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日晚，李玉刚《镜花水月》全球巡演的第11场演出在……三角形面积公式推导
你好，游客
三角形面积公式推导
来源：太平桥二小&
作者：丁禅
教学基本信息
三角形面积公式推导
学段：高年级
书名：北京市义务教育课程改革实验教材第册数学
出版社：北京出版社出版日期：年月
是否已实施
教学设计参与人员
太平桥二小
太平桥二小
课件制作者
太平桥二小
其他参与者
以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。
& & 教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。
指导思想与理论依据
（一）指导思想
1、注重知识之间的联系，引导学生探究，渗透转化思想。
三角形面积公式与平行四边形面积公式有着密切的联系，促进学生将已有的知识进行迁移。引导学生将已有的三角形转化成为学习过的平行四边形或长方形。进而探究图形之间的联系，找到面积的计算方法。
2、注重让学生经历自主探索的过程，让学生动手操作、合作与交流
& & & 通过自己动手拼摆进行转化，再通过合作学习的方式，探究图形之间的联系，在教师的引导下，自己得出面积公式。最大限度的给学生探索、创新的空间。学生先独立思索，在合作交流，真正做到了自主学习。
（二）理论依据
& 自主探究，合作交流，亲身实践&是《数学课程标准》大力倡导的学习方式，这种学习方式使学生真正成了学习的主人。《数学课程标准》中还明确指出:利用方格纸或割补等方法,探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。为落实这一目标,这部分教材均是以探索活动的形式出现的，引导学生在亲身的体验中学习数学，能培养学生的数学意识和实践能力。有效的合作学习，自主探索的学习方式，能培养学生善于探索、敢于创新的能力。
教学背景分析
教学内容：《三角形的面积》属于空间与图形的领域，是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的。根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路，把三角形也转化成学过的图形，通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式，最后用字母表示出面积计算公式，这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的，另一方面有助于发展学生的空间观念。
学生情况：学生在以前的学习中，初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，形成了转化的思想。在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础。但是,由于学生个体的差异,使得已有知识基础、探索新知的快慢程度等也会出现不同。教学时从学生的现实生活与日常经验出发，设置贴近生活现实的情境，通过多姿多彩的图形，把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。
教学方式：本节课以学生动手操作，探究规律为主，教师进行穿插的引导与讲解，适时点播，总结。
教学手段：讲授法、谈话法、讨论法、演示法、练习法。
技术准备：多媒体课件、视频展示台、平行四边形、三种类型三角形(每种类型准备2个完全一样的)、实验报告表等。
&教学目标(含重难点)
1、知识能力目标：理解并掌握三角形面积计算公式，能够应用公式解决实际问题。
2、过程方法目标：引导学生在操作、观察、合作交流、归纳等数学活动中经历三角形面积公式的推导过程，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、情感、态度与价值观：让学生在探索活动中获得积极的情感体验，激发学习兴趣，培养探索的精神，感受数学与生活的密切联系。
教学重点：用转化的方法探索三角形的面积公式，正确计算三角形的面积。
教学难点：图形之间的内在联系及三角形面积公式的推导说理。
问题框架(可选项)
教学流程示意(可选项)
& & & & & & & & & & & & & & & & 开始
温故孕新 && 渗透转化的思想
设置情境 && 引出探索问题
动手操作 && 发现规律联系
汇报总结 && 推导面积公式
运用新知&& 解决实际问题
总结提升&& 开扩学生思维
教学过程(文字描述)
一、温故孕新& 渗透转化
教师提问：谁能说一说平行四边形面积计算公式的推导过程？
学生口述，教师利用课件再现平行四边形面积计算公式的推导过程。
三、动手操作& 发现规律
1、情境引入
师：少先队建队日到了，学校要给新加入少先队的小队员们定做红领巾，你们能
帮大队辅导员老师计算一下一条领巾需要多少布料吗？
（屏幕出示红领巾图片）
师：你想怎么做？
生：红领巾是三角形，要算出三角形的面积。
