&>&&>&高数考研习题及答案
高数考研习题及答案 投稿：于躺躻
第一章 函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知解.f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2) ?1…
教 学 设 计 课题：三角形三边的关系教学目标： 1.知识与技能:(1)通过创设问题情境、观察比较，初步感知三角形边的关系，体验学数学的乐趣。(2)运用“三角形任意两边的和大于第三边”的性质，解决生活中的实际问题。2.过程与方法:通过实践操作、猜想…
会议主持词各位领导、同志们：同志们，按照市局机构改革的统一安排，今天我们召开全体干部大会，主要内容是由市局宣布机构改革调整基层单位领导班子的决定和任命副科级分局长、稽查局长的决定。参加今天大会的有市局副局长**同志，市局货物和劳务税科科长**同志，我…
函数·极限·连续
一. 填空题 1. 已知解.
f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.
f[?(x)]?sin?(x)?1?x2,
?(x)?arcsin(1?x2)
?1?1?x2?1, 0?x2?2,|x|?2
?1?x?2．设lim??x??
??tetdt, 则a = ________.
??tetdt=(tet?et)
, 所以 a = 2.
lim?2?2???2?=________. n??n?n?1n?n?2n?n?n??
n2?n?nn2?n?nn2?n?n
<2<2 ?2???2?2???2
n?n?1n?n?2n?n?nn?n?1n?n?1n?n?11?2???n1?2???n12n所以
<< ????22222
n?n?nn?n?1n?n?2n?n?nn?n?1
1?2???n1, (n??) ??22n?n?nn?n?n2
1?2???n1, (n??) ??n2?n?1n2?n?12
lim?2?2???2?=n??n?n?1n?n?2n?n?n??2
4. 已知函数
, 则f[f(x)] _______.
解. f[f(x)] = 1. 5.
lim(n?n?n?n)=_______.
lim(n?n?n?n)?lim
(n?n?n?n)(n?3n?n?n)
n?3?n?nn?3n?n?n
?0时,f(x)?ex?
为x的3阶无穷小, 则a?_____,b?______.
1?bx?lime?bxe?1?ax?lime?bxe?1?ax
x?0x?0x3x3(1?bx)x3
ex?bex?bxex?a
?limx?03x2ex?2bex?bxex?limx?06x2
lim(ex?bex?bxex?a)?1?b?a?0 lim(ex?2bex?bxex)?1?2b?0
1??1limcotx???=______. x?0
cosxx?sinxx?sinx1?cosxsinx1
??lim?lim?lim? 32x?0sinxx?0x?0x?0xsinxx3x6x6
?A(? 0 ? ?), 则A = ______, k = _______. 8. 已知limk
n??n?(n?1)k
limk?limk?1?A n??n?(n?1)kn??kn??
k－1=1990,
二. 选择题
1. 设f(x)和?(x)在(－?, +?)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ? 0, ?(x)有间断点, 则 (a) ?[f(x)]必有间断点 (b) [ ?(x)]2必有间断点 (c) f [?(x)]必有间断点 (d)
必有间断点
解. (a) 反例
f(x) = 1, 则?[f(x)]=1
, [ ?(x)]2 = 1 ??1|x|?1
f(x) = 1, 则f [?(x)]=1
在(－?, +?)内连续, 则?(x) = g(x)f(x) 在(－?, +?)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.
f(x)?x?tanx?esinx, 则f(x)是
(a) 偶函数
(b) 无界函数
(c) 周期函数
(d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 函数
|x|sin(x?2)x(x?1)(x?2)2
在下列哪个区间内有界
(a) (－1, 0)
(b) (0, 1)
(c) (1, 2)
(d) (2, 3) 解. lim
f(x)??,limf(x)??,f(0?)?
所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.
4. 当x?1时,函数e的极限
(d) 不存在, 但不为?
???x2?1x?1
e?lim(x?1)ex?1??解. lim
5. 极限lim?
x?1?0x?1?0
. (d)为答案.
????的值是 2222?n??12?222?3n?(n?1)??
(d) 不存在 解.
lim?2???? 2222?n??1?222?3n?(n?1)??
?1?11111?1?
????????lim1??1, 所以(b)为答案. 22222?2??n??12n??223n(n?1)???(n?1)?
(x?1)95(ax?1)5
?8, 则a的值为 6. 设lim
x??(x2?1)50
(d) 均不对
(x?1)95(ax?1)5(x?1)95/x95(ax?1)5/x5lim=lim x??x??(x?1)(x?1)/x
(1?1/x)95(a?1/x)5
a?, 所以(c)为答案.
=lim250x??(1?1/x)
(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)
??, 则?, ?的数值为
x??(3x?2)?
(a) ? = 1, ? = 解. (c)为答案. 8. 设
(b) ? = 5, ? =
(c) ? = 5, ? = 5333
(d) 均不对
f(x)?2x?3x?2, 则当x?0时
(a) f(x)是x的等价无穷小
(b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小
(c) f(x)比x较低价无穷小
(d) f(x)比x较高价无穷小
2x?3x?22xln2?3xln3
=limlim?ln2?ln3, 所以(b)为答案.
(1?x)(1?2x)(1?3x)?a
?6, 则a的值为
lim(1?x)(1?2x)(1?3x)?a?0, 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.
atanx?b(1?cosx)cln(1?2x)?d(1?e?x)
?2，其中a2?c2?0, 则必有
(a) b = 4d
(b) b =－4d
(c) a = 4c
(d) a =－4c
?bsinx2atanx?b(1?cosx)a解. 2 =lim=, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. lim???x22x?0x?0?2c2ccln(1?2x)?d(1?e)?2xde?x
三. 计算题 1. 求下列极限
lim(x?ex)?lime
ln(x?ex)x???xlim
?ex???x?e?e1?e
lim(sin?cos)x?lim(sin2y?cosy)y=ey?0x??y?0xx
ln(sin2y?cosy)
2cos2y?sinysin2y?cosy
?1?tanx?lim??x?01?sinx???1?tanx?lim??x?01?sinx??
tanx?sinx??
?lim?1??x?01?sinx??
tanx?sinx??
?lim??1??x?0?1?sinx??
sinx(1?cosx)
?(1?sinx)xlimtanx?sinx
sinx?2sin2
2. 求下列极限
ln(1?x?1)arcsin2x?1
解. 当x?1时,
ln(1?x?1)~x?1, arcsin2x2?1~2x2?1. 按照等价无穷小代换
ln(1?x?1)arcsin2x?1
lim?2?cot2x? x?0x??
解. 方法1：
lim?2?cot2x?0x?
?sin2x?x2cos2?1cos2x??
??x?=lim?=lim?2?x?0?x2x2sin2xsinx?x?0????x?
?1?(x2?1)cos2
x?0?x4???2xcos2x?2(x2?1)cosxsinx?x?
???3?=lim? x?0?4x???
?2xcos2x?sin2x2x2cosxsinx?lim
x?0x?04x34x3?2cos2x?4xcosxsinx?2cos2x1
=lim2x?012x2
?2cos2x?2cos2x114cosxsinx?4sin2x11
x?012x232x?024x32
=lim方法2：
?2sin2x111112
x?024x326323
lim?2?cot2x?0x?
?sin2x?x2cos2?1cos2x??
??x?=lim?=lim?2?x?0?x2x2sin2xsinx?x?0????
12??1?(x?1)(cos2x?1)???1?(x?1)cosx??? ?
=lim?44?=limx?0?x?0xx??????????12(2x)2(2x)4
?1?(x?1)(1?1???0(x4)?
=lim?4x?0??x????
x?0(x4))??1?(2x?2x?2?2x?
=lim?4x?0x??????
3. 求下列极限 (1)
nn?1xlim(n?1)?lim 令n?1?x lim?1 n??lnnn??lnx?0ln(1?x)解.
n??1?e?nx1?en??1?e?nx
x?0 ??1x?0?
?a?b??lim??n???2??
