已知函数y=√(x-2)*√(x+5)的定义域为集合A,函数y=(1/2)^x+1的值域为集合B_百度知道
已知函数y=√(x-2)*√(x+5)的定义域为集合A,函数y=(1/2)^x+1的值域为集合B
求：A∩B和(CRA)∩(CRB)
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集合A={x|x≥2}，集合B={y|y&1}1、A∩B={x|x≥2}2、CRA={x|x&2}，CRB={y|y≤1}，则：(CRA)∩(CRB)={x|x≤1}
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额问函数增函数减函数- -
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函数值域若干求点评安徽 李庆社
函数数重要基本概念与代数式、程、等式、三角函数、微积等内容着密切联系应用十广泛函数基础性强、概念其函数定义域、值域、奇偶性等难点高考见题型面函数值域求举例说
通函数定义域、性质观察结合函数解析式求函数值域
例1求函数y=3+√(2－3x) 值域
点拨：根据算术平根性质先求√(2－3x) 值域
解：由算术平根性质知√(2－3x)≥0
故3+√(2－3x)≥3
∴函数知域
点评：算术平根具双重非负性即：（1）数非负性（2）值非负性
本题通直接观察算术平根性质获解种于类函数值域求简捷明失种巧
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)值域（答案：值域：｛0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad｝）
二．反函数
函数反函数存则其反函数定义域原函数值域
例2求函数y=(x+1)/(x+2)值域
点拨：先求原函数反函数再求其定义域
解：显函数y=(x+1)/(x+2)反函数:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域y≠1实数,故函数y值域｛y∣y≠1,y∈R｝
点评：利用反函数求原函数定义域前提条件原函数存反函数种体现逆向思维思想数解题重要
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)值域（答案：函数值域｛y∣y－1或y1｝）
所给函数二函数或化二函数复合函数,利用配求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)值域
点拨：数配完全平数利用二函数值求
解：由－x2+x+2≥0,知函数定义域x∈[－1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad]－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数值域[0,3/2]
点评：求函数值域要重视应关系应用,且要特别注意定义域值域制约作用配数种重要思想
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x值域.(答案:值域{y∣y≤3})
四．判别式
若化关于某变量二程式函数或理函数,用判别式求函数值域
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)值域
点拨：原函数转化自变量二程应用二程根判别式确定原函数值域
解：式化（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0
y≠2,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0解：2＜x≤10/3
y=2,程(＊)解∴函数值域2＜y≤10/3
点评：函数关系化二程F(x,y)=0由于程实数解故其判别式非负数求函数值域适应于形y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)函数
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)值域（答案：值域y≤－8或y0）
于闭区间[a,b]连续函数y=f(x),求y=f(x)区间[a,b]内极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求函数值,函数y值域
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x值域
点拨：根据已知条件求自变量x取值范围目标函数消元、配求函数值域
解：∵3x2+x+1＞0述式等式与等式2x2-x-3≤0同解解－1≤x≤3/2x+y=1y=1-x代入z=xy+3xz=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z区间[-1,3/2]连续故需比较边界
x=-1z=－5；x=3/2z=15/4
∴函数z值域｛z∣－5≤z≤15/4｝
点评：本题函数值域问题转化函数值区间若存值通求值获函数值域
练习：若√x实数则函数y=x2+3x-5值域
A．（－∞＋∞）
B．[－7＋∞]
C．[0＋∞）
D．[－5＋∞）
（答案：D）
通观察函数图象运用数形结合函数值域
例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 值域
点拨：根据绝值意义掉符号转化段函数作其图象
解：原函数化 －2x+1
y= 3 (-1x≤2)
图象图所示
显函数值y≥3,所函数值域[3＋∞]
点评：段函数应注意函数端点利用函数图象求函数值域体现数形结合思想解决问题重要
求函数值域较适应通等式、函数单调性、换元等求函数值域
利用函数给定区间单调递增或单调递减求值域
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)值域
点拨：由已知函数复合函数即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)其定义域x≤1/3区间内别讨论函数增减性确定函数值域
