知识点梳理
【解直角】在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图，在&Rt△ABC&中，∠C&为直角，∠A，∠B&，∠C&所对的边分别为&a，b，c，那么除直角&C&外的&5&个元素之间有如下关系：①&三边之间的关系：{{a}^{2}}{{+b}^{2}}{{=c}^{2}}（）；②&两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；③&边角之间的关系：sinA={\frac{∠A的对边}{斜边}}={\frac{a}{c}}，cosA={\frac{∠A的邻边}{斜边}}={\frac{b}{c}}&，tanA={\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}}={\frac{a}{b}}&．利用这些关系，知道其中&2&个元素（至少有一个是边），就可以求出其余&3&个未知元素．
判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。
【生物定义】三边都相等的叫做等边三角形（equilateral&triangle），也属于．【等边三角形的性质】三个内角都相等，并且每一个角都等于&60°．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边...”，相似的试题还有：
如图，直角坐标系中，点A的坐标为(a，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞a＞0)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．(1)求证：OC=AD．(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．(3)当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标．
如图，直角坐标系中，点A的坐标为(a，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞a＞0)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．(1)求证：OC=AD．(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．(3)当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点(OC＞2)，连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．(1)试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；(2)随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．（1）B的坐标是（1，3）；（1分）（2）图2中的阴影部分的面积=S△OAN-S△OAM=12×1×3-12×(2-3)×(2-3)3=6-33；（3分）（3）当A1，B1的纵坐标相同时，A1B1∥x轴，∴a1=120°或a2=300°；（5分）（4）连接AB1，∵OA=OB1=2，∴∠OAB1=∠0B1A∴∠PB1G=∠B1AH，又∵∠PAB1=180°-60°-∠B1AH=120°-∠B1AH∠PB1A=180°-60°-∠AB1G=120°-∠AB1G∴∠PAB1=∠PB1A，∴PA=PB1（6分）∴方程x2-mx+m=0的两个相等实数根，（7分）△=（-m）2-4m=0m1=0（舍去），m2=4（8分）方程为：x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，∴PA=PB1=2（9分）在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×32=3，AM=AP•cos60°=1，则OM=OA-AM=3-1=2．∴P点坐标为（3，-3）（10分）
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科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，点A是BC上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形．试说明：（1）AM=AN；（2）MN∥BC；（3）∠DOM=60°．
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（　　）A．d＞hB．d＜hC．d=hD．无法确定
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图所示，一个六边形的六个内角都是120°，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．
科目：初中数学
来源：不详
题型：单选题
等边△ABC中，边长AB=4，则△ABC的面积为（　　）A．14B．8C．83D．43
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图，点着，B，C在同x直线上，△着B0，△BCE都是等边三角形．（1）求证：着E=C0；（2）若M，N分别是着E，C0的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
等边三角形的边长为8cm，则它的面积为______cm2．
科目：初中数学
来源：不详
题型：解答题
如图所示，已知等边三角形ABC的周长是2a，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN=CM，则BN=______．
科目：初中数学
来源：不详
题型：填空题
如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1-S2的值为______．
精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！考点：等边三角形的性质,待定系数法求一次函数解析式
分析：分两种情况：①当Q在x轴上方时，由△OAB和△BPQ都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠QBP，等号两边都加上∠ABP，得到∠OBP=∠ABQ，根据“SAS”得到△OBP≌△ABQ，即可得到∠BAQ=∠BOP，从而求得∠QAP=60°，通过解直角三角形即可求得y与x之间的关系式；②当Q在x轴下方时，由△OAB和△BPQ都为等边三角形，等边三角形的边长相等，且每一个内角都为60°，得到∠OBA=∠QBP，等号两边都减去∠ABP，得到∠BOQ=∠BAP，根据“SAS”得到△OBQ≌△ABP，即可得到∠BOQ=∠BAP，进而求得∠NOQ=60°，通过解直角三角形即可求得y与x之间的关系式．
