美国数学建模比赛的相关总结及经验
加强数学建模综合能力培养
——数学中国2008年美赛工作总结
华晓帅（数学中国网站CEO）&马壮（数学中国网站站长）
2008年2月15日——2月19日，美国大学生数学建模竞赛与美国大学生交叉学科数学建模竞赛如期举行，作为中国最大的数学建模交流基地“数学中国”来讲，与参加美赛的中国内地同学共同度过了四天四夜。对于本次竞赛，数学中国网站作了以下的总结。希望能同大家交流一下比赛经验。
一、保持新闻的敏感度：
在每次举办国内外数学建模竞赛之前，我们数学中国都事先做好心理准备，压一下比赛题目。在春节前，数学中国论坛发表了《》，第一个研究课题便压中了美赛的A题。当然这里不是教大家如何猜题目。我们想告诉大家要多关心国内外的时事、政治、经济。为什么这样讲呢？道理很简单，学习数学建模，参加竞赛的最终目的不是拿奖，而是为了掌握一门社会科学技能。大家学习数学建模后，可以用数学的眼光看问题。
比如说这次的A题，2007年2月联合国政府间气候变化专门委员会（IPCC）发表了第四次评估报告，在国际上引起了轩然大波。报告预测指出，从人类工业时代开始到2100年，全球平均气温的“最可能升高幅度”是1.8至4℃，海平面升高幅度是19至58厘米，北冰洋的海冰将在本世纪后半段融化消失。这个报告引出的问题很多，事实也得到了验证。比如2007年至2008年的冬天，我们国家遭受了50年不遇的特大雪灾，美国南部又一次遭遇了飓风。有证据显示这些都可能是由全球气候变暖引发的极端恶劣天气。全球气候变暖考察的问题很多，A题选取了一个佛州的例子，意在让全球气候变暖得到大家足够的重视。当然所有的时事不可能在一次竞赛里全部体现出来。但是当大家看新闻的时候，应该多思考一下如何使用数学模型来处理新闻热点中提到的问题，经常和队员交流一下思路，增强对新闻的敏感度，提高对数学建模的应用能力。
我们数学中国论坛将在近期成立“数学建模研究组”（暂定名称）。主题是用“数学的眼光”看时事。届时有兴趣培养“敏感度”的同学，不妨同我们共同探讨一下。
二、资料、数据收集能力的培养：
在本次竞赛中，国内参赛学生在资料收集上吃了很大的亏，因为2008年MCM-A题和ICM都是需要同学自己收集整理资料及数据。然而根据我们网站上的同学反馈统计，大家对A、C两题数据、资料的收集占去了1/3时间。更有甚者，最后一天还在论坛及QQ群上求助数据共享。在数据收集上，我们数学中国为同学做了大量的工作，并及时通过本站的专用即时通讯工具MCQ和QQ通知了参赛会员，但是能力有限，仍不能满足大家的需求。今后我们将着重在这方面制作一些专题视屏培训教程，希望对以后参加竞赛的同学有所帮助。
“工欲善其事，必先利其器”。国内的同学有必要在互联网知识及硬件基础上下一番功夫。ICM题目刚出来的时候，就有同学反应竞赛题目提供的第二个网址上不去。由于国内互联网屏蔽了“wiki”网站，需要通过代理才能够访问，大家对代理的知识很模糊，所以作ICM题的时候，大家都缺少了一个重要信息来源。同时我们网站又是电信服务器，而大多数北方高校都是用的网通的宽带，这也造成我们提供的重要信息无法获得。
另外，在这里指出保持数据、资料真实的重要性。由于去年竞赛发生了国内特等奖被取消事件，今年竞赛官方在规则及题目中也多次强调这个问题。但是我们发现还是有不少同学，在无法找到数据的情况下，编造了A题的多项数据，这种做法等于学术作假，这样的论文也不会被评审委员会采纳。所以在今后的竞赛中，大家要避免发生类似的事情，这样不仅欺骗了论文的评审，也欺骗了自己。
三、竞赛准备工作须做好：
我们数学中国虽然在赛前，准备了大量的美赛辅导材料，及时地帮助大家积极备战，但是却忽视了同学的竞赛准备工作。据我们网站了解，今年竞赛大约有60%的学生为第一次参加，对美赛一无所知。这样就造成比赛期间闹了不少笑话，这是我们工作上的失误。在这里我们总结了以下几点，希望对以后参加美赛的同学有所帮助。这也算是亡羊补牢吧。
1）竞赛时间确定：由于大多学生第一次参赛，对竞赛时间不了解。有些学生在2月14日晚上就在等赛题，在竞赛快结束的几个小时内还在问是不是明天才交卷。由于中国与美国地理位置属于东西两个半球，北京时间比美国东部时间快13个小时，所以美国比赛时间为2月14日晚上8点整，北京时间则为2月15日早晨9点整。比赛结束时间为北京时间2月19日早晨9点整。以后比赛只要在美赛时间上加13个小时即可。
