如图在平面直角坐标系中,直线y=-2/3x+2与x轴,y轴分别交于B,C两点,经过B,C两点的抛物线与x交A(-1,0)（1）求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P在线段BC上的一个懂点（与B、C）不重合,过点P作直线a∥y轴,交抛物线与点E,交x轴与点F,设点P的横坐标为m,△BCE的面积为S①求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围②求S的最大值,并判断此时OBE的形状,说明理由（3）过点P作直线b∥x轴,交AC与点Q,那么在X轴上是否存在点R,使得△PQR为等腰直角三角形?若存在,请求出点R的坐标,若不存在,请说明理由请点开图片看大图，
绘制了清晰一点的图见附图.答：（1）直线BC为y=-2x/3+2,交x轴于点B(3,0),交y轴于点C（0,2）.抛物线交x轴的另外一点为A(-1,0),三点坐标决定的抛物线方程为y=-2(x-1)²/3+8/3所以：点B（3,0）,点C（0,2）.抛物线解析式为y=-2x²/3+4x/3+2.（2）点P在线段BC上,BC直线为：2x+3y-6=0；BC=√13.设点P为（m,-2m/3+2）,则点E（m,-2m²/3+4m/3+2）,点F为（m,0）.0&m&3.2.1）点E到BC的距离=|2m+3*(-2m²/3+4m/3+2)-6|/√13=2m(3-m)/√13所以：三角形BCE的面积S=BC*点E到BC的距离/2=√13*[2m(3-m)/√13]/2==-m²+3m所以：S=-m²+3m,0&m&32.2）当m=-b/(2a)=-3/(-2)=3/2时,S取得最大值为c-b²/(4a)=0-9/(-4)=9/4因为：m=3/2,所以：点E（3/2,5/2),OE斜率为(5/2)/(3/2)=5/3.点F（3/2,0)是BO的中点.所以：EF是BO的中垂线所以：△OBE是等腰三角形.所以：面积S最大值为9/4,此时△OBE是等腰三角形.（3）此小题没有明确点P的条件如何,姑且认为点P在线段BC上,但不是使得三角形BCE面积最大的点.AC直线为：y=2x+2；点P（m,-2m/3+2),点Q纵坐标为y=-2m/3+2,代入AC直线解得点Q的横坐标为x=-m/3.所以：点Q为（-m/3,-2m/3+2）；PQ=4m/3.当PR⊥x轴时：点R（m,0）,PR=PQ.所以：-2m/3+2=4m/3,解得：m=1符合,点R(1,0)当QR⊥x轴时,点R（-m/3,0),QR=PQ.所以：-2m/3+2=4m/3,解得：m=1符合,点R(-1/3,0)当PR⊥QR时,点R在PQ的中垂线上,点R（m/3,0）,点R到PQ的距离等于PQ的一半：-2m/3+2=(4m/3)*(1/2)=2m/3,解得：m=3/2,点R（1/2,0).综上所述：点R为(-1/3,0)或者(1/2,0)或者(1,0),此时点P分别为(1,4/3)、（3/2,1)、（1,4/3).
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1、B、C分别位于x轴、y轴，且在直线y=-2x/3+2上，所以B点坐标为(3,0), C点坐标为(0,2)
又抛物线经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,2)，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c
将三点坐标代入得
可以求出：a=-2/3, b=4/3, c=...
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数学 一次函数和反比例综合 ...
（2014春o江岸区校级期末）平面直角坐标系中，直线y=3x+6与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线l：y=kx-2k都经过x轴上点A（1）如图1，若直线l过点C，求直线l的解析式和点A的坐标；（2）如图2，将线段BC沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线l和直线y=2x-4上，当k=1时，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由；（3）如图3，点P由点C向下平移（6-2）个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形PRQT，且∠T=60°．直线l经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由．
第-1小题正确答案及相关解析
解：（1）∵y=3x+6与y轴交于点C，∴点C坐标为（0，6），将点C的坐标代入y=kx-2k，可得-2k=6，解得k=-3，∴直线l解析式为：y=-3x+6，∴点A坐标为（2，0）；（2）如图2，作NP⊥y轴于点P，，∵y=3x+6与x轴交于点B，∴点B坐标为（-2，0），∵y=3x+6与y轴交于点C，∴点C坐标为（0，6），当k=1时，y=kx-2k=x-2，根据平移的性质，可得四边形BMNC是平行四边形，设点M坐标是（m，m-2），则点N坐标是（m+2，m+4），∵点N在直线y=2x-4上，∴m+4=2（m+2）-4，解得m=4，∴m+2=4+2=6，m+4=4+4=8，∴点N的坐标是（6，8），∵NC==2，BC=，∴NC=BC，又∵四边形BMNC是平行四边形，∴四边形BMNC是菱形．（3）如图3，连接AP、PQ，直线l交y轴于点H，，∵点C的坐标是（0，6），6-（6-2）=2，∴点P的坐标是（0，2），∴AP==4，令点B的坐标是（-2，0），则PA=PB=AB=4，∴△PAB是等边三角形，∵∠PRQ=60°，PR=QR，∴△PQR是等边三角形，在Rt△OAH中，∠OAH=60°，∴OH=OAotan60°=2，∴2k=2，∴k=，∴k的值不会发生变化，k的值是．解答：解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点，
∴A点坐标是（4，0），点C坐标是（0，4），
又∵抛物线过A，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）①如图1
∴抛物线的对称轴是直线x=1．
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ=AO=4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=1对称，
∴P点的横坐标是3，
∴当x=3时，，
∴P点的坐标是；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，
∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC，
设点F（x，x+4），
化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=1，x2=3．
当x=1时，；当x=3时，，
即P点坐标是或．
又∵点P在直线y=kx上，
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【2015哈尔滨】27.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点,抛物线y=-(x-2)(x-k)(k>2)与x轴交于点A、B(点 A在点B的左侧)，与y轴的负半轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交X轴于点E.
