[转载]初中数学几何证明题技巧
几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。
一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。
二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。
三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。
四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换成证明其他的结论，通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现，这时再把这些条件综合在一起，很条理的写出证明过程。
五要归纳总结。很多同学把一个题做出来，长长的松了一口气，接下来去做其他的，这个也是不可取的，应该花上几分钟的时间，回过头来找找所用的定理、公理、定义，重新审视这个题，总结这个题的解题思路，往后出现同样类型的题该怎样入手。
以上是常见证明题的解题思路，当然有一些的题设计的很巧妙，往往需要我们在填加辅助线，
分析已知、求证与图形，探索证明的思路。
对于证明题，有三种思考方式：
（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。
（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
&二、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明线段不等
1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角的不等
1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
十、证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆。
2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
5.到顶点距离相等的各点共圆
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初中数学圆与其他几何综合部分试题 29013字 投稿：莫猺猻
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1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E．则AD为（
试题分析：连结OD，OE,因为AC，BC切圆O于点D，E,所以OD?AC, OE?BC,OD=OE,又∠ACB＝90°，所以可得四边形ODCE是正方形，所以OD=CE，OE=CD，设AD=x，所以CD=CE=4﹣x，BE=6﹣（4﹣x）=x+2，易证△AOD∽OBE，所
，解得x=1．6，故选：B．
考点：1．切线的性质2．相似三角形的判定与性质．
2．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积是（
D．20 A．10cm2
B．10πcm2
试题分析：因为圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，所以圆锥的侧面积=11lr??2??2?5?10?，故选：C． 22
考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．
3．一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m，测得圆周角
?ACB?45?，则这个人工湖的直径AD为（
试题分析：连结BD，则∠D=?ACB?45?，∠ABD=90°，因为AB =100m，所以AD
=，故选：B.
考点：1.圆周角定理及其推论；2.锐角三角函数.
4．在⊙O 中,P是⊙O内一点，过点P最短和最长的弦分别为6和10，则经过点P且长度为整数的的弦共有（
【答案】B.
试题分析：如图，AB是直径，OA=5cm，OP=4cm，过点P作CD⊥AB，交圆于点C，D两点．
由垂径定理知，点P是CD的中点，由勾股定理求得，PC=3cm，CD=6cm，则CD是过点P最短的弦，长为6cm；
AB是过P最长的弦，长为10cm．
由圆的对称性知，过点P的弦的弦长长度为7cm，8cm，9cm的弦分别有2条，过点P的弦的弦长是6cm，10cm的各有1条，则总共有6+2=8条长度为整数的弦．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
5．如图，点A,B,C在⊙O上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（
【答案】A．
试题分析：在优弧AC上取点D
，连接AD，CD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°，
∴∠D=180°-10°=50°．
∵∠D与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOC=2∠D=100°．
考点：圆周角定理．
6．下列语句中不正确的有
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧．
【答案】B．
试题分析：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误； ②符合垂径定理，故本小题正确；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，故本小题错误； ④符合弧的概念，故本小题正确．
考点：1.垂径定理；2.圆的认识；3.圆心角、弧、弦的关系．
7．小明不慎把家里的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到一块与原来 大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（
【答案】B．
试题分析：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
考点：确定圆的条件．
8．如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB//OP．若阴影部分的面积为9?,则弦AB的长为（
【答案】C.
试题分析：连接OA，PC，OP，作OM垂直于AB于点M，
∵⊙O的AB切⊙P于点C，且AB∥OP，
∴PC⊥AB，
∴PC=OM，AM=BM，
∵阴影部分的面积为9π，
22∴πOA-πPC=9π，
22∴πOA-πOM=9π，
222∵OA=OM+AM
222∴π（OM+AM）-πOM=9π，
考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.切线的性质．
9．如图，Rt△ABC中，?ACB?90，?CAB?30，BC?2，O，H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（
【答案】C．
试题分析：连接BH，BH1，
∵O、H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
∴△OBH≌△O1BH1，
利用勾股定理可求得
所以利用扇形面积公式可得120??BH2?BC2?360120???7?4????． 360
考点：扇形面积的计算．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8，则tan∠COE＝（
【答案】B．
试题分析：∵直径AB=10，
∴OA=OC=OB=5，
∵AB⊥CD，
∴E为CD的中点，又CD=8，
∴CE=DE=4，
222在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC=CE+OE，
则tan∠COE=CE4?． OE3
考点：1.垂径定理；2.勾股定理；3.锐角三角函数的定义．
11．如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将ΔABC绕顶点A顺时针方向旋转至ΔAB'C'的位置，B，A，C'三点共线，则线段BC扫过的区域面积为
D．? 12126
试题分析：根据题意可得：S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积，因为∠C=90°，∠A=30°，AB=2，所以
∠BAB=∠CAC' =150°，所以S'阴影=AB扫过的扇形面
150???225??积-AC扫过的扇形面积
=，故选：C. 12360考点：1.扇形的面积计算；2.图形的旋转.
12．如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度/秒，以O
过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后（
【答案】B.
试题分析：根据题意，则作O′D⊥BC于D，则O′
在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′
∴O′C=2，
∴O′A=6-2=4，
ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.等边三角形的性质．
13．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（
【答案】A．
试题分析：设底面半径为R，则底面周长=2Rπ，半圆的弧长=53
221×2π×6=2πR， 2
考点：圆锥的计算．
14．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（
试题分析：设圆锥的底面半径为r，则2?r?6?，所以r=3，又扇形的半径为5cm，所
?4cm，故选：A. 以圆锥的高
考点：1．圆锥的侧面展开图；2.弧长公式；3.勾股定理.
15．如图⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，?A?22.5?，OC?4，CD的长为（
试题分析：因为⊙O的直径AB垂直于弦CD，所以CD=2CE, 又因为?A?22.5?，所以∠BOC＝45
°，所以CO??4,所以
CD=2CE=C. 考点：1.垂经定理；2.等腰三角形的性质；3.直角三角形的性质.