2）仔细阅读竞赛规则：我们数学中国网站每年在竞赛报名开始时，都会将竞赛规则翻译出来，供大家参考。特别是今年由于07年竞赛发生了特等奖取消事件，规则有了新的变化。我们也将变化内容及时发布到了数学中国论坛的美赛板块。在竞赛报名期间要仔细阅读相关内容。美赛的参赛帮助对于所有的比赛流程问题都有说明，特别是最后关于如何准备邮包的问题说得十分详细。
3）论文格式及排版：我们每年都会在竞赛的时候发布论文LATEX排版格式。对于习惯用WORD编辑的同学可以在竞赛前访问我们提供的国外大学数学建模网站提供的优秀论文原版，对照编辑。这里建议大家学习使用LATEX软件，因为该软件对于数学公式的输入非常方便，而且格式非常标准，避免了在论文排版上花费大量时间的问题
4）常备一些文献数据资料网址：这个是在竞赛期间有效的节省时间，快速的搜索相关的资料。我们在论坛里开设了学术期刊账号版块（其内容都是网上搜集），大家在竞赛前多找一些国外大学图书馆的网站，里面有大量的科技文献电子资源库，以备竞赛期间使用。特别是今年的B题，我们可以从国外的文献数据库中找到很多相关的论文，特别是针对该问题的一些方面已有论文进行过研究，还有针对该问题的专门英文论坛，如果大家能够及时发现会节省很多解题的时间。
5）制定竞赛时间表：在竞赛准备期间，准备二到三次模拟，总结一下自己小组在竞赛各个阶段所需要的时间，制定一套科学的作息时间表，按照时间表，严格执行，切忌在第一天熬夜作战。每人每天至少保证7个小时的睡眠时间。美国的朋友在头天晚上基本上是大家讨论做题的思路，制定一个总体的规划（他们是晚上开始竞赛的），然后就集体睡觉。第二天才正式开始解题。
6）常备一些文件格式读取软件：今年我们收集的数据资料，它们的文件格式各有不同，如“.NC”、“.LST”、“.ISO”等等，这些都需要特定软件读取，在模拟竞赛期间，大家在找资料的同时，多了解一些相关格式文件的读取软件，以备竞赛期间使用。
7）擅用百度、GOOGLE等搜索网站：百度、GOOGLE都有高级搜索模式，里面含有文件搜索、地区搜索等内容。百度有“知道”、“百科”功能，一些问题可以在百度“知道”、“百科”里面查找答案；GOOGLE有专门的在线翻译网页以及地图网页，这两个网站是竞赛查找资料的必备工具。
8）重新认识数学中国：我们数学中国包括有矩阵学院（数学类相关书籍）、网络教学（数学建模辅导视频）、矩阵论坛（丰富的资源及重要信息），这些对于参加美赛的同学来说有很大帮助。在竞赛准备期间，多上网站看看浏览些自己感兴趣的内容，有助于对数学建模的掌握。（由于我们网站是电信服务器，所以有条件的同学接入电信宽带或使用本站推荐的凤凰网关访问）
9）多看些英文学术论文，多用英文练笔：我们论坛提供了许多国外大学的电子图书馆账号，里面含有大量的科技文献，多读一些有关的论文，提高自己的阅读能力。今年美赛的三个题目都可以在网上找到大量的英文文献，快速从这些文献中找到自己想要的东西是能否取得好成绩的关键。同时养成论文尽量用英文来写作的习惯，不要用中文写完再翻译，写完之后请英语老师查看语病并及时更正。
四、阅读能力有待提高：
本次竞赛，我们数学中国站长马壮老师，在开始两个小时内将三道题目进行了翻译。但是由于时间匆忙，在B题的翻译上一词“metrics”产生了两种异议，一为矩阵、二为标准。后来经我们网站管理人员的重新校对并讨论，确定为标准更为贴切，而后我们及时更正了译文。产生译文错误的主要原因是对于题目的理解不恰当，这一点也提示我们在以后的美赛中要更加小心。
不少作A题的同学迫不及待地查找佛州海平面历年的变化高度，想通过海平面的变化来预测未来50年的变化趋势。如果不看题目，这个思路是正确的。但是只要认真的阅读题目，大家就会知道这个问题必须先研究“因”，再研究“果”。题目的第一句说的很清楚：研究一下由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响。“因”是全球气候变暖，北冰洋冰帽融化，“果”是海平面上升，对大陆影响。当然“果”还有很多，洋流变冷，气候异常，极端天气出现等等。所以我们在得知大家理解题目错误的情况下，及时发表了数学中国对A题目的观点：（以下是我站观点，仅供参考，与官方观点无关）
A题主要解决气候变暖与冰洋融化之间（温室气体排放量与融化速度之间的关系）、北冰洋融化与大陆影响（以目前的融化趋势，预测佛州几个大城市将在什么时候毁灭，或者50年内佛州的受灾程度）之间关系模型：大陆影响主要有：海平面上升、恶劣气候（飓风）、大西洋暖流变冷等情况。以佛洲为例，考虑佛州几个重要城市的地理位置，指出减缓温室气体排放及减缓北冰洋融化速度对海平面上升、恶劣气候等的作用。