师：（三角形）你们会算三角形的面积吗？这节课我们一起研究、探索这个问题。（板书：三角形面积的计算）
2、玩游戏，小组内交流问题。
师：我们来玩一个游戏。请听好要求：同学拿出小组里面准备好的学具，观察一下，说说有什么发现？
生：、有两个锐角三角形、两个钝角三角形、两个直角三角形。
2、形状、大小完全一样。
师：用这几个形状大小完全一样的三角形拼一拼，看你能发现了什么？同时要思考以下几个问题：
（课件出示以下问题）
A、两个完全一样的三角形能拼出什么图形？
B、拼成图形的面积你会算吗？
C、拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
D、把你们的发现填在报告单上。
操作：我们组是用（& & & & & &
）拼成了（& & & & & & & ）。
讨论：拼摆成的新图形与原来的三角形有什么联系？
1、原三角形的底等于拼成的（& & &
）形的（& & &
2、原三角形的高等于拼成的（& & &
）形的（& & &
3、原三角形的面积等于拼成的（& & &
）形的（& & & & ）。
教师行为：教师巡视，及时了解学生在操作和讨论中存在的问题，并针对性地进行指导学困生：你是怎样拼的？能说一说你的拼法吗？
（学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
3、小组代表上台演示汇报
：用个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，三角形的一条直角边（底）相当于长方形的长，另一条直角边（高）相当于长方形的宽，三角形面积相当于长方形的面积的一半，因为长方形的面积长宽，所以，三角形的面积底高。
：用个完全一样的锐角三角形拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底，平行四边形的高相当于三角形的高，三角形的面积相当于平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积底高，所以三角形的面积底高。
C：（2个完全一样的钝角三角形拼摆）略
4、总结深化。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形（长方形），而且其中一个三角形的面积是平行四边形（长方形）面积的一半。
师追问：是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
（教师任意拿起一个三角形和不等底等高的平行四边形的纸板，让学生对比进行引导。）
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才对。
（教师根据学生的回答完成完整的板书）
板书：三角形的面积是这个等底等高的平行四边形面积的一半。
（学生齐读）
师：看来，我们通过拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积=底&高&2
师追问：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？&底&高&表示什么意思？为什么要&&2&？
生：&底&高&表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要&&2&。
（学生加深对三角形面积计算公式的理解后，让学生齐读公式）
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，s表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s=ah&2（板书）
5、爱国主义思想教育。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体）
（解释&圭田术曰：半广以乘正从&的意思）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，我觉得你们也很了不起!你们不也找到三角形面积的计算方法了吗？
三、巩固公式& 实践运用
（一）基本练习
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，你们能很好地运用它解决生活中的实际问题吗？
1、& & 三角形面积计算的基本题。（课件出示）
2、& & 计算红领巾的面积
师：还记得大队辅导员老师的问题吗？（计算制作红领巾的布料）
如果想求它的面积有多少？需要知道什么条件？
生：需要三角形的底和高。（出示数据）
（学生练习后讲评订正）
（二）扩展提高
1、师：计算这个三角形的面积。
高是4分米，用哪条底？为什么？
& & & & & & & & & & & & & & & &
2、出示交通警示牌
师：你们认识这些交通警示牌吗？
向右急转弯注意危险减速慢行注意行人
师：咱们学校地处繁华路段，人多车多，为了让学校周边有一个良好的交通环境，要用铁皮制作这样4块警示牌，你能计算出要用多少铁皮吗？（出示条件）
3、画面积相等的三角形。
