函数 是同一个一次函数 ,试指出 的所有取值可能.　　分析:此题可以有两种求解思路:一是求解 的反函数的解析式,与 比较,让对应系数相等,列出关于 的方程,二是利用两个函数图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程.　　解：由 知点 在图象上,则点 定在 的图象上,　　于是
(1)　　又 过点 ,则点 也在 的图象上,　　于是
(2)　　由(1)得 或 ,当 时,代入(2),此时(2)恒成立即 ;　　当 代入(2)解得 .　　综上, 的所有取值可能有 或 .　　说明:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重视.另外此题在最后作答时,要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点.　例5. 已知函数 , ,求 的反函数.　　分析: 由于已知是 ,所求是 的反函数,因此应首先由 找到 ,再由 求出 的表达式,再求反函数.　　解:令 ,则 , , ,　 .于是有 .　　由 得 ,由于 ,　　 .　　又 , 的值域是 ,　　 的反函数是 .　　说明:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.　例6. 设定义域和值域都是 的函数 的反函数为 ,且对于任意 都有 ,　　求证: 对任意 也成立.　　分析:由函数 的性质推证其反函数的性质,应首先要把 的问题转化成 的问题,转化的依据是对互为反函数的两个函数关系的理解.　　证明:令 ,其中 ,那么 .　　则有
(1)　　由于 对任意 成立,　　 .由于 ,则 .　　故有 ,即 .　　说明:使用抽象函数符号进行简单的证明,是提高研究函数性质理论层次的一种要求,对于较好的学生应适当做一些这样的题目.巩固练习一、选择题1.在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是(
).　　 与　　 与　　 与　　 与2.若函数存在反函数,则 的方程 为常数)(
).　　 至少有一实根
有且仅有一实根　　 至多有一实根
没有实根3.点 在函数 的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 (
).　　 　　
　　　　二、填空题1.求下列函数的反函数:　　①
② ;　　③ ;
.2.函数 的反函数是_____________________.3. ,则 的值为_________.4.要使函数 在 上存在反函数,则 的取值范围是_____________.5.若函数 有反函数,则实数 的取值范围是_____________.三、解答题(1)已知函数 的图象关于直线 对称,求 的值.(2)函数 与 的图象关于直线 对称,求常数 的值.参考答案：　　一、选择题　　1.C
3.D　　二、填空题(1)① ;
② ;　　③ ;
(3)　　(4) 或
(5) 且 .三、解答题(1)
(2)　　　　　　第四讲
指数和指数函数一、教学目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．　2．掌握指数函数的概念,图象和性质.　　二、重点、难点讲解1. 指数（1） 根式若xn=a(n>1,且),则x叫做a的n次方根.当n为奇数时，a的n次方根是.当n为偶数时，若a>0，a的n次方根有2个，这两个方根互为相反数，即，其中正的一个叫做a的n次算术根；若a=0，0的n次方根只有一个，是0；若a<0，a的n次方根不存在（在实数范围内）.当n为奇数时，.当n为偶数时，(2)指数概念的推广① 零指数.若运用指数运算法则，，又有，因此规定.② 负整数指数.若运用指数运算法则，，又有，因此规定.③ 正分数指数.若运用指数运算法则，，因此规定④ 负分数指数，若运用指数运算法则，，又有，因此规定.⑤ 无理数指数，若a>0 ,p是无理数，则ap也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）（3）指数运算法则若a>0,b>0,,则有下列指数运算法则：①；②；③.实际上上述法则当r,s为无理数时也成立.例1 化简根式：（1）；（2）；
（3）;（4）.解（1）　　=　　=.（2）=.（3）=.（4）==.　　评析 化简形如的根式，若=，则.因此需要找出两个数x,y，使它们满足关系式xy=b及x+y=a.如化简，因7+2=9，所以=||=.　例2
计算：（1）（2）.解 （1）原式===10=231-.（2）原式====.评析 指数运算法则的条件是a>0，因此计算时应先化为再运用指数运算法则例3
化简：（1）
（2）.解（1）原式==（2） 原式===.评析 进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方的混合运算时，通常先将根式化为分数指数幂再用指数运算法则进行化简、计算，且最后结果常用根式表示.例4
化简（a>0）（1）（2）解（1）原式====.（2）原式====.例5 （1）已知a>0,且求的值；（2）已知a>0，且求的值.解（1）,.,..（2）14==.令，则14=t(t2 +3),
t3+3t-14=0,(t-2)(t2+2t+7)=0.,..,.评析 两数和（差）的立方公式有时也可以写成
.2．指数函数（1）形如y=ax的函数叫做指数函数，因此都是指数函数，而均不能称为指数函数.（2）在y=ax中，当时ax可能无意义，当a>0时x可以取任何实数，当a=1时，，无研究价值，且这时不存在反函数，因此规定y=ax中（3）指数函数y=ax的性质可以由的图像这三条曲线来记忆.由图可见，当a>1时，指数函数y=ax的底数越大，它的图象在第一象限部分越 "靠近y轴"，在第二象限部分越"靠近x轴".又因函数y=ax和的图像关于y轴对称，实际上,因此当0<a<1时，指数函数y=ax的底数越小，它的图像在第二象限部分越"靠近y轴"，在第一象限部分越"靠近x轴".例6 比较下列各组数的大小：（1），
（2）（3）；
（4）解（1）
是增函数..（2）是减函数 .