其实我们不想将我们的思路告诉大家，原因是我们只是提供一种解题思路，不想扼杀大家的创造性，同时有可能误导大家解题。但是在这里希望大家在竞赛的时候多读几遍题目，分析题目的每个词，指出他们的引申含义。只有全面的理解题目，才能确定思路，不要一开始盲目确定。
五、编程能力及阅读源代码能力：
根据美赛这些年的发展趋势来看，对于编程能力的要求也在逐渐提高。特别是今年的B题，很多参赛的同学感觉它比较像一道ACM的比赛题目，确实是这样。这道题目对于编程能力要求很高，虽然我们在论坛里面发布了一些求解和“生成数独问题”的源代码，但是仍有很多网友不能直接使用，原因就是很多网友的编程能力还停留在只能使用已学过的一、两种编程语言，还不具备将编程融会贯通，快速学习一种新语言的能力。希望以后大家在备战阶段多进行一些这方面的训练，虽然不必要太强的写程序的能力，但也要在读程序和分析程序上下足功夫。
六、善于总结经验：
成功的参加一次竞赛不是以获奖等级来判定，而是以你是否认真总结这次竞赛的经验和教训。本次竞赛我们总结了网站的一些不足之处，这样为下次竞赛做好准备，避免在同一地方犯错。同样作为参加美赛的同学来讲，在竞赛后我们希望大家能够认真地总结自己得到了什么、在哪些方面还有不足之处。将这些经验和教训作为下次参赛或者是遇到问题时的解题良方，这样我们认为你已经在下次竞赛中成功了一半。
另外我们网站从即日起开始征集大家的参赛论文，并在适当时候公布这些论文，大家也许对自己的参赛有些不满意，在赛后不妨看看其他参赛者的论文，深入讨论一下，相互学习。对以后的学习会有一定的帮助！
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自己顶一下。。。。。。。。
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升级&&1.5%当前用户组为 初中生当前积分为 103, 升到下一级还需要 197 点。TA的每日心情开心 11:58签到天数: 8 天[LV.3]偶尔看看II自我介绍哈尔滨工业大学本科生一枚~
要是英语看不懂的话。。写论文怎么写呀。。。
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升级&&14.74%当前用户组为 小学生当前积分为 19, 升到下一级还需要 81 点。TA的每日心情郁闷 03:28签到天数: 3 天[LV.2]偶尔看看I自我介绍数模参赛
楼主辛苦了~
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升级&&61.5%当前用户组为 初中生当前积分为 223, 升到下一级还需要 77 点。TA的每日心情开心 17:14签到天数: 68 天[LV.6]常住居民II自我介绍喜欢数学
群组:&群组:&
中国数模界最第一大专业科技（www.madio.net）数学中国第数学建模思想方法大全精讲专题数学建模精品资源课程系列国内专业的数学建模实训谢谢LZ
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升级&&59%当前用户组为 初中生当前积分为 218, 升到下一级还需要 82 点。TA的每日心情衰 20:24签到天数: 65 天[LV.6]常住居民II自我介绍那个飘满雪的冬天，那个不带伞的少年……
e eeeeeeee
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升级&&72.63%当前用户组为 小学生当前积分为 74, 升到下一级还需要 26 点。TA的每日心情擦汗 00:12签到天数: 17 天[LV.4]偶尔看看III自我介绍我是新手，只参加过校级，还望各位同仁赐教
体力啊啊啊
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升级&&8.42%当前用户组为 小学生当前积分为 13, 升到下一级还需要 87 点。TA的每日心情开心 13:38签到天数: 4 天[LV.2]偶尔看看I
华北电力大学
用户tanxin0919已经进行了数学中国认证
群组:&群组:&群组:&
这是一个骗局……