师：图中哪两个三角形的面积相等？你还能画出和它们面积相等的三角形吗？
师：你画出了几个面积相等的三角形？如果给你足够的时间你能画出多少个这样的三角形？
生：无数个。
师：通过画这样的三角形，你发现了什么？
生：三角形的面积与底和高有关，与形状无关。
生：等底等高的三角形面积相等。
四、回顾总结& 深化提高
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？
五、补充介绍& 扩展思维
教师向学生介绍推导三角形面积公式的其它方法：割补或折叠
六、板书设计
& & & & & & & & & & & & & & & 三角形面积
平行四边形面积=底&高& & & & & & & & 长方形面积 =长&宽
三角形面积& & =底&高&2& & & & & &
三角形面积 =底&高&2
教学过程(表格描述)
学习效果评价设计
1、& 你知道三角形面积公式是怎么推导出来的吗？
2、& 你会运用三角形面积公式吗？计算下面三角形的面积。
3、一块三角形木板的面积是36平方米，已知一条底边为9米，求高是多少米？
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
本节课教学，教师在设计教学环节时注意了学生已有知识基础和经验背景，按照学生的认知规律组织教学，先复习了平行四边形面积的推导过程，然后让学生探究三角形面积的计算方法，教师根据学生已有的知识以旧引新。
本节课在设计时改变了教师讲知识，学生用知识的教学摸式，把学习的主动权给了学生，使学生的主体地位落实，使学生学得积极主动让学生通过动手实践，自主探究，推导出三角形面积计算方法，教学难点分散解决。
本节课学生在一个轻松和谐民主的氛围中探索出了三角形面积的计算公式，获得了成功的喜悦，增加学好数学的自信，不仅培养了学生的动手操作能力，还培养了学生解决问题多样化的意识。
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任意三角形面积公式
来源：中考网&&&&作者：中考网编辑整合&&&& 22:00:39
　　任意三角形面积公式
　　（1）已知底和高
　　面积：S＝ah/2
　　(2).已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
　　S=&[p(p-a)(p-b)(p-c)]
　　=（1/4）&[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
　　(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2*absinC
　　(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r
　　S=(a+b+c)r/2
　　(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R
　　S=abc/4R
　　(6).根据三角函数求面积：
　　S=absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
　　注:其中R为外切圆半径。
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> 三角形面积计算器 V1.0 绿色版
三角形面积计算器 V1.0 绿色版 / 三角形面积计算器
网友评分：10分
　　三角形面积计算器是一款用于三角形三个角和面积的软件，这款软件使用很简单，只需输入三角形的三条边长度点击“计算”即可。
软件特别说明
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方差计算器是一款可以帮助用户查方差的计算工具。该软件采用了VC6编写，只需要输入数据进行计算就可以了。
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三角形面积计算器|三角形面积计算器 V1.0 绿色版
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.All rights reserved.“三角形的面积”教学设计
七台河教育网
“三角形的面积”教学设计
作者：顾晓丹来源：七台河市第六小学访问次数：1424
教学内容：人教版小学数学五年级上册，第三单元第2节，教材第84页至87页。
课标要求：探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。
教材分析：
（一）教材的地位、作用及前后联系。
“三角形的面积”是学生在掌握了长方形、正方形与平行四边形面积计算方法的基础上安排的学习内容，教材通过一系列的操作、研究活动，将所学图形（三角形）转化为已学图形（长方形、正方形和平行四边形），使学生逐渐明白所学图形与已学图形之间的联系，从而研究出三角形面积的计算方法。重点是引导学生理解、运用转化的思想方法，解决实际问题，发展学生推理和抽象概括能力，为后续研究梯形、组合图形面积的计算等奠定坚实的基础。 & & &
