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& 学年高一数学学案：2.1.1《函数的概念、定义域、值域和图像》苏教版必修1
学年高一数学学案：2.1.1《函数的概念、定义域、值域和图像》苏教版必修1
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【金版学案】年高中数学 2.1.1函数的概念、定义域、值域和图像学案 苏教版必修1
1．函数的概念．
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数y＝f(x)，x∈A，通常记为函数y＝f(x)的定义域，其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数的定义域．则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
2．若f(x)＝x－x2，则f(1)＝0；f(n＋1)－f(n)＝－2n．
3．函数f(x)＝的定义域为(－1，＋∞)，值域为(0，＋∞)．
4.如图所示中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是(D)
5．函数f(x)＝＋的定义域为．
6．设f(x)＝，则等于(B)
7．函数y＝＋的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．
8．若正比例函数y＝(m－1)xm2－3的图象经过二、四象限，则m＝－2．
9．已知函数y＝(a－1)xa是反比例函数，则它的图象在(B)
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
10．函数y＝x＋的图象是(A)
A．两条不含端点的射线
B．一条射线
C．两条平等直线
D．一条直线,
一、对函数概念的理解
函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分．当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则．
例如：函数y＝2x＋1与y＝x－1，其定义域都是R，值域都为R.也就是说，这两个函数的定义域和值域相同，但它们的对应法则是不同的，因此不能说这两个函数是同一个函数．
定义域A、值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素．由于值域可用定义域和对应法则唯一确定．所以两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数．
二、求函数的定义域
求函数的定义域，其实质就是使解析式各部分都有意义，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．其准则一般指以下几个方面：
(1)分式中，分母不等于零；
(2)偶次根式中，被开方数为非负数；
(3)对y＝x0，要求x≠0.
如果用已知函数通过有限次加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，求新函数的定义域要根据实际问题而定．
三、求函数的值域
求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．即求函数的值域，首先求函数的定义域．
求函数值域是一个相当复杂的问题，常见的方法有：①图象法；②观察法；③反解x；④配方法；⑤换元法；⑥单调性；⑦判别式法；等等．
四、函数的图象
作出函数的图象一般有两种方法：一是描点法，二是图象变换法．但不管使用哪种方法，必须与函数的性质结合起来．掌握一些基本初等函数的图象，利用图象变换法作图是常用的方法．
识图题要分析所给函数图象的特征，并把图象与性质有机地结合起来思考问题．
函数的图象应用十分广泛，如求函数的最值、判定方程解的个数、比较函数值的大小等、函数图象是数形结合思想方法的“形”的载体，形的直观性能帮助我们化抽象为具体，直观而简捷，解题的关键是正确画出函数图象，把代数语言化为图形语言．
1．下列各图中，不可能表示函数y＝f(x)的图象的是(B)
2．下列四组中，f(x)与g(x)表示同一个函数的是(B)
A．f(x)＝，g(x)＝()4
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x－2
解析：选项A、C、D中两个函数的定义域不相同．
3．已知函数f(x)＝且f(a)＋f(1)＝0，则a＝(A)
解析：当a>0时，f(a)＋f(1)＝2a＋2＝0=>a＝－1，与a>0矛盾；当a≤0时，f(a)＋f(1)＝a＋1＋2＝0=>a＝－3，适合题意．
4．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为(C)
A．[2a，a＋b]
B．[0，b－a]
D．[－a，a＋b]
5．已知f(x)＝则f(2)＋f(－2)的值为(B)
解析：f(2)＝22＝4，f(－2)＝f(－2＋1)＝f(－1)＝f(－1＋1)＝f(0)＝f(0＋1)＝f(1)＝12＝1，∴f(2)＋f(－2)＝4＋1＝5.
6．函数y＝的定义域为________．
解析：利用解不等式组的方法求解．
要使函数有意义，需解得
∴原函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
7．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：由1－2x>0=>xa＝2.
9．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f(x＋2)的定义域是________，值域是________．
解析：∵f(x)的定义域为[0，1]，∴0≤x＋2≤1，
∴－2≤x≤－1.即f(x＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．
答案：[－2，－1]　[1，2]
10．对于每一个实数x，设f(x)是y＝4x＋1，y＝x＋2和y＝－2x＋4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是________．
解析：在同一平面直角坐标系中作出如下图象：图中实线部分为f(x)，则A的纵坐标为f(x)的最大值，∴f(x)max＝.
11．方程x2－|x|＋a－1＝0有四个相异实根，求实数a的取值范围．
解析：原方程可化为x2－|x|－1＝－a，画出y＝x2－|x|－1的图象．
∵x≥0时，y＝－.
x＜0时，y＝－.
由图象可知，只有当－<－a<－1时，即a∈时，方程才有四个相异实根．
∴a的取值范围是.
