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已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1）），Q（x2，f&（x2&）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x1+x2＞65．
题型：解答题难度：中档来源：东城区二模
（1）由已知，得x＞0，f′(x)=a+1ax-1x2-1=-x2-(a+1a)x+1x2=-(x-a)(x-1a)x2．由f′（x）=0，得x1=1a，x2=a．因为a＞1，所以0＜1a＜1，且a＞1a．所以在区间（0，1a）上，f′（x）＜0；在区间（1a，1）上，f′（x）＞0．故f（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，1）上单调递增．证明：（2）由题意可得，当a∈[3，+∞）时，f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）．即a+1ax1-1x12-1=a+1ax2-1x22-1，所以a+1a=1x1+1x2=x1+x2x1x2，a∈[3，+∞）．因为x1，x2＞0，且x1≠x2，所以x1x2＜(x1+x22)2恒成立，所以1x1x2＞4(x1+x2)2，又x1+x2＞0，所以a+1a=x1+x2x1x2＞4x1+x2，整理得x1+x2＞4a+1a，令g（a）=4a+1a，因为a∈[3，+∞），所以a+1a单调递增，g（a）单调递减，所以g（a）在[3，+∞）上的最大值为g（3）=65，所以x1+x2＞65．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“已知函数f（x）=（a+1a）lnx+1x-x（a＞1）．（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上..”考查相似的试题有：
826092811133767401489147624435887329您好！解答详情请参考：
菁优解析考点：．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=xo求导数判断，h′（x）=2，且y=x-2-lnx，y′=1-＞0在x＞1成立，y=x-2-lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．解答：解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=xo，h′（x）=2，且y=x-2-lnx，y′=1-＞0在x＞1成立，∴即3-2-ln3＜0，4-2-ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B点评：本题考查了学生的构造函数，求导数，解决函数零点问题，综合性较强，属于难题．答题：sdpyqzh老师　
其它回答（1条）
做出 f（x）和 g（x）大致图象，只需 f（x）＞g（x）在（1，+∞） 恒成立即可，可转化为 1+ln x＞k-k/x.令F（x）=1+lnx-k+k/x， F'（x）=（x-k）/x^2 ．F（x）在（0，k）单调递减， 在（k，+∞） 递增． F（x）min=F（k）=2-k+ln k＞0 k=1时， F（1）=2-1+0=1＞0 符合题意， k=2时， F（2）=2-2+ln2＞0 符合题意． k=3时 F（3）=2-3+ln3＞0 k=4 时 F（4）=-2+ln2＜0. 故k的最大值3当0＜x＜1 经验证也成立．
&&&&，V2.19883请问一下f(x)=Lnx （x－a)（x－a)，a∈Rint Count(BYTE v)_百度知道
请问一下f(x)=Lnx （x－a)（x－a)，a∈Rint Count(BYTE v)
1×2 1＼2×3 1＼3×4 …… 1＼49×50所以|x|=0
提问者采纳
y=(m-1）x2 (m-2）x-1假设线相交于点O假设y=lg[X √(x2 1)]若[x √(x2 1)][y (√y2 1)]=1y=cosx=sin（x 丌/2)
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出门在外也不愁已知函数 f(x)=x-2/x+a(2-lnx),a＞0,讨论f(x)的单调性.请问1,这个a就是参数吧?2,需要先对a的取值进行讨论么?希望知道的朋友能帮下忙!
f(x)=x-2/x+a（2-lnx）=x-2/x+2a-alnx（a>0)f'(x)=1+2/x^2-a/x=（x^2+2-ax)/x^2已知x^2>0所以只需讨论x^2+2-ax即可x^2+2-ax为二次函数令g(x)=x^2+2-ax当△==0恒成立,f'(x)>=0也恒成立,此时00且g(0)=2>0,所以x=√(a^2/4-2)±1/2a两根都可以取到所以当a>√8时函数单调递增区间为(0 ,√(a^2/4-2)-1/2a）和（√(a^2/4-2)+1/2a ,+∞） 单调递减区间为[√(a^2/4-2)-1/2a ,√(a^2/4-2)+1/2a ]
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2333333大苏打
扫描下载二维码设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．解：（1）求导数可得f′（x）=∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1．g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意．故a的取值范围为：a＞e．（2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点；③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞∴f（x）有1个零点综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．略山东省德州市某中学2014届高三上学期期中考试理科数学答案
解：（1）求导数可得f′（x）=∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴≤0在（1，+∞）上恒成立，∴a≥，x∈（1，+∞）．∴a≥1． g′（x）=ex-a，若1≤a≤e，则g′（x）=ex-a≥0在（1，+∞）上恒成立，g（x）=ex-ax在（1，+∞）上是单调增函数，无最小值，不符合题意；若a＞e，则g（x）=ex-ax在（1，lna）上是单调减函数，在（lna，+∞）上是单调增函数，gmin（x）=g（lna），满足题意． 故a的取值范围为：a＞e． （2）g′（x）=ex-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，则a≤ex在（-1，+∞）上恒成立，∴a≤ f′（x）=（x＞0）0＜a≤，令f′（x）＞0得增区间（0，）；令f′（x）＜0得减区间（）当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞∴当x=时，f（）=-lna-1≥0，当且仅当a=时取等号∴当a=时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点；②a=0时，则f（x）=-lnx，∴f（x）有1个零点； ③a＜0时，f′(x)＝≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是单调增函数当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→+∞∴f（x）有1个零点 综上所述，当a=或a≤0时，f（x）有1个零点；当0＜a＜时，f（x）有2个零点．相关试题