, 其中a > 0, b > 0
?lim??n???2??
x?1/n,c?b/a alim??
x?0??2?aex?0
ln(1?cx)?ln2
ln(1?cx)?ln2
?x2(1?cosx)?f(x)??1
??cost2dt?x0
f(x)在x?0处的连续性与可导性.
costdt?1costdt?x??0f(x)?f(0)0x解. f?'(0)?lim ?lim??lim?
2x?0?x?0x?0xxx
?lim?lim??0
?x?0x?02x2x
(1?cosx)?12f(x)?f(0)2(1?cosx)?x2
f?'(0)?lim?lim??lim?
x?0?x?0x?0xxx3
2sinx?2x2(cosx?1)
?lim?lim?0 2?
x?0?x?06x3x
f'(0)?0, f(x)在x?0处连续可导.
5. 求下列函数的间断点并判别类型
f(0?)?lim?
f(0?)?lim?
所以x = 0为第一类间断点.
?x(2x??)x?0??2cosx
1?sinx?0??x2?1
解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;
不存在. 所以x = 1为第二类间断点; limf(x)?limsi2
x?1x?1x?1f(?)不存在, 而lim?
?,所以x = 0为第一类可去间断点;
为第二类无穷间断点.
x(2x??)???, (k = 1, 2, …) 所以x =?k??
6. 讨论函数
f(x)?? 在x = 0处的连续性. x
?0时lim?(x?sin)不存在, 所以x = 0为第二类间断点;
当??0, lim(xsin)?0, 所以
???1时,在 x = 0连续, ???1时, x = 0为第一类跳跃间断点.
7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数,
则在(a, b)内至少存在一个?, 使
c1f(x1)?c2f(x2)???cn
c1?c2???cn
证明: 令M =max{f
(xi)}, m =min{f(xi)}
c1f(x1)?c2f(x2)???cn
c1?c2???cn
所以存在?( a < x1 ? ? ? xn < b), 使得
c1f(x1)?c2f(x2)???cn
c1?c2???cn
8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a)
b, 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a
0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?.
9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ? f(x) ? 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 证明: (反证法) 反设?x?[0,1],?(x)
?f(x)?x?0. 所以?(x)?f(x)?x恒大于0或恒小于0. 不妨设
?x?[0,1],?(x)?f(x)?x?0. 令m?min?(x), 则m?0.
因此?x?[0,1],?(x)
?f(x)?x?m. 于是f(1)?1?m?0, 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个?, 使f(?) = ?.
10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a)
g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个?, 使
f(?) = g(?).
证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a)
0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个?, 使f(?) = ?. 11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4
在(1, 2)内至少有一个?, 满足F(?) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且lim?
f(x)?3?sin3xf(x)?
??0limf(0),f'(0),f''(0), 求及. ?322x?0x?0xxx??
sin3x?xf(x)?sin3xf(x)?lim?3?2??lim?lim?0. 所以 32x?0x?0x?0xxxx??
lim??f(x)??0. f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以f(x),f'(x)在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 x?0
sin3xsin3x
?f(x)?3?f(x)?3
lim?0, 所以 ?0, 所以lim22x?0x?0xx
f(x)?3?lim3x?sin3x?lim3?3cos3x
x?0x?0x?0x?0x2x2x33x2
f(x)?f(0)f(x)?3f(x)?39
f'(0)?lim?lim?limx??0??0
x?0x?0x?0x?0xx22f(x)?39
?, 将f(x)台劳展开, 得 由lim2x?0x2
f(0)?f'(0)x?f''(0)x2?0(x2)?3
lim, 所以, 于是 f''(0)??2x?022x2
(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)
导数与微分
一. 填空题 1 . 设解. f(x0?k?x)?f(x0)1
?f'(x0), 则k = ________.
f(x0?k?x)?f(x0)11klim?f'(x0), 所以kf'(x0)?f'(x0) ?x?0k?x33lim
2. 设函数y = y(x)由方程e解.
?cos(xy)?0确定, 则
?______. dx
ex?y(1?y')?(y?xy')sinxy?0, 所以
ysinxy?ex?y
3. 已知f(－x) =－f(x), 且解. 由f(－x) =－f(x)得?所以
f'(?x0)?k, 则f'(x0)?______.
f'(?x)??f'(x), 所以f'(?x)?f'(x)
f'(x0)?f'(?x0)?k
f(x0?m?x)?f(x0?n?x)
f(x0?m?x)?f(x0)?f(x0)?f(x0?n?x)
f(x0?m?x)?f(x0)f(x0?n?x)?f(x0)
=mlim+nlim=(m?n)f'(x0)
?x?0?x?0m?x?n?x1?x(n)
5. f(x)?, 则f(x)= _______.
4. 设f(x)可导, 则
?1?x?1?x(?1)12?1!(?1)k2?k!(k)
f'(x)???, 假设f, 则
(1?x)2(1?x)1?1(1?x)k?1f
(?1)k?12?(k?1)!(?1)n2?n!(n)
??, 所以f k?1?1n?1
(1?x)(1?x)
d??1??1?1?f?, 则f'?????_______. 2?dx?xx?2?????
. 令x2 = 2, 所以
f'?2???1 ?x?
7. 设f为可导函数, 解.
y?sin{f[sinf(x)]}, 则
?_______. dx
?f'(x)cosf(x)f'[sinf(x)]cos{f[sinf(x)]} dx
8. 设y = f(x)由方程e解. 上式二边求导e
?cos(xy)?e?1所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.
(2?y')?(y?xy')sin(xy)?0. 所以切线斜率
k?y'(0)??2. 法线斜率为
, 法线方程为 2
x－2y + 2 = 0. 2
二. 选择题
1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且(a) 解.
f'(x)?[f(x)]2, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是
n![f(x)]n?1
(b) n[f(x)]n?1
(c) [f(x)]2n
(d) n![f(x)]2n f''(x)?2f(x)f'(x)?2![f(x)]3, 假设f(k)(x)=k![f(x)]k?1, 所以
f(k?1)(x)=(k?1)k![f(x)]kf'(x)?(k?1)![f(x)]k?2, 按数学归纳法 f(n)(x)=n![f(x)]n?1对一切正整数成立. (a)是答案.
2. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且
f'(0)?b, 其中a, b为非零常数, 则
(a) f(x)在x = 1处不可导
(b) f(x)在x = 1处可导, 且(c) f(x)在x = 1处可导, 且
(d) f(x)在x = 1处可导, 且f'(1)?ab
f(1?x)?f(1)
f(x)?f(0)1=limf'(0)?lim?f'(1), 所以f'(1)?ab. (d)是答案 x?0x?0x?0xa
f(x)可导, 不能对于f(1?x)?af(x)二边求导.
注: 因为没有假设
f(x)?3x3?x2|x|, 则使f(n)(0)存在的最高阶导数n为
?4x3x?0?24xx?0
x?0?12xx?0?2x
f''(x)?f''(0)24x?0
x?0x?0x?0x
f''(x)?f''(0)12x?0
f'''(0?)?lim??lim??12
x?0x?0x?0xf'''(0?)?lim?
所以n = 2, (c)是答案.
4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + ?x时, 记?y为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, (a) －1
(d) ? 解. 由微分定义?y = dy + o(?x), 所以
?y?dyo(?x)
?lim?0. (b)是答案.
?x?0x?0?x?xlim
在x = 0处可导, 则 x
(a) a = 1, b = 0
(b) a = 0, b为任意常数
(c) a = 0, b = 0
(d) a = 1, b为任意常数 解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以
?lim(ax?b), 所以b = 0. xx?0?
f'(0?)?f'(0?), lim?
?limax, 所以 0 = a. (c)是答案.
三. 计算题 1.
y?ln[cos(10?3x2)]，求y'
?sin(10?3x2)?6x2
y'???6xtan(10?3x) 2
cos(10?3x)
y?f[ln(x?a?x2)]，求y'
2. 已知f(u)可导,
y'?f'[ln(x?a?x2)]?
f'[ln(x?a?x2)]
x?a?x2?2a?x2
3. 已知解.