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社区QQ达人
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TA的每日心情奋斗 14:06签到天数: 45 天[LV.5]常住居民I自我介绍本人开朗大方，善于与人沟通。
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中国数模界最第一大专业科技（www.madio.net）数学中国第数学建模思想方法大全精讲专题数学建模精品资源课程系列国内专业的数学建模实训2013年全国大学生数学建模竞赛A题论文网友公稿，每篇论文都是大家的心血，必有可取之处希望大家互相交流学习。
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升级&&0.2%当前用户组为 本科生当前积分为 1002, 升到下一级还需要 998 点。TA的每日心情慵懒 17:52签到天数: 243 天[LV.8]以坛为家I
南昌理工学院
用户fshxmb1991已经进行了数学中国认证
2013挑战赛参赛者
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是原版的哇，浏览了一遍，觉得还是不错的论文
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升级&&27.5%当前用户组为 专科生当前积分为 710, 升到下一级还需要 290 点。TA的每日心情郁闷 22:11签到天数: 210 天[LV.7]常住居民III自我介绍爱数学
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不错哦！！
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升级&&95%当前用户组为 初中生当前积分为 290, 升到下一级还需要 10 点。TA的每日心情擦汗 05:05签到天数: 36 天[LV.5]常住居民I
淮南师范学院
淮南师范学院，一名大三学生，数学系，对建模非常感兴趣。2012年国赛获得赛区二等奖。希望可以接受培训
用户朱大欢已经进行了数学中国认证
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排版有待改进！！！
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升级&&47%当前用户组为 高中生当前积分为 441, 升到下一级还需要 159 点。TA的每日心情怒 20:23签到天数: 124 天[LV.7]常住居民III自我介绍2013国赛，很高兴与各位交流
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TA的每日心情奋斗 20:56签到天数: 157 天[LV.7]常住居民III
毕业学校您还未进行姓名认证
用户——蒙牛已经进行了数学中国认证
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好像没有考虑红绿灯的影响
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升级&&25%当前用户组为 初中生当前积分为 150, 升到下一级还需要 150 点。TA的每日心情难过 08:26签到天数: 49 天[LV.5]常住居民I自我介绍喜欢建模
群组:&群组:&
获奖结果如何？
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在线时间63 小时最后登录注册时间听众数收听数能力0 分体力921 点威望0 点阅读权限40积分354相册日志记录帖子主题精华0分享好友
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升级&&18%当前用户组为 高中生当前积分为 354, 升到下一级还需要 246 点。TA的每日心情奋斗 21:29签到天数: 125 天[LV.7]常住居民III自我介绍hehe
整体看起来还好额。排版太渣额。。考虑得因素貌似不够额。目测省一。。