（二）教材编写意图分析。
1.教材编写意图
教材以小组合作学习的形式展现学生探究的过程。因为学生已具备小组合作学习的能力，也有了前面探究平行四边形面积方法做铺垫。首先由计算红领巾的面积引入三角形面积计算的问题；接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路：把三角形也转化成学过的图形；通过学生动手操作和探索，推导出三角形面积计算公式。最后用字母表示出面积计算公式。
就本节课的知识来说，主要探究三角形的面积，那么具体做法就是：第一步重点通过小组合作探究用转化的方法把三角形转化成已学过的图形，第二部重点运用已掌握图形的面积计算公式，我认为，就这两个问题而言，前者是后者的铺垫，后者是前者的升华。两者是相辅相成的。
2.练习题设计的解析：
紧跟新课后的做一做属于基本练习，给了充分条件，用面积公式正确计算；85页第1题需要学生测量数据后进行计算，训练学生找到三角形的底和对应的高，再进行计算；86页第3题训练学生运用三角形面积公式灵活的解决实际问题，目的进一步巩固对三角形面积计算公式的理解。
学情分析：
通过本单元第一课“平行四边形的面积”的学习，学生已经初步掌握了转化的思想方法，能用转化的思想方法将平行四边形转化成已经学过的图形，探索出平行四边形面积计算公式，并能灵活运用公式解决实际问题，具备了初步的操作能力和小组合作学习的能力。学生在本课学习过程中可能只会用两个完全一样的三角形通过拼组转化成长方形、正方形或平行四边形，而对于割补、折叠等方法可能会想不到；对于拼组的图形与原图形之间的关系可能表述不清。教学过程中将引导学生通过直观操作，发现拼组、割补、折叠后的图形与原图形（三角形）的关系，通过探索理解“三角形面积”与“平行四边形面积”的关系，解决难点。
教学目标：
1．引导学生经历用转化的思想方法推导三角形面积公式的过程，能正确运用公式进行三角形面积计算。
2．在交流中，培养学生的分析综合、抽象概括能力。
3．通过自主探索、动手实践，发展学生的探索精神；在探究、发现、解决问题过程中，使学生体验成功的快乐。
教学重点：经历三角形面积公式的推导过程，运用三角形面积公式进行计算。
教学难点：三角形转化为已学图形的过程，转化后的图形与原图形的关系。
教学准备：三角形卡片多个、多媒体课件。
教学设想：
本单元面积公式的推导都是建立在学生剪、拼、摆的操作活动之上的，所以操作是本单元教学的重要环节。学生要在独立思考和合作交流的基础上进行操作。通过实际操作活动，发展学生的空间观念。培养动手操作能力。
一、创设情境，激发学习欲望
数学课程标准指出：学生在数学学习活动应当是一个生动活泼的，主动和富有个性的过程。学习应是学生自己的生活实践活动，我们的教学应真正加到学生的生活中去，真正去关心学生关注什么，经历什么，对什么感兴趣。在导入环节通过创设红领情境，激发学生学习数学的积极性和主动性，并把数学知识与学生实际生活联系起来。从而激发学生探究三角形面积计算公式的学习欲望。
二、 自主探究，渗透“转化”思想
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。在本单元教学中，应以学生的探究活动为主要形式，但教师引导作用却不容忽视。通过操作，一方面启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，渗透“转化”的思想方法；另一方面引导学生去主动探究所研究的图形与转化的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，通过小组讨论和交流等形式，要求学生把自己操作——转化——推导的过程叙述出来，以发展学生的思维和表达能力。
三、注意培养学生多种策略解决问题的意识和能力
运用转化的方法推导面积计算公式，可以有多种途径和方法。教师注意不要把学生的思维限制在一种固定或简单的方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题。利用最基本的拼摆法把两个完全相同的三角形可以拼成学过的正方形、长方形、平行四边形，通过三种学过的图形面积的计算公式都能推导出三角形面积公式；同时引导学生探究运用割补法、折叠法同样能寻找到三角形面积的计算方法。使学生体会到由特例推导到一般的思考过程。
教学过程：
一、创设情境，激发兴趣
同学们，老师今天有什么不一样的？（佩戴着红领巾）
你们知道它是什么形状的吗？（三角形）
知道做一条红领巾（三角形）需要多少布料吗？（不知道）
同学们，我们在学习平行四边形的面积计算时，学到一种非常重要的学习方法，还记得是什么方法吗？（转化）
谁来说说是怎样转化的？
推导平行四边形面积公式时，我们都用到了转化的方法，把我们要研究的图形转化成已经学过的图形来发现他们之间的联系，进而推导出面积计算的方法。板书：转化 &联系 &方法
这节课按照这样的思路来自主学习三角形的面积计算方法。板书课题：贴红领巾
【设计意图】：唤起学生的回忆，使新旧知识的联系得到了沟通，为新知迁移做好准备。这样是为学习三角形的面积计算做好了铺垫。
二、出示教学目标
