▲&&&2016届高考数学（理）考前30天冲刺【选择题、填空】（中高档详细解）【4】.
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2016届高考数学（理）考前30天冲刺【选择题、填空】（中高档详细解）【4】.
&P&1.(&由函数零点求参数值)已知函数f(x)＝－x&SUP&2&/SUP&＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x＞0，其中e表示自然对数的底数)．【版权所有：21教育】&/P&&&P&(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；&/P&&&P&(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．&/P&&&P&【审题视点】　画出函数图象，利用数形结合法求函数范围．&/P&&&P&&IMG&border=0&hspace=12&alt="21世纪教育网&--&中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站"&align=left&width=91&height=94&src="/ewebeditor/uploadfile/54001.jpg"&【典例精讲】　(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．　　21*cnjy*com&/P&&&P&法二：作出g(x)＝x＋的图象如图：&/P&&&P&可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.&/P&&&P&法三：解方程由g(x)＝m，得x&SUP&2&/SUP&－mx＋e&SUP&2&/SUP&＝0.&/P&
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一元函数的连续性
第二章 一元函数的连续性要点§2.1 连续函数的基本性质及其有关证明题 上连续, 要证 f (x) 在 I 上连续 只要证 x 0 ∈ I , lim f ( x) = f (x 0 ) . x→ x0常用方法: 常用方法 (1) 利用定义: ε & 0 , δ & 0 ,当 x
; δ 时, f ( x )
f (x 0 ) & ε ; (2) 利用左右极限: f ( x 0 + 0) = f (x 0 ) = f (x 0
0 ) ; (3) 利用序列的语言: {x n } → x 0 , 有f ( x n ) → f (x 0 ) ; (4) 利用邻域的语言: ε & 0 , δ & 0 ,使得 f [( x 0
δ , x 0 + δ )]
( f ( x 0 )
ε , f (x 0 ) + ε ) ; (5) 利用连续函数的四则运算性质. 上的单调递增函数, 上连续. 例 1 设 f ( x) 是 [a, b ] 上的单调递增函数,其值域为 [ f (a ), f (b )] .证明 f (x) 在 [a, b ] 上连续. 证明（反证法）假若结论不成立,即存在 x 0 ∈ [a, b]使得 f (x) 在 x 0 不连续. 由于 f (x) 是单调 递增的, x 0 是第一类间断点（P73，Ex 6）.因此 f (x 0 )
0 ) 与 f ( x 0 + 0)
f ( x 0 ) 中至少 有一个大于 0（否则若 f ( x 0 ) ≤ f (x 0
0 ) , f ( x 0 + 0) ≤ f (x 0 ) ,则 f ( x 0 + 0) ≤ f (x 0 ) ≤ f (x 0
0 ) , 而 f (x) 是单调递增的, f ( x 0
0) ≤ f (x 0 + 0 ) , f ( x 0 + 0) = f (x 0 ) = f (x 0
0 ) 矛盾!） 不妨设 f ( x 0 )
0 ) & 0 ,即 f ( x 0 ) & f ( x 0
0 ) .从而 f (x 0 )与f ( x 0
0 ) 之间的任何数都不 在 [ f (a ), f (b )] 之内.再由 f (x) 是单调递增的,矛盾!故 f (x) 在 [a, b ] 上连续.p p 1 在无理点上连续,在有理 例 2 证明 Riemann 函数 R( x) =
q , 当x = q , q 为既约分数, q & 0 ,在无理点上连续 在有理
0, 当x为无理数
点上间断. 点上间断 p 证明 （1）先证 R(x ) 在有理点上间断.设 x 0 为有理点, x 0 = （为既约分数, q & 0 ）.则 q R( x 0 ) = 1 & 0 .由无理点集在实数集中的稠密性,存在无理点列 {x n } → x 0 (当n → ∞时) ,但 qR (x n )
R (x 0 ) = 0 理点处不连续.1 1 = & 0 （对任意正整数 n ）,即 R( x n ) 不收敛到 R( x 0 ) .所以 R( x ) 在有 q q（2）再证 R( x ) 在 [0,1] 内无理点上连续.设为 x 0 ∈ [0,1] 无理点,则 R( x 0 ) = 0 . ε & 0 ,由 R( x ) 的 定义可知, R( x ) ≥ ε 的点 x 在 [0,1] 上最多只有有限多个(事实上,要 R( x ) ≥ ε 的 x 必须为有理20点设 x =1 p p 1 p ,则 R( ) = ≥ ε , 0 ≤ p & q ≤ .可见满足此不等式的有理数 最多只有有限 ε q q q q个).分别记为 x1 , x 2 ,