?edt??costdt?siny2, 求y'.
eyy'?2xcosx2?2yy'cosy2 y'?
4. 设y为x的函数是由方程ln
x2?y2?arctan
确定的, 求y'. x
y'x?y22x?2yy'?
2222y2x?y2x?y1?2
xx?yy'?y'x?y, 所以y'?
四. 已知当x ? 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时
x?0?ax?bx?c
limF(x)?lim?F(x), 所以c = f(－0) = f(0);
二阶可导. 解. F(x)连续, 所以
因为F(x)二阶可导, 所以F'(x)连续, 所以b =
f?'(0)?f'(0), 且
2ax?f'(0)x?0??
F''(0)存在, 所以F?''(0)?F?''(0), 所以
2ax?f?'(0)?f'(0)f'(x)?f'(0)
?lim??2a, 所以
f(x)?，求f(n)(0). 2
2(1?x)n?12(1?x)n?1
f(2k?1)(0)?0,
k = 0, 1, 2, … f2k(0)?n!,
k = 0, 1, 2, …
y?xlnx, 求f(n)(1).
解. 使用莱布尼兹高阶导数公式
f(n)(x)?x?(lnx)(n)?n(lnx)(n?1)?x(?1)n?1
(n?1)!n?2(n?2)! ?n(?1)nn?1
n?1??(n?1)n?2
(n?2)!???(?1)(n?2)!n?1n?1?n?1
f(n)(1)?(?1)n?2(n?2)!
一元函数积分学(不定积分)
一. 求下列不定积分: 1.
ln?1?x21?xdx
11?x1?x1?1?x?11?x
lndln??lnlndx???c ?1?x21?x2?1?x1?x4?1?x?
11?x1?x1?x1?1?x?
arctandx?arctandarctan?arctan???c ?1?x2?1?x1?x1?x2?1?x?
cosx?sinx?11?sinx
?(1?cosx)2?1?cosxdx
cosx?sinx?11?sinx1?sinx1?sinx1?1?sinx?
?dx???c ?(1?cosx)21?cosx?1?cosxd1?cosx?2?1?cosx??
解. 方法一: 令x?,
?dt????ln(1?t)?c 88??1?1x(x?1)t?18?
?8?1?t?t?1?1?
?ln?1?8??c 8?x?
dxx7dx171???x(??x8x8?1)dx x(x8?1)?x8(x8?1)
dx1d(1?x8)11?1?8
=?=???ln|x|?ln(1?x)?c?ln1????c
x81?x888?x8?
(1?sinx?cosx)?(sinx?cosx)?
?1?sinx?cosxdx??1?sinx?cosx
11cosx?sinx11
??dx????dx
221?sinx?cosx21?sinx?cosx11d(1?sinx?cosx)11
xx221?sinx?cosx22x2sincos?2cos222
?x?ln|1?sinx?cosx|??tan
x2222tan?12
?x?ln|1?sinx?cosx|?ln|tan?1|?c
二. 求下列不定积分: 1.
2dxd(x?1)?? 令x?1?tant ?
tan2tsectx2?2x?2(x?1)2(x?1)2?1
costdt1x2?2x?2
=?sin2tsintx?1
解. 令x = tan t,
2dxcos3tdsintdsint11???dt??????c 44423???2tantsectsintsintsint3sintsint?x
3?x?2??x???c
sec2tcostdsint??dt??(2x2?1)?x2?(2tan2t?1)sect?2sin2t?cos2t?1?sin2t
=arctansint?c?arctan
x2dxa?xx2dx
a2sin2t?acostdt1?cos2t11???a2?dt?a2t?a2sin2t?c
acost224a2?x2
(1?x2)3dx ?sint
(1?cos2t)21?2cos2t?cos22t
(1?x)dx??costdt??dt??dt
t?sin2t??(1?cos4t)dt?t?sin2t?sin4t?c
=arcsinx?sin2t(1?cos2t)?c
314?1?2sin2t
=arcsinx?2sintcost(
arcsinx?x?x2(5?2x2)?c 88
??2?dt???t?tdt 令t?sinu??sinucosudu ?t?
x?sect,dx?secttantdt x?1
secttantdt??(1?cost)dt?t?sint?c 2
三. 求下列不定积分:
?e4x?e2x?1dx
e3x?exex?e?xd(ex?e?x)x?x
?e4x?e2x?1dx??e2x?1?e?2xdx??(ex?e?x)2?1?arctan(e?e)?c
dx?2x(1?4x)
dxdt1?11?1arctant
???dt????c 22??2x(1?4x)?t2(1?t2)ln2ln2??1?t?tln2ln2?t
四. 求下列不定积分:
(2?x?arctan2x)?c ln2
?(x?2)100dx
x51x555?99
dx??xd(x?2)???x4(x?2)?99dx 99?(x?2)100??9999(x?2)99
x55x45?43?98
??x(x?2)dx
=?9998?99(x?2)99?98(x?2)99?98
x55x45?4x35?4?3x2???
99(x?2)9999?98(x?2)(x?2)?96(x?2)96
5?4?3?2x5?4?3?2?
99?98?97?96?95(x?2)99?98?97?96?95(x?2)
1dt2dxtdt1dt2令x?1/t???????4442x?x1t?1?t?(t2)2
1sec2u111?x4
令t?tanu????ln|tanu?secu|?c??ln?c
五. 求下列不定积分: 1.
2xcosxdx??
x(1?cos2x)dx?x??xdsin2x ?244111
?x2?xsin2x??sin2xdx 444111
?x2?xsin2x?cos2x?c 448
?secxdx??secxdtanx?secxtanx??tanxsecxtanxdx
??(sec2x?1)secxdx?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec3xdx
secxtanx?ln|secx?tanx|?c 22
(lnx)3113(lnx)233
?x2dx???(lnx)dx??x(lnx)??x2dx
(lnx)33(lnx)26lnx(lnx)33(lnx)26lnx6?????2dx??????2dx
xxxxxxx(lnx)33(lnx)26lnx6??????c
?cos(lnx)dx
?cos(lnx)dx?xcos(lnx)??sin(lnx)dx?x[cos(lnx)?sin(lnx)]??cos(lnx)dx
[cos(lnx)?sin(lnx)]?c 2
?cos(lnx)dx?
xxcos322x1xx1x1x??sin?2d??xsin?2?cot?c
111?2x?2x?2xxdsin??xsin?sindx ??828282
六. 求下列不定积分:
xln(x??x2)dx
xln(x??x2)112
dx?ln(x??x)d
(1?x2)22?1?x2
11111ln(x??x2)??dx 21?x22?1?x2?x2
ln(x??x2)1112令x?tant ???sectdt 22?2(1?x)21?tantsect
ln(x??x2)1cost
2(1?x2)2?1?2sin2tln(x??x2)1d2sint
= 22?2(1?x)221?2sintln(x??x2)11?2sint?ln?c
2(1?x2)421?2sint
ln(x??x2)1?x2?2x
=222(1?x)42?x?2x
xarctanx?x
xarctanx?x
dx??arctanxd?x??xarctanx??
?x2arctanx??
dx??x2arctanx?ln(x??x2)?c
arctanex11?2x1?2xexx?2xx
?e2xdx??2?arctanede??2earctane?2?e1?e2x
1?2x1e?x1?2x11xx??earctane????earctane?dx 2xx2x?221?e22e(1?e)
1?2x11ex1?2xxx?x??earctane??(x?)dx??(earctane?e?arctanx)?c 2x
?xln(1?x2)?3f(x)??2
?(x?2x?3)e
?(xln(1?x2)?3)dx?? f(x)dx??
2?x(x?2x?3)edx???
x?0?xln(1?x)?[x?ln(1?x)]?3x?c
x?0??(x2?4x?1)e?x?c
考虑连续性, 所以
c =－1+ c1,
c1 = 1 + c
x?0?xln(1?x)?[x?ln(1?x)]?3x?c
x?02?x???(x?4x?1)e?1?c
f'(ex)?asinx?bcosx, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).
