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已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
题型：解答题难度：偏难来源：高考真题
解：（1）由已知得f′（x）=a（sinx+xcosx），对于任意的x∈（0，），有sinx+xcosx＞0，当a=0时，f（x）=-，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（0）=-，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为f（）==，解得a=1，综上所述，得。（2）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点证明如下：由（1）知，，从而有f（0）=-＜0，f（）=＞0，又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（1）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由g（）=1＞0，g（π）=-π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）=0．由g′（x）=2cosx-xsinx，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）=0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）=＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）=0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点。综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数，且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数零点的判定定理，函数解析式的求解及其常用方法，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系函数零点的判定定理函数解析式的求解及其常用方法函数的单调性与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
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279612280897291546274840490767258535当前位置：
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如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若方程的实根个数分别为a，b，c，d，则a＋b＋c＋d＝(&&& )A．27B．30 　　C．33D．36
题型：单选题难度：中档来源：不详
B试题分析：因为偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，由.因为.有三个根， 所以有三个根，以及另两个根的绝对值大于1小于2，所以不存在，故.由，同上所以有三个根，另两个根的绝对值大于1小于2，所以有六个根，故.由，同上共有9个根，故. 由，也共有9个根，故.所以.故选B.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若..”主要考查你对&&函数、映射的概念&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数、映射的概念
1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。 （2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。&2、函数： （1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f（x）的值域。显然值域是集合B的子集。
3、构成函数的三要素：&定义域，值域，对应法则。 值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。
&4、函数的表示方法： （1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法； （2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。 映射f：A→B的特征：
（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。（1）函数两种定义的比较：
&&&&& ①相同点：1°实质一致2°定义域，值域意义一致3°对应法则一致
&&&& &②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.
（2）对函数定义的更深层次的思考：&&&&&&&&&映射与函数的关系：函数是一种特殊的映射f：A→B，其特殊性表现为集合A，B均为非空的数集. .函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。小结：函数概念8个字：非空数集上的映射。 对于映射这个概念，应明确以下几点：
&①映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合. ②映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的.③映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心. ④映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合 . ⑤映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.
&一一映射：设A，B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一元素都有原象，那么这个映射叫做从A到B上的一一映射. 一一映射既是一对一又是B无余的映射.
&在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一； ⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。
对函数概念的理解：