16．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（
D．无法确定
试题分析：因为⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，所以3＜5，即d＜r,所以直线l与⊙O相交，故选：A.
考点：直线与圆的位置关系.
17．如图，AB是⊙O的直径，弦AC，BC的长分别为4和6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为
【答案】B．
试题分析：作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=9，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD的长． 2
试题解析：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，AD?BD，
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，
?AD?BD， ??DF?BD
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∵AC=4，BC=6，
∴4+AF=6-AF，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质；3.等腰直角三角形；4.圆周角定理．
18．平面有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上。过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是
【答案】C．
试题分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆画出图形可得答案．
试题解析：如图所示：
考点：确定圆的条件．
19．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为（
【答案】A．
试题分析：根据图示知∠BAB′=45°，所以根据弧长公式l=
试题解析：根据图示知，∠BAB′=45°，
∴BB?的长为：n?r求得BB?的长． 18045???4??． 180
考点：1.弧长的计算；2.旋转的性质．
20．圆锥的母线长是3，底面半径是1，则这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为
【答案】B.
试题分析：由于圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，故先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
试题解析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π，
设圆心角的度数是x度．则x???3?2?， 180
解得：x=120．
考点：圆锥的计算
21．如图，有一枚圆形硬币，如果要在这枚硬币的周围摆放几枚与它完全相同的硬币，使得周围的硬币都和这枚硬币相外切，且相邻的硬币相外切，则这枚硬币周围最多可摆放
A．4枚硬币
B．5枚硬币
C．6枚硬币
D．8枚硬币
【答案】C．
试题分析：如图，我们只要求得过P对⊙O做切线夹角即可由360°÷夹角度数，得这枚硬币周围最多可摆放个数．
试题解析：如图，⊙P，⊙O，⊙M分别代表一枚硬币．
它们相切，连接PO，PM，OM，则PO=PM=OM．
∴∠OPM=60°
N是OM中点，连接PN．
则PN⊥OM．
∴PN与⊙O，⊙M相切，PN是∠OPM的平分线．
∴∠OPN=30°，
即过P作⊙O的切线与PO夹角为30°，所以过P作⊙O的两切线，则切线夹角为60° 即对应的⊙P的圆心角为60°，
∴⊙P周围摆放圆的个数为360°÷60°=6．
考点：相切两圆的性质．
22．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（
D．不能确定
【答案】A.
试题分析：由于圆心O到直线的距离小于圆的半径，故直线与圆相交.
试题解析：根据分析知：直线l与⊙O的位置关系是相交.
考点：直线与圆的位置关系.
23．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为
【答案】C.
试题分析：由OA⊥OB知∠AOB=90°，再由圆周角定理可知∠ACB的度数为45°. 试题解析：∵OA⊥OB
∴∠AOB=90°
∴∠ACB=11∠AOB=×90°=45°. 22
考点：圆周角定理.
24．下列说法中，正确的是（
A .长度相等的弧叫等弧
B.直角所对的弦是直径
C .同弦所对的圆周角相等
D.等弧所对的弦相等
【答案】D.
试题分析：
25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BOC=2∠BAD，则⊙O的直径为（
A．4 B．5 C．10 D．3
【答案】C．
试题分析：连结OD，如图，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠BOD=∠A+∠ODA=2∠A，∵∠BOC=2∠BAD，∴∠BOC=∠BOD，而OC=OD，∴OB⊥CD，∴CE=DE=11CD=×8=4，设⊙O22
的半径为R，则OE=AE﹣OA=8﹣R，在Rt△OCE中，∵OC2?OE2?CE2，∴R2?(8?R)2?42，解得R=5，即设⊙O的直径为10．故选C．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．圆周角定理．
26．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C＝40?，则∠ABD的度数是（
试题分析：∵AC为切线
∴∠OAC=90°
∵∠C=40°
∴∠AOC=50°
∴∠ABD=∠ODB
∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°
∴∠ABD=∠ODB=25°.
考点：圆的基本性质.
27．已知圆锥的底面的半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（
2222A．15πcm
试题分析：S=prl=15π.
考点：圆锥的侧面积计算.
28．两个圆的半径分别是2cm和7cm,圆心距是5cm,则这两个圆的位置关系是(
试题分析：圆心距d=R+r，则两圆外切；当d=R－r，则两圆内切；当d＞R+r，则两圆外离；当d＜R－r，则两圆内含.当R－r＜d＜R+r，则两圆相交.
考点：圆的位置关系
29．已知两圆的半径R，r分别为方程x－5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，则两圆的位置关系是（
试题分析：根据题意得：R=3，r=2.根据当d=R－r时，两圆内切.
考点：两圆的位置关系
30．如图，圆O1、圆O2的圆心O1、O2在直线l上，圆O1的半径为2 cm，圆O2的半径为3 cm，O1O2=8 cm．圆O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，圆O1与圆O2没有出现的位置关系是（
【答案】D．
试题分析：∵O1O2=8cm，⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，∴7s后两圆的圆心距为：1cm，此时两圆的半径的差为：3﹣2=1cm，∴此时内切，∴移动过程中没有内含这种位置关系，故选D．
考点：圆与圆的位置关系． 31．如图，已知⊙O是△ABD
的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的 弦， ∠ABD=58°，则∠BCD等于（
【答案】D．
试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°﹣∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．故选D．
考点：圆周角定理．
32．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（
【答案】D．
试题分析：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选D．
考点：1．垂径定理；2．勾股定理．
33．如图，CD是的直径，弦AB交CD于点E，CE?AB?8，A2B2?A3B2?2
?AOD?2?BCD，则的直径为（
．【答案】C
D所以试题分析：连接OB，则?BOD?2?BCD,因为?AOD?2?BC，
?BOD??AOD,所以CD?AB,所以AE=BE=4,设DE=x，则OE=4?