, x n .令 δ = min{ x n
x 0 , x n 1 , x 0 ,
x 0 } & 0 ,则在( x 0
δ , x 0 + δ ) 内不含有 R(x ) ≥ ε 的点,即有 R (x )
R (x 0 ) = R( x ) & ε .所以 R(x ) 在 [0,1] 内无理点上连续. （3）R(x ) 以 1 为周期.事实上, x 为无理数, R( x) = 0 = R (x + 1) ;若 x =p , q & 0 , p, q 为互质 q p+q 1 ,而 p + q与q 互质整数,所以 1 + x 也为有理数,所以 R( x) = = R ( x + 1) . 整数.则 1 + x = q q 故 R(x ) 以 1 为周期. （4） R(x ) 在一切无理点上连续. p 注 R (0) = 1 ,因 0 = 为既约分数且 q & 0 ,只能有 p = 0, q = 1 . q内有定义,且 都是单调递增的,试证 例 3 若 f (x) 在 (0,1) 内有定义 且 e x f (x) 与 e
f ( x ) 在 (0,1) 内都是单调递增的 试证 f (x) 在 (0,1) 内连续. 内连续 证明 (1)任取 x 0 ∈ (0,1) ,因 e
f ( x ) 在 (0,1) 内单调递增知,当 x & x 0 时,有e
f ( x ) ≥ e
f ( x0 ) , e f ( x0 ) ≥ e f ( x ) , f ( x 0 ) ≥ f ( x )(1),即 f (x) 单调递减.故对任意 x 0 ∈ (0,1) , f (x 0
0 ) 与 f ( x 0 + 0) 均存在. (2) 由 e x f (x) 单 调 递 增 知 , 当 x & x 0 时 , 有 e x f (x) ≥ e x0 f ( x 0 ) . 令 x → x 0 + 时 , 有e x0 f ( x 0 + 0) ≥ e x0 f ( x 0 ) ,即 f ( x 0 + 0) ≥ f (x 0 ) (3) 在(1)式中令 x → x 0 + 得 f ( x 0 ) ≥ f ( x 0 + 0 )(2). (3),由(2)(3)知 f ( x 0 ) = f (x 0 + 0 ) . 类似可证f ( x 0 ) = f (x 0
0 ) .所以 f (x) 在 x 0 处连续.由 x 0 的任意性, f (x) 在 (0,1) 内处处连续. x+ y f (x ) + f ( y ) . )≤ 2 2例 4 设 f (x) 在 (a, b ) 上只有第一类间断点,且 x, y ∈ (a, b ) 有 f ( 上只有第一类间断点 且 上连续. 证明 f (x) 在 (a, b ) 上连续证明 任取 x 0 ∈ (a, b ) ,当 a & x & x 0 时,由条件 f (x + x0 f (x ) + f ( x 0 ) . )≤ 2 2 x + x0 f (x 0
0 ) + f (x )
令 x → x 0
,则 , → x 0 , f ( x 0
0) ≤ 2 2 f ( x 0
0) ≤ f ( x 0 )(1).即21x + x0 x + x0 f (x ) + f ( x 0 ) + ,令 x → x 0 + ,则 )≤ → x0 , 2 2 2 f ( x 0 + 0 ) + f (x ) ,即 f ( x 0 + 0) ≤ f (x 0 ) (2). f ( x 0 + 0) ≤ 2 x + x2 f (x1 ) + f x 2 故再设 a & x1 & x 0 & x 2 & b 且 x1 + x 2 = 2 x 0 ,则有 f ( 1 . )≤ 2 2 f ( x 0 + 0 ) + f (x 0
0 ) 在此式中令 x1 → x 0
, x 2 → x 0 + ,则 f ( x 0 ) ≤ (3). 2当 x 0 & x & b 时,由条件 f (( )由(1)(2)(3)三式得出 f ( x 0 + 0) = f (x 0 ) = f (x 0
0 ) .所以 f (x) 在 x 0 处连续. 由 x 0 的任意性, f (x) 在 (a, b ) 内处处连续. 上有定义, 例 5 设 f (x) 在 ( ∞, +∞ ) 上有定义 且 (1) 具有介值性即 若 f ( x1 ) &
& f ( x 2 ) ,则存在 ξ 介于 x1 与 x2 之间 使得 f (ξ ) =
); 具有介值性即(若 之间,使得 为闭集 连续 (2) 对任意有理数 r ,集合 x f (x) = r 为闭集. 试证 f (x) 在 ( ∞, +∞ ) 上连续. 证明（反证法）若 f (x) 在某一点 x 0 处不连续,则存在 ε 0 & 0 ,使得 {}1 1 & 0 , x n ,虽然 x n
x 0 & , n n但 f ( x n )