12．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(C)
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝－x
解析：∵|2x|＝2|x|，∴A满足；2x－|2x|＝2(x－|x|)∴B满足；－2x＝2(－x)，∴D满足；2x＋1≠2(x＋1)；∴C不满足．
13．(2013·全国卷)已知f(x)的定义域为(－3，0)，则函数f(2x－1)的定义域为(B)
A．(－1，1)
C．(－1，0)
解析：∵f(x)的定义域(－3，0)，∴－3<2x－1－1<x<.
14．如左下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，H是圆锥形漏斗中液面下降的距离，则H与下降时间t(分钟)的函数关系用图象表示只可能是(B)
15．已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝______．
解析：∵f(x)＝，f＝，
∴f(x)＋f＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f＋f(3)＋f＋f(4)＋f＝＋1＋1＋1＝.
16．已知函数f(3x＋2)的定义域是(－2，1)，则函数f(x2)－f的定义域为________．
解析：∵f(3x＋2)的定义域为(－2，1)，
∴－2<x<1，
∴－4<3x＋2<5.
答案：(－，)
17．已知a∈，函数f(x)的定义域是(0，1]，求g(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)＋f(x)的定义域．
解析：由题设得
∵－<a≤0，
∴0≤－a<，1≤1－a<，<1＋a≤1.
∴不等式组的解集为－a1，x∈N*，有
f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)·f(1)＝2f(x－1)．
∴＝2，则＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2 011×2＝4 022.
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Copyright &2006 - 2016 高考学习网版权所有. All Rights Reserved.对于每个实数x，设f（x）取y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4三个函数中的最小值，则f（x）的最大值为（　　）A. B. C. D.
由题意，可得函数f（x）的图象如图：由得A（，）∴f（x）的最大值为故选 D
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先在同一直角坐标系中画出三条直线，再在不同区间上取靠下的函数图象，组成f（x）的图象，由图象即可看出函数的最大值，通过解直线方程即可得此最值
本题考点：
函数的最值及其几何意义．
考点点评：
本题主要考查了利用函数图象数形结合求函数最值的方法，理解新定义函数的意义，并能画出其图象是解决问题的关键
当x<1/2,4x+1<x+2,4x+1x+2,所以f(x)=x+2当x>1/2,-2x+4<4x+1,-2x+4<x+2,所以f(x)=-2x+4所以f(x)的最大值是f(1/2)=5/2
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& 若3 4x+1 2 x-3 设x∈R,若三个函数y=4x+1,y=-2x+4,y=x+2中的最小值记为y=f。
若3 4x+1 2 x-3 设x∈R,若三个函数y=4x+1,y=-2x+4,y=x+2中的最小值记为y=f。
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设x∈R,若三个函数y=4x+1,y=-2x+4,y=x+2中的最小值记为y=f。分别连立三个方程 4x+1=x+2 x=1/3, x+2=-2x+4 x=2/3 4x+1=-2x+4 x=1/2 由图象可知,当x2/3,最小的是-2x+4 因为f(x)是y=4x+1,y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值 所以f(x)=4x+1 x=2/3 由图象可知,当x=2/3时,函数f(x)取最大值 所以=-2*(2/3)+4=-4/3+4=8/3。-5+x/3≥4x+1/8-3*1/2-5+x/3≥4x+1/8-3*1/2-5+x/3≥4x+1/8-3/2-5+x/3≥4x-11/8(11/3)x&=29/8x&=87/88
x/3-4x≥1/8-3/2+5-11/3x≥29/8-87/88≥x。已知x=√(1+√8),求x^4+4x^3+4x^2+4x+3的值 原式=x^4+x^2+4x^3+4x+3x^3+3 =x^2(x^2+1)+4x(x^2+1)+3(x^2+1) =(x^2+4x+3)*(1+x^2) 将x代入即可
原式等于(x^2)^2+4x^2+3+4x^3+4x=(x^2+1)(x^2+3)+4x(x^2+1)=(x^2+1)(x^2+4x+3),最后把x代入就行了。求解不等式和数轴? (1)4x+1&3(x+2) (2) 解:1、4x+1 4x+1 x2、1-(2x+1)/3≤2+(x-1)/26-4x-2≤12+3x-37x≥6-2-12+37x≥-5x≥-5/7亲,请您采纳,您的采纳是我的动力,谢谢。
化简不等式,两边同乘以6,可得6-4x-4&=12+3x-3-7&=7x解得x&=-1
(1)4x+1 4X+1&3x+6 -7X≤5 x&5 X≥-5/7。一道高一数学:对于每个实数x,设f(x)是y=4x+1.,y=x+2和y=—。分别连立三个方程 4x+1=x+2 x=1/3, x+2=-2x+4 x=2/3 4x+1=-2x+4 x=1/2 由图象可知,当x2/3,最小的是-2x+4 因为f(x)是y=4x+1,y=x+2和y=-2x+4三个函数中的最小值 所以f(x)=4x+1x=2/3 由图象可知,当x=2/3时,函数f(x)取最大值 所以=-2*(2/3)+4=-4/3+4=8/3。对与每一个X,设f(X)是Y=4X+1,Y=-2X+4和Y=X+2三个函数。这属于一类简单的线性规划题目 通过直角坐标系画出三条线y=4x+1,y=x+2,y=-2x+4就可以看到,首先左边是直线y=4x+1最小,直到y=4x+1与y=x+2相交,此时是y=x+2最小;然后到y=x+2与直线y=-2x+4相交后,交点右边就是y=-2x+4最小了综上所述,我们知道函数f(x)最大的值就是直线y=-2x+4与y=x+2的交点,即当x=2/3时 f(x)=8/3
