如图，在△在abc中 ab ac，AB=AC，点D、...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-09 12:00 标签： 在abc中 ab ac
1、已知：如图五,在△ABC中,AB=AC,点D是_百度文库
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1、已知：如图五,在△ABC中,AB=AC,点D是
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如图，在△ABC中，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD中线，求证：AC＝2AE．
主讲：尚国宝
【解析过程】
证明：作AB中点F，连接DF．∵∠ADB＝∠BAD∴BD＝AB又∵CD＝AB∴CD＝BD，即D为BC中点∵D是AB中点∴DF∥AC且DF＝AC又∵AB＝BD，E、F分别为BD、AB中线∴DE＝AF＝AB＝BD∵∠ADB＝∠BAD，∴∠FAD＝∠EDA，又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SAS）∴AE＝DF∴AC＝2DF＝2AE.
证明：作AB中点F，连接DF．∵∠ADB＝∠BAD∴BD＝AB又∵CD＝AB∴CD＝BD，即D为BC中点∵D是AB中点∴DF∥AC且DF＝AC又∵AB＝BD，E、F分别为BD、AB中线∴DE＝AF＝AB＝BD∵∠ADB＝∠BAD，∴∠FAD＝∠EDA，又∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SAS）∴AE＝DF∴AC＝2DF＝2AE.
考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线证明△ADF≌△ADE．
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如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
21．（9分）（2015&咸宁）如图，在△ABC中，&C=90&，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）若&B=30&，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．
（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．
切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．.
（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；
（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC&AF，进而求出AD．
（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．
∵BC与⊙O相切于一点D，
∴OD&BC，
∴&ODB=90&=&C，
∴OD∥AC，
∵&B=30&，
∴&A=60&，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE=AO=0D，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴四边形AODE是菱形．
（2）解：设⊙O的半径为r．
∵OD∥AC，
∴△OBD∽△ABC．
∴，即8r=6（8r）．
∴⊙O的半径为．
如图2，连接OD、DF．
∵OD∥AC，
∴&DAC=&ADO，
∴&ADO=&DAO，
∴&DAC=&DAO，
∵AF是⊙O的直径，
∴&ADF=90&=&C，
∴△ADC∽△AFD，
∴，
∴AD2=AC&AF，
∵AC=6，AF=，
∴AD2=&6=45，
∴AD==3．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．
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站长QQ：&&如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于_百度文库
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如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边边上一动点,连接BD,以AD为直径的圆交BD于
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&&如​图​,​在​等​腰​R​t​△​A​B​C​中​,​∠​B​A​C​=0​°​,​A​B​=​A​C​,​B​C​=​,​点​D​是​A​C​边​边​上​一​动​点​,​连​接​B​D​,​以​A​D​为​直​径​的​圆​交​B​D​于​点​E​,​则​线​段​C​E​长​度​的​最​小​值
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如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．
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