?ex，x?lnt, f'(t)?asin(lnt)?bcos(lnt), 所以
f(x)??[asin(lnx)?bcos(lnx)]dx
[(a?b)sin(lnx)?(b?a)cos(lnx)]?c 2
九. 求下列不定积分: 1.
(2x?3)dx??3
?2x?5)(3x?1)dx
(3x?2x?5)(3x?1)dx?(3x2?2x?5)2d(3x2?2x?5) ??2
?(3x2?2x?5)2?c 5
ln(x?x2?1)?c 2
dx??ln(x?x2?1)dln(x?x2?1)?
?x?1)ln(1?x?1)
?x2?1)ln(1?x2?1)
dln(1?x2?1)ln(1?x2?1)
?ln|ln(1?x2?1)|?c
十. 求下列不定积分: 1.
xarctanx?(1?x2)dx
xarctanx1arctanx122?1
dx?d(1?x)??arctanxd(1?x) 22?(1?x2)2??2(1?x)2
1arctanx111arctanx11
?darctanx???dx
21?x22?1?x221?x22?(1?x2)2
1arctanx11arctanx11?cos2t2
?costdt????dt 22?21?x221?x22
1arctanx111aextanx11???t?sin2t?c???arctanx?sintcost?c
21?x2aextanx11x???arctanx??c 22
解. 令arcsin
dx??tdtan2t?ttan2t??tan2tdt?ttan2t?tant?t?c 1?x
xxx?x?arcsin?c?(1?x)arcsin?x?c 1?x1?x1?x
arcsinx1?x2
arcsinx1?x2
?x2??x2dx令x?sint
?costdt?t(csct?1)dt ?sin2tcost?
???tcottdt??tdt??tcott??cottdt?t2?c
??tcott?ln|sint|?t2?c
??arcsinx?ln|x|?(arcsinx)2?c
?x2(1?x2)令x?tant
sectdt?t(csct?1)dt ?tan2tsec2t?
??tcsc2tdt??tdt???tdcott?t2??tcott??cotdt?t2
1arctanxx1
??tcott?ln|sint|?t2?c???ln||?(arctanx)2?c
arctanx1x212
???ln?(arctanx)?c 2
十一. 求下列不定积分: 1.
32332x4?xdx令x?2sint8sint2cost2costdt?32sintcostdt ???
?32?(1?cos2t)cos2tdtdcost??41
??(4?x2)2?(4?x2)2?c
cos3t?cos5t?c 35
令x?asectxatant1?cos2t?asectasecttantdt?a?cos2tdt
?atant?at?c?x2?a2?aarccos?c
ex(1?ex)?e
t(1?t)dt1?t1?sinu
?dt令t?sinu??t2t??t2?cosucosudu
ex(1?ex)?e2x
?u?cosu?c?arcsinex??e2x?c
8asinxdx令u?x令u?2asint2du
?tdt ?2a?x?2a?u2
(1?cos2t)2
=8a?dt?2a2?(1?2cos2t?cos22t)dt
1?cos4ta422
=2at?2asin2t?2a?dt?3at?2asin2t?sin4t?c
t?4a2sintcost?a2sintcost(1?2sin2t)?c
t?3a2sintcost?2a2sin3tcost?c arcsin
?3a2?2a22a2a2a2ax3a?x?2a2
十二. 求下列不定积分: 1.
?sinx?sinx
dx?cosxdx?cosx
sinxdxsin2x?cosx
d(1?cosx)sin2x?cosx
令?cosx?u?2????(?
??2?u2(2?u2)
11112?u?)du??ln||?c 22
u22u2?u2?u1
2??cosx2??cosx
?2?cosxdx 2?sinx1d(2?cosx)解. ? dx?2?dx??2?cosx2?cosx2?cosx
令tan?t 2??ln|2?cosx|?2?3?t2?ln|2?cosx|
4t41xarctan?ln|2?cosx|?c?arctan(tan)?ln|2?cosx|?c
2333. sinxcosx
?sinx?cosxdx
sinxcosx11?2sinxcosx?1
dx?dx ?sinx?cosx?2sinx?cosx
1(sinx?cos)2?1111
=?dx??(sinx?cosx)dx??dx
2sinx?cosx22sinx?cosx
=(sinx?cosx)??24sin(x?)
12x?(sinx?cosx)?ln|?)|?c 2428
十三. 求下列不定积分:
??????t3?c
dx?dx令e?sectx?2xe?1e?1
?tanttantdt??(sect?1)dt
?ln|sect?tant|?t?c?ln(ex?e2x?1)?arccos
x?1arctanx?1
?arctanx?1,tant?x?1,x?sec2t,dx?2sec2ttant
ttantx?1arctanx?11?cos2t22
dx??2secttantdt?2?ttantdt?2?tdt
xsec2tcos2t
dt??2tdt?2?tdtant?t2?2ttant?2?tantdt?t22cost
?2ttant?2ln|cost|?t2?c
?2x?1arctanx?1?ln|x|?(arctanx?1)2?c
一元函数积分学(定积分)
一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数?(x), 均有
f(x)?(x)dx?0, 则f(x) ? 0.
证明: 假设f(?)? 0, a < ?
0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在? > 0, 使得在[?－?, ? + ?]上f(x) > 0.
????x????b
f(x). 按以下方法定义[a，b]上?(x): 在[?－?, ? + ?]上?(x) =2?(x??)2
, 其它地方?(x) = 0. 所以
f(x)?(x)dx??
f(x)?(x)dx?m
f(x)?(x)dx?0矛盾. 所以f(x) ? 0.
二. 设?为任意实数, 证明:
=I??2dxdx??01?(cotx)?01?(tanx)?4
证明: 先证:
f(sinx)?f(cosx)4
f(sinx)?f(cosx)
f(sinx)?f(cosx)
f(cost)?f(sint)
f(cost)?f(sint)
f(cosx)?f(sinx)
f(sinx)?f(cosx)
f(sinx)?f(cosx)
f(cosx)?f(sinx)
f(sinx)?f(cosx)?
0f(sinx)?f(cosx)2
f(sinx)?f(coxs)4
f(sinx)?f(cosx)
dx??2?01?(tanx)
(cosx)??(sinx)?4
1?(cotx)?4
三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明
f??? ?0f(x)dx?n?n2n??k?1
f(x)dx??f(x)dx,
f()??nk?1n
1nkk?n?f(x)dx?f()?|f(x)?f()?dx|??k?1??0nk?1nn?k?1n?1
f(x)?f()dx??kn?1M(x?)dx
??4tannxdx, n为大于1的正整数, 证明:
2(n?1)2(n?1)
证明: 令t =tanx, 则In
tanxdx??dt
1?t2?t???2?22
?1?t?(1?t)
> 0, (0 < t < 1). 所以
1t11n11n?1
tdt??dt??tdt
01?t22?020
2(n?1)2n2(n?1)
五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足0 < ? < ? < 1的任何 ?, ?, 有
证明: 令F(x)
??f(x)dx???f(x)dx
?x?f(t)dt???f(t)dt (x ? ?), F(?)???f(t)dt?0.
F'(x)??f(t)dt??f(x)?
[f(t)?f(x)]dt?0, (这是因为t ? ?, x ? ?, 且f(x)单减).
F(?)?F(?)?0, 立即得到??f(x)dx???f(x)dx
六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且
f''(x)< 0, 证明:
?a?b?f(x)dx?(b?a)f??
证明: ?x, t?[a, b],
f(x)?f(t)?f'(t)(x?t)?
(x?t)2?f(t)?f'(t)(x?t) 2!
a?b?a?b?a?b??a?b??
, 所以f(x)?f???f'???x??
2222??????
bba?b??a?b??a?b??
f(x)dx??f?dx?f'x??????dx ?aa2??2??2??
?a?b???. ?2?