222由勾股定理可得(4?)?4?(4?),所以x?2，所以xx，OA=4?,22x
2x2O的直径CD=8+2=10,故
考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．勾股定理．
34．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°，则∠A的度数是
试题分析：根据OB=OC可得∠OCB=∠OBC=50°，则∠BOC=80°，根据同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半可得∠A=40°.
考点：圆周角的计算.
35．如图，在矩形ABCD中，AB?2AD?4，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为
．（结果保留?）
【答案】??【解析】
试题分析：因为在矩形ABCD中，AB=2DA =4，所以AB=AE=4，所
，所以∠DAE=60°，所以图中阴影部分的面积为
考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.三角函数；4.扇形的面积.
36．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是__
【答案】5.
试题分析：首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．
试题解析：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．
考点：三角形的外接圆与外心．
37．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C．若∠A=40?，则∠C=_____
【答案】25°．
试题分析：连接OB，AB与⊙O相切于点B，得到∠OBA=90°，根据三角形内角和得到∠AOB的度数，然后用三角形外角的性质求出∠C的度数．
试题解析：如图：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠OBA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠AOB=50°，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC=2∠C，
考点：切线的性质；圆周角定理．
38．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为
【答案】2.6.
试题分析：连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
试题解析：连接OA；
Rt△OAD中，AD=1AB=1米； 2
设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5-R；
222由勾股定理，得：OA=AD+OD，即：
222R=（5-R）+1，解得R=2.6（米）
考点：垂径定理的应用．
39．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=
【答案】40°．
试题分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．
试题解析：连接OD，
∵CD与圆O相切，
∴∠A=∠ODA=25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD=50°，
∴∠C=90°-50°=40°．
考点：1.切线的性质；2.圆周角定理．
40．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为_______ 。（结果保留π）
【答案】π+1
试题分析：根据题意可知：点A运动的路径是三段弧，如图所示：
所以点A运动的路径线与x轴围成的面积可分为四部分，即三个扇形，面积分别为S1、S2、S3、另加两个等腰直角三角形的面积，所以点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a
考点：1.图形的旋转；2.扇形的面积.
41．如图，已知PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，若PA＝12，BP＝8，则⊙O的半径为___________。
试题分析：连接OA，设圆的半径为r，因为PA切⊙O于点A，所以∠OAP＝90°，由勾
222r?12?(r?8)股定理可得：，解得r=5.
考点：1.圆的切线的性质；2.勾股定理.
42．如图，在⊙O中，∠D=70°，∠ACB=50°，则∠BAC=
【答案】20°．
试题分析：先根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=50°，则∠BDC=∠ADC-∠ADB=20°，然后再根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解．
试题解析：连结BD，如图，
∵∠ADB=∠ACB=50°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=70°-50°=20°，
∴∠BAC=∠BDC=20°．
考点：圆周角定理．
43．已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA＝6，则PB＝
【答案】6．
试题分析：根据切线长定理知：PA=PB，由此可求出PB的长．
试题解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，且A、B是切点；
∴PA=PB，即PB=6．
考点：切线长定理．
44．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m，母线长为2.5m，为防雨需在粮仓顶
2部铺上油毡，则这块油毡的面积是
【答案】15? 4.
22试题分析：圆锥的底面圆的半径=2.5?2?133，则圆锥的侧面积=×2π××222
5152=π（m）． 24
所以这块油毡的面积是
故答案为152πm． 415π． 4
考点：圆锥的计算．
45．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，
⌒上，若PA长为2，则△PEF的周长是
． 切点C在 AB
【答案】4.
试题分析：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
故答案：4．
考点：切线的性质．
46．如图，AB是⊙O的直径，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB、OM、ON．若AB＝2，∠ABC＝
④△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9．其中正确的结论有：
（把你认为正确结论的序号都填上）．
30°．给出以下结论：①△NBC是等边三角形；②△MON∽△ACB；③AM
【答案】①②③④．
试题分析：∵AB是⊙O直径，BE是⊙O切线，∴∠ABE=90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBN=60°，∵CE=BE，∴△NBC是等边三角形，∴①正确；
∵△NBC是等边三角形，∴∠CNO=∠ONB=30°，∴∠EOB=60°，连接OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，∵MA=MC，OM=OM，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=1∠AOC=30°，∴2
∠MOE=90°，在△MON和△ACB中，∵∠MON=∠ACB=90°，∠CNO=∠CBA=30°，∴△MON∽△ACB，∴②正确；
∵在Rt△AOM中，OA=1AMAMAB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即，解得：
△AMC的面积
=11，△BNC的面积
?AMAM?2?2?22=11，∴△AMC的面积与△BNC的面积之比
?BN?2BN?2?22:?1:9，∴④正确．故答案为：①②③④．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定；3．解直角三角形．
47．如图，△ABC内接于⊙O，AO＝2，BC
＝，则∠BAC的度数为
【答案】60．
试题分析：连结OB、OC，作OD⊥BC于D，如图，∵OD⊥BC，∴BD=11BC=×
在Rt△OBD中，OB=OA=2，
OBD=BDOB=OC，?OB∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴∠BAC=1∠BOC=60°．故答案为：60°．
考点：1．垂径定理；2．圆周角定理；3．解直角三角形．
48．如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=___________
【答案】90°
试题分析：∵AB为直径，则弧AB的度数为180°，根据圆周角的度数等于圆周角所对弧度数的一半可得：∠1的度数=
∠2=11弧AE的度数，∠2的度数=弧BE的度数，则∠1+221弧AB的度数=90°. 2
考点：圆的基本性质.
49．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为
试题分析：扇形的面积：S=
考点：扇形的面积计算.