图中的曲线是指数函数的图像,已知的取值分别为,则相应于曲线的依次为
)A．B．C．D．由,知曲线、对应的指数函数分别为和.解
由，知曲线对应的指数函数的底数分别为。　　因此正确的选择应为C　　例8 已知函数,(1)作出它的图像；（2）由图像指出函数的单调区间，并证明之；（3）求函数的最值.解（1）图像如图所示实际上函数是偶函数，因此只要作出的图像，在y轴左边部分的图像可以利用图像的对称性作出.（2）由图像可以看出，函数在区间（上是减函数，在区间[上是增函数.若，则，.若，则.在（上递减，在[上递增.（3）由，当x=0时，函数有最小值1.例9
已知函数.（1） 判断并证明函数的奇偶性；（2） 求证：f(x)>0.解（1）由,函数的定义域为(,关于原点对称..=.函数f(x)是偶函数.（2）当x>0时，,.当x0,f(x)=f(-x)>0,.例10 已知，求函数的最值.解 由已知，，,.令t=,即..函数的图像总开口向上，对称轴为t=2的抛物线..,，函数有最大值，为;当t=1,即x=0时，函数有最小值，为巩固练习一、选择题1.下列各等式中，正确的是
D．2.的大小关系是
D．3.化简的结果是
D．4.将表示成根式的形式是
D．5.已知对不同的a值，函数的图像恒过定点P，则P点的坐标是
）A．（0，3）
B．（0，2）C．（1，3）
D．（1，2）6.函数的值域是（
D．二、填空题7.将下列各数从小到大用"<"连结起来：
.8.已知，，则
.9.函数的定义域是
.10.若函数的图像不经过第二象限，则实数b的取值范围是
.三、解答题11.（1）判断并证明函数和的奇偶性；（2）证明指数函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.12.已知，求下列各式的值：　　（1）；　　（2）.　13.设 ，求 的值．14.已知函数是奇函数，求实数a的值.15.求函数的单调区间和值域.16.已知 ,试把 用含 的式子表示出来,并化简.答案与提示[答案]一、1.D
3.B　　4.B
6.A二、7.　　8.
9. ，　　10.三、11.（1）是偶函数，是奇函数　　12.（1）3；
（2）18　　13. 2　　14.　　15.当，函数在区间上递增，在区间上递减，值域为.　　
当，函数在区间上递减，在区间上递增，值域为.　　16. 　分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.　　解: 由 可知 ,= ,　　当 时,若 ,则 ,此时 ,　　若 ,则 ,此时 .　　当 时, .　　当 时, 若 ,则 ,此时 ,　　若 ,则 ,此时 .　　[提示]一、3.5.为使y为定值，应使，则此时，故P点坐标为（1，3）6. .
,.或由，得二、8.∵∴　　9.　　10．当，，.要求，∴应有，即.三、11.（1）和的定义域均为R.,∴是偶函数，是奇函数.(2)∵
∴可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和.　　12.(1)令，则.　　
，.　　(2)　　13. 分析：这里首先应把 看作一个整体去寻求与已知条件的联系，再把已知利用乘法公式表示成关于 的方程，解此方程即可．　　解：由乘法公式 ，又 ．　　故 ，令 = ，则方程变形为　　解方程得 或 ．若 ，则有 =-1，此时方程无解，故 舍去．　　 ，即 =2．　　　　14.,定义域为，关于原点对称.　　
由， ,　　　　15..