(1)如图1，当AB=2时，求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接CD,过点0作CD的垂线,交抛物线y=-(x-2)(x-k)的对称轴于点F,求点 F的纵坐标；
（3）在(1)的条件下，如图3，点P为在x轴下方,且在抛物线的对称轴右侧抛物线上的一动点，连接AP，当∠PAB=∠0CP时，求tan∠APB的值.
（2015黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE 的长；
(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；
(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.
（2015辽宁省盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；
（3）在（2）的条件下：
①连接DF，求tan∠FDE的值；
②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
（2015辽宁抚顺）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
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站长：朱建新如图,在平面直角坐标系中一次函数y=-1/2x+6的图像分别交x,y轴于点a.b,与一次函数y=x的图像交于第一象内的点c.1.求a.b.c.的坐标 2.求三角形obc的面积.
猴60166构巫
一：∵y=-1/2x+6的图像分别交x,y轴于点a、b.∴a、b坐标分别为（12,0）、（0,6）∵y=-1/2x+6与一次函数y=x的图像交于第一象限内的c点∴-1/2x+6=x,解得X=4
∴ C点坐标为（4,4）二：三角形obc的面积=?ob×oc=?×6×4=12【知识点】：求两函数的交点坐标,只要联立解方程组即可.如题中的y=-1/2x+6与一次函数y=x的图像交于第一象限内的c点的坐标详细解法为：方程1：y=-1/2x+6方程2：y=x
C点是交点,两函数都经过此点, 即C点坐标既要满足方程1也要满足方程2.∴-1/2x+6=x
C点坐标为（4,4）.
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＞＞＞已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经..
已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，点B是抛物线与x轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式及B的坐标；（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：S△BPC=1：3，求点P的坐标；（3）直线y=12x+a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）当x=0时，y=6，∴C（0，6），当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、C，∴-9-3b+c=0c=6，解得：b=-1c=6．∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6，当y=0时，整理得x2+x-6=0，解得：x1=2，x2=-3，∴点B（2，0）．（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵S△ABP：S△BPC=1：3，∴12APoBD12PCoBD=13，∴AP：PC=1：3由勾股定理，得AC=AO2+CO2=35当点P为线段AC上一点时，过点P作PH⊥x轴，点H为垂足，∴PHOC=APAC=14∴PH=32，∴32=2x+6，∴x=-94，∴点P（-94，32）当点P在CA延长线时，作PG⊥x轴，点G为垂足∵AP：PC=1：3∴AP：AC=1：2，∴PGOC=APAC=12，∴PG=3，∴-3=2x+6x=-92，∴点P（-92，-3）．（3）存在a的值，使得∠MON=90°，设直线y=12x+a与抛物线y=-x2-x+6的交点为M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左侧）则x1=xMy1=yNx2=xNy2=yN为方程组y=12x+ay=-x2-x+6的解分别过点M、N作MM’⊥x轴，NN′⊥x轴，点M、N为垂足．∴M′（xM，0），N′（xN，0），∴OM′=-xMON′=xN∵∠MON=90°，∴∠MOM′+∠NON′=90°，∵∠M′MO+∠MOM′=90°，∴∠M’MO=∠NON’∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，∴MM′ON′=OM′NN′，∴MM′oNN′=ON′oOM′，∴-xMoxN=yMoyN，由方程组消去y整理，得：x2+32x+a-6=0．∴xM、xN是方程x2+32x+a-6=0的两个根，由根与系数关系得，xM+xN=-32，xMoxN=a-6又∵yMoyN=（12xM+a）（12xN+a）=14xMoxN+a2（xM+xN）+a2=14（a-6）-34a+a2∴-（a-6）=14（a-6）-34a+a2，整理，得2a2+a-15=0解得a1=-3，a2=52∴存在a值，使得∠MON=90°，其值为a=-3或a=52．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知：直线y=2x+6与x轴和y轴分别交于A、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经..”考查相似的试题有：
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