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知定义域内增函数y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 定义域x≤1/3增函数且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,所求函数值域｛y|y≤4/3｝
点评：利用单调性求函数值域函数给定区间或求函数隐含区间结合函数增减性求其函数区间端点函数值进确定函数值域
练习：求函数y=3+√4-x
值域(答案：｛y|y≥3｝)
新变量代替函数式某些量使函数转化新变量自变量函数形式进求值域
例2求函数y=x-3+√2x+1 值域
点拨：通换元原函数转化某变量二函数利用二函数值确定原函数值域
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则
x=1/2(t2-1)
y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所原函数值域｛y|y≥－7/2｝
点评：理函数或二型函数转化二函数通求二函数值确定原函数值域种解题体现换元、化归思想应用十广泛
练习：求函数y=√x-1 –x值域（答案：｛y|y≤－3/4｝
根据函数结构特征赋予几何图形数形结合
例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 值域
点拨：原函数变形构造平面图形由几何知识确定函数值域
解：原函数变形f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作4、宽3矩形ABCD再切割<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a5f单位形设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1
由三角形三边关系知AK+KC≥AC=5A、K、C三点共线取等号
∴原函数知域｛y|y≥5｝
点评：于形函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均数)均通构造几何图形由几何性质直观明、便简捷数形结合思想体现
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4值域（答案：｛y|y≥5√2｝）
于类含条件函数值域求条件转化比例式代入目标函数进求原函数值域
例4已知x,y∈R且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2值域
点拨：条件程3x-4y-5=0转化比例式设置参数代入原函数
解：由3x-4y-5=0变形(x3)/4=(y-1)/3=k(k参数)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1
k=－3/5x=3/5,y=－4/5zmin=1
函数值域｛z|z≥1｝.
点评：本题元函数关系般含约束条件条件转化比例式通设参数原函数转化单函数形式种解题体现诸思想具定创新意识
练习：已知x,y∈R且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y值域（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十．利用项式除
例5求函数y=(3x+2)/(x+1)值域
点拨：原式函数利用除转化整式与式
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)
∵1/(x+1)≠0故y≠3
∴函数y值域y≠3切实数
点评：于形y=(ax+b)/(cx+d)形式函数均利用种
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)值域（答案：y≠2）
十二．等式
例6求函数Y=3x/(3x+1)值域
点拨：先求原函数反函数根据自变量取值范围构造等式
解：易求原函数反函数y=log3[x/(1-x)],
由数函数定义知
x/(1-x)＞0
解<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad＜x1
∴函数值域（0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad）
点评：考查函数自变量取值范围构造等式（组）或构造重要等式求函数定义域进求值域等式重要解题工具应用非广泛数解题供练习选用：求列函数值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)
（y1或y0）
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⑴ f（-x）＝-f（x）……奇函数⑵ f&#39;（x）＝-4×㏑2/(2^x-2^-x)&sup2;＜0 x≠0 f（x）单调减少x∈（-∞,0）,（0,+∞）[两单调减区间]⑶
x＝㏒[（y+1）/（y-1）][底＝2]（y+1）/（y-1）＞0解y＜-1或者y＞1值域
y∈（-∞-1）∪（1+∞）
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f(x)=(2^x+2^-x)/(2^x-2^-x)=(2^2x+1)/(2^2x-1)=(4^x+1)/(4^x-1)f(-x)=(4^-x+1)/(4^-x-1)=(4^x+1)/(1-4^x)=-f(x)∴f(x)奇函数f(x)=(4^x+1)/(4^x-1)=(4^x-1+2)/(4^x-1)=1+[2/(4^x-1)]令x2＞x1且x1,x2≠0f(x2)-f(x1)=2/(4^x2-1)-[2/(4^x1-1)]=2(4^x1-4^x2)/[(4^x2-1)(4^x1-1)]∵x2＞x1∴4^x1-4^x2＜0x1、x2∈(0,+∞)<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x2-1＞0,4^x1-1＞0(4^x2-1)(4^x1-1)＞0