令，在区间上递增，在区间上递减..当，递增，在区间上递增，在区间上递减，当时，又，∴函数的值域为.　　当递减， 在区间上递减，在区间上递增，当时，函数的值域为　　第5讲
对 数和 对数函数　一辅导内容1．对数及对数运算性质　　2．对数函数　　3．对数换底公式二、重点、难点讲解　1．对数及对数运算性质（1）对数概念由对数的定义，. 但是应注意其中的字母必须满足条件：　　（2）对数恒等式由对数定义，当时，若，则，因此有.等式叫做对数恒等式.（3）对数的运算性质　　
；　　 .　　 必须注意上述运算性质的条件是，且　　 应避免发生下列错误：
.　　(4)如果把运算分等级，"加"、"减"为一级运算，"乘"、"除"为二级运算，"乘方"、"开方"为三级运算，则通过取对数，可以把运算降低一个等级，即把二级运算转化为一级运算，把三级运算转化为二级运算.　　　　例1
计算下列各式的值：　　（1）；
（2）　　（3）
（4）　　解
（1）设 则.
，　　即　　（2）设
则 .　　， 即　　（3）设，则　　,
即　　（4）设，则 .　　. 即
求下列各式中的值：（1）；
（2）.解 （1）由已知，得.
.（2）∵1的对数等于0， ∴.∵底的对数等于1， ∴.∴
计算：（1）
（2）；（3）.
（）解 （1）原式==.（2）原式=.（3）=　例4
，求 的值.解
取以12为底的对数，得　例5
已知关于的函数有最大值4，求实数及取得大值时的值.解
有最大值4， 且，
. 当取最大值时，　例6
已知、、，且　　求 的值.　　解
设　　则　　　　　　　　 评析
由于直接计算u值有困难，且难以运用已知条件，所以采用取对数的方法，先求出的值再计算u的值，当指数部分的式子比较复杂时，常用这种方法进行化简或计算.2．对数函数对数函数是指数函数的反函数.由指数函数的性质，对数函数的定义域是，值域是.对数函数的图像可以由指数函数的图像及互为反函数的函数图像的关系得到.对数函数的性质，可以通过三条曲线：，，的图像来记忆.由图可见，函数和的图像关于轴对称，实际上，.当时，对数函数的底数越大，它的图像在第一象限部分越"靠近轴，"在第四象限部分越"靠近轴".因此当时，对数函数的底数越小，它的图像在第四象限部分越"靠近x轴"，在第一条象限部分越"靠近y轴".例7
求函数的单调区间.分析
函数的单调区间是函数定义区间的子区间，因此首先必须求出函数的定义区间.解
由对数函数的定义域，　　
即　　　　y=f(x)的定义域是{x|-1<x<5}.　　设t==,　　则在区间（-1，2]上是增函数，在区间[2，5）上是减函数.　　又函数在区间(0,)上是减函数，　　当,当.由此得，函数y=f(x)的单调递减区间是(-1,2],单调递增区间是[2,5).评析
求复合函数的单调区间时，不仅要注意函数的定义域，还要注意每一个函数在区间上的增减性.例8
已知求函数y=f(x)的单调区间.分析
首先应由的表达式求出f(x)的解析式.解 令,
则设则（1） 当a>1,若则∵若则∵（2） 当若则　　∵　　若则　　∵　　　　由上可知，当a>1时，f(x)在区间(0,1)及()上分别都是增函数.　　当0<a<1时，f(x)在区间(0,1)及()上分别都是减函数.　例9
已知0<a<b<1,比较的大小.解
∵　　∵都是区间(0,+)上的减函数，　　都是区间(0,+)上的增函数，.　　∵　　　　评析 本题也可以由对数函数的图像比较它们的大小.　　由对数函数的性质及0<a<b<1,可以得到函数图像的大致位置如图所示。　　作直线x=a和x=b可以得到的对应点A，B，C，D.由此可以判断它们的大小关系为：　　　　　3．对数换底公式（1） 设，则.两边取以为底的对数，得　　　　.　　该式子叫对数换底公式，运用该公式可以把为底的对数转换成关于以为底的对数的式子.　　（2）运用对数运算性质的前提是几个对数的底数必须相同，因此在对数运算中凡遇到不同底数的对数，通常先要用对数换底公式化为同底数的对数.（2） 运用换底公式还可以得到几个常用的式子：.例10
求值：（1）
(2)解 （1）=.　例11
求证：证巩固练习一、 选择题1、 已知则x的值是（
D、32、的值等于
D、23、已知是方程的两个实根，则等于（
D、4、设则a,b,c的大小关系为
）A、b<a<c
B、b<c0,且)，求证：.13、已知，比较实数x,y,z之间的大小关系.14 、已知求函数的值域.答
示[答案]一、1、B
6、C二、7、0.06
8、x=y=z=0,或9、2 10、{}三、11、a=-1,b=-1
12、z<x<y13、 z<x<y
