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例1 已知质点的运动方程
? ? ? 2 例1 已知质点的运动方程 r ? 2ti ? 19 ? 2t j求（1）轨道方程； （2）t=2秒时质点的位置矢径、 速度及加速度； （3）何时位矢恰好与速度垂直？解：⑴??x ? 2t , y ? 19 ? 2t2? ?
⑵ r 2 ? 2 ? 2i ? 19 ? 2 ? 2 j ? 4i ? 11 j ? ? ? dr dx ? dy ? ? v? ? i? j ? 2i ? 4tj dt ? dt ? dt1 2 消去时间参数 y ? 19 ? x 2 ? ? ? 2??? v 2 ? 2i ? 8 j2 2?m ? s ??1?1v2 ? 2 ? ?? 8? ? 8.25m ? s?8 ? ? tg ? ?75?58? 2?1? ? ? ? ? ? 2 （3） r ? v ? [2ti ? 19 ? 2t j ] ? ?2i ? 4tj ?? 4t ? 4t (19 ? 2t 2 ) ? 4t (2t 2 ? 18)? ? dv x ? dv y ? a? i? j ? ?4 j dt dt ?1 a ? 4 (m ? s ) 方向沿y轴的负方向? ? ? ? dr v? ? 2i ? 4tj dt??? 8t (t ? 3)(t ? 3) ? 0 t1 ? 0 (s) , t2 ? 3 (s) 两矢量垂直例2 如图,A、B 两物体由一长为 l 的刚性细杆相 连,A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体A以恒定 速率 v向左滑行,当 ? ? 60? 时,物体B的速率为多少？ y 解 建立坐标如图 ? dx ? ? ? B i ? ? vi A 的速度 v A ? v x i ?d ? t dy ? ? j B 的速度 v B ? v y j ? dt 2 2 2 x ? y = l ( l 为常量)? vB ? ?沿y?lAody x dx dx dy ?? 两边求导得 2 x ? 2 y ? 0 即 dt y dt ? dt ? dt x dx? vx? vBy dtj? ? vB ? v tan? j轴正向,? ? 60? 时 vB ? 1.73v 当例3 路灯距地面高度为h，身高为l的人以速度v0在 路上匀速行走。求：（1）人影头部的移动速度。 （2）影长增长的速率。 解： 设人影头部移动速度为 v （1） x2 ? x1 x2 (h ? l ) x ? hx h ?l （2）设影长增长速率为 v ?，影长为b b ? x2 ? x1 ? x2 h lv0 db l dx2 dx2 hv0 v? ? v? ? ? ? h?l dt h dt dt h ? lh dx2 dx1 两边求导：(h ? l ) ?h dt dt o dx1 hv0 dx 2 ? v0 v ? ? dt dt h?ll21lx1 x2 x? 例4 一具有恒定加速度 a (a x , a y ) 的质点，在平面上 ? 作曲线运动。设t=0时，质点的初速度为v0 (v0 x , vo y ) ， ? 质点的位矢为 r0 ( x0 , y 0 ) 。求质点的速度和运动方程。? 解： ? dv a? dt?? v? v0t ? ? dv ? ? adt 0? ? ? 解得： v ? v0 ? at分量式t{vv x ? v0 x ? a x ty? v0 y ? a y tdvx ax ? dt dv y ay ? dt?vxv0 xdvx ? ? a x dt0v x ? v0 x ? a x tv y ? v0 y ? a y t?vyv0 ydvy ? ? a y dt0tt ? t ? ? ? dt ?r?0 dr ? ?0 vdt ? ?0 (v0 ? at )1 2 x ? x0 ? v0 x t ? a x t ? ? ? 1? 2 2 解得：r ? r0 ? v0 t ? a t 分量式 1 2 2 y ? y 0 ? v0 y t ? a y t? ? dr v? dt? r{t 0v 已求得： xdx vx ? dt? v0 x ? a x t v y ? v0 y ? a y t2?xx0dx ? ? v x dt ? ? (v0 x ? a x t )dt0t1 2 x ? x0 ? v0 x t ? a x t 2 y t t dy vy ? ?y dy ? ?0 v y dt ? ?0 (v0 y ? a y t )dt dt1 y ? y 0 ? v0 y t ? a y t 2 20? 例5 一物体以初速度 v 0沿与水平面上ox轴正向成? 0 角抛出。忽略空气阻力，求物体的速度和运动方程。 ? ax ? 0 y ? 解：已知 a ? ? g j ? (x，y） v ay ? ?g v0 ? ? 任t时刻物体坐标（x，y） g ?0 速度分量 (v x , v y ) 0{dv y dvx ax ? ? 0 ay ? ? ?g dt dt 积分 dvx ? 0 v x ? c1 ? ? dvy ? ?? gdtt=0时xv y ? ? gt ? c2v x ? v0 cos? 0c1 ? v0 cos? 0 可得： v x ? v0 cos? 0v y ? v0 sin? 0 c2 ? v0 sin? 0 v y ? ? gt ? v0 sin? 0v y ? ? gt ? v0 sin? 0 v x ? v0 cos? 0 ? ? ? v ? (v0 cos? 0 )i ? (v0 sin? 0 ? gt) j v0 sin? 0 ? gt ? 