2cm50．已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为__________． 11lr=×2×2=2. 22
【答案】20π
2cm，∴S=4×5π=20π. 考点：圆锥的侧面积计算.
51．如图，在圆O中，点A在圆内，B，C在圆上，其中OA=7，BC=18，∠A=∠B=60°，则OB=______．
试题分析：连结OB，过O作OD⊥BC，延长AO，交BC于点E，∵∠A=∠B=60°，∴∠OED=60°，∠EOD=30°，在Rt△ODE中，设DE=x，则OE=2x，
，∵OD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=CD=1BC=9，∵AE=BE，∴7+2x=9+x，解得：x=2，即
考点：1．垂径定理；2．等边三角形的判定与性质；3．勾股定理．
52．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，那么圆锥的侧面积是__________．（结果保留π）
【答案】300π．
试题分析：圆锥的底面周长为20π，即展开的扇形弧长为20π，根据弧长公式得：120?r1?20?，解得：r=30，圆锥的侧面积=?20??30?300?．故答案为：300π． 1802
考点：圆锥的计算．
53．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．
【答案】80°．
试题分析：∵∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故答案为：80°．
考点：圆周角定理．
54．已知∠?与∠?互余，且∠?=35?18?，则∠?=__________．
【答案】54?42'.
试题分析：根据互余的定义，∠?+∠?=90°，所以∠?=90°-35?18?=54?42'.
故答案为：54?42'.
考点：两角互余的定义.
55．如图，AB是⊙O的直径，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O切线CF，分别交AD，BE于点M、N，连接AC，CB，OM，ON．若AB＝2，∠
ABC＝30°.给出以下结论：①△NBC是等边三角形；②△MON∽△ACB；③AM
④△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9．其中正确的结论有：
（把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①②③④
试题分析：因为EF和BE是⊙O的两条切线，所以NB=NC, ∠ABN＝90°，又∠ABC＝30°，所以∠NBC＝60°，所以△NBC是等边三角形，故①正确；因为EF和BE是⊙O的两条切线，所以∠BNO＝∠ONC=∠ABC＝30°,又可证∠ACB＝∠MON＝90°，所以△MON∽△ACB，故②正确；根据条件可知在Rt△AOM和Rt△NBO中，∠AOM=∠BNO＝30°,OA=OB=1，所以AM
故③正确；过点C作CH?AM于点H，因为
,∠AMC＝120°，所以∠CMH＝60°，所以CH=111,所以△AMC的面积
=，△BNC?222的面积
=所以△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9，故④正确，2?，4所以①②③④都正确．
考点：1．切线的性质；2．切线长定理；3． 等边三角形的判定与性质；4．相似三角形的判定与性质；5．特殊角的三角函数值．
56．如图,在圆O中,点A在圆内,B,C在圆上，其中OA=7,BC=18,∠A=∠B=60°，则OB=
试题分析：作OD⊥BC于D点，延长AO交BC于E点，则BE=CE=9,因为∠A=∠B=60°，所以∠OED=60°，∠DOE=30°，在Rt△ODE中，设DE=x，则OE=2x，
，因为AE=BE，所以7+2x=9+x，解得x=2，
，所以OB????
考点：1.等边三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.垂经定理.
57．如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，那么圆锥的侧面积是__________．（结果保留π）
【答案】300π
试题分析：设圆锥母线长为R，圆锥底面半径为r， 由题意知；20π=
R=30，∵2πr=20π，
∴r=10．120??R， ∴180111 S圆锥侧=lR= ×20π×30=300π． 222
考点：圆锥的侧面展开图.
58．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．
【答案】80°
试题分析：根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC=2×40°=80°.
考点：圆周角定理
59．如图，小明想用图中所示的扇形纸片围成一个圆锥，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么围成的圆锥的高度是
试题分析：首先根据图示可得圆锥的母线长为5cm，根据弧长求出扇形的圆心角为216°，根r×360°=216°可得圆锥的半径为3cm，则根据勾股定理可得h=4cm. l
考点：圆锥的性质.
60．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
试题分析：根据题意可得∠ACB=90°，∠ODB=90°，∠B为公共角，则△ODB∽△ACB，则ODOB1==，则OD=3. ACAB2
考点：圆的性质、三角形相似的性质.
61．已知扇形的圆心角为45°，半径为12，则该扇形的弧长为
【答案】3π.
【解析】 试题分析：根据弧长的计算公式可得：l=npr45p?12==3π. 180180
考点：弧长计算公式.
62．如图，已知AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD.给出以下结论：①AD∥OC；②FC=FE；③点E为△CDB的内心.其中正确的是________________（填序号）
【答案】①、③.
试题分析：①连接OD，DE，EB．CD与BC是⊙O的切线，易证△CDO≌△CBO，则∠DCO=∠BCO．故OC⊥BD．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OC，故①正确；
③∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=11∠DOE，而∠BDE=∠BOE，∴∠CDE=∠BDE， 22
即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，因此E为△CBD的内心，故③正确；
②若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故②不正确；
考点：圆的切线的性质.
63．如图，PA，PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝75°，∠P的度数=
【答案】30°
试题分析：连接OB，根据题意可得：∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=75°，∴∠AOB=150°，则∠P=360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB=30°.
考点：切线的性质，圆的基本性质
64．如图, △ABC内接于⊙O, AD⊥BC于D, AE是⊙O的直径. 若AB=6, AC=8, AE=11, 求AD的长.
【答案】48. 11
试题分析：连接CE，由圆周角定理，得∠E=∠B，由AE为直径，AD⊥BC，得∠ACE=∠ADB=90°，从而证明△ACE∽△ADB，利用相似比求AD．
试题解析：连接CE，则∠E=∠B，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ACE=∠ADB=90°，
∴△ACE∽△ADB， AEAC?， ABAD
118?即， 6AD
48解得AD=. 11∴
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.圆周角定理．
65．如图，圆心角∠AOB=120°，弦AB=2cm.