七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给? ? (0, 1), 有
f(x)dx???f(x)dx
证明: 方法一: 令F(x)(或令F(x)
???f(?t)dt???f(t)dt
?x?f(t)dt???f(t)dt)
F'(x)??f(?x)??f(x)?0, 所以F(x)单增;
又因为F(0) = 0, 所以F(1) ? F(0) = 0. 即
??f(?t)dt???f(t)dt?0, 即
f(x)dx???f(x)dx
方法二: 由积分中值定理, 存在??[0, ?], 使由积分中值定理, 存在??[?, 1], 使因为 ?所以
f(x)dx??f(?);
??f(x)dx?f(?)(1??)
??,所以f(?)?f(?).
??f(x)dx???f(x)dx???f(x)dx??2f(?)??f(?)(1??)
??2f(?)??f(?)(1??)??f(?)??f(x)dx
八. 设f(x)在[a, b]上连续,
f'(x)在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:
|f(x)|??|f'(x)|dx,
(a < x < b)
?|f'(x)|?f'(x)?|f'(x)|, 所以
??|f'(t)|dt?f(x)?f(a)??|f'(t)|dt,
??|f'(t)|dt?f(x)??|f'(t)|
??|f'(t)|dt?f(b)?f(x)??|f'(t)|dt
??|f'(t)|dt?f(x)??|f'(t)|dt
??|f'(t)|dt?2f(x)??|f'(t)|dt
|f'(x)|dx,
(a < x < b) ?a2
九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数
f''(x), 且f(0)?f(1)?0，f(x)?0, 试证:
证明: 因为（0，1）上f(x) ? 0, 可设 f(x) > 0
因为f(0) = f(1) = 0 ?x0 ? (0,1)使
max (f(x))
（1） f(x)f(x0)?0
在（0，x0）上用拉格朗日定理
??(0,x0) x0
在（x0, 1）上用拉格朗日定理
f''(x)dx??f''(x)dx?
??f''(x)dx?
f'(?)?f'(?)
f(x0)??4f(x0)x0(1?x0)
f''(x)dx?4 ?0f(x0)
十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证:
十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且
[f'(x)]2dx?1
?[f'(x)]dx??[f'(x)]dx?1dx?(?
f'(x)?1dx)2?(f(1)?f(0))2?1
f(x)dx= 0, ?xf(x)dx= a > 0. 证明: ? ? ? [0, 2], 使|f(?)| ? a.
解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以? ? ? [0, 2], 取?使|f(?)| = max |f(x)| (0 ? x ? 2)使|f(?)| ? |f(x)|. 所以
a?|?(x?1)f(x)dx|??|x?1||f(x)|dx?|f(?)|?|x?1|dx?|f(?)|
一元函数积分学(广义积分)
一. 计算下列广义积分: (1)
(x?1)(x?4)1xx?1
dx(1?x)arctanx
?sin(lnx)dx
d(ex?1)(e?1)
dx?lim?dx?
0?x2?1b???3?(x2?1)(x2?4)x2?4?12??dx(1?x)x3
?1, 所以?dx
积分收敛.所以
令x?tant2dt?2?2costdt?2
?sin(lnx)dx?lim??sin(lnx)dx?lim?
11(xsin(lnx)?xcos(lnx))?? 22
1xx?1arctanx(1?x)
secttant?dt?
dt?tcostdt??1 ?0
微分中值定理
一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且有且仅有一个x, 使f(x) = x.
证明: 由条件知0 < f(x)
0, F(1) < 0,
f'(x)?1, 证明: 在(0, 1)内
所以存在? ? (0, 1), 使F(?) = 0. 假设存在?1, ?2 ? (0, 1), 不妨假设?2 < ?1, 满足f(?1) = ?1, f(?2) = ?2. 于是
?1－?2 = f(?1)－f(?2) =
二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且3
f'(?)(?1??2). (?2 < ? < ?1). 所以f'(?)?1, 矛盾.
f(x)dx?f(0). 证明: 在(0, 1)内存在一个?, 使f'(?)?0.
f(0)?32f(x)dx?3f(?1)(1?)?f(?1), 其中?1满足??1?1.
由罗尔定理, 存在?, 满足0 < ? < ?1, 且
三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个?, 使
证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在?1, 1 < ?1 < 2, 满足F'(?1)满足1 < ? < ?1, 且
四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个?, 使证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理
?0. 所以F'(1)?F'(?1)?0.所以存在?,
f(x)?(1??)ln(1?x)f'(?).
F(x)?F(0)F'(?)
? ? (0, x) ?
G(x)?G(0)G'(?)
?(1??)f'(?), 即f(x)?(1??)ln(1?x)f'(?).
五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个? ? (a, b), 使
?[nf(?)??f'(?)]?n?1
证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令F(x)
?xnf(x). 在[a, b]上使用拉格朗日定理 f(?)??
bnf(b)?anf(a)?[n?
f'(?)](b?a)
六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个? ? (a, b), 使
h(a)h(b)?0
g'(?)h'(?)g(a)h(a)g(b)
, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个? ? (a, b), 使
证明: 令F(x)
g(x)h(x)f(a)
h(a)h(b)?0
F'(?)?f(b)
g'(?)h'(?)
七. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2)内至少存在一个?, 使
ex1?ex2f(x1)
?f(?)?f'(?)
证明: 令F(x)
?e?xf(x)，G(x)?e?x, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个?, 满足 e11F(x2)?F(x1)
G(x2)?G(x1)e?ex2f(x1)
?f(?)?f'(?).
八. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个? ? (x1, x2)或(x2, x1), 使
x1ex2?x2ex1?(1??)e?(x1?x2)
证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令F(x)?，G(x)?, 在[x1, x2]上使用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个?, 满足
ex2ex1e???e??
F(x2)?F(x1)x2x1?2
??111G(x2)?G(x1)??2x2x1?x1ex2?x2ex1?(1??)e?(x1?x2).
九. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x) ? 0, 试证: 至少存在一个? ? (a, b), 使
f'(?)g(?)?g'(?)f(?)
证明: 令F(x)
, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个? ? (a, b), 使 g(x)
f'(?)g(?)?g'(?)f(?).
十. 设f(x) 在[a, b]上连续
(0?a?b),在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在?,?使f'(?)?
f(x)及G(x)??
使用柯西定理: x
f(b)?f(a)f'(?)
???2f'(?),(??(a,b))
f(b)?f(a)?2f'(?)
对左端使用拉格朗日定理:
f(b)?f(a)?2f'(?)
f'(?)??,(??(a,b))
,(?,??(a,b))
一元微积分的应用
一. 选择题
1. 设f(x)在(－?, +?)内可导, 且对任意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(x1) > f(x2), 则 (a) 对任意x,
(b) 对任意x, f'(?x)?0
(c) 函数f(－x)单调增加
(d) 函数－f(－x)单调增加 解. (a) 反例:
f(x)?x3, 有f'(0)?0; (b) 反例:f(x)?x3; (c) 反例:f(x)?x3,f(?x)??x3 单调减少; 排除(a), (b), (c)
后, (d)为答案. 具体证明如下:
令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1
－f(－x2) = F(x2).
x2?x?1arctan的渐近线有
(x?1)(x?2)
(x?1)(x?2)4x2?x?1
(x?1)(x?2)
为水平渐近线;
所以x?0为铅直渐近线;
(x?1)(x?2)
(x?1)(x?2)
所以只有二条渐近线, (b)为答案. 3. 设f(x)在[－?, +?]上连续, 当a为何值时, (a) (c) 解.
F(a)??[f(x)?acosnx]2dx的值为极小值.
??f(x)cosnxdx
(b) ???f(x)cosnxdx
f(x)cosnxdx
??f(x)cosnxdx
F(a)??[f(x)?acosnx]2dx
nxdx?2a?f(x)cosnxdx??f2(x)dx
??a?2a?f(x)cosnxdx??f2(x)dx
为a的二次式.
f(x)cosnxdx, F(a)有极小值. ???
4. 函数y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1;
??0x?0f'(0)?0, 当x ? 0时, f'(x)?0; f''(x)?