1.推导三角形面积的计算方法。
2.会用三角形的面积计算方法，解决问题。
三、尝试与探究
1.出示小组合作学习提示：
（1）选择你们喜欢的三角形，先独立思考能把它转化成已学过的什么图形，再按照“转化—找联系—推导方法”的思路来研究；
（2）再把你的想法与小组成员进行交流，共同验证；
我们比一比，相同的时间内看哪个小组想到的方法多，动作快。
【设计意图】：在学习中，让学生先独立思考，让每个学生对问题有了自己独特认识后，再引导学生进行合作交流。让学生在观察、对比、找联系、交流、等活动中实现知识的生成和建构，也是多种不同的解决策略和方法出现，让学生在交流中学会倾听，更在倾听中拓展思维。
2.小组合作学习。
3.汇报交流：
（1）预设1：两个完全一样的锐角三角形可以拼成一个平行四边形。
预设2：两个完全一样的直角三角形可以拼成一个平行四边形。
预设3：两个完全一样的钝角三角形可以拼成一个平行四边形。
预设4：两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形（正方形）。
小结：长方形、正方形是特殊的平行四边形，所以说任何两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
（2）拼成的平行四边形和原来的三角形有什么联系吗？
预设1：平行四边形的高就是原三角形的高。
预设2：平行四边形的底就是原三角形的底。
（3）总结三角形的面积计算方法：因为平行四边形的面积=底×高，所以
三角形的面积=底×高÷2
用字母怎样表示？s=ah÷2
提升：刚才同学们都用两个完全一样的三角形通过平移、旋转、拼摆，转化成学过的平行四边形形，探究出了三角形的面积计算方法。这种方法我们把它叫做拼摆法。
哪一小组还有不同的方法，也研究出了三角形的面积计算方法？
预设1：一个三角形用割补的方法，割补成平行四边形。（如果说不清楚，可以用课件帮助。）
预设2：一个钝角三角形用折叠的方法，折成一个长方形或是（正方形）。（推导计算方法比较麻烦，要及时引导。）
提升：割补法、折叠法
【设计意图】：通过实际操作、互动交流。启迪学生的深思，引发争论，让学生在合作交流中理解、掌握。多媒体的运用，使原来用实物不好展示的部分得到充分展示，降低了观察的难度，突出了观察的重点。随着实物—实物图—平面图的显示，学生的认识得到增强，空间观念得到发展。
4.拓展资源介绍：
大约在2000年前，我国著名的数学名著《九章算术》中的方田章就论述了平面图形面积的算法。书中说：“方田有术，广从步数相乘得积步。”其中的“方田”是指长方形田地，“广”和 “从”是指长和宽，也就是说：长方形 面积=长×宽。还说：“圭田术曰，半广 乘正从。”就是说：三角形的面积=底× 高÷2。
刘徽，被称作中国数学史上的牛顿，有着相当重要的历史地位。他著名的割补术解决了一个又一个的数学难题。用割补术系统的给出了各种图形面积公式的证明。中国数学家吴文俊先生称刘徽的割补术为“出入相补原理”：一个平面图形由一处移至他处，面积不变。又若把图形分割成若干个，那么各部分面积和等于原来图形的面积，因而图形移置前后，各个面积的和、差有简单的相等关系。立体图形也是这样。 在这里介绍一下他的“出入相补”原理。出入相补，也就是“以盈补虚”这种“以盈补虚”、“出入相补”的证明方式从刘徽之后， 一直是中国古代数学推导图形面积公式的传统方法。我们来看用这种以盈补虚的方法是怎样推导三角形的面积公式的。
5.回到课前的红领巾，请同学计算这条红领巾的面积。能不能计算？
生：不能计算。为什么？
生：没有底和高的数据。
大屏出示红领巾的底和高，请大家快速计算。
【设计意图】：回归实践应用，体现公式的价值，注意强化学生对公式的理解。
五、检测训练，提升能力
（一）夯实基础：
1.计算下面三角形的面积。（试着口算）
2.你认识下面的这些道路交通警示标志吗？
向右急转弯 & & & & & 注意危险 & & & & &减速慢行 & & & & &注意行人
一块标志牌的面积大约是多少平方分米？
你想提醒大家注意什么？
（二）活学活用：
已知一个三角形的面积和底(如图)，求高。
提升：用方程解决此类问题不仅简单，而且不容易出错，如果用算术方法就必须先转化成平行四边形，也就是要先乘以2，再除以底求出高！
（三）思维训练
下图中的两个三角形的面积相等吗？（两条虚线互相平行）你还能画出和它们面积相等的三角形吗？
提升：等底等高的三角形面积一定相等。
【设计意图】：整个练习分层设计，强化学生多角度理解“底和高的对应关系”，训练学生思维的灵活性与逆向思维能力，同时深化对三角形求积公式的认识。主要通过实际问题的解决，让学生感知生活中的数学，增强学生用数学的意识。
六、总结收获，质疑问难。
这节课我们运用转化的思想，通过拼摆把三角形转化成与它等底等高的平行四边形，推导出三角形面积公式，大家还有不明白的地方吗？实际上我们还可以运用剪拼或折叠的方法来推导三角形面积公式（课件演示）课下后同学们可以动手试一试。
主办 黑龙江省七台河市教育局
承办七台河市教育信息技术中心
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