高等数学之二阶线性微分方程的解法
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在高等数学中，经常会考查大家的一个知识点是关于二阶线性微分方程的解法，这一部分内容相对来说考查大家的形式是多种多样的，可以直接给出一个二阶微分方程让大家求解，也可以放在应用中也就是通过给出关系列出微分方程后求解等等，不管是哪种解法，实质上考查大家的就是对于这种方程的求解。下面，我们简单介绍一下二阶线性微分方程的解法。
所以我们知道解二阶微分方程，不管是齐次还是非齐次方程，都需要先求出齐次方程的通解，对于非齐次方程而言，只要再求出来一个特解就可以得到它的通解了，所以解的结构定理为我们求二阶非齐次微分方程提供了一个思路。
对于二阶齐次线性微分方程，它的解题步骤是很固定的，方法如下：
(责任编辑：xiaxi)
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二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
摘 要：根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根．利用降阶法，可给出求解一般二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式．
【题　名】二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式
【作　者】宋燕
【机　构】渤海大学数理学院 辽宁锦州121000
【刊　名】《高等数学研究》2011年 第3期 6-7页　共2页
【关键词】常系数 非齐次 线性微分方程 通解
【文　摘】根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根．利用降阶法，可给出求解一般二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式．
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常系数,非齐次,线性微分方程,通解
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A second order constant coefficient linear homogeneous differential equation
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齐次微分方程一般形式：dy/dx=f(y/x)例：dy/dx=y/x+tan(y/x)这类方程只要令z=y/x就可以化为可分离变量的方程一阶线性齐次方程的一般形...
答: 因此，扣除三餐中由食物摄取的毫升水分，我们每天只要再喝1500毫升水，也就足够了
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General Solution of Second Order Non-homogeneous LDE with Constant Coefficients
根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根,利用降阶法,可给出求解一般二阶常系数非齐次线性微分方程的通解公式.
渤海大学,数理学院,辽宁,锦州,121000
年，卷(期)
机标分类号
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&&8:00-11:30,13:00-17:00(工作日)导读：就爱阅读网友为您分享以下“二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!二阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法讨论幸 克 坚（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）摘 要：非数学专业《常微分方程》中，“二阶常系数线性微分方程”一般是作为一个单独的模块来讲授。但在一般非数学专业使用的《高等数学》教材中，特解的介绍常常比较突然和不够完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文结合非数学专业学生的特点就特解的求法进行了分析和讨论。关键词： 常系数
讨论中图分类号：O171
文献标识码：E
文章编号：（ XING Ke-jian(Departent of Mathematics,Zunyi Normai College,Zunyi 563002,China)Abstract:Key words: 一、问题的提出“微分方程”中的“常系数线性微分方程”的求解理论，在数学专业的《常微分方程》教材中已得到完美的解决，但由于专业所限，非数学专业《高等数学》内容中《常微分方程》不可能系统介绍，往往只是将“二阶常系数线性微分方程”作为一个单独的模块来讲授。一般是先求出二阶常系数线性齐次微分方程的通解，然后，找出非齐次方程：y?+py?+qy=f(x)
（1）的一个特解，最后按照“叠加原理”将这个特解与相应的齐次方程的通解相加，就得到非齐次方程的通解。这两个环节比较而言，难点在第二步——求特解。虽然非数学专业的《高等数学》侧重于应用而不在于推导，但知识点的介绍和引入也应该遵循引入自然和易于理解接受的原则。而非数学专业使用的不少《高等数学》教材中，特解的引入常常比较突然并且不够完整，让学生无法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。如笔者使用的这本教材中就仅从一个十分具体的例子：例1、求方程
y?+y?+y=x+2
(2)y?+y? =x+2
(3)y? =x+2
(4)--------------------------收稿日期：2004-03-作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学教育和数学史研究
1 ①的特解来引出。很突然地用：“我们设想方程（2）具有一次式形式的特解： y*=α+βx,,,,；显然，一次式y*=α+βx不是方程（3）的解，设想它的特解为：y*=（α+βx）x,,,,；显然，（α+βx）x不是方程（4）的解，设想它的特解为：y*=（α+βx）x2”，最后又说：“情况是这样的：方程（2）对应的特征方程无零根；方程（3）对应的特征方程以零为单根；方程（4）对应的特征方程以零为重根”。之后就依据这一具体例子，给 “二阶常系数线性微分方程”的整个求解问题作了结论，显得比较玄乎和片面。这样取材和讲解，很容易产生疑问：①用一个系数这么简单的具体例子能得出可靠的普遍结论吗？②方程的解的这三种形式是怎么得来的？③除了这三种形式之外是否应该还有更多的其它形式？④这三种形式与特征方程有无零根有何必然联系？产生疑问的结果，就是学生不能真正理解和熟练掌握，也无法形成清晰完整的印象。为了避免这种不良后果，笔者在教学中针对非数学专业学生的数学基础，就特解的求法问题进行了如下的分析和讨论，就较为顺畅和易于理解：二、特解的求法分析讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为：y?+py?+qy=f(x)
