如果点(2,3)在已知正比例函数y kx=&frac1...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-09 13:06 标签： 已知正比例函数y kx
已知如图所示，二次函数y=3x2-3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．直线x=1+m（m＞O）与x轴交于点D．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）在直线x=1+m（m＞0）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用含m的代数式表示）．
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=3x2-3上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
（1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点A、B的坐标，令x=0，求出y的值即可得到点C的坐标；
（2）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，再求出BD的长度，然后分①OB与BD是对应边，②OC与BD是对应边，根据相似三角形对应边成比例列出关于m的方程，即可得到点P的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等用m表示出点Q的坐标，再根据点Q在抛物线上，代入抛物线解析式计算求出m的值，即可得解．
解：（1）令y=0，则3x2-3=0，
解得x1=-1，x2=1，
所以，点A（-1，0），B（1，0），
令x=0，则y=3×0-3=-3，
所以，点C的坐标为（0，-3）；
（2）∵B（1，0），C（0，-3），
∴OB=1，OC=3，
又∵直线x=1+m（m＞O）与x轴交于点D，
∴BD=1+m-1=m，
①OB与BD是对应边时，
∵△BCO∽△BPD，
解得PD=3m，
所以，此时点3的坐标是（1+m，3m），
②OC与BD是对应边时，
∵△BCO∽△PBD，
解得PD=m，
所以，此时点P的坐标为（1+m，m）；
（3）存在．理由如下：
∵A（-1，0），B（1，0），
∴AB=1-（-1）=1+1=2，
根据平行四边形中对边平行且相等，PQ=AB=2，且PQ∥A3，
①当点P（1+m，3m）时，1+m-2=m-1，
所以，点Q的坐标为（m-1，3m），
∵点Q在抛物线上，
∴3（m-1）2-3=3m，
整理得，m2-3m=0，
解得，m1=3，m2=0（舍去），
②当点P（1+m，m）时，1+m-2=m-1，
所以，点Q的坐标为（m-1，m），
∵点Q在抛物线中，
∴3（m-1）2-3=m，
整理得，9m2-19m=0，
解得m1=，m2=0（舍去），
∵3与都大于0，
∴抛物线y=3x2-3图存在点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，
此时，m的值为3与．（2003o上海）已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4，求a、c的值．
（1）此题较简单，根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号．
（2）当CO2=OAoOB时，可用c表示出OC，用a、c表示出OAoOB，代入上式即可求得a、c是否为倒数关系．
（3）此题可沿用（2）的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值．
解：（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0；
当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0；
因此a、c同号．
（2）设A（m，0），B（n，0），
抛物线的解析式y=ax2+bx+c中，令y=0，
得：ax2+bx+c=0，
故OAoOB=mn=；
而OC2=c2，若OAoOB=OC2，
解得ac=1；
所以a、c互为倒数．
（3）由题意知：y=ax2-4x+，
则：m+n=，mn=2
若AB=4，即AB2=48，
所以：（n-m）2=48，
即（m+n）2-4mn=48，
解得a=±；
故c==±2；
因此a、c的值分别为：、2或-、-2．如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-\frac{3}{4}x+3$分别与x轴、y轴交于点A和点B，二次函数y=ax2-4ax+c的图象经过点B和点C（-1，0），顶点为P．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；
（2）若点D在二次函数图象的对称轴上，且AD∥BP，求PD的长；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为直径的圆与圆O相切，求圆O的半径．
（1）根据已知直线的解析式，可求得A、B的坐标，然后将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式；利用配方法将所得抛物线解析式化为顶点坐标式，进而可求得顶点P的坐标；
（2）由（1）的P点坐标知：抛物线的对称轴为x=2，因此抛物线对称轴经过AB的中点，设此交点为E，若BP∥AD，那么PE=DE，根据抛物线的对称轴方程易求得E点坐标，从而可得到PE的长，根据PD=2PE即可得解；
（3）由（2）知E是PD的中点，OE的长易求得，比较ED、OE的大小后发现，DE＞OE，若⊙E、⊙O相切，那么只有内切一种情况，故两圆的半径差等于圆心距，由此求得⊙O的半径．
（1）因为直线$y=-\frac{3}{4}x+3$分别与x轴、y轴交于点A和点B；
由x=0，得y=3，y=0，得x=4，
所以A（4，0），B（0，3）；（1分）
把C（-1，0），B（0，3）代入y=ax2-4ax+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}c=3\\a+4a+c=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}c=3\\a=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$；（2分）
∴这个二次函数的解析式为$y=-\frac{3}{5}{x^2}+\frac{12}{5}x+3$；（1分）
$y=-\frac{3}{5}{（x-2）^2}+\frac{27}{5}$，P点坐标为P$（2，\frac{27}{5}）$；（1分）
（2）设二次函数图象的对称轴与直线$y=-\frac{3}{4}x+3$交于E点，与x轴交于F点；
把x=2代入$y=-\frac{3}{4}x+3$
得，$y=\frac{3}{2}$，
∴$E（2，\frac{3}{2}）$，
∴$PE=\frac{27}{5}-\frac{3}{2}=\frac{39}{10}$；（1分）
∵PE∥OB，OF=AF，
∵AD∥BP，
∴PE=DE，$PD=2PE=\frac{39}{5}$；（2分）
（3）∵$E（2，\frac{3}{2}）$，
∴$OE=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\frac{5}{2}$，
∴ED＞OE；
设圆O的半径为r，以PD为直径的圆与圆O相切时，只有内切，（1分）
∴$|{r-\frac{39}{10}}|=\frac{5}{2}$，
解得：${r_1}=\frac{32}{5}$，${r_2}=\frac{7}{5}$（3分）
即圆O的半径为$\frac{32}{5}$或$\frac{7}{5}$．试题分析：
一次函数图象上点的坐标特征。
根据一次函数图象上点的坐标特征，将点P1、P2的坐标分别代入已知函数的解析式，分别求得y1、y2的值，然后再来比较一下y1、y2的大小．
解：∵点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y=2x1的图象上，
∴y12×31=5，y2=2×21=3，
∴y1＞y2；
故答案是：y1＞y2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．解题时也可以根据一次函数的单调性进行解答．
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