14、{}[提示]一、3、.6、二、7、-1...1)8、设则若t=1,x=y=z=0；若.由9、=或原式=10、由三、11、由与集合中元素的互异性矛盾，且12、由13、由14、由已知，得=　　　　　　第6讲
函数的应用举例一、重点、难点讲解　　学习函数的目的在于应用，"函数的应用举例"这一节是用我们已经学过的函数知识及其他数学知识解决来自生产、生活和有关科学实验的某些实际问题.在解决这些实际问题时，特别要注意掌握几种常用的数学思想.（1）建模思想.把实际问题与某个数学模型联系起来，即将实际问题数学化.（2）化归思想.把表达实际问题的文字语言翻译、转化为数学语言.（3）函数思想.把实际问题中的各种量用函数的观点，即变化联系的观点去分析研究这些量之间的关系.1． 了解函数的应用问题需要做好以下几下步骤：（1）审题.要认真地逐字阅读全题，弄懂题中文字所表达的意思，特别是某些关键词语的确切含义，那些对我们较为陌生的内容，更要反复推敲，理解.（2）转化.在准确理解题意的基础上，将问题中的各个量及它们之间的关系用教学语言表述出来，并建立起它们之间的联系，即将实际问题转化成数学问题.（3）求解.用学过的有关教学知识求出数学问题的解.（4）检验.根据题中实际问题的相关条件检验求出的数学问题的解是否符合条件，作出判断并回答结果.二、典型例题例1．如图，一段东西走向的直线铁路MN，北侧距离铁路10km处有一工厂A，现要把工厂的产品由铁路运往铁路东头的B地，计划在铁路上修一车站D，A与D间修一条公路，货物由公路从A运到D，再用铁路运到B地.已知，BC=30km，每吨公里的公路运费是铁路运费的2倍，问D点应选在何处，才能使运费最省？解
设CD=x km，铁路运货价为每km a元，总运费为y元，则公路运价是每km 2a元.令两边平方，得当即当时，t有最小值，y有最小值答：当D点在C点东边时，运费最省.　　 例2．如图，一动点 自边长为1的正方形 的顶点 出发，沿正方形的边界运动一周，再回到 点．若点 的路程为 ，点 到顶点的距离为 ，求 两点间的距离 与点 的路程 之间的函数关系式．　　分析：由于点 分别在 上移动时，相应距离计算方法是不同的，故需分类讨论．　　解：(1)当点 在 边上即 时， 也就是 ;　　(2)当点 在 边上时，即 时， ，由勾股定理得　　 ．　　 (3)当点 在 边上即 时， ， 由勾股定理得．　　(4)当点 在 边上即 时，有 ．　　 ．　　说明：几何应用问题要注意实际问题对定义域的限制条件．对分界点的讨论应做到不重不漏．例3． 建造一个容积为，深为2m的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价每分别为120元和80元，那么水池的总造价最低是多少元？分析
因水池容积是定值，高度也是定值，所以底面积是定值，而底面积一定时，只有底面周长最小时，才能使总造价最低.解
因水池容积是，水池深为2m，故水池底面积为.因此当水池底面长方形周长
最小时，水池总造价最低.设池底矩形一边长为m，则另一边长m，当此时水池的总造价最低，为.答：水池总造价最低为1760元.例4．某工厂今年1月，2月，3月生产某种产品分别为1万件，1 .2万件，1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数（其中为常数）.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.解
设由题意，得解得同理，有解得作为模拟函数较好.　例5．某种消费品每件60元，不加收附加税时，每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征收附加税R元（也叫税率R%），则每年的销售量将减少万件，要使每年在此经营中所收税金额不少于128万元，问税率应取在什么范围内？解
设销售量为每年x万件，则每年销售收入为60x万元.设从中征收税金y万元，则y=60x,此时由题意，化简得答
税率应在4%至8%之间，年收税金额才不低于128万元.　例6．某商店为了获取最大利润，做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售，每天可销售60件，现在采用提高销售价格的办法增加利润，已知这种商品单价每提价1元，其销售量就要减少10件.问这种商品售价定为多少时，才能使每天赚得的利润最大？并求出最大利润.分析
本题应将问题化归为求函数的最值，在构造函数时除了注意量与量之间的关系外，还应注意由具体问题得出函数的定义域.解