2 2 ? ? arctg v ? (v0 cos? 0 ) ? (v0 sin? 0 ? gt) v0 cos? 0 dx dy vx ? ? v0 cos? 0 v y ? ? v0 sin? 0 ? gt dt dt t ?0 x?0 y?0积分 ?0 dx ? ?0 (v0 cos? 0 )dtx t? dy ? ? (v sin?0 0 0yt0? gt)dt1 2 y ? v0 t sin ? 0 ? gt x ? v0 t cos? 0 2 y y ? xtg? 0 ? x2 轨道方程： 2 2 2v0 cos ? 0? ? ?1 例6 一球体在某液体中竖直下落，其初速 v0 ? 10 m ? s j ? ? ?1 它在液体中的加速度 a ? ?1 ? 0s vj 求⑴t秒后小球的速率？⑵ t秒后小球经历的路程？ 解：变速直线运动 v dv t dv ? ? 1 .0 ? dt ? ?1.0v ?v ⑴ a? 0 0 v dt? a0v ln v ? ln v0 ? ln ? ?1.0t v0v ?1.0t ?e v0?1t? v0yv ? v0 e?1.0 t? 10e (m ? s )?tdy ? v 0 e ?t ⑵ v? dt?t?y0dy ? ? v0 e ?t dt0y ? v0 (?e ? 1) ? 10(1 ? e ) (m)?t例7 半径为r=0.2m的飞轮，可绕o轴转动。已知轮 缘上一点M的运动方程为?=-t2+4t ，求在1秒时刻M 点的速度和加速度。 d? d? -1) 解： ? ? s s ?? ? ?2 (rad?-2) ? ?2t ? 4 (rad? dt dtv ? r? ? r (?2t ? 4) ? 0.2 ? (?2 ? 1 ? 4) ? 0.4 m ? sat ? r? ? 0.2 ? (?2) ? ?0.4 m ? s?2?1? vMan ? r? ? 0.2(?2 ? 1 ? 4) ? 0.8 m ? s2 2?2a?a ? a ? 0.89 m ? s2 t 2 n?2? ano?? a?x?1 a n ?1 0.8 ? ? tg ? tg ? 63 .4? at 0.4? a例8 一质点沿半径为R的圆周运动，其路程s随时间t s ? bt ? 1 2 ? ct 2 ，式中b，c为大于 的变化规律为 2 零的常数，且 b ? Rc 。求（1）质点的切向加速 度和法向加速度。（2）经过多长时间，切向加速度 等于法向加速度。ds 解： （1） v ? ? b ? ct dt dv at ? ? ?c dtv 2 (b ? ct) 2 an ? ? R Rb t? ? c R c（2）at ? a n例9 半径为0.50m的飞轮在启动短时间内，角速度与时 间的平方成正比，t=2.0s时测得轮缘一点的速度值为 4.0m.s-1。⑴该轮在t?=0.5s的角速度？轮缘一点的切 向加速度和总加速度?⑵该点在2.0s内转过的角度? 2 v 2 ? 2rad ? s ?3 v t ? 2s k ? 解 ⑴ ? ? kt ?? ? kt ? ? ? d?r2at ? r? ? 1 ? 0m ? s2 t 2 ndtd (kt ? ) ?2t ? ? 0 ? 5s?2? ? 0 ? 5rad ? s ?1rtdt 2 ?2 a n ? r? ? 0 ? 125 m ? s?2? ? 2 ? 0rad ? s ?2 ? 2kta ? a ? a ? 1 ? 01m ? s⑵ ?? ??2s0? dt ? ?2s02t 3 kt dt ?23t ?2? 5 ? 33rad例10 一观察者A坐在平板车上，车以10m/s的速率沿水 平轨道前进。他以与车前进的反方向呈60°角向上斜 抛出一石块，此时站在地面上的观察者B看到石块沿铅 垂向上运动。求石块上升的高度。 解： 按题意作矢量图y y?? ? ? v ? v0 ? v ?x?? v0? vxv ? v0tg 60? ? 10tg 60? ? 17.3 m ? sv 17.3 H? ? ? 15.3 m 2 g 2 ? 9.802 2?1? v?600? v0例11 某人骑自行车以速率v0向东行驶。今有风以 同样的速率由北偏西30°方向吹来。问：人感到 风是从那个方向吹来？300解：? v0? vS? v?S?? ? ? v ? v ? ? v0? ? ? v ? ? v ? v0北偏东30°v? ? v0
dt dt dt dt 解:第二种方法正确 1-3. 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为 x ? 2 ? 6t 2 ? 2t 3 ,式中x 的单位为m,t 的 单位为 s.求: ...5.一质点运动方程的表达式为 r ( t) 10t 2 i + 5tj ,式中的 r ,t ...s + )v 0 h 2v 2 s = = 30 s2 s s 13.已知一质点作直线运动,其加...由质点的运动学方程可以得到质点的全部运动信息: 轨迹、 速度、 加速度 例:...实例:自由落体实验: (1)自由下落; (2)上抛; (3)下抛 已知质点的加速度和...大学物理授课教案 第一章 质点运动学_理学_高等教育_教育专区。《大学物理》授课...例 1-1:已知一质点的运动方程为 r = 2ti + (2 t 2 ) j (SI) ⑴t...