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升级&&7.37%当前用户组为 小学生当前积分为 12, 升到下一级还需要 88 点。TA的每日心情奋斗 10:36签到天数: 1 天[LV.1]初来乍到自我介绍呵呵
我只想说抄了太多参考文献里的东西，没准你自己都没有搞懂那些原理。
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升级&&40%当前用户组为 学前班当前积分为 2, 升到下一级还需要 3 点。该用户从未签到自我介绍无
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2007美国大学生数学建模竞赛B题特等奖论文翻译
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3秒自动关闭窗口2007年全国大学生数学建模竞赛B题论文及程序(网络转载)
公交查询系统的模拟
我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行，届时有大量观众到现场观看奥运比赛，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。这些年来，城市的公交系统有了很大发展，城市的公交系统的发展带给人们便利的同时也带来了路线选择的问题，针对这一情况，本文从公交线路出发,将时间问题与费用问题转化为换乘次数和站点数问题,着重考虑公交线路的换乘次数和站点数，讨论始末站点所在线路的重合、相交等各种不同情况，运用统计的思想和集合的概念标识站点和线路,并通过寻找集合间的交集的形式查找线路中转站，并将这些站点及其所在线路构成换乘矩阵，给出换乘的具体算法，同时还运用等效的方法将地铁线路衍变为公交线路，从而简化模型。文章最后还考虑了乘客可以步行小段距离再转车的实际情况，提出了基于最少换乘次数的城市公交网络的最佳路径算法。由此系统乘客在一个查询系统里直接输入起始点与目标点之后，系统会自动生成最优的出行路径。
关键词：公交网络　最佳路径　最少换乘次数
到一个城市，如北京，上海，首先遇到的一个困难是去该城市的交通问题。作为首都城市的北京，全国人民以及世界人民翘首企盼的第29届奥运会明年将在此举行。在这种情况下，外国游客大量地涌入中国，其中大部分人将会乘坐公共交通工具(简称公交，包括公汽，地铁等)，这样他们从居住地(酒店旅游等)，到奥运会场所及各个参观景点就面临一个问题：如何选择乘车路线，才可以方便而且较快地到达目的地，即,公交网络换乘问题。
三、问题的提出与假设
在城市电子地图中，公共交通信息模块是必不可少的，它为各种交通信息的搜索查询，统计提供方便直观的手段，公共交通信息的查询倍受用户的关注。在现有的公交线路与站点的情况下，设计合理的交通网络查询模型有助于人们确定出发的时间，出行线路和换乘方案。即当乘客在一个查询系统里直接输入起始点与目标点之后，系统会自动生成最优的出行路径。
文献[1]对乘客的出行心理进行了研究。其结果是“换乘次数”是大部分公交乘客在选择出行时首先考虑的因素，其次是出行时间和距离的长短，而出行耗费的时间与换乘的次数及距离的长短密切相关。对公交车换乘问题的研究，我们做出如下假设。&&&&&&&&&
1、由题目给出的参数假设可知：任一条公交线路上，公交在相邻两点之间的行驶时间为一常数。
2、出行者只考虑时间问题，也就是选择最少公交站点数作为起点至目的地的最优线路。在一般情况下，出行者特别是旅游者，费用并不是他们所首先考虑的因素。因此为了简化模型，把考虑站点数的便捷性放在第一位,也就是把时间作为第一要素。
3、若乘客可直接到达目的地，就不再换乘，这也符合乘客的一般心理，与实际相符。
4、换乘次数最多为两次，这是由于可换乘所用的次数越多，耗费的时间越长，费用也越多，当一个交通系统的换乘次数多达三次时,就说明这个交通系统有待于改进。因此为了模型的进一步的简化,就讨论最多只换乘两次这种情况。
四、数学模型
&一&公汽情形
1.公汽网络的描述
一个公交网络是由一组不同的公交线路组成的，且每条线路上分布有若干个上下乘客的站点，把每条公交线看作一条公交流线，用表示(可以是闭合的，也可以是重复的，或是不闭合也不重复的)，则由i条公汽流线组成了个公汽网络；且每条公汽流线是它所经过的所有站点的集合，即可表示为：，对于所有公汽站点的集合，当时，表示第一条线路下所有的站点编号所组成的集合，任一公汽站点所对应的经过此站点的公交线的集合记为