设商品的售价定为每件元时，赚得的利润为y元，则　答：当每件售件定为12元时，每天赚得的利润最大，为160元.评析
用二次函数求函数的最值时，一定要注意二次函数的定义域，及抛物线的开口方向、对称轴与定义区间的关系.例7． 我国是水资源比较贫乏的国家之一，某市采用价格调控等手段来达到节约用水的目的.其收水费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费.若每月用水量不超过最低限量A时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费C元；若用水量超过A时，除了付上述基本费和损耗费外，超过部分每还要付B元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度3个月的用水量和水费如下表所示：月份用水量（）水费（元）19.592151932539根据上表中的数据，求A，B，C.分析
支付水的费用与用水量有关，由题意，知支付的水费是用水量的分段函数.解
设每月用水量为x,支付的水费为y元，由题意得8+C
①8+B(x-A)+C
②由题设，从表中可见，2、3月份的水费均大于13（元），所以用水量15和25 均大于最低额度A.将x=15和x=25分别代入②，得19=8+B（15-A）+C，
③39=8+B（25-A）+C，
④④-③，并化简得B=2.将B=2代入③，得2A=19+C.
⑤下面判断1月用水量是否超过最低额度.假设9.5>A,将x=9.5代入②，得9=8+2(9.5-A)+C,即2A=18+C.与⑤矛盾，因此因此此时缴费方式应选①式，有9=8+C,
C=1.将C=1代入⑤，得A=10.例8．某市1998年底人口为100万，人均住房面积为9，计划到2003年底人均住房面积达到12.如果该市将人口的平均增长率控制在每年0.5%，那么要实现上述计划，这个城市每年平均至少要新增住房面积多少（结果以万为单位，保留两位小数）？分析
由人口每年的平均增长率为0.5%，知2003年底的总人口将达到万.而根据题意，每年新增的住房面积相等，设为x万，则到2003年底应新增住房面积5x万.解
设每年平均新增住房面积为万,则，.用计算器可得答 为了实现2003年底人均住房面积达到12，每年至少要新增住房面积66.06万.　例9．某渔场养鱼，第一年：鱼的重量增长200%，以后每年的重量增长率是前一年增长率的一半．　　(1)
当饲养4年后，鱼的重量是原来的多少倍?　　(2)
如果由于某种原因，每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后鱼的总重量开始减少?　　分析：在实际问题中有关增长率的问题是较常见的．要解决这类增长率问题通常都会用到与指数函数相关的函数式 ，其中 是原来的基数， 为增长率， 为时间．　　解：(1)设鱼原来的重量为 ， 年后鱼的重量为 ，则:．　　故四年后的重量是原来重量的 倍．　　(2)由 ，得 ， ．　　故经过五年后鱼的重量开始减少．　　说明：对于增长率问题，可以先从一年一年的增长计算开始，在具体计算中再找出相应的规律列式计算．　例10．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离称为"刹车距离"．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车得刹车距离超过12米，乙车刹车距离略超过10米，又知甲乙两种车型的刹车距离 (米)与车速 (千米/小时)之间分别有如下关系： ， ，问超速行驶应负主要责任的是谁?　　分析：此题关键在于题意的理解及向数学问题的转化．负主要责任即车速的比较应尽量列出关于车速的不等式即可．　　解：据题意得　　(1)
和　　(2) 由(1)得 或 ，由(2)得 或 ．分别舍去负值可知 千米/小时 千米/小时．两车相比，乙车超过限速应负主要责任．　例11．用汽船拖载重量都是 且满载货物得小船若干只，在两港之间来回运送货物．若每次拖4只小船，则一天可来回16次，若每次拖7只小船，则一天可来回10次，且每天来回次数是每次所拖小船只数的一次函数，若每天每次所拖小船数不变，每天来回多少次，每次拖几只小船，才能使运货总重量达到最大，每天最大运货总重量是多少?　　分析：运货总重量与每天小船来回次数，每次所拖小船只数以及小船载重量有关．由于小船载重量为定值，所以具体求出每天来回次数与每次所拖小船只数的关系式是解决问题的关键．　　解： 设汽船每次拖 只小船，每天来回 次，每天的运货量为 ．　　由题意设 ，则有 解得　　 ．于是 ．　　当 时， 此时 ．　　