f(x2)-f(x1)＜0f(x2)＜f(x1)f(x)单调递减x1、x2∈(-∞<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad)<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x2-1＜0,4^x1-1＜0(4^x2-1)(4^x1-1)＞0
f(x2)-f(x1)＜0f(x2)＜f(x1)f(x)单调递减∴f(x)(-∞<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad)单调递减(0,+∞)单调递减(-∞<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad)∪(0,+∞)没单调性∵f(x)=1+[2/(4^x-1)]x＞0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x＞1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x-1＞0,2/(4^x-1)＞0f(x)=1+2/(4^x-1)＞1x＜0<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x＜1<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad^x-1＜0,2/(4^x-1)＜0f(x)=1+2/(4^x-1)＜1∴值域(-∞<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad)(1+∞)
奇函数(-无穷，0)并(0，+无穷)(-无穷，-1)并(1，+无穷)
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出门在外也不愁函数的值域函数y=x+1/x^2+2x+2的值域（）要写过程急~~谢谢~~~~
函数的值域函数y=x+1/x^2+2x+2的值域（）要写过程急~~谢谢~~~~
令1/y=[(x+1)^2+1]/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)当(x+1)&0时即x&-1时(x+1)+1/(x+1)&=2当x=0时取等号。（x=-2不在讨论范围内）此时1/y&=2；0&y&=1/2;当(x+1)&0时即x&-1时-(x+1)-1/(x+1)&=2当x=-2时取等号。（x=0不在讨论范围内）此时-1/y&=2；-1/2&=y&0;当x=-1时y=0故纵上述y的值域为[-1/2，1/2]求函数值域比较常用的方法：一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的知域为.点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y&－1或y&1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y&0）。五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六．图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为－2x+1(x≤1)y=3(-1&x≤2)2x-1(x&2)它的图象如图所示。显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t=√2x+1（t≥0）,则x=1/2(t2-1)。于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,KC=√(x+2)2+1。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。点评：对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x-4y-5=0变形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x,y∈R，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。∵1/(x+1)≠0，故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知x/(1-x)＞01-x≠0解得，0＜x&1。∴函数的值域（0，1）。点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）2．Y=2x/(2x－1)。（y&1或y&0）注意变量哦~
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理工学科领域专家求函数y=|x+1|+|x-2|的值域
求函数y=|x+1|+|x-2|的值域 20
当x小于等于-1时，y=-（x+1)+2-x=-2x+1& 大于等于3当x大于-1小于2时，y=x+1+2-x=3当x大于等于2时，y=x+1+x-2=2x-1&& 大于等于3所以y的值域是y大于等于3
其他回答 (6)
拐点有-1和2x&-1时，y=-x-1-x+2=-2x+1，值域是y&32&x&-1时，y=x+1-x+2=3x&2时，y=x+1+x-2=2x-1，值域是y&3综合以上得，函数值域是y大于等于3
当x&-1的时候 y=-x-1-x+2=-2x+1，则y的值域为(-1，∞)
当-1&=x&2的时候 y=x+1-x+2=3
当2&=x的时候&y=x+1+x-2=2x-1，则y的值域为(3，∞)
综上，求并集，得到y的值域为(-1，∞)
y=|x+1|+|x-2|&&&&&&
当& x≤-1& 时，y=-2x+1
当& -1＜x＜2& 时，y=3
当& x≥2& 时，y=2x-1
故值域为&&& （-∞，3]
值域为&&[3，+∞）
刚才看错了，抱歉！
用几何意义算
看成y=根号[(x+1)^2+(0-0)^2]+根号[(x-2)^2+(0-0)^2]
题目转化为求到（-1,0),(2,0)距离之和最小值
易知最小值3
所以y&=3
我的方法是最方便的，不需要分三类讨论
3到正无穷，就是大于等于3（要详细解释吗？）
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