解答：解：①当Q在x轴上方时，如图1，连接AQ，作QN⊥x轴于N，∵△OAB和△BPQ都为等边三角形，∴OB=AB，BP=BQ，∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA+∠ABP=∠QBP+∠ABP，∴∠OBP=∠ABQ，在△OBP和△ABQ中OB=AB∠OBP=∠ABQBP=BQ∴△OBP≌△ABQ（SAS），∴∠BAQ=∠BOP=60°，又∵∠BAO=60°，∴∠QAP=60°，在直角三角形AQN中，tan60°=QNAN，∴QNx-2=3则y=QN=3（x-2），∴y与x之间的关系式是：y=3x-23；②当Q在x轴下方时，如图2，连接OQ，作QN⊥x轴于N，∵△OAB和△BPQ都为等边三角形，∴OB=AB，BP=BQ，∠OBA=∠QBP=60°，即∠OBA-∠ABP=∠QBP-∠ABP，∴∠OBQ=∠ABP，在△OBQ和△ABP中，OB=AB∠OBQ=∠ABPBP=BQ∴△OBQ≌△ABP（SAS），∴∠BOQ=∠BAP，∵∠BAP=∠AOB+∠ABO=120°，∴∠BOQ=120°，又∵∠BOA=60°，∴∠NOQ=60°，在直角三角形OQN中，tan60°=QNON，∴QNx=3，则y=-QN=-3x，∴y与x之间的关系式是：y=-3x；综上，y与x之间的关系式是y=3x-23或y=-3x．故答案为y=3x-23或y=-3x．
点评：此题综合考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质．求得三角形全等是本题的关键．
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科目：初中数学
在数学学习中，要经常证明一个命题是不是真命题，那么，我们证明了很多命题，请你回答下列问题．小红正在证明“两直线平行，内错角相等”，她的证明过程是这样的．已知：如图所示，AB∥CD，求证：∠AFG=∠FGD．证明：∵AB∥CD∴∠FGD=∠EFB（理由1）∴∠EFB=∠AFG（理由2）即∠AFG=∠FGD（理由3）小红在证明是用的那三个理由分别是什么？理由1：理由2：理由3：．
科目：初中数学
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ是等腰直角三角形？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于3cm2？（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？
科目：初中数学
如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC＞CD，∠ACB=∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）若∠ACB=60°，则∠AEB的度数为；线段AD、BE之间的数量关系是．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，CM为△DCE中DE边上的高．①求∠AEB的度数；②若AC=，BE=1，试求CM的长．（请写全必要的证明和计算过程）
科目：初中数学
一项高速公路建设工程原计划a天可以完成，开始施工后，由于采用了新的施工方法，每天可以多完成总工程的，因此实际完成这项高速公路建设工程只需要天．
科目：初中数学
填空：（1）（a+b）2=（），（）=（a-b）2；（2）x2-6x+9=（）2；（3）x2+2x+（）=（x+）2；（4）x2-x+（）=（x-）2；（5）x2（）+3=（x）2．
科目：初中数学
已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D为BC边上一点．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）若AC=，CD=1，求ED的长．
科目：初中数学
如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：2，求的值．
科目：初中数学
某天一位蔬菜经营户用140元钱从蔬菜批发市场批发了辣椒和蒜苗共80千克到市场上去卖，辣椒和蒜苗的批发价与零售价如下所示：辣椒批发价1.6元千克，蒜苗批发价1.8元千克，辣椒零售价2.4元一千克，蒜苗零售价2.7元一千克，（1）辣椒和蒜苗各批发了多少千克；（2）他卖完这些辣椒和蒜苗能赚多少钱．
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1.常常用在几何题或者几何综合题的解证过程中。结合变换不盖面被移动图形的形状和大小，二只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，使解题更加简洁。2.移动图形的三种方法：。
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举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A（0，4）．△A...”，相似的试题还有：
在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板OAB和DCE重叠在一起，∠AOB=60°，B(2，0)．固定△OAB不动，将△DCE进行如下操作：(Ⅰ)&如图①，△DCE沿x轴向右平移(D点在线段AB内移动)，连接AC、AD、CB，四边形ADBC的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由．(Ⅱ)如图②，当点D为OB的中点时，请你猜想四边形ADBC的形状，并说明理由．(Ⅲ)如图③，在(Ⅱ)中，将点D固定，然后绕D点按顺时针将△DCE旋转30°，在x轴上求一点P，使|AP-CP|最大．请直接写出P点的坐标和最大值，不要求说明理由．
在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A(0，4)．△AOB是等边三角形，点B在第一象限．(Ⅰ)如图①，求点B的坐标；(Ⅱ)点P是x轴上的一个动点，连接AP，以点A为旋转中心，把△AOP逆时针旋转，使边AO与AB重合，得△ABD．①如图②，当点P运动到点(，0)时，求此时点D的坐标；②求在点P运动过程中，使△OPD的面积等于的点P的坐标(直接写出结果即可)．
在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角板OAB和DCE重叠在一起，∠AOB=60&，B(2，0)．固定△OAB不动，将△DCE进行如下操作：(Ⅰ) 如图①，△DCE沿x轴向右平移(D点在线段AB内移动)，连接AC、AD、CB，四边形ADBC的形状在不断的变化，它的面积变化吗？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由．(Ⅱ)如图②，当点D为OB的中点时，请你猜想四边形ADBC的形状，并说明理由．(Ⅲ)如图③，在(Ⅱ)中，将点D固定，然后绕D点按顺时针将△DCE旋转30&，在x轴上求一点P，使|AP-CP|最大．请直接写出P点的坐标和最大值，不要求说明理由．这是个机器人猖狂的时代，请输一下验证码，证明咱是正常人~