知识点梳理
利用导数研究曲线上某点切线：1、利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在{{x}_{0}}处的导数f′(x)；利用方程的点斜式写出切线方程为y-{{y}_{0}} =f′({{x}_{0}})（x-{{x}_{0}}）．2、若函数在x={{x}_{0}}处可导，则图象在({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处一定有切线，但若函数在x={{x}_{0}}处不可导，则图象在（{{x}_{0}}，f({{x}_{0}}））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点({{x}_{0}}，f({{x}_{0}}))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．3、注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，4、显然f′（{{x}_{0}}）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（{{x}_{0}}）＜o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f({{x}_{0}}) =0，切线与x轴平行；f′({{x}_{0}})不存在，切线与y轴平行．
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:（1）求函数y=f\left({x}\right)在\left({a,b}\right)内的极值；（2）将函数y=f\left({x}\right)在各极值与端点处的函数值f\left({a}\right)，f\left({b}\right)比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=lnx-ax，a为常数．（1）若函数f（x...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=2lnx-x2+ax，a∈R(1)当a=2时，求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程；(2)若函数f(x)-ax+m=0在[\frac{1}{e}，e}上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)的图象与x轴交于不同的点A(x1，0)，B(x2，0)且0＜x1＜x2，求证：f′(px1+qx2)＜0(其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1)
已知函数f(x)=lnx+x2．(Ⅰ)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若a＞1，h(x)=e3x-3aexx∈[0，ln2]，求h(x)的极小值；(Ⅲ)设F(x)=2f(x)-3x2-kx(k∈R)，若函数F(x)存在两个零点m，n(0＜m＜n)，且2x0=m+n．问：函数F(x)在点(x0，F(x0))处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
已知函数f(x)=lnx+\frac{1}{x}．(1)求曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程；(2)若g(x)=f(x)-\frac{1}{x}+ax2-2x有两个不同的极值点．其极小值为M，试比较2M与-3的大小，并说明理由；(3)设q＞p＞2，求证：当x∈(p，q)时，\frac{f(x)-f(p)}{x-p}＞\frac{f(x)-f(p)}{x-q}．当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0。（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（..
已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0。（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
题型：解答题难度：偏难来源：湖南省高考真题
解：（1），则因为函数h（x）存在单调递减区间，所以＜0有解又因为x&0时，则ax2+2x-1&0有x&0的解①当a&0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1&0总有x&0的解； ②当a＜0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1&0总有x&0的解； 则△=4+4a&0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根，此时，-1＜a＜0综上所述，a的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）。（2）设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2即，则所以设则① 令则因为时，，所以在）上单调递增故则这与①矛盾，假设不成立故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0。（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，二次函数的性质及应用，函数的单调性与导数的关系，反证法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值二次函数的性质及应用函数的单调性与导数的关系反证法
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&反证法的定义：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
反证法的步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
发现相似题
与“已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0。（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（..”考查相似的试题有：
845443447785451800477801570710447268已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=a-aex（1）若函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，求a的值；（2）若对任意的x1，x2∈（0，+∞）均有f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
（1）′(x)＝a+1x（x＞0），∵函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，∴f′（1）=tan60°．即a+1=．∴．（2）x1，x2∈（0，+∞）均有f（x1）＜g（x2）f（x）max＜g（x）min．当a≥0时，′(x)＝a+1x＝ax+1x，∵x＞0，∴，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．故f（x）在（0，+∞）上不存在最大值，因此a≥0时不合题意．当a＜0时，，得．当时，f（x）单调递增，当时，f（x）单调递减，故x∈（0，+∞）时，f（x）max==-1+，而当a＜0时，g（x）=a-aex单调递增，g（x）＞g（0）=0，于时，f（x）max==-1+＜0，解得．
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（1）由函数f（x）的图象在x=1处切线倾斜角为60°，可得f′（1）=tan60°．解出即可；（2）x1，x2∈（0，+∞）均有f（x1）＜g（x2）f（x）max＜g（x）min．通过对a分类讨论，利用导数可得函数f（x）的最大值，再利用指数函数的单调性可得g（x）的最小值．
本题考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．
扫描下载二维码两个不同函数f(x)=x2+ax+1和g(x)=x2+x+a(a为常数)定义域都为R,若f(x)与g(x)的值域相同,则a=___.
值域相等,说明他们是平移关系.即f(x+m)=g(x)(x+m)²+a(x+m)+1=x²+x+ax²+(2m+a)x+(m²+am+1)=x²+x+a对应相等：①2m+a=1,②m²+am+1=a将①带入②,m²+am+(2m+a)=a,即m²+am+2m=0,即m(m+a+2)=0当m=0时,由①可知a=1当m≠0时,③m+a+2=0,由①③可知a=-5综上所述：a=-5,或者a=1
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其实很简单，韦达定理你知道吗?一元二次方程的通式是y=a·x2+b·x+c·的话，那么y的最值=4a·c·-b·2/4a·.你这里，定义域是实数集且a·都大于0（图像开口都向上），则f(x）与g（x）的最值只可能是最小值，值域就是大于最小值的那个范围。吧a·、b·、c·带进去，依题意，两个最小值识要相等的，把两个相等之后一算不就有呢吗?...
先对两个函数配方，得f(x)=（x+a/2)^2-a^2/4+1，值域是(-a^2/4+1,+∞);g(x)=(x+1/2)^2+a-1/4，值域是(a-1/4,+∞);从而a-1/4=1-a^2/4，解得a=-5或a=1（其中a^2表示a的平方）
扫描下载二维码若函数f（x）=ax+b的零点为2，那么函数g（x）=bx2-ax的零点是（　　）A. 0，2B. 0，C. 0，-D. 2，
∵函数f（x）=ax+b有一个零点是2，∴2a+b=0，=>b=-2a，∴g（x）=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax（2x+1），∵-ax（2x+1）=0=>x=0，x=-∴函数g（x）=bx2-ax的零点是0，-．故选C．
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先由已知条件找到 a和b之间的关系代入函数g（x），再解函数g（x）对应的方程即可．
本题考点：
函数的零点．
考点点评：
本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．属基础题．
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