考点：等差数列的性质,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）由a=1，x∈[1，4]，可得函数f（x）=x-4x，再用定义证明函数f（x）在[1，4]上的单调性．（2）当x∈[1，4]时，分当①a≤1、a∈（1，2）、a∈[2，4）、a≥4这4种情况，分别利用单调性求得f（x）的最大值M（a），综合可得结论．（3）由于f（x）=2a-x-4x，x≤ax-4x，x＞a，故由f（x）=3，求得x=-1，或 x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．
解：（1）若a=1，x∈[1，4]，则函数f（x）=|x-1|-4x+1=x-4x，设1≤x1＜x2≤4，则f（x1）-f（x2）=[（x1-1）-4x1+1]-[（x2-1）-4x2+1]=（x1-x2）+4x2-4x1=（x1-x2）+4(x1-x2)x1•x2=（x1-x2）（1+4x1•x2&）．由1≤x1＜x2≤4可得x1-x2＜0，1+4x1&#，∴（x1-x2）（1+4x1•x2&）＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在[1，4]上是增函数．（2）对于函数f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，当x∈[1，4]时，①若a＜1，则函数f（x）=x-4x，显然f（x）在[1，4]上是增函数，故f（x）的最大值的表达式M（a）=f（4）=4-1=3．②若a∈[1，2），f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，显然f（x）在[1，a）上是增函数，f（x）在[a，4]上是增函数，故f（x）的最大值为f（4）=3．③若a∈[2，4），f（x）=2a-x-4x，x∈(1，a)x-4x，x∈[a，4)，f（x）在[1，2]上是增函数，在[2，a）上是减函数，在[a，4]上是增函数，故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=max{ 2a-4，3}．由2a-4=3，求得a=72，故f（x）的最大值为max{ f（2），f（4）}=3，2≤a＜722a-4，72≤a＜4．&④当a≥4时，f（x）=a-x-4x+a=2a-（x+4x）≤2a-2x&#a-4．综上可得M（a）=3，a＜722a-4，a≥72．（3）对于函数f（x）=2a-x-4x，x≤ax-4x，x＞a，由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x-4x=3，求得x=-1，或 x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=-1，x3=4，x1 =-6，∴a≤-1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为-6，再根据f（-6）=2a+6+23=3，求得a=-116，满足a≤-1，故存在实数a=-116，使得f（x）=3有3个不等实根x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列．
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．
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已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（x-y）=f(x)of(y)+1f(y)-f(x)成立，且f（a）=1（a为正常数），当0＜x＜2a时，f（x）＞0．（1）判断f（x）奇偶性；（2）求f&（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，又f（-x）=f[（a-x）-a]=f(a-x)of(a)+1f(a)-f(a-x)=1+f(a-x)1-f(a-x)=1+f(a)of(x)+1f(x)-f(a)1-f(a)of(x)+1f(x)-f(a)=2f(x)-2=-f(x)，对于定义域内的每个x值都成立∴f（x）为奇函数易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．（2）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]=f(a)of(-a)+1f(-a)-f(a)=1-f2(a)-2f(a)=0，f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]=f(2a)of(-a)+1f(-a)-f(2a)=1-f(a)=-1．先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）＜0，设2a＜x＜3a，则0＜x-2a＜a，∴f（x-2a）=f(2a)of(x)+1f(2a)-f(2x)=1-f(x)＞0，∴f（x）＜0设2a＜x1＜x2＜3a，则0＜x2-x1＜a，∴f（x1）＜0f（x2）＜0，f（x2-x1）＞0，∴f（x1）-f（x2）=f(x1)of(x2)+1f(x2-x1)＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在[2a，3a]上单调递减∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a）=0，最小值为f（3a）=-1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数的奇偶性、周期性
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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763146396751476378817399478497486532已知函数f(x)=(2^x+a)/(2^x-a)（a为常数）为奇函数,且f(1)>1.(1)求a；(2)判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性定义给予证明；(3)求满足条件f(x+1)+f(x)
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考点分析：
考点1：抽象函数及其应用
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题型：解答题
难度：中等
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设函数f(x)=丨x+1丨+丨x-a丨的图像关于直线x=1对称,则a的值为
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f（x）关于x=1对称则f（1-x）=f（1+x）f（1-x）=丨2-x丨+丨1-a-x丨=丨x-2丨+丨x+a-1丨f（1+x）=丨x+2丨+丨x+1-a丨a-1=2
1-a=-2得到a=3
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