, 则其图形
解. (b)为答案. 5. 设三次函数
y?f(x)?ax3?bx2?cx?d, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是
(a) 关于y轴对称
(b) 关于原点对称
(c) 关于直线y = x轴对称
(d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ? 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以
at3?bt2?ct?d?at3?bt2?ct?d,
所以b + d = 0
f'(x)?3ax2?2bx?c?0的根为 x = ? t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以
f(x)?ax3?cx
为奇函数, 原点对称. (b)为答案. 6. 曲线(a) (c)
y?x(x?1)(2?x)与x轴所围图形面积可表示为
??x(x?1)(2?x)dx
(b) ?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
??x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx
(d) ?x(x?1)(2?x)dx
由图知(c)为答案.
二. 填空题 1. 函数F(x)
???2??dt (x > 0)的单调减少区间______. 1
11?0, 所以0 < x < .
处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________. 3
解. y'?3x?1, 所以切线的斜率为k =3??1??
切线方程: y??x?, 曲线和切线的交点为x??. (解曲线和切线的联立方程得x???0, x?为其解,
所以可得(x?)(x?)?0, 解得x??.)
y?x3?x与其在x?
(x?x??)dx?0108327
3. 二椭圆2?2?1, 2?2?1( a > b > 0)之间的图形的面积______.
二椭圆的第一象限交点的x坐标为
. 所以所求面积为
?s??ab?4??0
a2?x2dx??0a
b2?x2dx? b?
a?ba?b????baxxabxx? arcsin?a2?x2???arcsin?b2?x2?=?ab?4???????a?2?a2b?2b2??00
?abba2b2abaa2b2?
arcsin??arcsin?=?ab?4? (a?b)22(a?b)?a?ba?b?2??ba
??ab?2ab?arcsin?arcsin
2222?a?ba?b??
令??arcsin
?ab?2ab??????= 4?ab?
=4?abarctan?
4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______. 解.
V?2??[(a2?y2?b)2?(?a2?y2?b)2]dy
4ba?ydy?8?ab?costdt?8?ab?
(5) 求心脏线? = 4(1+cos?)和直线? = 0, ? =?
围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 2
解. 极坐标图形绕极旋转所成旋转体体积公式
V???3(?)sin?d?
?(?)sin?d????
64(1?cos?)3sin?d?
=??(1?cos?)4
三. 证明题
??16?160?33
?1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ? 0时函数?(x)?
f(x)?x?f(t)dt??tf(t)dt?f(x)(x?t)f(t)dt
??0?0?0??证明. ?'(x)??0 22xx
?f(t)dt??f(t)dt???????0???0?
上述不等式成立是因为
t < x. 2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内
f''(x)?0, 证明?(x)?
在(a, b)内单增.
证明. 假设a < x1 < x2 < b,
f(x1)?f(a)
(a < ?1 <x1 )
f(x2)?f(a)f(x2)?f(x1)?f(x1)?f(a)
x2?ax2?af'(?2)(x2?x1)?f'(?1)(x1?a)
x2?af'(?1)(x2?x1?x1?a)
?f'(?1)??(x1)
不等式成立是因为?1 <x1 <?2.
f''(x)?0说明f'(x)单增, 于是f'(?2)?f(?1).
f'(x)?0, 求证:
3. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导且
f(t)dt ?ax?a
在(a, b)内也F'(x)证明: 因为
f'(x)?0, 所以f(x)单减.
f(t)dt?f(x)=
[f(x)?f(t)]dt?0
4. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0, 又F(x)
??f(t)dt??
dt. 证明: f(t)
F'(x)?2, ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根. F'(x)?f(x)?
?2f(x)??2 f(x)f(x)
ii. F(a) =
dt, F(b) =?f(t)dt. 因为f(x) > 0, 所以F(a)和F(b)异号, 所以在(a, b)中存在?,
使得F(?) = 0. 又因为F'(x)5. 证明方程tanx证明. 令F(x)
?2, F(x)单增, 所以实根唯一.
?1?x在(0, 1)内有唯一实根.
?tanx?1?x. F(0) =－1 0,
所以在(0, 1)中存在?, 使F(?) = 0.
?1?0 (0 < x < 1), 所以F(x)单增, 所以实根唯一.
6. 设a1, a2, …, an为n个实数, 并满足a1?2???(?1)?0. 证明: 方程
又因为F'(x)
a1cosx?a2cos3x??ancos(2n?1)x?0
)内至少有一实根.
证明. 令F(x)
?a1sinx?a2
sin3xsin(2n?1)x
则 F(0) = 0,
F???a1?2???(?1)n?1?0. 所以由罗尔定理存在? (0 < ? < ? ), 使F'(?)?0.
?a2cos3???ancos(2n?1)??0
四. 计算题
1. 在直线x－y + 1=0与抛物线
y?x2?4x?5的交点上引抛物线的法线, 试求两法线及连接两交点的弦所围成三角形的面积.
解. 由联立方程?解得交点坐标(x3,y3)?(1,2), (x2,y2)?(4,5) 2
y'?2x?4求得二条法线的斜率分别为kx?1?
, kx?4??. 相应的法线为 24
119(x?1), y?5??(x?4). 解得法线的交点为(x1,y1)?(6,).
y1?y3y2?y3
已知三点求面积公式为
2. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得解. 过点(1, 1)的直线为
y = kx + 1－k 所以 F(k) =
[x2?f(x)]2dx为最小的直线方程.
[x2?kx?(1?k)]2dx
[x4?2kx3?(k2?2k?2)x2?2k(1?k)x?(1?k)2]dx
?x?2k4k?2k?23
?x?x?k(1?k)x2?(1?k)2x? 43?5?0
?8k?(k2?2k?2)?4k(1?k)?2(1?k)2 53
F'(k)??8?(2k?2)?(4?8k)?4(1?k)?k??0
所求直线方程为
y = 2x－1 3. 求函数解.
f(x)??(2?t)e?tdt的最大值与最小值.
f'(x)?2x2(2?x2)e?x?0, 解得
f(?2)??(2?t)e?tdt?1?e?2,
f(??)??(2?t)e?tdt=1
所以, 最大值
f(?)?1?e?2, 最小值f(0)?0.
4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积
xa?(x?b)dx令x?b?asint4????(b?asint)a2co2stdt
cos2tdt?8?ba2?
表面积: y = f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为
2?f(x)?f'2(x)dx
(x－b)2 + y2 = a2绕y轴旋转相当于(y－b)2 + x2 = a2绕x轴旋转. 该曲线应分成二枝:
所以旋转体的表面积
S?2??(b?a2?x2)
dx?2??(b?a2?x2)
?8?ab?dt?4?2ab.
多元函数微分学
一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) ( I II) 若用P( A ) ( C ) 解. 则
f(x,y)在点(x0,y0)处连续;
( II ) f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; f(x,y)在点(x0,y0)处可微;
( IV ) f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在; ?Q表示可由性质P推出性质Q, 则有
(II)?(III)?(I)
( B ) (III)?(II)?(I) (III)?(IV)?(I)
( D ) (III)?(I)?(IV)
f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续, 则f(x,y)在点(x0,y0)处可微, f(x,y)在点(x0,y0)处可微,
f(x,y)在点(x0,y0)处连续. 所以(II)?(III)?(I). ( A )为答案.
f(x,y)??x?y
(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)
二. 二元函数 在点(0, 0) 处
( A ) 连续, 偏导数存在;
( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在;
( D ) 不连续, 偏导数不存在.
limf(x,y)?lim2令y?kxlim?? ?12x?0x?0x?y2x?0(1?k2)x21?k,k?1?y?0y?0
limf(x,y) 不存在, 所以f(x,y)在点(0, 0) 处不连续, 排除 ( A ), (B);
?022f(0??x,0)?f(0,0)fx'(0,0)?lim?lim?0
?x?0?x?0?x?x
f(0,0??y)?f(0,0)0??y
fy'(0,0)?lim?lim?0.
(C )为答案.
?y?0?y?0?y?y
三. 设f, g为连续可微函数, u?f(x,xy)，v?g(x?xy), 求
?u?v?f1'?f2'y, ?g'(1?y). 所以 ?x?x?u?v??(1?y)g'(f1'?f2'y) ?x?v
?z2?y??, 其中?为可微函数, 求. ??y??y??