表示公交线路，表示站点)。这样可以通过统计的思想把经过网络中的两点(标为结果)所对应的公交流线作为一个集合，记为，其次把每条公交流线所对应的站点用集合表示。
2、路径选择原则
(1)公交线路是单一的(即往返同线)
在系统中，输入起始点以及目标点。，为了实现个目标且能使花费的时间最短，则可按如下步骤进行搜索；(若公汽在一站点有停车，则为1，否则为0，用表示)
①计算是否存在 ，使得流线 同时经过 与 两种结果。若为
=1，则说明只要乘车一次就可以到达目的地，乘车路线可为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
此时若有多条途径，则可选择站点数最少为最优路径。
②若①种情况不成立，则需要换车，搜索集合
与看是否存在，满足，如果存在则说明需要换车一次则可到达目的地，乘车路线为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
若只有一种搜索结果显示，从 的乘车线路就是这种最佳。
若不是唯一的，而有多种选择换乘一次可达目的地，则此时可有K种途径可以到达目的地，此时就进一步对此K种中转站进行扫描，输出站点数最少的一种方式，进而显示乘坐次种最佳的途径到达目的地。
③如果②都不存在时，说明乘车至少要换两次，搜索集合：
是否存在两个中转站站点，以及满足若存在，则说明只需换车两次即可到达目的地。
④若换乘两次未能到达，则需要换乘至少三次才能实现，根据以上同样的方法，仍然可以搜索出最佳的出行线路。
不过出于对人们的可承受的心理限度的考虑，再基于较优质的交通网络，换乘次数在此设定时不应大于两次。
⑤对题中6对起始站到终点站的解答:
S3359到S1828,从S3359出发乘第436路车到S1784下车转乘第167路车到终点S1828
S1557到S481,从S1557出发乘第363路车到S1919下车转乘第189路车到S3186下车转乘460路车到S481
S971到S485,从S971出发乘第13路车到S2184下车转乘第417路车到终点站S485
S8到S73,从S8出发乘第463路车到S2083下车转乘第57路车到终点S73
S148到S485,从S148出发乘第308路车到S36下车转乘第156路车到S3351下车转乘417路车到S485
S87到S3676,从S87出发乘第454路车到S3496下车转乘第209路车到终点S3676
&二&.公汽与地铁
上面论述了乘客出行只考虑公汽的最短路线问题。在现实生活中，北京公交除了公汽之外，地铁也是整个交通网路中不可缺少的一部分。在这种情况下，乘客的选择就更多了。然而最优路径永远是乘客出行首选的，但不排除特例。
对于已知的两条地铁线路,可以把它新增为公汽网络中的两条流线,设两地铁所经过的站点的集合分别为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&
由于就，有23个地铁站点与外面的公汽网络相连。则可做如下处理，即有经过地铁站的23个地铁站与其相对应附近的公汽站作为一个新的公交网络中的结点，并且给这新的结点赋予新的标记，则通过这新的公交站点的所有公汽流线所组成的集合用表示,如下图所示
此时在给定起始点的时候,人们有以下几种选择
&(公汽)&&&&&&
&(先公汽后地铁)
&(先地铁后公汽)
&(先公汽，然后地铁，再是公汽)
&&&&&&&&&&&&
&(先地铁，然后公汽，再是地铁)
1、当输入线路为： 时，系统先作出如下初步判断
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
则此时同时进行着 型与 T 型这两个途径。
在执行 型时，就只有执行公汽模型并得出最佳的线路。
在执行 T 型时，线路图如下所示
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由于是地铁站点，同时又是新的公汽站点，即此是可认为乘换次数为2。
由于前面假设，公汽的换乘次数不超过两次，即可到达目的地。
若在，该模型的换乘次数就为4次，那么这公交网络系统就是其本身设计问题了，则可设公汽与地铁交叉的换乘方式的换乘次数应小于等于4。
①若存在Si∈ ， 则可选出，此为公汽换乘情况