f (x 0 ) ≥ ε 0 ,即 {x n } → x 0 (当n → ∞时) ,但 { f (x n )} 在 ( f (x 0 )
ε 0 , f ( x 0 ) + ε 0 ) 之外. 从而在 ( f (x 0 )
ε 0 , f ( x 0 ) + ε 0 ) 之外至少一侧(例如在右侧)含有 { f (x n )} 的无穷多项, 满足 f ( x nk ) & f (x 0 ) + ε 0 .在 ( f (x 0 )
ε 0 , f ( x 0 ) + ε 0 ) 内任取一有理数 r ,由介值性,对每一 x nk , 存在 ξ k 介于 x 0 与 x nk 之间,使得 f (ξ k ) = r (k = 1,2, ) .因 x nk → x 0 ,所以 ξ k → x 0 (当k → ∞时) , 这表明 x 0 是 x f (x) = r 的一个聚点. 据已知条件(2)知, x0 ∈ x f ( x) = r ,即 f (x 0 ) = r ,这与 f (x 0 ) & r 矛盾! 证明(1)若函数 连续,则 也连续. 例 6 证明 若函数 f (x) , g (x) 连续 则
(x ) = min{ f (x ), g (x )},ψ ( x ) = max{ f (x ), g (x )} 也连续 (2)设 f 1 ( x) , f 2 ( x) , f 3 ( x) 在 [a, b ] 上连续 令 f (x) 的值等于三值 f 1 ( x) , f 2 ( x) , f 3 ( x) 中介于其 设 上连续,令 的值等于三值 他二值之间的那个值. 上连续. 他二值之间的那个值 证明 f (x) 在 [a, b ] 上连续{}{}当x ≤ n 时
(3) 令 u n ( x ) =
n & x & n时
n 当x ≥ n 时 ,为实函数, f (x) 为实函数的连续函数. 试证明 f (x) 连续当且仅当 g n ( x ) = u n [ f ( x )] 对任意固定的 n ,都是 x 的连续函数22证明 (1)
(x ) =f (x ) + g ( x )
g ( x ) 2,ψ ( x ) =f ( x ) + g ( x ) + f (x )
g ( x ) 2;(2) f ( x) = f 1 ( x ) + f 2 ( x) + f 3 (x )
max{ f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 ( x )}
min{ f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 ( x )}; (3) g n ( x ) = u n [ f ( x )] = (n) + f ( x) + n
max{ n, f (x ), n}
min{ n, f ( x ), n} (由（2）)= f (x)
max{ f (x ), n}
min{ n, f (x )} = f (x) . 2 由连续函数的运算性质即知它们连续.f (x ) + n
f (x ) + n 2=n + f ( x )
n上连续. 上连续. 例 7 设 f (x) 在 [a, b ] 上连续 证明 M ( x ) = sup f (t ) ， m( x) = inf f (t ) 在 [a, b ] 上连续a ≤t ≤ x a ≤t ≤ x证明 由连续函数在闭区间上必取上,下确界可知 M (x) , m(x) 在 [a, b ] 上处处有定义.又因上 确界随取值区间扩大而增大知, M (x) 单调递增,故每点的单侧极限存在. 任取 x 0 ∈ [a, b] ,只需证 M ( x 0 + 0) = M ( x 0 ) = M ( x 0
0 ) ≤ M ( x ) = sup f (t ) (1).a ≤t ≤ x由 M (x) 递增,有 M ( x 0
0) ≤ M ( x 0 ) . 又 x ∈ [a, x 0 ] 有 f (x) ≤ sup f (t ) = M ( x ) ≤ M (x 0
0 ) ,a≤t ≤ x所以 M ( x 0 ) = sup f ( x ) ≤ M (x 0
0 ) .故(1)式左等式成立.a ≤ x ≤ x0下用反证法证明 M ( x 0 + 0) = M ( x 0 ) .因 M (x) 单调递增, M ( x 0 ) ≤ M ( x 0 + 0 ) . 假设 M ( x 0 ) & M (x 0 + 0 ) ,则取充分小的 ε 0 & 0 ,使得 M ( x 0 ) + ε 0 & M (x 0 + 0 ) . 于 是 对 任 意 x & x 0 , 有 M ( x 0 ) + ε 0 & M (x 0 + 0 ) ≤ M ( x ) = sup f (t ) . 由 上 确 界 的 定 义 , 存 在a ≤t ≤ xt ∈ [a, x ] 使得 f ( x 0 ) + ε 0 ≤ M (x 0 ) + ε 0 & f (t )a ≤t ≤ x0(2).但在 [a, x 0 ] 上. f ( x) ≤ sup f (t ) = M (x 0 ) .所以(2)式中的 t ∈ [x 0 , x ] ,即存在 ε 0 & 0 , δ & 0 ,当t
x 0 & δ 时,有 f (t )
