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（2014嵊州）．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE//BC交AB于 点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF，其中正确的有（&&& ）
A．① &&&&&&&B．①② &&&&&&C．①②③&&&&& &D．①②③④ 更多类似试题
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温州市2016年中考数学试题解析版
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
2016年浙江省温州市中考数学试卷　一、（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）1．计算（+5）+（2）的结果是（　　）A．7 B．7 C．3 D．32．如图是九（1）班45名同学每周课外时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（　　）&A．2～4小时 B．4～6小时 C．6～8小时 D．8～10小时3．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是（　　）&A．& B．& C．& D． 4．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　）A．& B．& C．& D． 5．若分式 的值为0，则x的值是（　　）A．3 B．2 C．0 D．26．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（　　）A．& B．& C．& D． 7．六边形的内角和是（　　）A．540° B．720° C．900° D．1080°8．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（　　）&A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=x+5 D．y=x+109．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）&A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）&A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小　二、题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：a23a=　　　　　　．12．某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是　　　　　　分．13．方程组 的解是　　　　　　．14．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=　　　　　　度．&15．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是　　　　　　cm．&16．如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　　　　　　．&　三、解答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算：& +（3）2（ 1）0．（2）化简：（2+m）（2m）+m（m1）．18．为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题：（1）求“非常了解”的人数的百分比．（2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？&19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．&20．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．（1）在图甲中画出一个▱ABCD．（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）&21．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB= ，EF=2 ，求CD的长．&22．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．&甲种糖果&乙种糖果&丙种糖果单价（元/千克）&15&25&30千克数&40&40&20（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？23．如图，抛物线y=x2mx3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．（1）用含m的代数式表示BE的长．（2）当m= 时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是　　　　　　．&24．如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6 ，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24 时，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．&　&
2016年浙江省温州市中考数学试卷参考答案与试题解析　一、（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在题后的括号内）1．计算（+5）+（2）的结果是（　　）A．7 B．7 C．3 D．3【考点】有理数的加法．【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（+5）+（2），=+（52），=3．故选C．　2．如图是九（1）班45名同学每周课外时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，人数最多的一组是（　　）&A．2～4小时 B．4～6小时 C．6～8小时 D．8～10小时【考点】频数（率）分布直方图．【分析】根据条形统计图可以得到哪一组的人数最多，从而可以解答本题．【解答】解：由条形统计图可得，人数最多的一组是4～6小时，频数为22，故选B．　3．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是（　　）&A．& B．& C．& D． 【考点】简单组合体的三视图．【分析】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形．【解答】解：观察图形可知，三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是 ．故选：B．　4．已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x，乙数为y，根据题意，列方程组正确的是（　　）A．& B．& C．& D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意，可列方程组，得： ，故选：A．　5．若分式 的值为0，则x的值是（　　）A．3 B．2 C．0 D．2【考点】分式的值为零的条件．【分析】直接利用分式的值为0，则分子为0，进而求出答案．【解答】解：∵分式 的值为0，∴x2=0，∴x=2．故选：D．　6．一个不透明的袋中，装有2个黄球、3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是（　　）A．& B．& C．& D． 【考点】概率公式．【分析】由题意可得，共有10可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有5情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：∵从装有2个黄球、3个红球和5个白球的袋中任意摸出一个球有10种等可能结果，其中摸出的球是白球的结果有5种，∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 = ，故选：A．　7．六边形的内角和是（　　）A．540° B．720° C．900° D．1080°【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．【解答】解：由内角和公式可得：（62）×180°=720°，故选：B．　8．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是（　　）&A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=x+5 D．y=x+10【考点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质．【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC=x，PD=y，根据题意可得到x、y之间的关系式，可得出答案．【解答】解：设P点坐标为（x，y），如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2（x+y）=10，∴x+y=5，即y=x+5，故选C．