d是a1—an的最大公因数教学反思 e为a1—...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-29 05:42 标签： 最大公因数教学反思
最大公因数 -
最大公因数，又称最大公约数，英文Greatest&Common&，缩写GCD．&　　
n(≥2)个自然数a1,a2,…,an的最大公因数。
最大公因数 -
常有两种定义方式：&　　
1.&它们的所有公因数中最大的那一个；&　　
2.&如果自然数m是这n个自然数的公因数，且这n个数的任意公因数都是m的因数，就称m是这n个数的最大公因数．&　　
a1,a2,…,an的最大公因数在国内常记为(a1,a2,…,an)，国际通用记号为g.c.d.(a1,a2,…,an)．&　　
最大公因数必须为整数.&　　
最大公因数用（&）表示，例如：（1，2）=1。
最大公因数 -
早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作中给出了高效的解法——法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,&y）表示x，y的最大公约数，取k&=&x/y，b&=&x%y，则x&=&ky&+&b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,&y）=&f（y,&y&%&x）（y&&&0），如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。
最大公因数 -
重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)&（交换律）gcd(-a,b)=gcd(a,b)&gcd(a,a)=|a|&gcd(a,0)=|a|&gcd(a,1)=1&gcd(a,b)=gcd(b,&a&mod&b)&gcd(a,b)=gcd(b,&a-b)&如果有附加的一个自然数m,&则:&gcd(ma,mb)=m&*&gcd(a,b)&(分配率)&gcd(a+mb&,b)=gcd(a,b)&　　如果m是a和b的最大公约数，则：&gcd(a/m&,b/m)=gcd(a,b)/m&在乘法函数中有：gcd(ab,m)=gcd(a,m)&*&gcd(b,m)&两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：*&两数各分解质因子，然后取出同样有的项乘起来&&辗转相除法（扩展版）&　　和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a,&b)&*&lcm(a,&b)&=&ab&两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：*&gcd(a,&lcm(b,&c))&=&lcm(gcd(a,&b),&gcd(a,&c))&　　*&lcm(a,&gcd(b,&c))&=&gcd(lcm(a,&b),&lcm(a,&c))&在坐标里，将点(0,&0)和(a,&b)连起来，通过整数坐标的点的数目（除了(0,&0)一点之外）就是gcd(a,&b)。
最大公因数 -
1、欧几里德算法和扩展欧几里德算法&　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的&　　&&
欧几里得 最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：&定理：gcd(a,b)&=&gcd(b,a&mod&b)&　　
证明：a可以表示成a&=&kb&+&r，则r&=&a&mod&b&　　
假设d是a,b的一个公约数，则有&　　d|a,&d|b，而r&=&a&-&kb，因此d|r&　　因此d是(b,a&mod&b)的公约数&　　
假设d&是(b,a&mod&b)的公约数，则&　　d&|&b&,&d&|r&，但是a&=&kb&+r&　　因此d也是(a,b)的公约数&　　因此(a,b)和(b,a&mod&b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证&　　就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：&　　void&swap(int&&&a,&int&&&b)&　　{&　　int&c&=&a;&　　a&=&b;&　　b&=&c;&　　}&　　int&gcd(int&a,int&b)&　　{&　　if(0&==&a&)&　　{&　　return&b;&　　}&　　if(&0&==&b)&　　{&　　return&a;&　　}&　　if(a&&&b)&　　{&　　swap(a,b);&　　}&　　int&c;&　　for(c&=&a&%&b&;&c&&&0&;&c&=&a&%&b)&　　{&　　a&=&b;&　　b&=&c;&　　}&　　return&b;&　　}&　　2、&　　欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无&　　&&
寻找最大公约数 论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。&考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛法和取模。&　　
Stein算法由J.&Stein&1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。&　　
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：&　　
gcd(a,a)&=&a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身&　　
gcd(ka,kb)&=&k&gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除&　　
C++/java&实现&　　//&c++/java&stein&算法&　　int&gcd(int&a,int&b){&　　if(ab{&　　int&temp&=&a;&　　a&=&b;&　　b=&　　}&　　if(0==b)//the&base&case&　　return&a;&　　if(a%2==0&&&&b%2&==0)//a&and&b&are&even&　　return&2*gcd(a/2,b/2);&　　if&(&a%2&==&0)//&only&a&is&even&　　return&gcd(a/2,b);&　　if&(&b%2==0&)//&only&b&is&even&　　return&gcd(a,b/2);&　　return&gcd((a+b)/2,(a-b)/2);//&a&and&b&are&odd&
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1.等差数列{an}的首项为a,公差为d,等差数列{bn}的首项为b,公差为e,如果cn=an+bn（n大于等于1）,且c1=4,c2=8,求数列{cn}的通项公式2.已知数列{an}满足a1=4,an=4-4/an-1（n大于等于2）,令bn=1/an-2（1）求证数列{bn}是等差数列（2）求数列{an}的通项公式
an=a+(n-1)dbn=b+(n-1)ecn=a+(n-1)d+b+(n-1)ec1=a+b=4c2=a+d+b+e=8,d+e=4cn=4+4(n-1)=4n
(1)cn=4n(n=1,2,3...)(2)an=4-[4/a(n-1)]====>[1/(an-2)]-{1/[a(n-1)-2]}=1/2.===>bn-b(n-1)=1/2.故bn为等差数列。an=2(n+1)/n.(n=1,2,3,...)a b最大公因数是69。,c d最大公因数是92,a b c d4个数的最大公因数是多少？_百度知道
a b最大公因数是69。,c d最大公因数是92,a b c d4个数的最大公因数是多少？
69等于3乘23,92等于4乘23,所以abcd的最大公因数为3乘23乘4等于276
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