（1）求⊙O的半径r；
（2）求劣弧AB 的长（结果保留?）.
4πcm． 3【答案】（1）2cm；（2）
试题分析：（1）作OC⊥AB于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即可；
（2）利用上题求得的圆的半径，将其代入弧长的公式求得弧长即可．
试题解析：（1）作OC⊥AB于C，则AC=1
∵∠AOB=120°，OA=OB∴∠A=30°．
AC=2cm． cos30?
n4（2）劣弧AB的长=πr=πcm． 1803∴在Rt△AOC中，r=OA=
考点：1.弧长的计算；2.垂径定理；3.解直角三角形．
66．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若?
AEC??ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB?10，BC?8时，求BD的长．
【答案】（1）直线BD和⊙O相切；理由见解析；（2）20. 3
试题分析：（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°所以则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直与AB，所以BD为切线．
（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又有（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可有勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD． 试题解析：（1）直线BD和⊙O相切
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB
∴∠DBC+∠ODB=90°
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°
∴直线BD和⊙O相切．
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∵直径AB=10
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB ACBC?
68∴?， 5BD
考点：1.圆的切线的性质定理的证明；2.圆的切线的判定定理的证明．
67．（本小题满分12分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆ADB的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE． ?
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．
【答案】（1）真命题．（2）a：b：c=1：2：．（3）①见解析②60°或120°．
试题分析：（1）设等边三角形的边长为a，代入检验即可；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可得
a+b=c①，因为Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，所以a+c=2b②，然后可得b=2a，222222
c=3a，代入可求；（3）①要证明△ACE是奇异三角形，只需证AC+CE=2AE即可；②222
由①可得ΔACE是奇异三角形，所以AC+CE=2AE． 当ΔACE是直角三角形时，由（2）可得AC：AE：CE=1：2：或AC：AE：CE=3：2： 1．然后分两种情况讨论. 试题解析：解：（1）真命题．
222（2）在RtΔABC中，a+b=c，
222222∵c>b>a>0，∴2c>a+b，2a<b+c，
222若△ABC是奇异三角形，一定有2b=a+c，
∴2b=a+（a+b），∴b=2a，得b=2a．
∵c=b+a=3a，∴c=a， 2222
∴a：b：c=1：2：3．
（3）在RtΔABC中，a+b=c，
①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，
222在RtΔACB中，AC+BC=AB；
222在RtΔADB中，AD+BD=AB．
∵D是半圆ADB的中点，∴AD?BD，
2222∴AB=AD+BD=2AD，
222又∵CB=CE．AE=AD，∴AC+CE=2AE．
∴ΔACE是奇异三角形．
222②由①可得ΔACE是奇异三角形，∴AC+CE=2AE．
当ΔACE是直角三角形时，
由（2）可得AC：AE：CE=1：2：或AC：AE：CE=3：2： 1．
（Ⅰ）当AC：AE：CE=1：2：3时，
AC：CE=1：3，即AC：CB=1：3．
∵∠ACB=900，．∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°．
（Ⅱ）当AC：AE：CE=：2：1时，
AC：CE=3：1，即AC：CB=：1．
∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°．
考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.
68．（本小题满分10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是圆上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线?请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．
【答案】（1）当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线；（2）DP=
试题分析：（1）根据题意猜想当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线，因为DP∥BC，所以只需要证明PA⊥BC，可得DP⊥PA，而在△ABC中利用三线合一可证PA⊥BC；（2）连接OB，设PA交BC于点E．在RtΔABE和RtΔOBE中，由勾股定理，可求AE和⊙O的半径的长，然后证明ΔABE∽ΔADP，利用相似三角形的性质可得DP=
???75． 875． 8
试题解析：解：（1）当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线．
理由如下：
连接AP，∵AB=AC，∴AB=AC．
又∵PB=PC，∴PBA=PCA．
∴PA是⊙O的直径．
∵PB=PC，∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，∴PA⊥BC．
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA．
∴DP是⊙O的切线．
（2）连接OB，设PA交BC于点E．
由垂径定理，得BE=EC=6．
在RtΔABE中，由勾股定理，
得AE=AB2?BE2=2?62=8．
设⊙O的半径为r，则OE=8-r，
在RtΔOBE中，由勾股定理，
2得r2?62?，解得r=（8?r）25．
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D．
又∵∠1=∠1，∴ΔABE∽ΔADP， ∴BEAE6?，即?DPAPDP758，解得DP=．
（10分） 2582?4
．点P为优弧AB上一点（点考点：1.切线的判定；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质. 69．图1和图2中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB=2
P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．
（1）点O到弦AB的距离是
，当BP经过点O时，∠ABA′=
（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：
（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．
【答案】（1）1、60．（2）
（3）α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
试题分析：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
（3）根据点A′的位置不同，分点A′在⊙O内和⊙O外两种情况进行讨论．点A′在⊙O内时，线段BA′与优弧AB都只有一个公共点B，α的范围是0°＜α＜30°；当点A′在⊙O的外部时，从BA′与⊙O相切开始，以后线段BA′与优弧AB都只有一个
公共点B，α的范围是60°≤α＜120°．从而得到：线段BA′与优弧AB只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
试题解析：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=OH1?． OB2
∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=1OB=1． 2
∵OG⊥BP，
∴折痕的长为
（3）若线段BA′与优弧AB只有一个公共点B，
Ⅰ．当点A′在⊙O的内部时，此时α的范围是0°＜α＜30°．
Ⅱ．当点A′在⊙O的外部时，此时α的范围是60°≤α＜120°．
综上所述：线段BA′与优弧AB只有一个公共点B时，α的取值范围是0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．
考点：圆的综合题．
70．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
2（2）求证：AC=ADoAB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3
试题分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；
（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC为半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）证明：连接BC，
∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC， ∴ADAC?， ACAB
2∴AC=ADoAB．
（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∴△OAC是等边三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=11AC=×2=1， 22
由勾股定理得：
2221∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=×（2+1
=??． 236023
考点：圆的综合题．
71．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，
4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．
【答案】（1）作图见解析；（2
41（3）?. ；4【解析】
试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．
试题解析：（1）△A1OB1如图所示；
（2）由勾股定理得，
所以，点B所经过的路径长
（3）由勾股定理得，，
∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB
BO扫过的面积=S扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，
=S扇形A1OA，
90?241=?? 3604
考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．
72．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点
N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM=2，求⊙O的直径． 3
【答案】（1）证明见解析；（2）6.
