几个关于nxn可逆矩阵和初等矩阵转换的问题求详细证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-03-12 22:20 标签： 初等矩阵
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几个关于nxn可逆矩阵和初等转换的问题求详细证明（1）证明一个nxn的可逆矩阵一定能由以下两种初等矩阵变换而成：（i）将矩阵的某一行的n倍加到另一行上（ii）将矩阵的某一行乘以一个非零纯量.（2）如何只用上述（i）这种初级矩阵把任意一个nxn可逆矩阵转换为对角矩阵（3）如何只用上述（i）这种矩阵把对角矩阵转换为单位矩阵
坏坏爱佰诺°71
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(1)E(i,j)=E(j(-1))E(i,j(1))E(j,i(-1)E(i,j(1))E(i,j) 表示交换单位矩阵的第i,j行得到的初等矩阵E(i(k)) 表示单位矩阵的第i行乘k得到的初等矩阵E(i,j(k)) 表示单位矩阵的第j行的k倍加到第i行得到的初等矩阵上式说明:初等变换中的交换两行可由另两个初等变换代替所以可逆矩阵可以表示成(i)(ii)类初等矩阵的乘积(2)问题等价于A经所述初等变换化为对角矩阵设A=(aij)是n阶可逆矩阵,则 |A|≠0.(B1)若a11≠0,则第1行乘适当的数可将A的第1列的其余元素化为0(B2)若a11=0,由于|A|≠0,所以A的第1列的元素至少有一个非零元将此非零元所在行加到第1行,则所得矩阵的左上角元素非零此后按(B1)情况处理为了便于叙述,处理后所得矩阵仍记为A,此时A的第1列元素只有a11≠0.(B3)若a22≠0,类似(B1)可将A的第2列其余元素都化为0(B4)若a22=0,由于|A|≠0,所以A的第2列中3到n行的元素至少有一个非零将此非零元所在行加到第2行,则所得矩阵的(2,2)位置元素非零此后按(B3)情况处理如此下去,即可用(i)将A化为对角矩阵(3) 感觉这个不对A若表示成(i)类初等矩阵的乘积则 行列式|A|等于(i)类初等矩阵的行列式的乘积而(i)类初等矩阵的行列式都等于1
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