&　9．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（　　）&A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是△ABC的中位线，得出DE的长，即a的长；（2）图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；（3）图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．【解答】解：第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE=EC= AC= ×4=2，DE⊥AC∵∠ACB=90°∴DE∥BC∴a=DE= BC= ×3= 第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN=NC= BC= ×3= ，MN⊥BC∵∠ACB=90°∴MN∥AC∴b=MN= AC= ×4=2第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB= =5由折叠得：AG=BG= AB= ×5= ，GH⊥AB∴∠AGH=90°∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB∴△ACB∽△AGH∴ = ∴ = ∴GH= ，即c= ∵2＞ ＞ ∴b＞c＞a故选（D）&&&　10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（　　）&A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小【考点】动点问题的函数图象．【分析】设PD=x，AB边上的高为h，想办法求出AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，∴AB= = =2 ，设PD=x，AB边上的高为h，h= = ，∵PD∥BC，∴ = ，∴AD=2x，AP= x，∴S1+S2= •2x•x+ （2 1 x）• =x22x+4 =（x1）2+3 ，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选C．&　二、题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．因式分解：a23a=　a（a3）　．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接把公因式a提出来即可．【解答】解：a23a=a（a3）．故答案为：a（a3）．　12．某小组6名同学的体育成绩（满分40分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是　37　分．【考点】中位数．【分析】直接利用中位数的定义分析得出答案．【解答】解：数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40，则这组数据的中位数是：（36+38）÷2=37．故答案为：37．　13．方程组 的解是　 　．【考点】二元一次方程组的解．【分析】由于y的系数互为相反数，直接用加减法解答即可．【解答】解：解方程组 ，①+②，得：4x=12，解得：x=3，将x=3代入①，得：3+2y=5，解得：y=1，∴ ，故答案为： ．　14．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′=　46　度．&【考点】旋转的性质．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答．【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB∠B′CA=∠A′CB∠B′CA，即∠BCB′=∠ACA′，∴∠BCB′=67°，∴∠ACB′=180°∠ACA′∠BCB′=180°67°67°=46°，故答案为：46．　15．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是　（32 +16）　cm．&【考点】七巧板．【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．【解答】解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8 ，8 ；图形2：边长分别是：16，8 ，8 ；图形3：边长分别是：8，4 ，4 ；图形4：边长是：4 ；图形5：边长分别是：8，4 ，4 ；图形6：边长分别是：4 ，8；图形7：边长分别是：8，8，8 ；∴凸六边形的周长=8+2×8 +8+4 ×4=32 +16（cm）；故答案为：32 +16．&　16．如图，点A，B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是　 　．&【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】根据三角形面积间的关系找出2S△ABD=S△BAC，设点A的坐标为（m， ），点B的坐标为（n， ），结合CD=k、面积公式以及AB=2AC即可得出关于m、n、k的三元二次方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：∵E是AB的中点，∴S△ABD=2S△ADE，S△BAC=2S△BCE，又∵△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，∴2S△ABD=S△BAC．设点A的坐标为（m， ），点B的坐标为（n， ），则有 ，解得： ，或 （舍去）．故答案为： ．　三、解答题（共8小题，满分80分）17．（1）计算：& +（3）2（ 1）0．（2）化简：（2+m）（2m）+m（m1）．【考点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式；零指数幂．【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案；（2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案．【解答】解：（1）原式=2 +91=2 +8；
（2）（2+m）（2m）+m（m1）=4m2+m2m=4m．　18．为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题：（1）求“非常了解”的人数的百分比．（2）已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人？&【考点】扇形统计图；用样本估计总体．【分析】（1）根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比；（2）根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人．【解答】解：（1）由题意可得，“非常了解”的人数的百分比为： ，即“非常了解”的人数的百分比为20%；（2）由题意可得，对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有：1200× =600（人），即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有600人．　19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．&【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，&，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE= = =4，∴CD=2DE=8．　20．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部（不包括边界上），且P到四边形的两个顶点的距离相等．（1）在图甲中画出一个▱ABCD．（2）在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上）&【考点】平行四边形的性质．【分析】（1）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可；（2）先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取合适格点记作点C，再以AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得．【解答】解：（1）如图①：&．（2）如图②，&．　21．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1=∠F．（2）若sinB= ，EF=2 ，求CD的长．&【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接DE，由BD是⊙O的直径，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中点，得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B等量代换即可得到结论；（2）g根据等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2 ，推出AB=2AE=4 ，在Rt△ABC中，根据勾股定理得到BC= =8，设CD=x，则AD=BD=8x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中点，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；