例​题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档质点力学 1、 已知一质点作平面运动时其速度的量值为常数 C,矢径的角速度的量值为常数ω , 求质点的运动方程及...《​大​学​物​理​》​质​点​力​学​例​题​(...2tj 3 3. 已知一质点的运动方程为 r ? 2 t i + (2 ? t 2) ( j ...) 第一章 质点运动学例 1-1 一质点在 xy 平面上运劝,运动方程为...已知降落伞与跳伞员的质量共为 m,空气对伞的阻力为 f=-kv,式中 k 为常 ...第1章质点的运动与牛顿定律练习题(大学物理11)_理学...易 8、已知质点的运动方程 r ? (3t ? 5)i ?...(基础题) 1、解:(见例5-3) 3、解:氢气的温度...第1章__质点运动学_理学_高等教育_教育专区。第一章一、目的与要求 1、确切...2、熟练掌握质点运动学两类问题,即用微分方法由已知的运动学方程求速度、加速 ...【例 1-2】 如图 1-2 所示。一质点在 xy 平面内运动,其运动方程为 ? ?...0 -5 例 1-2 图解:分析:已知运动方程的坐标表达式,用坐标法求解较为方便。...
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瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
第二章 质点运动学§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度上页下页返回结束第二章 质点运动学§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量§2.2.1 平均速度与瞬时速度 1.平均速度 ?? ?r v ? 定义 ?t __ ? ? ?r 相 同 v 是矢量 , 方向与大小为 平均速率__P? r (t )O? ?rQ? r ( t ? ?t )? ? ?r v ? ?t?s v? ? 0 ?s为路程 ?t? v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .上页 下页 返回 结束第二章 质点运动学2. 瞬时速度(简称速度)定义? v是 矢 量 ，? ? dr ?r ? ? lim ? v ? l i mv ? ? t ? 0 ?t ?t ? 0 dtQ ??方向：质点运动路径的切向. Q ???? ? dr 大小：v ? v ? dt? vP? ?r4? ?r3? dr? ?r2 ? ?r1Q?Q瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.上页下页返回结束第二章 质点运动学 在直角坐标系中的分解式 ? ? ? d x ? dy ? dz ? ? v ? v x i ? v y j ? vz k ? i ? j? k dt dt dt? 2 2 v ?| v |? v x ? v2 ? v y zvx cos ? v ? vcos ? v ? vy vvz cos ? v ? v瞬时速率(简称速率)? ?r ? lim ?s ? ds v ? lim ?t ? 0 ? t dt ?t ?0 ?ts是 路 程上页下页返回结束第二章 质点运动学[例题1]某质点的运动学方程为? ? ? ? 2 r ? ?10i ? 15tj ? 5t k(单位m,s)求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量; （2）t =0到t =1s质点的平均速度; [解 ]? ? ? ? dr (1) v ? ? 15 j ? 10 tk (单位m/s , s) z dt?? v (t )大小 v ? v ? 15 2 ? (10 t ) 2? 225? 100t 2O? v ( 0)y上页下页返回结束第二章 质点运动学方向cos ? ? vx 0 ? ?0 v v15 cos ? ? ? v v vyv z 10t cos? ? ? v vt =0时, v ? 15 m/st =1s时, v ? 5 13 m/scos? ? 0, cos ? ? 1, cos? ? 0cos? ? 0, cos ? ?3 2 ? 0.832, cos? ? ? 0.555 13 13? ? ? ? ? ? ? r1 ? r0 ( ?10i ? 15 j ? 5k ) ? ( ?10i ) ( 2) v ? ? t1 ? t 0 1? 0 ? ? ? 15 j ? 5k (m /s)上页下页返回结束第二章 质点运动学§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度1.平均加速度 ? ? ?v 定义 a ? ?t ? 方向同 ?v注意:? va ( t )? v b ( t ? ?t )? v b ( t ? ?t )? ?v①说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或哪一段位移中的平均加速度.? ? . ②一般 ?v与v方向不同上页下页返回结束第二章 质点运动学? ? ? 2? d dr d r ? ?v dv ? ( )? 2 ? 定义 a ? lim ?t ? 0 dt dt dt dt dt2. 瞬时加速度（简称加速度）? ? ? a是矢量 , 一般a与v方向不同 .直角坐标中 ? dvx ? dv y ? dvz
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