&=1，2，3…}，而，则公汽间换乘一次，此时可转化为&&
，由于此时可以把地铁站等效为公汽站点，只是等同后的公汽站不再是原网络的一个单纯的结点，而是由多个单纯的结点组成了新的组合结点，表示为。（由于公交站是在地铁站周围，该等效符合实际。则转换为一个多对一的映射，即
&&&&&&&&&&&&&&&&&
这样可回到公汽模型来分别比较 中到达 的最少结点数
③若 &=1，2，3…}，而
&=1，2，3…}，则可为引入中间站点Sz来实现，的最少结点的公汽流线，这又转化为公汽系统。只是系统事先确定的流线。
④若公汽有转乘两站，根据公汽只转乘一站时的算法，则只要输入起迄站，系统就只需与23个新标识的结点进行计算，算出Si
的最小结点以及 的最小结点，搜索结果即为最优途径。
2、①当输入 （j
23）时，即可等效公汽间的算法，此时可能会有好几个可行的路径K条，这些可行的路径中再进行进一步地筛选，可根据第一目标为时间
筛选方法为：每条途径所对应的换乘次数
3，（满足公汽最大换乘次数不大于3），公汽结点数为，地铁结点数有；则时间t=min
f（ ， ， ）=min（2 +3 +5 ）（其中i=1，2，…，k）。
②对于输入 （j&23时）
即 （如下图）
对于输入 ，可进行分步
则取 的两个时间取最小值。
③当是 时也可由前面①②的方法所得。
2.当输入的是之间的转乘时，可根据在与两站点转乘的最少站点数，得出最佳转乘路线。
3.对于的模式时，索引自动会把它跳跃至的关系。出于一般人的心理，该模式较符合人的思维模式。在经济上只要支付地铁的费用，而时，则增加了公汽的费用，也许在时间上并不是最佳，但可以不予考虑。
&三&、模型的补充
以上两个模型对涉及到费用的问题，都只以时间作为第一要素来考虑，而费用只是隐含在站点数中并作为第二要素，没有充分考虑。此时对此模型进行修补。考虑经济因素对人们转乘的影响。不过在模型的假设里考虑时间是最主要的，则在时间为主要因素的前提下考虑费用问题。
(1).此时可在系统增设一个来处理站点的费用问题，在系统已确定的可行路线为K条时，系统对每条线路进行提取节点数n,转乘数为N且，以及N+1条换乘流线段上节电集合。
若 ，则输出费用
若 ，则输出费用
中有个是在20~40之间，个是在大于四十，个是在小于20，则有
此即计算费用的一般通式。
为了满足不同人群的对目标实现的方式不同，取两条分别以钱与时间为最佳出行线路，即为四条可选择路线，在此四条可红选择的路线上，除了分别标识所需发费的时间与费用的同时，也标识转乘情况。
在间以及地铁与公汽间，由于有上地铁其费用就已固定。此时即可用（1）来实现满足人们的要求。
对已知的公交网络，给定的任两点间的距离，则可用附权图来表示，每两节点间的权表示为步行所需要的时间！则可采用迭代法求出从的最少时间！根据前面所得出的公交路线模型中的最优方案，此时所要实现的就是把所求的最短步行时间与公交系统有效的结合，使得显示三种最优路径，分别是最少费用：有两种优解；最少时间：有两种优解，以及步行的最优解！这样的系统则又增多了人们的选择，不再是只限制在公交系统上。比如在某些站点，步行则很快到达，而乘坐公交即没有时间上的优惠，也浪费金钱，因此此种情况下，在人们可接纳的步行长度（也就是步行时间），则给人们新的选择方向，此种情况下的模型，又是公交系统的重大的补充，使其更具有人性化！
由于该模型只考虑了时间与费用两个问题，而现实生活中公交先线路的选择不仅仅是这两个问题，它还与上下班时间段、是否为空调车、站点所在线路的车流量等方面的因素，以上所列举的因素涉及概率方面内容，需要建立微分方程模型，再与前文所述内容综合考虑，模型的可靠性就更高、适用性更好。由于公交线路选择需要考虑的因素较多，需要认真调查，认真思考，同时还要多方面听取意见，进行多次讨论，按照多方面的要求统一协调，综合考虑，要根据实际乘客的心理进行分析判断。
五.模型评价
在以上的公交模型能够在不换乘以及换乘一次、二次情况下能够较好的提供较复杂人群的需求。在以上的公交系统模型中，由于数据量很大，所算出的最优线路采用的是最小换乘法，在具体的算法上随着换乘次数的增多，使得系统对这些数据计算的复杂度与烦琐度大大的增大，这不仅对搜索系统性能的要求大大的提高，同时这系统执行命令后的运行的时间也大大的延长，这不符合出行者的要求！由于在程序发面的笔者较为陌生，只能在单独公汽情行下,在考虑到公汽与地铁相结合时只给出了模型思想,未能在程序里得到验证!