f ( x 0 ) ≥ ε 0 ,即 f ( x) 在 x 0 处不连续,矛盾!所以即, M ( x) 在 [a, b ] 上连续, m( x) 在 [a, b ] 上连续可类似证明.处连续. 例 8 设 f ( x) 在 ( ∞, +∞ ) 内对一切 x 都有 f ( x) = f x 2 ,且 f ( x) 在 x = 0 与 x = 1 处连续. 为一常数. 证明 f (x) 为一常数.( ) 1 证明 （1）x & 0 ,由条件, f ( x) = f
.又 f (x) 在 x = 1 处连
231续且当 n → ∞ 时， x2n 1 n = 2 x → 1 ,故 f ( x) = lim f
x 2 n n→∞
（2）当 x & 0 时, f ( x) = f x 2 = f (1) (由(1), x 2 & 0 ). （3）当 x = 0 时, 因 f (x) 在 x = 0 处连续. f (0) = lim f (x ) = f (0 + 0 ) = f (0
0 ) ≡ f (1) . .x →0( )故 f ( x) ≡ f (1) 常数.. 上的连续函数,且 上是单调的. 例 9 设 f (x) 是 [a, b ] 上的连续函数 且 f (x ) 在 [a, b ] 上是单调的 证明 f (x) 在 [a, b ] 上也是单 调的. 调的 证明 若 f (x) 在 [a, b ] 上恒有 f ( x ) ≥ 0 或恒有 f ( x ) ≤ 0 ,则由 f (x ) 单调及 f ( x ) = ± f ( x ) 可推 出 f (x) 单调. 若 f (x) 在 [a, b ] 上既取正值又取负值.不妨设 x1 & x 2 ,满足 f ( x1 ) & 0 , f ( x 2 ) & 0 .由连 续函数的介值性定理,存在 x1 & x 0 & x 2 ,使得 f ( x 0 ) = 0 .从而 f ( x1 ) & 0 = f ( x 0 ) & f (x 2 ) ,这 与 f (x ) 是单调的矛盾!上连续,且对 且对任意 例 10 设 f (x) 在 [a, b ] 上连续 且对任意 x ∈ [a, b ] ,存在 y ∈ [a, b ] 使得 f ( y ) ≤ 证明存在 ξ ∈ [a, b ]在使得 f (ξ ) = 0 . 证明 任取 x 0 ∈ [a, b] ,则存在 x1 ∈ [a, b ] 使得 f ( x1 ) ≤ 又存在 x 2 ∈ [a, b ] ，使得 f ( x 2 ) ≤1 f (x ) . 21 f (x 0 ) . 21 f (x 1 ) . 2 1 f (x n 1 ) ( n = 2,3, ) . 2如此下去,存在数列 {x n }
[a, b ],使得 f ( x n ) ≤ 从而有 f ( x n ) ≤1 f ( x 0 ) .显然有 f ( x n ) → 0 ( n → ∞ ) . 2n因 {x n }
[a, b ]是有界数列,故存在收敛子列 x nk . 设 lim x nk = ξ ∈ [a, b ] ,则由 f ( x) 在 ξ 的连续性得 lim f x nk = 0 ,即 f (ξ ) = 0 ,故 f (ξ ) = 0 .k →∞ k →∞{ }( )例 11 设 f : [0,1] → [0,1] 为连续函数,且 f (0) = 0 , f (1) = 1 , f ( f ( x)) = x ,试证 f ( x) = x . 为连续函数 且 试证 证明 (1)先证 f ( x) 为单射. 设 x1 , x 2 ∈ [0,1] 且 f ( x1 ) = f (x 2 ) ,则 f ( f ( x1 )) = f ( f (x 2 )) ,即 x1 = x 2 . 所以 f ( x) 为单射. (2) 再证 f ( x) 是严格单调的.若 f ( x) 不严格单调,则存在 x1 & x 2 & x 3 使 f ( x1 ) & f (x 2 ) , f ( x 2 ) & f ( x 3 ) 或. f ( x1 ) & f (x 2 ) , f ( x 2 ) & f (x 3 )24下证情形 1,情形 2 可类证.对任意
满足 max{ f (x1 , f ( x 3 ))} &
& f ( x 2 ) . 由 f (x) 连续及介值性定理,存在 ξ 1 ∈ (x1 , x 2 ) ， ξ 2 ∈ (x 2 , x 3 ) 使 f (ξ 1 ) =
= f (ξ 2 ) .但这与 f (x) 为单射相矛盾!故 f (x) 严格单调. (3)又 f (0) = 0 , f (1) = 1 ,故 f (x) 必是严格单调递增的. (4)若 f ( x) ≤ x ,则 f ( f ( x)) ≤ f ( x) ,所以 x ≤ f (x) ,进而 f ( x) = 若 x ≤ f (x) ,则 f (x ) ≤ f ( f ( x)) ,所以 f ( x) ≤ x ,进而 f ( x) = x .综上可知 f ( x) = x . 上的增函数,但不一定连续 但不一定连续,如果 例 12 设 f (x) 是 [a, b ] 上的增函数 但不一定连续 如果 f ( a ) ≥ a , f (b) ≤ b ,试证存在 x 0 ∈ [a, b] 试证存在 使得 f ( x 0 ) = x 0 . 证明 令 M = {x f ( x ) ≥ x} .因 f ( a ) ≥ a ,知 a ∈ M , M ≠ φ .又 M 有上界,由确界原理,sup M 存在.令 x 0 = sup M .(1)若 x 0 ∈ M ,则 f ( x 0 ) ≥ x 0 . 若 f (b) = b ,则结论得证;若 f (b) & b ,则 b