在同一坐标系中作出三条直线,解方程组得到三交点分别是(1/3,7/3),(1/2,3),(2/3,8/3) 在x==2/3时,最小的y是y=-2x+4 所以f(x)。帮忙解解2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 解:2x-4-4x-1=3x+3 -2x-5=3x+3 -5x=8 x=-8/5=-1.6 2x+1÷3-5x-1÷6=1这题是不是漏写括号了? 没漏的话应该是: 2x+1/3-5x-1/6=1 -3x+1/6=1 -3x=5/6 x=-5/2=-2.5
2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2X-4-4X-1=3X+3 X=8 2x+1/3-5x-1/6=1 -3X=5/6 X=-5/18
2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2x-4-4x-1=3x+3 2x-4x-3x=3+4+1 -5x=8 x=-8/5 2x+1÷3-5x-1÷6=1 2x+1/3-5x-1/6=1 2x-5x=1-1/3+1/6 -3x=5/6 。
2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2X-4-4X-1=3X+3 X=-8/5
2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2x-4-4x-1-3x-3=0 -5x=8 x=-8/5 2x+1÷3-5x-1÷6=1 2(2x+1)-5x-1=6 4x+4-5x-1-6=0 -x=3 x=-3
解:2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2x-4-4x-1=3x+3 2x-4x-3x=3+4+1 -5x=8 x=-8/5。解方程:3分之5x-8=1 2(x-2)-(4x+1)=3(x+1) 2分之3-x=3分之x-。3分之5x-8=15x/3=9x=27/52(x-2)-(4x+1)=3(x+1)2x-4-4x-4=3x+3x=112分之3-x=3分之x-4-13/2-x=x/3-34x/3=9/2x=27/80.02分之0.1x-0.2-0.5分之x+1=35x-0.2-2x+1=33x=2.2x=2.2/3=11/15
3分之5x-8=1 25x/3=12+8x=20/(5/3)x=12(x-2)-(4x+1)=3(x+1)x-2-4x-1=3x+33x+4x-x=-2-1-36x=-6x=-12分之3-x=3分之x-4-19/2-3x=x-12-3x+。对任意数X,设f(x)是4x+1,x+2,-2x+4三个函数中最小者那么f(X)。讨论(1)4x+1最小时, 4x+1=1/3 x+2=1/2 -2x+4==2/3 x=2/3时f(x)最大 4x+1=8/3+1,x+2=8/3,-2x+4=8/3 且f(x)三个函数中的最小者 所以f(x)最大=8/3
教你一个方法,数形结合:把三条线画出来,结果就一目了然,你试一下
因为三个函数都是一次函数,所以先比较k值 k1=4,k2=1,k3=-2 所以使4x+1=x+2,解得x=1/3 使x+2=-2x+4,解得x=2/3 所以可得当x1/3且。
D。已知不等式1/3(x-3)+2&=0,化简|4x+1|-|2-x|1/3(x-3)&-2 x-3&-6 x&-3
所以4x&-12 4x+1&-11&0 所以|4x+1|=-4x-1
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x-3+6&=0 x&-3 4x+1&0,2-x&0 |4x+1|-|2-x| =-4x-1-2+x =-3x-3。
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分别连立三个方程4x+1=x+2x=1/3,x+2=-2x+4x=2/34x+1=-2x+4x=1/2由图象可知,当x
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＞＞＞对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）of（a-x）=b对定..
对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）?f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．（1）判断函数f（x）=4x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，当x∈[0，2]时，都有1≤g（x）≤3成立，且当x∈[0，1]，g（x）=x2+m（1-x）+1（m＞0）．试求m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
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据魔方格专家权威分析，试题“对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）of（a-x）=b对定..”主要考查你对&&函数的定义域、值域&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的定义域、值域
定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
发现相似题
与“对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）of（a-x）=b对定..”考查相似的试题有：
839096305483482835433006830199886344