一元二次方程的解法例析
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【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：、直接开平方法；、配方法；、公式法；、因式分解法。如下表：
适合方程类型
直接开平方法
≥0时有解，＜0时无解。
二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。
≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。
因式分解法
方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。
方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。&【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得当时，原方程为，即，解得，说明：由本题可见，只有项系数不为，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（）；（）（）；（）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（）、（）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（）题因方程左边可变为完全平方式，右边的＞，所以此方程也可用直接开平方法解；第（）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（）由得，由得∴原方程的解为：，（）∴，∴∴，∴原方程的解为：，（）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，
说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，
像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，
只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。
例3 ：用配方法解下列一元二次方程。
（1）；（2）
&分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为，变为的形式。第（）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（）二次项系数化为，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，（）二次项系数化为，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：∴，∴原方程的解为：，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（）；（）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当≥时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当＜时，方程无解。第（）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解：（），化为一般式：求出判别式的值：＞代入求根公式：，∴，（）化为一般式：求出判别式的值：＞∴∴，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（）；（）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解：（）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，（）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，∴，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。&例6：选用恰当的方法解下列方程。
（1）；& （2）
（3）；& （4）
分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；
第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；
第（4）题采取配方法较为简便。
直接开平方得：
分解因式得：
求出判别式的值：＞0
直接开平方得：
总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。
&【附训练典题】
1、用直接开平方法解下列方程：
（1）；&&&&&&&&& （2）；
（3）；& （4）.
2、用配方法解下列方程：
（1）；&& （2）；
（3）； （4）.
3、用公式法解下列方程：
（1）；&&&&&&& （2）；
（3）； （4）.
4、用因式分解法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）；&&&&&& （4）.&
5、选用适当的方法解下列方程：
（1）；&&&&&&&& （2）；
（3）；&&&&&& （4）；
（5）；&&&&&&&&& （6）；
（7）； （8）
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已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
分析：（1）证明这个一元二次方程的根的判别式大于0，根据一元二次方程的根的判别式的性质得到这个方程有两个不相等的实数根；（2）求出方程的根，根据等腰三角形的判定分类求解.
（1）证明：∵ 关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k2+k，
∴ Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4×1×（k2+k）＝1＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ 由x2-（2k+1）x+k2+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0，
∴ 方程的两个不相等的实数根为x1=k,x2=k+1.
∵ △ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5，∴
有如下两种情况：
情况1：x1=k=5，此时k=5，满足三角形构成条件；
情况2：x2=k+1＝5，此时k=4，满足三角形构成条件.
综上所述，k=4或k=5.
点拨：一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0方程没有实数根.
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一元二次方程详细的解法，越相信越好。
首先当a不等于0时方程：ax^2+bx+c=0才是一元二次方程1.公式法：Δ=b²-4ac，Δ＜0时方程无解，Δ≥0时x=【-b±根号下（b²-4ac）】÷2a（Δ=0时x只有一个）2.配方法：可将方程化为[x-（-b/2a）]²=（b²-4ac）/4a²可解出：x=【-b±根号下（b²-4ac）】÷2a（公式法就是由此得出的）3.直接开平方法与配方法相似4.因式分解法：核心当然是因式分解了看一下这个方程（Ax+C）（Bx+D）=0，展开得ABx²+（AD+BC）+CD=0与一元二次方程ax^2+bx+c=0对比得a=AB，b=AD+BC，c=CD。所谓因式分解也只不过是找到A，B，C，D这四个数而已举几个例子吧例1： x²-5x+6=0
解：（x-2）（x-3）=0，x1=2，x2=3例2: 3x²-17x+10=0
解: (3x-2)(x-5)=0,x1=2/3,x2=5因式分解法又名十字相乘法原因看下面就知道了 ABx²+（AD+BC）+CD=0
(A,B,C,D不一定都是正数)解方程时因选择适当的方法 下面几个练习题可以试试1.x²-6x+9=02.4x²+4x+1=03.x²-12x+35=04.x²-x-6=05.4x²+12x+9=06.3x²-13x+12=0
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一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2（2为次数，即X的平方）+bx+c=d, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x...