试题分析：（1）由∠C与∠M是BD所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得BC?BD，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=
试题解析：（1）证明：∵∠C与∠M是BD所对的圆周角，
∴∠BCD=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；
（2）解：连接AC， 2，即可求得⊙O的直径． 3
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=BC， AB
2，BC=4， 3
42? ∴AB3∵sinM=
解得，AB=6，
即⊙O的直径为6．
考点：1.圆周角定理；2.垂径定理；3解直角三角形．
73．（11分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AC=8，AD=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由见解析.
试题分析：（1）连接BD，在RT△ABC中，由勾股定理可得AC=8，在等腰直角三角形ABD中可得AD=5cm；
（2）观察图形可得直线PC与⊙O相切，连接OC，根据条件证明OC⊥PC，即可. 试题解析：解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，
②∵CD平分∠ACB，
∴Rt△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=×10=5cm；
（2）直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE=∠ECB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
∴直线PC与⊙O相切．
考点：1.圆周角定理及其推论；2.勾股定理；3.等腰直角三角形的判定与性质；4.切线的判定.
74．（10分）如图，⊙O的半径OB＝5 cm，AB是⊙O的弦，点C是AB延长线上一点，且∠OCA＝30°，OC＝8 cm，求AB的长．
【答案】AB＝6（cm）．
试题分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂经定理可得AD＝BD，然后 在Rt△DOC中，求出OD的长，在Rt△OBD中，求出BD的长，可得AB的长.
试题解析：解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD＝BD=
在Rt△DOC中，∠OCA＝30°，OC＝8 cm，
∴OD＝1 AB．
3分 21OC＝4（cm）．
在Rt△OBD中，BD
∴AB＝2BD＝6（cm）．
考点：1.垂经定理；2.三角函数；3.勾股定理.
75．（10分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止．设移动的时间为t秒．
（1）当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
（2）求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；
（3）在P，Q移动过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值；
【答案】（1）3.75；（2
3）当PC=QC），PQ=QC） 【解析】
试题分析：（1）过点P作PD⊥BC于D，求出AP=2.5，再利用相似求出CQ边上的高就可以求面积；
（2）先表示出
PC、CQ，再利用Rt△QEC∽Rt△ABC求出PC边上的高就可以求面积；
（3）分PC=PQ、PC=CQ、PQ=CQ三种情况求解即可.
试题解析：在Rt△ABC中，AB=6米，BC=8米，∴AC=10米
由题意得：AP=2t，CP=10-2t , CQ=t
（1）∵t=2.5，AP=2×2.5=5，QC=2.5
作PD⊥BC于D
∴∠B=∠PDC=90°
又由∠C=∠B
Rt△ABC∽Rt△PDC，∴∴，
（2） 过点Q作QE⊥PC于点E
在Rt△QEC和Rt△ABC中
Rt△QEC∽Rt△ABC， ∴
）PQ=PC）△CPQ为等腰三角形；
考点：相似三角形的性质的应用.
O为正方形ABCD对角线AC上一点，OA长为半径的⊙O与BC76．如图，
以O为圆心，
相切于点M．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】
试题分析：（1）过O作ON⊥CD于N，连接OM，由切线的性质可知，OM⊥BC，再由AC是
正方形ABCD的对角线可知AC是∠BCD的平分线，由角平分线的性质可知OM=ON，故CD与⊙O相切；
（2）先根据正方形的性质得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长．
试题解析：（1）解：过O作ON?CD于N，连结OM，则OM?BC．
∵ AC是正方形ABCD的对角线，
∴ AC是?BCD的平分线．
∴ OM=ON．
即圆心O到CD
的距离等于⊙O半径，
∴ CD与⊙O相切．
（2）由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径，
∴ OM=MC=1．
∴ OC2?OM2?MC2?1?1?2,
AC?AO?OC?1在Rt△ABC中，AB=BC,
AC2?AB2?BC2
∴ 2AB2?AC2
考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.正方形的性质．
77．如图，在△ABC中，?C?120?,AC?BC,AB?4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，故正方形ABCD
BC分别相切于点D， E．
（1）求半圆O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）1；（2
试题分析：（1）连接OC，OD，OE，根据切线的性质得到OD⊥AC，在直角△AOD中，用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出半圆的半径．
（2）先在直角△AOC中求出OC的长，计算出△ABC的面积，然后用三角形的面积减去半圆的面积得到阴影部分的面积．
试题解析：（1）解：连结OD， OC，
∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E
∴?DCO??ECO,且OD?AC
∴CO?AB且O是AB的中点 ∴AO?1AB?2 2
∵?C?120?,∴?DCO?60?
∴在Rt△AOD中，OD?1AO?1 2
即半圆的半径为1.
（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为?A?30?，所以AC=2x，由勾股定理得： AC2?OC2?AO2
(2x)2?x2?22
S△ABC?（x?舍去） 11AB?OC??4? 22∵ 半圆的半径为1，
∴ 半圆的面积为
S阴影??, 2??? 2考点：1.扇形面积的计算；2.切线的性质．
78．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D
，AB??B?60?,?C?75?，求?BOD的度数；
【答案】90°．
试题分析：先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由圆周角定理即可求解． 试题解析：在△ABC中，?B?60?,?C?75?,
??A?45?． AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D,
∴?DOB?2?A?90?