六.模型应用
由于本模型同时涉及到时间的最优解以及费用的权衡,是同时综合了最少费用与最短路的两个模型,因此此模型可使用于中国邮路问题,交通运输等!
[1]王莉等.公共交通系统最佳路径法[J].东南大学学报,):256-267
附录:单纯公汽模式的MATLAB实现
y=findline(x)&&&&&&&&&&&&&&&&
%x is a busstation
%aim is to find all busline through x
load busstation
[l_a,t]=find(A==x);
y=l_a(find(t&3));
function y=findstation_come(b,x)
%b is a goal station
%x is the busline through b
%the aim is to find all station going to b
load busstation
last_b=max(find(A(x,:)==b));
y=A(x,4:last_b);&&&&&&
function y=findstation_to(a,x)
%a is a starting station
%x is the busline through a
%the aim is to find all station coming from a
load busstation
head_a=max(4,min(find(A(x,:)==a)));&&&&
%min column
last_a=max(find(A(x,:)~=0));&&&&&&&
%max column
y=A(x,head_a:last_a);&&&&&&&
function y=nochange(a,b)
l_a=findline(a);
l_b=findline(b);
y.line=intersect(l_a,l_b);
y.connecting=[];
function y=changeone(a,b)
i=1:length(l_a)
j=1:length(l_b)
x_a=findstation_to(a,l_a(i));
x_b=findstation_come(b,l_b(j));
cap=intersect(x_a,x_b);
if ~isempty(cap)
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
select_line_a=l_a(i);
&&&&&select_line_b=l_b(j);
&&&&&&&&&&&
select=[select_line_a,select_line_b,t];
&&&&&&&&&&&
x(i,j).line=[select_line_a,select_line_b];
&&&&&&&&&&&
x(i,j).connecting=t;
function y=changetwo(a,b)
l_a=findline(a);
%l_b=findline(b);
&for i=1:length(l_a)
x_a=findstation_to(a,l_a(i));
for j=1:length(x_a)
&&&&&&&&&&&&
select=changeone(x_a(j),b);
&&&&&&&&&&&&
if ~isempty(select(1).line)
&&&&&&&&&&&&&&&&
t=[t,select];
&&&&&&&&&&&&
end&&&&&&&&&&&&&&&&
function y=changethree(a,b)
l_a=findline(a);
%l_b=findline(b);
i=1:length(l_a)
x_a=findstation_to(a,l_a(i));
for j=1:length(x_a)
&&&&&&&&&&&&
select=changetwo(x_a(j),b);
&&&&&&&&&&&&
if ~isempty(select(1).line)
&&&&&&&&&&&&&&&&
t=[t,select];
&&&&&&&&&&&&
end&&&&&&&&&&&&&&&&
function y=kexingjie(a,b)
x1=nochange(a,b);
if ~isempty(x1(1).line)
&&& elseif
x2=changeone(a,b);
if ~isempty(x2(1).line)
x3=changetwo(a,b);
if ~isempty(x3(1).line)
x4=changethree(a,b);
if ~isempty(x4(1).line)
备注:当换乘次数0和1时,用x=kexingjie(a,b)调出命令 x.line
输出可行解的线路 x.connect输出可行解的中转站
当换乘次数为2时，用x=changetwo(a,b)
调出命令x.line输出可行解的线路x.connect输出可行解的中转站
当换乘次数为3时，用x=changethree(a,b)
调出命令x.line输出可行解的线路x.connect输出可行解的中转站
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