函数三要素&（1）核心——对应法则等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）.（2）定义域定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. （3）值域值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。 （4）关于函数符号y=f(x) &&&&& 1°、y=f(x)即“y是x的函数”这句话的数学表示.仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.f(x)也不一定是解析式. &&&&& 2°、f(x)与f(a)的区别：f(x)是x的函数，在通常情况下，它是一个变量.f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，它是一个常量即是一个数值.f(a)是f(x)的一个当x=a时的特殊值. &&&&& 3°如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数.
发现相似题
与“如图，偶函数f(x)的图像形如字母M,奇函数g（x）的图像形如字母N，若..”考查相似的试题有：
759661853270844986878138887802868226（2006o海淀区二模）已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，（1）用关于m的代数式表示n；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若x1＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x1，f（x1））处的切线l与x轴的交点为（x2，0），证明：x2≥3．考点：；．专题：．分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的导函数，由切线与x轴平行，得到切线斜率为0，故把x=2代入导函数求出的导函数值为0，列出关于m与n的关系式，用关于m的代数式表示出n即可；（2）把（1）表示出的n代入f（x）和导函数中，令导函数大于0，分m大于0和小于0两种情况考虑，分别求出不等式的解集即可得到函数的单调递增区间；（3）把x=x1代入（1）求出的导函数，表示出切线l的斜率，代入f（x）求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据切点坐标和斜率写出切线l的方程，然后令y=0表示出x2，利用作差法，根据x1＞2，及完全平方式大于等于0得到x2-3大于等于0，变形即可得证．解答：解：（1）∵f（x）=m3x+nx2，∴f′（x）=3mx2+2nx．由题意得：f′（2）=0，即3m+n=0，∴n=-3m；（4分）（2）∵n=-3m，∴f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，令f′（x）＞0，得3mx2-6mx＞0，当m＞0时，∴x＜0或x＞2，∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），当m＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；（8分）（3）由（1）得：f（x）=mx3-3mx2，f′（x）=3mx2-6mx，l：y-（mx13-3mx12）=（3mx12-6mx1）（x-x1），令y=0，由m≠0，x1＞2，则2=2x21-3x13(x1-2)，所以2-3=2x21-3x13(x1-2)-3=2x21-12x1+183(x1-2)=2(x1-3)23(x1-2)，∵x1＞2．（x1-3）2≥0，∴x2-3≥0，即x2≥3．（12分）点评：此题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性．要求学生掌握切点横坐标对应的导函数值为切线方程的斜率，导函数值大于0时x的范围为函数的递增区间，导函数值小于0时x的范围为函数的递减区间，熟练运用这些性质是解本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差函数f(x)一致连续的条件及应用
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函数f(x)一致连续的条件及应用
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3秒自动关闭窗口f是区间[a,b]上的连续函数,M(x):=max(t∈[a,x])f(t),证明M(x)连续._数学吧_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
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f是区间[a,b]上的连续函数,M(x):=max(t∈[a,x])f(t),证明M(x)连续.收藏
老题，陪李玟
反证行不行。。
对某个内点x0...由f连续知道存在区间（x0-△、x0+△ ）其上|f（x）-f(x0)|＜e...从a到x0-△再到x0如果maxf【a、x0】=maxf【a、x0-△】则M（x）-M（x0）=0...当x和x0足够接近的时候如果maxf【a、x0】=maxf【x0-△、x0】＞maxf【a、x0-△】 对x＜x0M（x0）-M（x）=maxf【a、x0】-maxf【a、x】=[maxf【a、x0】-f（x0）]+[f（x0）-maxf【a、x】].....※有已知的f连续性、、第一个[]＜e对第二个[]...考察【x0-△、x0】上满足f（x）=maxf的点c...如果c不是x0...当c≤x＜x0|f（x0）-maxf【a、x】| =|f（x0）-f（c）|＜e!!!如果c=x0...则存在x0的某个领域f（x）≥maxf【a、x0-△ 】当x属于这邻域的时候|f（x0）-maxf【a、x】| =|f（x0）-f（x）|＜e!!! 这样※式＜2e！！！！所以M（x）在x0点处左连续右连续的证明完全类似的...端点处的证明亦然~细节或许欠缺思路应该没问题 ...睡觉去了
昨天才做的这题。。。解答中用了一个非火星“显然”。。。一元函数连续性搞不到。。。
这种题是否只能见一题背一题？
额，现在不方便穿答案。。。酒喝多了。。。
数吧怎么这么多夜猫子
按照定义最简单，就像5L的。我现用另一种有趣的证法。先作延拓，令f(x)=f(a)，当x&a，f(x)=f(b)，当x&b。M(x)=sup{f(a+t(x-a)) | t∈[0,1]}。对于任意t，ft(x)=f(a+t(x-a))是x的连续函数，所以对于任意c，Et={x|ft(x)≤c}是闭集，Ft={x|ft(x)&c}是开集。{x|M(x)≤c}=∩Et是闭集，即M(x)是下半连续。{x|M(x)≥c}^C=∪Ft是开集，所以{x|M(x)≥c}是闭集，即M(x)是上半连续。因此M(x)是连续函数。
这题用一致连续性证明很简洁吖
10L的方法我没有看到,看着很简洁啊
10L的方法我没有看到过,看着很简洁啊- -
用了上（下）半连续的性质
f是[a,b]上的连续函数，故一致连续对任意e，存在d使当|x-y|&d时，|f(x)-f(y)|&e又当|x-y|&d时，|M(x)-M(y)|&|supf(t){t属于(x,y)}-inff(t){t属于(x,y)}|&e
(..关键步)所以M(x)是[a,b]上的一致连续函数
这将m(x):=min(t∈[a,x])f(t)的连续性也一起证了吧..
打酱油搬运。
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