首先ax^2+bx+c=0，a≠0，要使方程可以分解，那么必须是△≥0，而△=b^2-4ac，所以在b^2-4ac≥0的情况下我们讨论方程跟的情况而方程的跟为x=[-b+√(b^2-4ac)]/2a，或者x=[-b-√(b^2-4ac)]/2a，这个你只需记住就好了所以方程可以分解为(x-[-b+√(b^2-4ac)]/2a)(x-[-b-√(b^2-4ac)]/2a)=0
万能公式ax^2+bx+c=0a[x^2+bx/a+(b/2a)^2-(b/2a)^2]+c=0a(x+b/2a)^2-(b^2)/4a+c=0(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/2ax=[+ -(b^2-4ac)^(1/2)-b]/2a
x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
一元二次方程的相关知识
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＞＞＞已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x-1=0；方程②..
已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x-1=0；&&&方程②：x2+（2k+1）x-2k-3=0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简1-4k+12(k+4)2；（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a-2）k+3a2+5a的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵方程①有两个相等实数根，∴1+k2≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+k2）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k1=-2，k2=-4，而k+2≠0，∴k=-4，当k=-4时，方程②变形为：x2-7x+5=0．解得&&x1=7+292，x2=7-292o（2）∵?△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，因此无论k为何值时，方程②总有实数根，∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根，∴△1＜0，∴（k+2）（k+4）＜0，∴1-4k+12(k+4)2=(k+4)2-(4k+12)(k+4)2=(k+2)2(k+4)2=(k+2k+4)2=|k+2k+4|=-k+2k+4；（&3）设a&是方程①和②的公共根，∴(1+k2)a2+(k+2)a-1=0&&③，a2+（2k+1）a-2k-3=0④，由（③-④）×2得：ka2=2（k-1）a-4k-4⑤，由④得：a2=-（2k+1）a+2k+3⑥，将⑤、⑥代入原式，得∴原式=ka2+4ak-2k+3a2+5a=2（k-1）a-4k-4+4ak-2k-3（2k+1）a+6k+9+5a=5．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x-1=0；方程②..”主要考查你对&&二次根式的定义，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次根式的定义一元二次方程的应用一元二次方程根的判别式
二次根式:我们把形如叫做二次根式。二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。确定二次根式中被开方数的取值范围：要是二次根式有意义，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可确定被开方数中字母的取值范围。 二次根式性质：（1）a≥0 ； ≥0 （双重非负性 )；（2）；（3）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(a=0);（4）；（5）。二次根式判定：①二次根式必须有二次根号，如，等；②二次根式中，被开方数a可以是具体的一个数，也可以是代数式；③二次根式定义中a≥0 是定义组成的一部分,不能省略;④二次根式是一个非负数;⑤二次根式与算术平方根有着内在的联系,(a≥0 )就表示a的算术平方根。二次根式的应用：主要体现在两个方面：（1）利用从特殊到一般，在由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；（2）利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。建立一元二次方程模型进行求解，把得到的答案带回实际问题中检验是否合理，来解决实际问题，如打折、营销、增长率问题等。&列一元二次次方程组解应用题的一般步骤:可概括为“审、设、列、解、答”五步，即：（1）审：是指读懂题意，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的关系；（2）设：是指设未知数；（3）列：就是列方程，这是非常重要的一步，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；（4）解：解这个方程，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。提示：①列方程解应用题时，要善于将普通语言化为数学语言，审题时，要特别注意关键词语，如“多、少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等。②注重解法选择与验根，在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别注意要对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性。常见题型公式：工程问题：&&&&工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间&&经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
利润赢亏问题&销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等&有关关系式：商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价&商品利润率=商品利润/商品进价&&&&&&&&&&&&商品售价=商品标价×折扣率&
存款利率问题：利息=本金×利率×期数&&&&&&本息和=本金+利息&&&&&&利息税=利息×税率（20%）
行程问题： 基本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间， 路程=速度×时间。 ①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距； ②追及问题：快行距－慢行距＝原距； ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度， 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。定理1& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；定理2& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；定理3& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；定理5& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；定理6& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。③证明字母系数方程有实数根或无实数根。④应用根的判别式判断三角形的形状。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。⑧利用根的判别式解有关抛物线（△&0）与x轴两交点间的距离的问题。
发现相似题
与“已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x-1=0；方程②..”考查相似的试题有：
24091394469465956921480423259157880