M .当 x & x 0 时,令+ x → x 0 ,则 f ( x 0 + 0) ≤ x 0 .又 f ( x) 是增函数,从而 f ( x 0 + 0) ≥ f (x 0 )所以 f ( x 0 ) ≤ x 0 ,故 f ( x 0 ) = x 0 . (2)若 x 0
M ,则存在 {x n }
M ,使 x n & x 0 且 lim x n = x 0 .因 x n ∈ M , f ( x n ) ≥ x n .令 n → ∞ ,则n →∞ x n → x 0 ,从而有 f ( x 0
0) ≥ f ( x 0 ) . 又 x 0
M , f ( x 0 ) & x 0 ,所以 f ( x 0 ) & f (x 0
0 ) .而 f ( x)是增函数,进而 f ( x 0
0) ≤ f ( x 0 ) ,矛盾！综上可知存在 x 0 ∈ [a, b]使得 f ( x 0 ) = x 0 .2 上的增函数,且 练习 设 f ( x) 是 [0,1] 上的增函数 且 f (0) & 0 , f (1) & 1 ,试证存在 x 0 ∈ (0,1) 使得 f ( x 0 ) = x 0 . 试证存在提示 构造集合 M = x f (x ) ≥ x 2{} ,令 x0= sup M ，类似例 12 来证明.25§2.2一致连续性一、利用一致连续的定义及其否定形式证题 利用一致连续的定义及其否定形式证题 要点 设 f (x) 在 I 上有定义( I 为开,闭,半开半闭有限或无限区间) ,则 (1) f ( x) 在 I 上一致连续
ε & 0 , δ & 0 ,当 x' , x ' '∈ I 且 x ' x' ' & δ 时,有 f ( x')
f ( x' ') & ε .' ' ' ' ' ' (2) f ( x) 在 I 上非一致连续
ε 0 & 0 , δ & 0 , xδ , xδ' ∈ I 虽 xδ
xδ' & δ ,但 f xδ
f xδ' ≥ ε 0( )( ) ε 0 & 0 , 1 1 ' '' ' ' ' ' & 0 , x n , x n ∈ I ( n = 1,2,
x n' & , 但 f x n
f x n' ≥ ε 0 . n nn ← +∞ n → +∞( )( )' ' ' ' 特别,若 ε 0 & 0 , x n , x n' ∈ I ( n = 1,2,
)虽 im x n = lim x n'' = a ,' ' 但 f x n
f x n' ≥ ε 0 ( n = 1,2,
),则可断定 f (x) 在 I 上非一致连续.( )( )(3)若 f (x) 在 I 上满足利普希兹条件: f ( x')
f (x' ') ≤ L x' x' ' ( x' , x ' '∈ I ),其中 L 为常数. 则 f (x) 在 I 上一致连续.特别,若 f (x) 在 I 上有有界导函数,则 f (x) 在 I 上满足利普希兹条 件. 上一致连续. 例 1 证明 f (x ) = sin x 在 (0,+∞ ) 上一致连续 证明 (1)先证 f (x ) = sin x 在 [1,+∞ ) 上一致连续.事实上, ε & 0 , δ = min 2ε , π
当 x1 , x 2 ∈ [1,+∞ ) 且 x1
x 2 & δ 时,有f ( x1 )
f (x 2 ) = sin x1
sin x 2 = 2 cosx1 + x 2 2 sinx1
x 2 2≤ 2 sinx1
x 2 x1 + x 2≤x1
x 22&ε（2）补充定义 x = 0 时, f (0 ) = 0 ,则 f (x ) = sin x 在 [0,1] 上连续,从而在 [0,1] 上一致连续.故f ( x ) 在 [0,+∞ ) 上一致连续,进而 f ( x ) 在 (0,+∞ ) 上一致连续.注 sin x1
sin x 2 & x1
x 2 , sin x & x , x ∈ ( ∞,+∞ ) .1 上非一致连续.,但在 上一致连续( 在 (0,1) 上非一致连续 但在 [a,1) 上一致连续( 0 & a & 1 ). x 1 1 证明 (1) 在 (0,1) 内取 x ' = 1 , x '' = ,取 ε 0 = ,则 δ & 0 ,只要 n 充分大总有 n n 2 π nπ nπ + 2例 2 证明 f (x ) = sin' ' x n
x n' =π
' '' & δ ,但 f x n
f x n = sin nπ
= 1 & ε 0 . 2
2 1( )( )26故 f ( x ) 在 (0,1) 上非一致连续. (2 ε & 0 ,取 δ = a 2 ε & 0 ,当 x1 , x 2 ∈ [a,1) 且 x1
x 2 & δ 时,有f ( x1 )
f (x 2 )1 1 1 1 +
1 1 x x2 x x2 = sin