考点：圆周角定理．
79．（1）如图一，图二，等边三角形MNP的边长为1，线段AB的长为4，点M与A重合，点N在线段AB上．△MNP沿线段AB按A?B的方向滚动， 直至△MNP中有一个点与点B重合为止，则点P经过的路程为
（2）如图三，正方形MNPQ的边长为1，正方形ABCD的边长为2，点M与点A重合，点N在线段AB上，点P在正方形内部，正方形MNPQ沿正方形ABCD的边按A?B?C?D?A?的方向滚动，始终保持M,N,P,Q四点在正方形内部或边界上，直至正方形MNPQ回到初始位置为止，则点P经过的最短路程为
（注：以△MNP为例，△MNP沿线段AB按A?B的方向滚动指的是先以顶点N为中心顺时针旋转，当顶点P落在线段AB上时，再以顶点P为中心顺时针旋转，如此继续．多边形沿直线滚动与此类似．） 【答案】4?；2?． 3
试题分析：（1）点P经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120°，根据l?算即可；
（2）点P经过的路程是四段弧，半径为1，圆心角为90°，根据l?
计算即可． 180
?2?． （2）点P经过的最短路程：4×
试题解析：（1）点P经过的路程是：2×
考点：1.弧长的计算；2.等边三角形的性质；3.正方形的性质；4.旋转的性质． 80．（10分））如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆⊙0，交BC于点D，连接AD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙0的切线; （2）如果⊙0的半径为9，sin∠ADE=【答案】(1)见解析；(2)AE=
，求AE的长． 9
【解析】 试题分析：：（1）连结OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠DAC=∠DAB，根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可计算出AD=8，在Rt△ADE中可计算出
得△FDO∽△FEA，再利用相似比可计算出BF 试题解析：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB为⊙0的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， ∵AB=AC，
∴AD平分BC，即DB=DC， ∵OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE，
∴EF是⊙0的切线； ∵∠DAC=∠DAB， ∴∠ADE=∠ABD，
在Rt△ADB中，sin∠ADE=sin∠ABD=∴AD=14，
在Rt△ADE中，sin∠ADE=∴AE=
?，而AB=18， AB9
考点：切线的判定；圆周角定理. 81．（本题满分11分）
如图，△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
，求CE的长． 13
【答案】（1）证明见试题解析；（2）．
（2）若AB=13，sinB=
【解析】 试题分析：（1）连接DO与AD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，由AB=AC，得到BD=DC且∠B=∠C，即D为BC的中点，因为O为AB的中点，所以OD∥AC，由DE⊥AC，得到DE⊥OD，即可得出结论； （2）由AB=13，sinB=
?，得到AD=12，从而得到DC=5，由△ABD∽△DCE，得到，
从而求出CE的长．
试题解析：（1）连接DO与AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC且∠B=∠C，即D为BC的中点，∵O为AB的中点，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线； （
，即AD=12，
∴BD??5，∴DC=5，在△ABD和△DCE中，∵∠B=∠C，
DCCEBD?DC25
??，∴CE?． ABBDAB13
∠CED=∠ABD=90°，∴△ABD∽△DCE，
考点：1．切线的性质；2．几何综合题． 82．（本题满分12分）
如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D．
（1）如图1，连接BD并延长BD交AC于点E，连接AD． ①证明：△CDE∽△CAD；
②若AB＝2，AC
＝CD和CE的长；
（2）如图2，过点C作⊙O的另一条切线，切点为F，连结AF、BF，若OC＝的值．
【答案】(1)①证明见试题解析；②CD=2，
【解析】 试题分析：（1）由AC是⊙O的切线，得到∠1+∠BAD=90°，又由AB是⊙O的直径，得到∠B+∠BAD=90°，故有∠1=∠B，又由OB=OD，得到∠2=∠B，又因∠2=∠3，得到∠3=∠B，得到∠1=∠3，由∠C=∠C，得到△CDE∽△CAD；
（2）在Rt△AOC中，算出OC，进而算出CD的长，由△CDE∽△CAD，得到解出CE的长；
9CABF，求2BF
?，故AB?OA?CO?BF，又OC=BF，AB=2r，COOA2
OA=r，得到BF?BF?2r，得到BF=r，OC=3r，在Rt△COA中，由勾股定理求出
CA的长，再算．
（3）由△ABF∽△COA，得到
试题解析：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠1+∠BAD=90°，又∵AB是⊙O的直径，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠1=∠B，又∵OB=OD，∴∠2=∠B，又∵∠2=∠3，∴∠3=∠B，∴∠1=∠3，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAD； （2）在Rt△AOC中，
?3，∴CD=OC－OD=3－1=2，∵△CDE∽△CAD，
?CACD2ABBF9
?，∴AB?OA?CO?BF，又OC=BF，AB=2r，COOA2
OA=r（r为⊙O的半径），∴BF?BF?2r，∴BF=r，OC=3r，在Rt△COA中，由
勾股定理知：
（3）由△ABF∽△COA，∴
考点：圆的综合题． 83．（本题共8分，每小题4分） (1)、如下图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,⊙O的弦AE交于BC于D. 求证：AB·AC=AD·AE
(2)、如下图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC,当弦AE的延长线与BC的延长线相交于点D时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明。若不成立，请说明理由。
【答案】见解析. 【解析】
试题分析：(1)、连接CE，根据AB=AC得出弧AB=弧AC，根据等弧对等角得出∠AEC=∠ACD，结合∠EAC=∠DAC得到△AEC和△ACD相似，从而得出AC=AD·AE，根据AB=AC得到所求的结论；(2)、方法同第一题一样，利用三角形相似来进行证明. 试题解析：（1）证明：连接CE，
考点：圆的基本性质、相似三角形的应用. 84．（9分）如图，AB是的直径，点D在
上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．
(1)、判断直线CD与的位置关系，并说明理由； (2)、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)、相切；(2)、
试题分析：(1)、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB得出∠ODC=90°，从而说明切线；(2)、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积. 试题解析：（1）直线CD与⊙O相切．
∵OA＝OD，∠DAB＝45°，∴∠ODA＝45°．
∴∠AOD＝90°． 又∵
∴∠ODC＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD．
又∵点D在⊙O上，
∴直线CD与⊙O相切．
(2)、∵BC∥AD，CD∥AB，
∴ 四边形ABCD是平行四边形．∴CD＝AB＝2． ∴梯形OBCD的面积
∴图中阴影部分的面积=梯形OBCD的面积－扇形OBD的面积=
313p-创p12=-.