因此每天来回12次，每次拖6只小船，使运货重量最大，最大为72 ．　　说明：此题中所研究的函数与多个自变量有关，可以通过寻求这些变量间的关系代入后达到减少变量个数的目的，最终形成与元函数求最大(小)值的问题．　例12．工厂的质量检验车间积压着部分产品待检，与此同时，流水线传送带按定速度来待检产品．如果打开一部质检机，需半小时可使待检产品全部通过质量检验，同时打开两部质检机，只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验．现因生产需要在5分钟内将待检产品全部通过质量检验，此时最少要同时打开几部质检机?　　分析：每部质检机每分钟质检产品件数，传送带每分钟送来的产品数是列式计算的关键．　　解： 依题意，设积压的待检产品为 件，每部质检机每分钟质检 件，传来的待检产品每分钟增加 件，则 解得 ．　　若同时打开3部质检机，质检时间 ，将 代入得 ，若同时打开4部质检机，质检时间 ，将 代入得 ．　　故最少要同时打开4部质检机才能在5分钟内将待检产品全部通过检验．　　说明：对所列方程组，应将 看作未知数求解，这也是处理多个变量问题的一种处理策略．巩固练习一、选择题1． 在国内投寄平信，每件不超过20g，付邮资80分，超过20g而不足40g，付邮资160分，依次类推，每封重g（）的平信应付邮资为（单位：分）某人投寄一封重45g的平信，应付邮资（
D．320分2．已知矩形的周长为40cm，长y(Cm)是宽x(Cm)的函数，则该函数的定义域为（
）A．（0，20）
B．（0，40）
C．（0，20]
D．（0，40]3．如图，直角梯形OABC中，//OC，AB=1，OC=BC=2，直线x=t截此梯形所得位于直线x=t左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的图象大致为（
）4．按复利计算储蓄利率，存入银行万元，年利率为，年后支取，则本利和应为（
）　　A．万元
B．万元　　C．万元
D．万元5．已知镭经过年剩留原来质量的，设质量的镭经过年后剩留量为，则与之间的函数关系是（
D．6．某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走完余下的路程. 如果纵轴表示离单位的距离，横轴表示时间，则下列四个图形中比较符合此人所走情况的是（
）二、填空题7．一种产品的原成本为元，在今后年内计划使成本每年比上一年下降.成本（元）随经过的年数变化的函数关系式为______________________________.8．一商品零售价2002年比2001年上涨了，欲控制2003年比2001年只上涨，则2003年应比2002年降价____________.9．某种汽车在同一时间段里速度与耗油量之间有近似的函数关系式，则车速为__________________时，汽车的耗油量最少.10．已知气压（百帕）与海拔高度满足关系式，则海拔高处的气压为____________百帕.三、解答题11．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到共个数据，我们观察所测物理量的"最佳近似值"是这样一个量：与其他近似值相比，与各数据的差的平方和最小，按此规定，由得出的是多少？并说明理由.12．某种商品的销售量与它的销售价（元）之间的关系是，与总成本（元）之间的关系式是，若每月要获得5500元利润，要销售多少件这种商品？13．有甲、乙两种产品，生产这两种产品所获利润分别为和（万元），它们与投入的资金（万元）的关系分别为，，今投入3万元的资金生产甲、乙两种产品，为了获取最大利润，对甲、乙两种产品的投入分别应为多少万元？此时最大利润是多少？14．批发部经营某类商品，它的批发价（销售价）每只500元，毛利率为，该库存商品的资金有80%是从银行贷款而得，月利率为，商品的保管费用每月每只元，如要求不发生亏本，商品的平均储存期应为多少个月（毛利额=销售价毛利率）？答案与提示[答案]一、1．C
6．D二、7．
10．4.9三、11．　　12．要销售40件到50件这种产品　　13．甲、乙两种产品应分别投入0.75万元和2.25万元，最大利润为1.31万元　　14．平均储存期为10.5个月[提示]二、8．设2001年比2000年降价，则，得三、11．设近似值为，则.当时取最小值，即最佳近似值12．由题意，化简得　　∴13．设对甲产品投入万元，对乙产品投入万元，获利总利润为万元，则　　
.　　令，则
.　　.当，即时14．毛利额，进价，设储存个月后出售，，则‰，，，