已知椭圆x^2+(m+3)y^2=m的离心率e 根号2等于2分之根号3，求椭圆的长轴长，短轴长，焦点顶点的坐标

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-11-26 14:43 标签： 离心率e 根号2
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号3/2,AB分别为椭圆的长轴和短轴的端点,M为AB的中点已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为e=根号3/2,A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点,M为AB的中点,O为坐标原点,且|OM|=根号5/2.（1）求椭圆的方程（2）过(-1,0)的直线L交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积最大时直线L的方程. (1)设椭圆的半焦距为c则有：a²=b²+c²a²+b²=5c/a=√3/2解得：a=2b=1c=√3所以椭圆的方程为：(x²/4)+y²=1(2)【方法一】设交点P（x1,y1）,Q（x2,y2）当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1则S=√3/2当直线l的斜率存在时设其方程为y=k(x+1)（k≠0）,联立椭圆方程：(x²/4)+y²=1得：(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0两个根为x1,x2x1+x2=-8k²/(4k²+1)x1&#(k²-1)/(4k²+1)则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]（k≠0）又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)所以S=(1/2)|PQ|•d=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) （k≠0）=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]＜2•√3/4=√3/2所以,当直线l的方程为x=-1时,△POQ面积最大；做第二问的基本思路就是将直线方程与椭圆方程联立,消去y 有了方法一，那方法二呢？ 将直线方程与椭圆方程联立，消去X 设交点P（x1，y1），Q（x2，y2） 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1 当直线l的斜率存在时 设其方程为y=k（x+1）（k≠0），联立椭圆方程(x²/4)+y²=1 得：(4+1/k²)y²-(2/k)y-3=0 两个根为y1，y2，△＞0恒成立 y1+y2=2k/(4k²+1) y1&#k²/(4k²+1) |y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1&#√[(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)] ∴S△POQ=S△POT+S△QOT =(1/2)×|OT|×(|y1|+|y2|) =(1/2)×(|y1-y2|) =(1/2)√[3-(8k²+3)/(16k^4+8k²+1)] ＜2•√3/4 为您推荐： 其他类似问题 （1）根据离心率，，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；（2）设交点，分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去，表示出△POQ的面积，利用基本不等式求得结论。 本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程 扫描下载二维码已知椭圆x 2 +（m+3）y 2 =m（m&0）的离心率e= ，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长及顶点坐标。 椭圆方程可化为 &0，所以m& ， 即a 2 =m，b 2 = ，解得m=1，所以a=1，b= ，椭圆的标准方程为x 2 + =1，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为 A 1 （-1，0），A 2 （1，0），B 1 （0，- ），B 2 （0， 为您推荐： 扫描下载二维码已知椭圆x^2+(m+3)y^2=m的离心率e等于2分之根号3,求椭圆的长轴长,短轴长,焦点顶点的坐标 离心率=c/a=根号3/2c=(根号3/2)ab^2=a^2-c^2=a^2-(3/4)a^2=(1/4)a^2x^2/m+y^2/(m/(m+3))=1显然m>0,不然不是椭圆然后m+3>3m/(m+3) 为您推荐： 其他类似问题 扫描下载二维码已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为2分之根号3.(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知点A(0,1)和直线l:y=x+m,线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB,求实数m的值. 温柔_599蘤鄋 2a=4 e=c/a=2分之根号3 得到a=2 b=1 c=根号3x^2/4+y^2=1后面一步要联立椭圆方程和直线方程 利用几何定理和维达定理做 应该不成问题..过程也是比较复杂,耐心做就一定做的出来 为您推荐： 其他类似问题 扫描下载二维码已知椭圆E的焦点在x轴上,长轴长为4,离心率为2分之根号3.已知点A(0,1)和直线L：y=x+m线段AB是椭圆E的一条弦,且直线L垂直平分弦AB,求实数m的值 ∵椭圆E的长轴长为4,∴a=2,离心率为根号3/2∴c= 根号3 ,b=1椭圆E的标准方程为x2 /4 +y2=1；直线AB垂直l所以直线AB的方程为y=-x+1将y=-x+1代入x2 /4 +y2=1得x1=0,x2=8/5y1=1,y2=- 3/5AB的中点为（4/5,1/5）将（4/5,1/5）y=x+mm=-3 /5 为您推荐： 其他类似问题 a=2,e=c/a=√3/2，∴c=√3，b=√（a^2-c^2)=1,∴椭圆方程为：x^2/4+y^2=1,∴A是椭圆的上顶点，设AB直线的斜率为k,∵直线l是弦AB的垂直平分线，∴l⊥AB，∵l的斜率为1，∴k=-1,AB的方程为：(y-1)/x=-1,即y=-x+1,

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