考点：切线的判定、扇形的面积计算.
85．（7分）如图，已知是边长为2的等边△ABC的内切圆，求
【答案】p.
试题分析：设切点为点D，连接OB、OD，根据内切圆的性质，设OD=r，则OB=2r，BD=1，根据Rt△BOD的勾股定理求出r的值，然后计算面积. 试题解析：设与BC的切点为D，连接OB、OD.
则∠OBD=30°，设OD=r
∵(2r)2=r2+12
的面积为：p.
考点：内切圆的性质. 86．（6分）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽度．
【答案】3cm 【解析】
试题分析：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，根据垂径定理得出DM=4cm，OD=5cm，根据Rt△ODM的勾股定理可以求出OM的长度.
试题解析：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD.
在Rt△ODM中，OD=OC=5
∴直尺的宽度为3cm.
考点：垂径定理
87．图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′； （2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，5π． 【解析】 试题分析：（1）连接AO、BO、CO并延长到2AO、2BO、2CO长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）△A′B′C′的A′、C′绕点B′顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接即可．A′B′在旋转过程中扫过的图形面积是一个扇形，根据扇形的面积公式计算即可． 试题解析：（1）见图中△A′B′C′（直接画出图形，不画辅助线不扣分）； （2）见图中△A″B′C″（直接画出图形，不画辅助线不扣分）， S=
(2?42)???20?5?（平方单位）．
考点：1．扇形面积的计算；2．作图-旋转变换；3．作图-位似变换；4．网格型． 88．如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）6． 【解析】 试题分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径． 试题解析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9﹣4=5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE，∴DC=AD+BC=4+9=13，在Rt△DFC中，
DC2?DF2?FC
?12，∴AB=12
，∴⊙O的半径
考点：1．切线的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理．
89．如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的
切线交于点G，并与AB延长线交于点E．
（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）6． 【解析】
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥DE，则∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，则∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2； （2）由OF：OB=1：3，⊙O的半径为3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，则EF=x，OE=1+x，根据勾股定理得32?x2?(x?1)2，解得x?4，则DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可计算出AG． 试题解析：（1）连接OD，如图，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；
（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2?DE2?OE2，∴32?x2?(x?1)2，解得x?4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴
??，即，∴AG=6．
考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定与性质．
90．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数； （2）若AB=4，AC=3，求DE的长． 【答案】（1）35°；（2
【解析】 试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得． 试题解析：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=
180??AOD180?70
??55，∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，
OE⊥AC，∴AE=EC，又
∵OA=OB，∴OE=
11，又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣
2考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质；3．三角形中位线定理．
91．（本题满分11分）如图，△ABC中，AB=AC，以边AB为直径作O，交BC于点D，过D作DE?AC于点E．
（1）求证：DE为O的切线；
，求CE的长． 1325
【答案】（1）见解析；（2）．
（2）若AB=13，sinB=
【解析】 试题分析：（1）连接DO与AD，只需证明DE⊥OD即可，根据三线合一可得D为BC的中点，然后根据三角形的中位线定理可证OD∥AC，因为DE?AC，所以DE⊥
，求出线段AD?12，然后根据勾股定理可得13
BD=CD=5，然后利用△ABD∽△DCE，可求出CE的长；也可先利用sinC=sinB=
求出DE的长，在利用勾股定理求出CE的长． 试题解析：（1）证明：连接DO与AD
OD；（2）先根据AB=13，sinB=
∵AB是O的直径，∴?ADB?90? 即AD?BC
∵AB=AC，∴BD?DC且?B??C 即D为BC的中点
∵O为AB的中点，∴OD∥AC ∵DE?AC，∴DE⊥OD
∴DE为O的切线． （2）解：∵AB=13，sinB=∴
?，即AD?12
∴BD??5，∴DC?5．
在△ABD和△DCE中，?B??C，?CED??ABD?90?
∴△ABD∽△DCE，
∴CE?DCCE?． ABBDBD?DC25?． AB13
考点：1．等腰三角形的性质；2．勾股定理；3．三角函数；4．相似三角形的判定与性质． 92．如图，AB是⊙O的直径，AM
、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．
【答案】（1）见解析；（2）过点D作DF⊥BC于点F，将梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，得出FC=9﹣4=5，根据切线长定理得DC=AD+BC=4+9=13，然后在直角三角形DCF中用勾股定理求出DF的长，可解.
【解析】 试题分析：（1）过点O作OE⊥DC于E，然后利用角平分线的性质证明
OE=OA即可；（2） 试题解析：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
又∵DO平分∠ADC，
∵OA为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∴AM，BN分别切⊙O于点A，B， ∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD=BF，AB=DF，
又∵AD=4，BC=9，
∴FC=9﹣4=5，
∴AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴DA=DE，CB=CE，
∴DC=AD+BC=4+9=13，
222在RT△DFC中， DC=DF+FC，
∴DF==12，
试卷第51页，总57页
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E．则AD为（ ） A．2．5 B．1．6 C．1．5 D．1【答案】B【解析】试题分析：连结OD，OE,因为AC，BC…
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