（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=2 ，∴AB=2AE=4 ，在Rt△ABC中，AC=AB•sinB=4，∴BC= =8，设CD=x，则AD=BD=8x，∵AC2+CD2=AD2，即42+x2=（8x）2，∴x=3，即CD=3．&　22．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．&甲种糖果&乙种糖果&丙种糖果单价（元/千克）&15&25&30千克数&40&40&20（1）求该什锦糖的单价．（2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低2元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克，问其中最多可加入丙种糖果多少千克？【考点】一元一次不等式的应用；加权平均数．【分析】（1）根据加权平均数的计算公式和三种糖果的单价和克数，列出算式进行计算即可；（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果千克，根据商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共100千克和锦糖的单价每千克至少降低2元，列出不等式进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意得：&=22（元/千克）．答：该什锦糖的单价是22元/千克；
（2）设加入丙种糖果x千克，则加入甲种糖果千克，根据题意得：&≤20，解得：x≤20．答：加入丙种糖果20千克．　23．如图，抛物线y=x2mx3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．（1）用含m的代数式表示BE的长．（2）当m= 时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是　 　．&【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据A、C两点纵坐标相同，求出点A横坐标即可解决问题．（2）求出点D坐标，然后判断即可．（3）①首先根据EO=2FG，证明BG=2DE，列出方程即可解决问题．②求出直线AE、BO的解析式，求出交点M的横坐标，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）∵C（0，3），AC⊥OC，∴点A纵坐标为3，y=3时，3=x2mx3，解得x=0或m，∴点A坐标（m，3），∴AC=m，∴BE=2AC=2m．（2）∵m= ，∴点A坐标（ ，3），∴直线OA为y= x，∴抛物线解析式为y=x2 x3，∴点B坐标（2 ，3），∴点D纵坐标为3，对于函数y= x，当y=3时，x= ，∴点D坐标（ ，3）．∵对于函数y=x2 x3，x= 时，y=3，∴点D在落在抛物线上．（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，∴四边形ECAG是矩形，∴EG=AC=BG，∵FG∥OE，∴OF=FB，∵EG=BG，∴EO=2FG，∵ •DE•EO= •GB•GF，∴BG=2DE，∵DE∥AC，∴ = = ，∵点B坐标（2m，2m23），∴OC=2OE，∴3=2（2m23），∵m＞0，∴m= ．②∵A（m，3），B（2m，2m23），E（0，2m23），∴直线AE解析式为y=2mx+2m23，直线OB解析式为y= x，由 消去y得到2mx+2m23= x，解得x= ，∴点M横坐标为 ，∵△AMF的面积=△BFG的面积，∴ •（ +3）•（m ）= •m• •（2m23），整理得到：2m49m2=0，∵m＞0，∴m= ．故答案为 ．&　24．如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6 ，O是射线BD上一点，⊙O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M．过M作EF⊥BD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F．以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上．（1）求证：BO=2OM．（2）设EF＞HE，当矩形EFGH的面积为24 时，求⊙O的半径．（3）当HE或HG与⊙O相切时，求出所有满足条件的BO的长．&【考点】圆的综合题．【分析】（1）设⊙O切AB于点P，连接OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP的度数，然后依据含30°直角三角形的性质证明即可；（2）设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．先依据特殊锐角三角函数值求得BD的长，设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．当点E在AB上时．在Rt△BEM中，依据特殊锐角三角函数值可得到EM的长（用含r的式子表示），由图形的对称性可得到EF、ND、BM的长（用含r的式子表示，从而得到MN=186r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=183r，最后由MB=3r=12列方程求解即可；（3）先根据题意画出符合题意的图形，①如图4所示，点E在AD上时，可求得DM= r，BM=3r，然后依据BM+MD=18，列方程求解即可；②如图5所示；依据图形的对称性可知得到OB= BD；③如图6所示，可证明D与O重合，从而可求得OB的长；④如图7所示：先求得DM= r，OMB=3r，由BMDM=DB列方程求解即可．【解答】解：（1）如图1所示：设⊙O切AB于点P，连接OP，则∠OPB=90°． &∵四边形ABCD为菱形，∴∠ABD= ∠ABC=30°．∴OB=2OP．∵OP=OM，∴BO=2OP=2OM．（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q．&∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ= AB=18．设⊙O的半径为r，则OB=2r，MB=3r．∵EF＞HE，∴点E，F，G，H均在菱形的边上．①如图2所示，当点E在AB上时．在Rt△BEM中，EM=BM•tan∠EBM= r．由对称性得：EF=2EM=2 r，ND=BM=3r．∴MN=186r．∴S矩形EFGH=EF•MN=2 r（186r）=24 ．解得：r1=1，r2=2．当r=1时，EF＜HE，∴r=1时，不合题意舍当r=2时，EF＞HE，∴⊙O的半径为2．∴BM=3r=6．如图3所示：&当点E在AD边上时．BM=3r，则MD=183r．由对称性可知：NB=MD=6．∴MB=3r=186=12．解得：r=4． 综上所述，⊙O的半径为2或4．（3）解设GH交BD于点N，⊙O的半径为r，则BO=2r．当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与⊙O相切．①如图4所示，点E在AD上时．&∵HE与⊙O相切，∴ME=r，DM= r．∴3r+ r=18．解得：r=93 ．∴OB=186 ．②如图5所示；&由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM．∴OB= BD=9．③如图6所示．&∵HG与⊙O相切时，MN=2r． ∵BN+MN=BM=3r．∴BN=r．∴DM= FM= GN=BN=r．∴D与O重合．∴BO=BD=18．④如图7所示：&∵HE与⊙O相切，∴EM=r，DM= r．∴3r r=18．∴r=9+3 ．∴OB=2r=18+6 ．综上所述，当HE或GH与⊙O相切时，OB的长为186 或9或18或18+6 ． 文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在Rt三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AC上的一点,连接BD,CF垂直BD于点E,交AB于点F,连接DF.如图2,若&&DCE=30°,CD=2,H为BC上一动点,P为直线BD上的点,当点P在BD什么位置时,使PC=PH最小?并求出这个最小值.
尛辰°丶975
∵∠DCE=60°,∠ACB=90°,∴∠BCE=60°,作C关于BD的对称点C‘,连接BC’,则ΔBCC‘为等边三角形,连接HC’交BD于P,则P为所求.PC+PH最小=C‘H.∴H为动点,HC‘最小为等边三角形BCC’的高,∴PC+PH最小=√3/2*CC’=√3/2BC=√3/2*√3CD=1.
=√3/2*√3CD=1。最后这一步怎么来的？
在RTΔBCD中，∠BDC=90°-∠DCE=60°，
∴∠DBC=30°，∴BC=√3CD=2√3，
PC+PH最小=√3/2BC=3，
上面计算错误。
能帮到你很高兴。
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