解. 原式两边对y求导.
?z??z??y?z
2z????y?'. 所以 ???2?????y?y??y?y?z??z?
y???z?'??????y?y??z??? ??y?z?
2yz?y?'??y??
?f(x,y,z)，又y??(x,t)，t??(x,z)，求
解. 由上述表达式可知x, z为自变量, 所以
六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. 2.
?u?y?fx'?fy'?fx'?fy'??x'??t'?x'??fx'?fy'?x'?fy'?t'?x' ?x?x
f(x?y,y?z,z?x)?0，求 z?f(xz，z?y)，求dz.
f'?f'?z?z?z
??13 ?f3'(1?)?0, 所以?xf2'?f3'?x?x
?z?z?zf'?f'
??12 ?f2'(1?)?0, 所以?yf2'?f3'?y?y
(f'?f')dx?(f1'?f2')dy?z?z
dx?dy??13 ?x?yf2'?f3'
zf1'?z?z?z?z
? ?f1'(z?x)?f2', 所以
?x1?xf1'?f2'?x?x?x?f2'?z?z?z?z
? ?f1'x?f2'(?1), 所以
?y1?xf1'?f2'?y?y?ydz?
zf'dx?f2'dy?z?z
dx?dy?1 ?x?y1?xf1'?f2'
七. 设z?f(esiny,x?y), 其中f具有二阶连续偏导数, 求
?f1'(exsiny,x2?y2)exsiny?2xf2'(exsiny,x2?y2) ?x
?exsiny(f11''excosy?2yf12'')?excosyf1'?2x(f12''excosy?2yf22'')
f11''e2xsinxcosx?2ex(ysiny?xcosy)f12''?4xyf22''?f1'excosy
?f(2x,)，求zxx''，zyy''.
zx'?2f1'(2x,)?f2'(2x,)
yyyzxx''?4f11''?
f12''?(2f12'',f22'') yyy
f12''?2f22'' yy
xxf'(2x,) 22yy
zyy'?3f2'?4f22''
九. 已知z解.
?f(xlny,x?y)，求zxx'',zxy'',zyy''.
zx'?lnyf1'(xlny,x?y)?f2'(xlny,x?y) zxx''?lny(f11''lny?f12'')?f12''lny?f22''
f11''ln2y?2f12''lny?f22''
f1'?lny(f11''?f12'')?f12''?f22'' yyyxlnyx1
f11''?(?lny)f12''?f22''?f1' yyyx
f1'(xlny,x?y)?f2(xlny,x?y) y
xxxxf'?(f''?f'')?f12''?f22'' 11112y2yyy
x22xxf''?f''?f''?f1' yy2
?x?y?z?z2?0dydz
十. 设y?y(x)，z?z(x)，由?确定, 求.
dxdx?x?y?z?z?0
解. 以上两式对x求导, 得到关于
的方程组 dxdx
?(1?2z)??1??dxdx
?2ydy?(1?3z)dz??1?dx?dx
1???2z?0??dxdxdx
?1?2ydy?dz?3zdz?0?dxdxdx?
由克莱姆法则解得
dy2z?3z2dz2y?1?,
dx1?3z2?2y?4yzdx1?3z2?2y?4yz
yy?2z2?z2?z?2xy?y十一. 设z?xf()??()，求xxx?x2?x?y?y2
?zyyyyyyyyyy
?f()?xf'()(?2)??'()(?2)?f()?f'()?2?'() ?xxxxxxxxxxx?2zyyyyy2yyyy2y
??f'()?f'()?f''()?2?'()??''() ?x2x2xx2xx4xx3xx4x
f''?23?'?4?'' 3xxx
?2z1y1yyy1yyy?f'()?f'()?2f''()?2?'()?3?''()
?x?yxxxxxxxxxx
f''??'??'' x2x2x3
?zy1y?f'()??'() ?yxxx?2z11
?f''??'' 22
?2z?2z2?zx?2xy?y?x2?x?y?y22
f''??'?2?'' xxx
y22y2y2?2f''??'?2?''
十二. 设z?f[x?y,?(xy)], 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, ?(u)二阶可导, 求
?2xf1'[x2?y,?(xy)]?yf2'[x2?y,?(xy)]?'(xy) ?x
?2x[?f11''?xf12''?']?f2'?'?y?'[?f12''?xf22''?']?xyf2'?'' ?x?y
=(?'?xy?'')f2'?2xf11''?(2x?y)?'f12''?xy(?')2f22''
十三. 设F(x,y(x),z(x))?P(x,y(x))?Q(x,y(x))z(x), 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算
???. ?ydx??z?
?py'?zQy',
?Q(x,y(x)) ?y?zd??F?
???Qx'?Qy'yx' dx??z?
?Fd??F?????py'?zQy'?Qx'?Qy'yx'?py'?Qx'?(z?yx')Qy' ?ydx??z?
一. 比较积分值的大小: 1. 设I1
dxdy,I3???dxdy其中D?{(x,y)|(x?1)2?(y?1)2?2},
则下列结论正确的是 ( A )
解. 区域D位于直线x?
之间, 所以0?
( B ) I2?I3?I1
( C ) I1?I3?I2
( D ) I3?I2?I1
y?4及x?y?0
I1?I2?I3. (A)为答案.
dxdy,i?1,2，3
D1?{(x,y)|x2?y2?r2}
D2?{(x,y)|x2?y2?2r2}
D3?{(x,y)||x|?r,|y|?r}则下列结论正确的是
( B ) I2?I3?I1
( C ) I1?I3?I2
( D ) I3?I2?I1
D1?D3?D2,且e?(x
解. 因为 3.设I1
?0, 所以I1?I3?I2, (C) 为答案.
???cosx2?y2?,
I2???cos(x2?y2)?,I3???cos(x2?y2)2?
?{(x,y)|x2?y2?1}, 则
下列结论正确的是 ( A )
( B ) I2?I3?I1
( C ) I1?I3?I2
( D ) I3?I2?I1
0?cosx2?y2?cos(x2?y2)?cos(x2?y2)2, 所以 I1?I2?I3.( A )为答案.
解. 在区域D中, 二. 将二重积分I
???f(x,y)d?
化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下:
y2?8x与x2?8y所围之区域.
2. D: 由x = 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及x－2y + 7 = 0所围之区域. 3. D: 由x
?y2?1, y ? x及x > 0所围之区域.
4. D: 由|x| + |y| ? 1所围之区域. 解. 1.
I???f(x,y)d???dx?2
2f(x,y)dy??dyy2f(x,y)dx
I???f(x,y)d???dxD
f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx??dy?
I???f(x,y)d???
dy?f(x,y)dx?0
I???f(x,y)d???dx?
f(x,y)dy??dx?
f(x,y)dx??dy?
三. 改变下列积分次序:
dxa2?x2f(x,y)dy
f(x,y)dy??dx?
f(x,y)dy??dx?
a2?y2a2?2ay
f(x,y)dy??dy3
f(x,y)dx?ady?
f(x,y)dy??dx?
1f(x,y)dy??dy0
f(x,y)dy??dx?
?dy?f(x,y)dx??dy?
四. 将二重积分I
???f(x,y)d?
化为极坐标形式的累次积分, 其中:
1. D: a2 ? x2 +y2 ? b2, y ? 0, (b > a > 0) 2. D: x2 +y2 ?y, x ? 0 3. D: 0 ? x +y ? 1, 0 ? x ? 1 解. 1.
I???f(x,y)d???d??f(?cos?,?sin?)?d?
I???f(x,y)d???2d??
f(?cos?,?sin?)?d?
I???f(x,y)d????d??
f(?cos?,?sin?)?d?
1cos??sin?0
五. 求解下列二重积分: 1.
f(?cos?,?sin?)?d?
dxdy, D: 由y = x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形 6x
dxdy, D: y ? x及1 ? x2 + y2 ? 2 22
dy??dy?sin
0dy?2dx??e
dxdyy?x?x, D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形. 6x
y'?4x3?3x2, y''?12x2?6x?6x(2x?1)?0. 解得 0?x?