sin = 2 cos 1
sin 1 x1 x2 2 21 1
x 2 δ 1 1 x x2 & 2 =ε ≤
≤ ≤ 2 sin 1 x1
x 2 a x1 x 2 2故 f ( x ) 在 [a,1) 上一致连续. 上一致连续. 例 3 证明 f (x ) = x ln x 在 [1,+∞ ) 上一致连续& 0 .故 f ' (x ) 4x x ln x + 2 1 在 [1,+∞ ) 上 严 格 单 调 递 减 . 又 lim f ' ( x ) = lim = lim =0 , x → +∞ x → +∞ x → +∞ 2 x x ln x + 2 lim f ' ( x ) = lim = 1 , 所 以 f ' (x ) 在 [1,+∞ ) 上 有 界 . 从 而 存 在 常 数 M & 0 , 使 得 + + x →1 x →1 2 x证明 因 f (x ) = x ln x ,求导得 f ' (x ) =ln x + 2 2 x& 0 , x ∈ [1,+∞ ) . f ' ' ( x ) =ln xf ' ( x ) ≤ M x ∈ [1,+∞ ) .从而 ε & 0 ,取 δ =εM& 0 ,则当 x1 , x 2 ∈ [1,+∞ ) 且 x1
x 2 & δ 时, 有f ( x1 )
f (x 2 ) = f ' (ξ )(x1
x 2 ) ≤ M x1
x 2 & M εM= ε ,其中 ξ 介于 x1 , x 2 之间,故 f ( x ) 在[1,+∞ ) 上一致连续.注 续,进而连续.若 f (x) 在 I 上有有界导函数,则 f ( x) 在 I 上满足利普希兹条件.从而 f ( x) 在 I 上一致连' ' ' ' 例 4 证 明 f ( x) 在 I 上 一 致 连 续
I , x n'
I 只 要 x n
x n' → 0 就 有{ }{ }' ' f x n
f x n' → 0 ( n → +∞ ).( ) ( )证明 必要性 因 f ( x) 在 I 上一致连续,故 ε & 0 , δ & 0 ,当 x' , x ' '∈ I 且 x ' x' ' & δ 时, 有f ( x ')
f ( x ' ') & ε' ' (1). 但 x n
x n' → 0 ,( n → +∞ ). 所 以 对 上 述 δ & 0 , 存 在 N & 0 , 当' ' ' ' ' ' n & N 时, x n
x n' & δ .从而由(1)式 f x n
f x n' & ε ,即 f x n
f x n' → 0 ( n → +∞ ).( ) ( )( ) ( )充分性若 f ( x ) 在 I 上 非 一 致 连 续 , 则 ε 0 & 0 , 1 ' '' & 0 , x n , x n ∈ I ( n = 1,2,
) 尽 管 n27' ' x n
x n' &1 ' ' ' ' ' ' , 但 f x n
f x n' ≥ ε 0 .可见 x n
x n' → 0 但 f (x n )
f (x n' ) → 0 ( n → +∞ )不成 n( )( )立,矛盾. 是有限区间, 上有定义.试证明 例 5 设 I 是有限区间, f ( x) 在 I 上有定义 试证明 f ( x) 在 I 上一致连续
f ( x) 把柯西列映 射为柯西列. 射为柯西列. 证明 必要性 因 f ( x) 在 I 上一致连续,故 ε & 0 , δ & 0 ,当 x' , x ' '∈ I 且 x ' x' ' & δ 时, 有f ( x ')
f ( x ' ') & ε(1). 设 {x n } 为 柯西 列 ,则对 上 述 δ & 0 , 存在 N & 0 , 当 n, m & N 时 ,x n
x m & δ .从而由(1)式 f ( x n )
f ( x m ) & ε ,即 { f ( x n )} 也为柯西列.充分性' ' x n
x n' &若 f (x) 在 I 上 非 一 致 连 续 , 则 ε 0 & 0 , 1 ' '' & 0 , x n , x n ∈ I ( n = 1,2,
) 尽 管 n1 ' ' ' , 但 f x n
f x n' ≥ ε 0 ( n = 1,2,
).又 I 是有限区间, x n ∈ I ( n = 1,2,
),知 n' nk ' n ' ' '
x n' → 0 ( n → +∞ ),故 x n' 中相应的子序列 x n' k 也收敛于( )( ){x }存在收敛子序列 {x }.因 x' n{ }{ }' ' ' ' ' ' 相同的极限.从而穿插之后,序列 x n1 , x n'1 , x n2 , x n' 2 ,…, x nk , x n' k ,…,也收敛为柯西列,但其像 ' ' ' ' ' ' ' ' 序列 f ( x n1 ), f ( x n'1 ) , f ( x n2 ), f ( x n' 2 ) ,…, f ( x nk ), f ( x n' k ) ,…,恒有 f x nk
f x n' k ≥ ε 0 ,不是柯( ) ( )西列,与已知矛盾. 注 I 对有限性只在充分性用到,对无穷区间必要性仍成立. 上连续.试证 例 6 设 f (x) 在有限开区间 (a, b ) 上连续 试证 f (x) 在 (a, b ) 上一致连续