(1)其中y?项的系数为1，p、q为常数，f(x)为初等函数。因此， y 、y?、y?也只能是初等函数。而且能作为初等函数的微商或导函数出现的最常见的是多项式函数、三角函数和指数函数。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinωx(或f(x)=acosωx)、f(x)=aebx是最简单而常见的情况，我们就着重讨论f(x)的这三种形式。（一）首先考虑： y?+py?+qy=f(x)
中f(x)为一般的非零多项式的情形：设非零多项式f(x)的次数为n，并设y*为（1）的解。因为（1）式右边为非零多项式，所以左边也必为非零多项式，而初等函数中有且仅有多项式函数的微商才为多项式，所以y*也必为非零多项式：不失一般，设y*=g(x)，并设g(x)的次数为m。下面分别根据（1）中系数情况来讨论m与n之间的关系：根据
y?+py?+qy=f(x)
中系数有下列三种不同情况：1） 当q≠0时(1)为： y?+py?+qy=f(x)。此时，方程右边f(x)的次数为n，将y*=g(x)代入左边，由于y*′″的次数为m，y*的次数为m－1，y*的次数为m－2，所以，方程左边的次数为max｛m，m－1，m－2｝= m，应与方程右边f(x)的次数n相等。即： m=n；2）
当q=0而p≠0时(1)为： y?+py? =f(x)。此时，方程右边f(x)的次数也为n，将y*=g(x)代入左边后方程左边的次数为max｛m－1，m－2｝= m－1，所以有： m－1=n，即m=n+1；3） 当p=q=0时(1)为： y?=f(x)。此时，方程右边f(x)的次数仍为n，将y*=g(x)代入左边后方程左边的次数为m－2，此时即： m－2=n，即m=n+2；2这就是（1）中f(x)为一般的非零多项式时得出的特解y*与f(x)次数关系的一般性结论。现在来讨论f(x)为一次多项式时即f(x)=ax+b解的情况：仍设y*=g(x)为（1）的特解：1） 当q≠0时(1)为： y?+py?+qy=ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n=1，故可设y*=g(x)为一次多项式g(x)=α+βx，将y*=g(x) =α+βx代入（1）式得：（α+βx）?+p（α+βx）?+q（α+βx）=ax+b即 ：
pβ+qα+qβx=ax+bab?pβqb?pa ， α= = qqq2qb?paa
所以，（1）特解为：
y*=+x 2qq比较系数得：
β=2）当q=0而p≠0时(1)为： y?+py? = ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n+1=1+1=2，故可设g(x)为二次多项式g(x)=（α+βx）x（注：为什么不设为一般的二次三项式ax2+bx+c？这种设法与设为一般的二次三项式ax2+bx+c有无本质上的区别？可留给学生自己思考和推算。）将y*=g(x) =（α+βx）x即y*=αx+βx2代入（1）式得：（αx+βx2）?+p（αx+βx2）?=ax+b即：
2β+ pα+ 2pβx=ax+bab?2βpb?a， α= = 22ppppb?aa
所以，（1）特解为：
y*=（+x）x 2pp2比较系数得：
β=3）p=q=0时(1)为： y?= ax+b，由上面的分析，y*=g(x)的次数m=n+2=1+2=3，故可设g(x)为三次多项式g(x)=（α+βx）x2，（注：为什么不设为一般的三次四项式ax3+bx2+cx+d？这种设法与设为一般的三次四项式ax3+bx2+cx+d有无本质上的区别？仍可留给学生自己思考和推算。）将y*=g(x) =（α+βx）x2即y*=αx2+βx3代入（1）式得：（αx2+βx3）?=ax+b即：
2α+ 6βx=ax+bab，
所以，（1）特解为：
y*=（+x）x2 26比较系数得：
β=以上就是y?+py?+qy=f(x) 中f(x)=ax+b即f(x)为一次多项式时，根据特征方程的“零”根的三种情况，有如下结论：31） 当q≠0时方程为 y?+py?+qy= ax+b，λ=0不是特征方程的根， 特解为一次多项式：α+βx；2） 当q=0而p≠0时方程为 y?+py? = ax+b，λ=0是特征方程的单根，特解为二次多项式：（α+βx）x；3） 当p=q=0时方程为 y?= ax+b，
λ=0是特征方程的重根，
特解为三次多项式：（α+βx）x2； 并且，特解中待定系数α、β可以由原方程的系数p、q、a、b唯一确定。（二）其次考虑： y?+py?+qy=f(x)
中f(x)=asinωx(或f(x)=acosωx)的情形：即：
y?+py?+qy= asinωx
（不失一般，取f(x)=asinωx即可）因为复角“ωx”的正、余弦函数的微商（或导数）仍然是复角“ωx”的正、余弦函数，并且y、y?与y?中sinωx与cosωx总是交替出现的。因此，要使方程y?+py?+qy= asinωx的特解y*代入原方程后等式成立，y*应该形如：y*= αcosωx+βsinωx将y*= αcosωx+βsinωx代入原方程得：（αcosωx+βsinωx）?+p（αcosωx+βsinωx）?+q（αcosωx+βsinωx）= asinωx求导整理得：—αω2cosωx—βω2sinωx—pαωsinωx+ pβωcosωx+ qαcosωx+ qβsinωx= asinωx比较系数得：（q—ω2）α+ pωβ=0（q—ω2）β—pωα= a所以当pω≠0且q—ω2≠0时，特解中待定系数α、β可以由原方程的系数p、q、a、ω通过关系式：?pωa(q?ω2)a
β= 222222(q?ω)?(pω)(q?ω)?(pω)唯一确定。而pω=0与q—ω2=0正好与：（±ωi）2+p（±ωi）+q=0
等价，即 ±ωi 是特征方程：λ2+pλ+q=0
的根所以，当±ωi 不是特征方程
λ2+pλ+q=0 的根时，原方程的特解由原方程的系数p、q、a、ω通过上式唯一确定。但当±ωi 是特征方程：
λ2+pλ+q=0
的根时，pω=0与q—ω2=0，此时，若再设：y*= αcosωx+βsinωx将无法确定 α、β之值。考虑到这一结果正好是由 “αcosωx+βsinωx”及其微商导致的，故可参照f(x)为一次多项式时的情形，考虑设：y*= （αcosωx+βsinωx）x则： （y*）′= （（αcosωx+βsinωx）x）′=（－αωsinωx+βωcosωx）x+（αcosωx+βsinωx）
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