. 此时图形在x轴下方. 所以 2
yy1ydxdy?dy??0?x4?x3x6x62?0x6
1(x4?x3)27
dx???dx?? 602x4843
dxdy, D: y ? x及1 ? x2 + y2 ? 2. 22
解. 使用极坐标变换
5?2?cos??sin?xydxdy???d???d?
15????sin2?d???d?= 0
12六. 计算下列二重积分:
x2y2?x??y?
1??????dxdy, D: 2?2?1.
ab?a??b??a?cos?
解. 令xy?b?sin?
.雅可比行列式为
acos?bsin?
?a?sin?b?cos?
2?112?x??y?
1??????dxdy??d????2ab?d???2?ab(1??2)2??ab
0033?a??b?022222?
, D: , 并求上述二重积分当时的极限. ??x?y?1ln(x?y)dxdy??0??
?y)dxdy??d??ln??d????ln?2d?2
=?(?所以lim?
ln?2??2)??(??2ln?2??2?1)
?y2)dxdy???.
(a?x)(x?y)
aaf'(y)dxdy??f'(y)dy?
(a?x)(x?y)(a?x)(x?y)
??f'(y)dy?0y
)(a?y)2a?y
?dy??f'(y)?dy??(f(a)?f(0)) f'(y)arcsin?
2??1?x2?y2
D: x2 + y2 ? 1, x ? 0, y ? 0. 22
1?x?y1?x2?y2
?d?xd??1??24
?tan2?sec2?1?tu2令?u ??令u?tan?du??
224?001?t(1?u)sec?
??f(xy)dxdy?ln2?f(u)du, 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.
证明: 令u = xy, y = vx. 即x?
f(xy)dxdy?
??f(u)du??ln2?f(u)du
??f(x?y)dxdy??
2?u2f(u)du
证明: 令u?x?y,
?(x,y)11???. 所以
?(u,v)u'xu'y2
f(u)dudv??f(u)??dv?du
??f(x?y)dxdy???
?2?u2f(u)du
九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证:
证明: 左 =
f(?)ed?=右
十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明:
mnx??ydxdy?0
证明: 区域 D既对x轴对称, 又对y轴对称.
当m为奇数时x当n为奇数时x
yn为对于x的奇函数, 所以二重积分为0; yn为对于y的奇函数, 所以二重积分为0.
十一. 设平面区域D
?{(x,y)|x3?y?1,?1?x?1}, f(x)是定义在[?a,a](a?1)上的任意连续函数试求:
I???2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]dxdy
解. 作曲线如图. 令
D1:y?x3(y?0),y?1,L 围成;
D2:y?x3(y?0),x??1,L 围成. D1按y轴对称,
D2按x轴对称.
f(x,y)?2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]
f(x,?y)??2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]??f(x,y)
??f(x,y)d??0
f(?x,y)?2y[(?x?1)f(?x)?(?x?1)f(x)]??f(x,y)
??f(x,y)d??0
I???2y[(x?1)f(x)?(x?1)f(?x)]dxdy???f(x,y)d????f(x,y)d??0
一. 填空题
(1) 设有级数?an??
?, 则该级数的收敛半径为______.
n22解. 收敛半径R =lim?. 答案为.
n??|a33n?1|
(2) 幂级数
x2n?1的收敛半径为______. ?nn
n?1n?12?(?3)n
|x|2??1, 所以|x|?. 收敛半径为3.
(3) 幂级数
的收敛区间为______. n?1
n?2?1, 所以收敛半径为1.
发散, 当x = －1时, 得级数?收敛. 于是收敛区域为[－1, 1).
当x = 1时, 得级数
(4) 幂级数?n
的收敛区间为______.
(n?1)2n?11?lim?, 所以收敛半径为2.
当x = 2时, 得级数?
(5) 幂级数
发散, 当x = －2时, 得级数
(?1)n?1?2nn?1
收敛. 于是收敛区域为[－2, 2).
的和函数为______.
?x2?(n?1)xn?2
x?x22?n?1?2??x??x??x???21?x??(1?x)?n?2?
. 该等式在(－1, 1)中成立.
当x = ?1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以
(n?1)x??(1?x)2n?1
二. 单项选择题 (1) 设an
?0(n?1,2,?)，且?an
收敛, 常数??(0,
), 则级数?(?1)n(ntan)a2n
(A) 绝对收敛
(B) 条件收敛
(D) 收敛性与?有关
收敛, 所以
n(tan)a2n??
?lim??. 所以?(ntan)a2n和?a2n
n??na2nn?1n?1
有相同的敛散性.
所以原级数绝对收敛. (2) 设un
?(?1)nln(1?
解. 由莱布尼兹判别法
). 因为lim
12发散, 所以?un?n?1nn?1
(C)是答案.
(3) 下列各选项正确的是 (A) 若
都收敛, 则
|收敛, 则?u
(C) 若正项级数
?un发散,则un?
(D) 若级数
收敛, 且un
?vn(n?1,2,?), 则级数?vn
(un?vn)n?un?2unvn?vn?2(un?vn). 所以(A)是答案.
(4) 设?为常数, 则级数
1??sinn?? 2?nn?n?1
(A) 绝对收敛.
(C) 条件收敛.
(D) 敛散性与?取值有关.
发散, 所以
1??sinn??发散. (B)是答案 ??n2?n?n?1?
三. 判断下列级数的敛散性:
sin?ln(n?2)nn?1
111ln(n?2)n
解. 因为limsin和??1, 所以?n??1nn?1nlnnn?1ln(n?2)
有相同的敛散性.
dx发散, 由积分判别法知?xlnxn?1nlnn
发散. 所以原级数发散.
(a?0) ?(a?n?1)(a?n)(a?n?1)n?1
??11(a?n?1)(a?n)(a?n?1), 所以和有相同的敛散性. (a?0)lim?1?3
nn??1n?1n?1(a?n?1)(a?n)(a?n?1)
所以原级数收敛.
3n?1(n?1)!
?lim??1, 所以级数发散. nn??3n!e
?nn?1(n?1/n)
?lim?0?1, 所以级数收敛.
(n?1/n)nn??n?1/n
(n?1)!(n?1)!
(n?1)21(2n?2)!
?lim?lim??1， 所以级数收敛. n??n??(2n?2)(2n?1)n!n!4
解. 考察极限lim
(1?ylny)y令y?nlim?
ln(1?ylny)?ylny
ln(1?ylny)?ylny1?ylny
lim?lnu?lnlim?u?lim??lim?
y?0y?0y?0y?0y1lny?1?lny?yln2y?1?ylny
lim?u?e?1, 即原极限为1. 原级数和?
有相同的敛散性. 原级数发散. n?1n
四. 判断下列级数的敛散性
n?2n?1?(?1)???3n?1??n?1
2n?12???2n?1?
?, 所以??解. 因为lim???n??33n?1?3n?1??n?1?
收敛, 原级数绝对收敛.
n??(n?1)n?1?1(x?1)x?1?1
当x > 0时,
??n?12x?1f'(x)??0, 所以数列??单减. 根据莱布尼兹判别法级数收敛. (n?1)n?1?1[(x?1)x?1?1]2??
1(n?1)?1?1
因为lim?1, 而?n??nn?1
发散, 所以
发散. 原级数条件收敛. ?n?1(n?1)n?1?1
?sin(n??n)
)??(?1)nsin
, 条件收敛, 所以原级数条件收敛. n
?(?1)n?1tan
收敛, 原级数绝对收敛.
五. 求下列级数的收敛域:
第一章 函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知解.f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2) ?1…
第一章 函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知解.f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2) ?1…
第一章 函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知解.f(x)?sinx,f[?(x)]?1?x2,则?(x)?__________, 定义域为___________.f[?(x)]?sin?(x)?1?x2, ?(x)?arcsin(1?x2) ?1…
本文由()首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：