求数列求通项1+1/3,2+1/9,3+1/...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-13 14:13 标签： 数列求通项
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站长：朱建新考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件先分别求出a1，a2，a3，a4，进而求出b1，b2，b3，由{bn}成等比数列，由此能求出k．（2）由已知条件求出bn=2n，根据bn=an+1-an，利用累加法能求出数列{an}的通项公式．（3）由Sn=b1+2b2+3b3+…nbn=1&#&#&#8226;23+…+n&#8226;2n，利用错位相减法能求出Sn．
解：（1）∵a1=1，a2=3，a3=3×3-k×1=9-k，a4=3×（9-k）-k×3=27-6k，∵bn=an+1-an，∴b1=3-1=2，b2=6-k，b3=18-5k，∵{bn}成等比数列，∴b22=b1&#8226;b3，∴（6-k）2=2×（18-5k），解得k=2或k=0（舍）当k=2时，an+2=3an+1-2an，∴an+2-an+1=2（an+1-an），∴bn+1bn=2，∴k=2时满足条件．（2）∵b1=2，{bn}成等比数列，bn+1bn=2，∴bn=2n，∴a2-a1=2，a3-a2=22，…，an-an-1=2n-1，∴an-a1=1+2+22+23+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1，∴an=2n．（3）Sn=b1+2b2+3b3+…nbn=1&#&#&#8226;23+…+n&#8226;2n，①2Sn=1&#&#&#8226;24+…+n&#，②①-②，得：-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1，∴Sn=(n-1)×2n+1+2．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．
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科目：高中数学
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科目：高中数学
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1+1/3+2+1/9+3+1/27+...+n+(1/n^3)=1+2+3+……+n+(1/3+1/9+1/27+……+1/n^3)=n(1+n)/2+(1-1/n^3)/2
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=(1+2+3+…+n)+(1/3+1/9+1/27+1/3^n)
=n(n+1)/2+1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)
=n(n+1)/2+(1-3^n)/2
=[n(n+1)+(1-3^n)]/2
（1+1/3）+（2+1/9）+（3+1/27）+...+【n+（1/3^n）】=（1+2+3+……+n）+(1/3+1/9+1/27+……+1/3^n)=n(1+n)/2+(1-1/3^n)/2 =（n&#178; + n + 1 - 1/3^n ）/ 2
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