极限 lim+ f ( x) 及x→a x →b 存在且有限. lim f ( x) 存在且有限. (1).证明 必要性 由条件, ε & 0 , δ & 0 ,当 x' , x ' '∈ (a, b ) 且 x ' x' ' & δ 时,有 f ( x')
f ( x' ') & ε故 x ' , x ' '∈ (a, b ) , a & x' & a + δ , a & x ' ' & a + δ 时,有 x ' x' ' & δ 时,从而由(1)有 f ( x')
f ( x' ') & ε . 由柯西收敛准则知, lim+ f ( x) 存在(有限),同理可证 lim f ( x) 存在(有限).x→a x →b lim f ( x ), x=a
充分性 令 F ( x ) =
f ( x ), a & x & b ,则 F ( x) 在 [a, b ] 上连续.由 Cantor 定理
lim f (x ), x=b
F ( x) 在 [a, b ] 上一致连续,从而 F ( x) 在 (a, b ) 上一致连续,即 f ( x) 在 (a, b ) 上一致连续. 注 (1) f ( x) 在 (a, b ) 上是否一致连续取决于 f ( x) 在端点附近的状态.应用本例容易判别 1 1 sin x 在 (0,1) 上一致连续,而 g ( x) = sin , h( x) = ln x ,在 (0,1) 上非一致连续. x x (2) f ( x) 在 (a, b ) 上一致连续,则 f ( x) 在 (a, b ) 上是有界;反之, f ( x) 在 (a, b ) 上连续有界,不一f ( x) =28定一致连续,如 f ( x) = sin1 . x (3) (a, b ) 改为无穷区间时,本例的必要性不成立.如 f ( x) = x, g (x ) = sin x 在 ( ∞,+∞ ) 上一致 连续,但在端点 ± ∞ 处无极限,但对无穷区间充分性仍成立.上有连续的导函数,且 存在且有限. 例 7 设 f (x) 在 (a, b ) 上有连续的导函数 且 lim+ f ' ( x) 及 lim f ' ( x ) 存在且有限.x→a x →b上一致连续; 试证 (1) f (x) 在 (a, b ) 上一致连续 (2)极限 均存在. (2)极限 lim+ f ( x) 及 lim f ( x) 均存在.x→a x →b证明(1)因 f ' ( x) 在 (a, b ) 上有连续,且 lim+ f ' ( x) 及 lim f ' ( x ) 均存在,x→a x →b lim f ' ( x ), x→a + 令 F ( x ) =
f ' (x ),
lim f ' (x ),
x=a a & x & b ,则 F ( x) 在 [a, b ] 上连续.由 Cantor 定理, F ( x) 在 [a, b ] 上一致连续, x=b从而 F ( x) 在 [a, b ] 上有界,即 f ' ( x) 在 [a, b ] 上有界.于是存在常数 L & 0 ,使得 f ' (x ) ≤ L, x ∈ (a, b ) . 从而 ε & 0 ,取 δ =εL& 0 ,则当 x1 , x 2 ∈ ( A, B ) 且 x1
x 2 & δ 时,有f ( x1 )
f (x 2 ) = f ' (ξ )(x1
x 2 ) ≤ L x1
x 2 & L εL= ε ,其中 ξ 介于 x1 , x 2 之间,故 f ( x ) 在(a, b ) 上一致连续.(2)由例 6 知 f (x) 在 (a, b ) 上一致连续, 必有极限 lim+ f ( x) 及 lim f ( x) 均存在.x→a x →b例 8 若 f (x) 在 (a, b ) 上一致连续,则 f (x) 在 (a, b ) 上有界. 上一致连续 则 上有界 证明(直接证法)设 f (x) 在 (a, b ) 上一致连续,则 ε & 0 , δ & 0 ,当 x1 , x 2 ∈ (a, b ) 且x1
x 2 & δ 时,有 f ( x1 )
f (x 2 ) & ε .取 ε = 1 ,令自然数 n满足分,分点为 x i = a +1 & δ .将区间 (a, b ) 进行 n等 ni (b
a ) ( i = 1,2,
1 ).任取 x ∈ (a, b ) ,则当 x ∈ [ x i 1 , xi ] 时, n1≤ i ≤ n 1有 f ( x )
f ( x i ) & 1 .从而 f ( x ) & f (x i ) + 1 ( i = 1,2,
1 ).令 M = max { f (x i )} + 1 则 x ∈ (a, b ) 有 f ( x ) & M ,所以 f (x) 在 (a, b ) 上有界.' (直接证法 反证法 直接证法)(反证法 直接证法 反证法)若 f (x) 在 (a, b ) 上无界,则存在 x n
(a, b ) 使得 ' ' f ( x n +1 ) & f ( x n ) + 1 ( n = 1,2,
).由致密性定理, x n 存在收敛子序列 x nk .由柯西收敛准{ }{ }{ }则,知 δ & 0 , N & 0 , 当 k & N 时,有 x nk
x nk 1 & δ .但是另一方面又有f x n k + 1
f x n k ≥ f x n k +1
f x n k() ( )()( ) & 1 .由此可知 f (x) 在 (a, b ) 上非一致连续,矛盾.29例 9 若 f (x) 在 [a,+∞ ) 上连续且 lim f ( x) = A (有限),则 f (x) 在 [a,+∞ ) 上一致连续. 有限) 则 上一致连续x → +∞证明 (1) 因 lim f ( x) = A ,则由柯西收敛准则, ε & 0 ,
& a ,当 x' , x' ' &
时,x → +∞有 f ( x ')
f ( x ' ') & ε(*).(2) 由 Cantor 定 理 , f (x) 在 [a,
+ 1] 上 连 续 , 从而 一 致连 续 .故 对 此 ε & 0 , δ 1 & 0 , 当x' , x ' '∈ [a,
+ 1]且 x'x ' ' & δ 1 时,有 f ( x')
f ( x' ') & ε(**).(3)令 δ = min{ , δ 1 },则当 x' , x' ' ≥ a 且 x ' x' ' & δ 时, x' , x' ' 要么同属于 [a,
+ 1] ,要么同属于 1[,+∞ ) ,从而由(*)与(**)知 f (x')
f (x' ') & ε ,即 f (x) 在 [a,+∞ ) 上一致连续.注 lim f ( x ) 不是有限值时此结论也有可能成立.例如 f (x ) = x ln x 在 [1,+∞ ) 上一致连续.x → +∞上一致连续, 例 10 设 f (x) 在 [a,+∞ ) 上一致连续
(x) 在 [a,+∞ ) 上连续且 lim [ f ( x)
(x )] = 0 ,证明 证明x → +∞上也一致连续.
(x) 在 [a,+∞ ) 上也一致连续 证明(1) 因 lim [ f ( x)
(x )] = 0 ,则 ε & 0 ,
& a ,当 x &
时, 有 f ( x )
(x ) &x → +∞ε ,又3f (x) 在 [a,+∞ ) 上 一 致 连 续 , 故 对 此 ε & 0 , δ 1 & 0 , 当 x' , x' ' ≥ a 且 x'x ' ' & δ 1 时 , 有 f ( x ')
f ( x ' ') &ε ,如此当 x' , x' ' &
且 x'x ' ' & δ 1 时3 + f ( x')
f (x ' ') + f ( x' ')
( x' ') &有
( x ')
( x ' ') ≤
( x ')
f ( x ')= ε (*). 3 3 3 (2) 由 Cantor 定理,
(x) 在 [a,
+ 1] 上连续,从而一致连续.故对此 ε & 0 , δ 2 & 0 ,当 + + x' , x ' '∈ [a,
+ 1]且 x 'x' ' & δ 2 时, 有
( x' ') & ε(**).εεε(3)令 δ = min{ , δ 1 , δ 2 } ,则当 x' , x' ' ≥ a 且 x ' x' ' & δ 时, x' , x' ' 要么同属于 [a,
+ 1] ,要么同 1 属于 [,+∞ ) ,从而由(*)与(**)知
( x' ') & ε ,即
(x) 在 [a,+∞ ) 上一致连续. 上一致连续,且对任意 例 11 设 f (x) 在 [0,+∞ ) 上一致连续 且对任意 x & 0 有 lim f ( x + n) = 0 , n = 1,2,
.试证 lim f ( x) = 0 . 试证n → +∞ n → +∞证明 (1)因 f (x) 在 [0,+∞ ) 上一致连续,故 ε & 0 , δ & 0 ,当 x' , x ' ' ≥ 0 且 x ' x' ' & δ 时 有 f ( x ')
f ( x ' ') &ε2(*).(2) 取 自 然 数 k 满 足1 i & δ , 将 区 间 k 等 分 , 记 分 点 为 x i = ( i = 1,2,
, k ). 这 时 间 距 k k30x i
x i 1 =1 &δ . k i 有 lim f ( x i + n) = 0 . 从而存在 N i & 0 ,使当 n & N i 时,有 n → +∞ k(**).(3)由已知条件,对每个 x i =f (xi + n ) &ε .令 ε ( i = 1,2,
, k ) N = max{N i } ,则当 n & N 时, f ( x i + n ) &21≤ i ≤ k2(4) 取
= N & 0 ,来证 x &
时 f ( x ) & ε .事实上,对任意 x & N ,记 n = [x ] ≥ N ,其中 [x ] 表示 小于x的最大整数.因x
n ∈ [0,1] , 故 存 在 i ∈ {1,2,
, k } 使 得 ( x
x i & δ , 即x
(n + x i ) & δ .由式(*), f ( x')
f ( x' ') & f ( x ) ≤ f ( x )
f (n + x i ) + f (n + x i ) &ε .再由(**)式,2ε2+ε2= ε ,故 lim f ( x) = 0 .n → +∞31
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