已知AB是圆的直径,CD垂直于AB,垂足为D,AE垂直于AB,且AE等于AC,BE交圆于点F,求证:EF·EB=AD·AB_百度作业帮
已知AB是圆的直径,CD垂直于AB,垂足为D,AE垂直于AB,且AE等于AC,BE交圆于点F,求证:EF·EB=AD·AB
证明：连接BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,又CD⊥AB,∴AC²=AD*AB(射影定理),∵AB⊥AB,∴AE是切线,∴AE²=EF*EB(切割线定理),∵AC=AE,∴EF*EB=AD*AB.欢迎来到高考学习网，
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& 2015届高三数学（文）一轮限时规范特训：选4-1-2 直线与圆的位置关系
2015届高三数学（文）一轮限时规范特训：选4-1-2 直线与圆的位置关系
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资料概述与简介
A级　基础达标
1．[2014·天津模拟]如图，ACB＝90°，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则(　　)
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
解析：由切割线定理可知CE·CB＝CD2.又由平面几何知识知ADC∽△CDB，得相似比＝，即AD·DB＝CD2，CE·CB＝AD·DB.故选A.
2．如图，O中弦AB、CD相交于点F，AB＝10，AF＝2.若CFDF＝14，则CF的长等于(　　)A.
解析：CF∶DF＝14，DF＝4CF.
AB＝10，AF＝2，BF＝8.
CF·DF＝AF·BF，CF·4CF＝2×8，CF＝2.
3．[2014·海淀区月考]如图，半径为2的O中，AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为(　　)A.
解析：延长BO交圆O于点F，由D为OB的中点，知DF＝3，DB＝1，又AOB＝90°，所以AD＝，由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB，即3×1＝×DE，解得DE＝.
4．[2014·宜昌质检]如图所示，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
AF·AG＝AD·AE；
AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是(　　)
解析：逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，
所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE
＝AB＋AC＋BC，即正确；
由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即正确；
因为ADF∽△AGD，所以错误. 故选A.
5．[2014·湛江调研]如图所示，AB是O的直径，直线CB切O于点B，直线CD切O于点D，CD交BA的延长线于点E.若AB＝3，ED＝2，则BC的长为________．
解析：由切割线定理，得DE2＝EA·EB，即4＝EA(EA＋3)，解得EA＝1.设BC＝x，则CD＝x，在BCE中，根据勾股定理，得(2＋x)2＝x2＋42，解得x＝3，故BC的长为3.
6．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AFFB∶BE＝42∶1，若CE与圆相切，则线段CE的长为________．解析：因为AFFB∶BE＝42∶1，所以可设AF＝4x，FB＝2x，BE＝x.由割线定理，得AF·FB＝DF·FC，即4x×2x＝×，解得x＝.所以AF＝2，FB＝1，BE＝.由切割线定理，得EC2＝BE·EA，即EC2＝×(＋3)，解得EC＝.
7．[2014·陕西西安三模]以RtABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E，点D在BC上，且DE与圆O相切．若A＝56°，则BDE＝________.
解析：如图所示，连接OE，则OEA为等腰三角形，
OE＝OA，OEA＝A＝56°，
EOA＝68°，DE与圆O相切，且E在圆上．
OE⊥DE，即DEO＝90°.
又B＝90°，B＋DEO＝180°，
O、E、D、B四点共圆，BDE＝EOA＝68°.
答案：68°
8．[2014·西城区期末]如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若＝，则＝________.解析：根据切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB(PB＋BC)，而＝，即PA＝BC，将其代入上式得PB2＋PB·BC－BC2＝0，即(2PB＋3BC)(2PB－BC)＝0，所以＝－(舍去)或＝.
9．[2014·黑龙江模拟]如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
解析：如图，连接AB、AO.A，E为半圆周上的两个三等分点，AOB＝60°，AOB为正三角形，ABO＝60°，AD＝OB＝，又ABF＝EBC＝30°，BF为ABD的平分线，＝＝2，AF＝AD＝.答案：
10．[2014·长春市调研卷]如图所示，O内切ABC的边于D、E、F，AB＝AC，连接AD交O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.求证：(1)圆心O在直线AD上；
(2)点C是线段GD的中点.
证明：(1)AB＝AC，AF＝AE，CF＝BE.
又CF＝CD，BD＝BE，
AD是CAB的平分线．
内切圆圆心O在直线AD上．
(2)连接DF，由(1)知，DH是O的直径，
DFH＝90°，
FDH＋FHD＝90°.
由题易知G＋FHD＝90°，
∵⊙O与AC相切于点F，
AFH＝GFC＝FDH，
GFC＝G.∴CG＝CF＝CD，
点C是线段GD的中点．
11．如图所示，已知D为ABC的BC边上一点，O1经过点B、D交AB于另一点E，O2经过点C、D交AC于另一点F，O1与O2交于点G.(1)求证：EAG＝EFG；
(2)若O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，AC＝10，AG切O2于G，求线段AG的长．
解：(1)证明：连接GD，
因为四边形BDGE，CDGF分别内接于O1，O2，
AEG＝BDG，AFG＝CDG，
又BDG＋CDG＝180°，
AEG＋AFG＝180°.
即A，E，G，F四点共圆，EAG＝EFG.
(2)因为O2的半径为5，
圆心O2到直线AC的距离为3，
所以FC＝2＝8，
又AC＝10，AF＝2，AG切O2于G，
AG2＝AF·AC＝2×10＝20，AG＝2.
12．[2014·银川模拟]如图，ABO三边上的点C、D、E都在O上，已知ABDE，AC＝CB.(1)求证：直线AB是O的切线；
(2)若AD＝2，且tanACD＝，求O的半径r的长．
解：(1)证明：AB∥DE，＝，
又OD＝OE，OA＝OB.
如图，连接OC，AC＝CB，OC⊥AB.
又点C在O上，直线AB是O的切线．
(2)如图，延长DO交O于点F，连接FC.
由(1)知AB是O的切线，弦切角ACD＝F，
ACD∽△AFC.
∴tan∠ACD＝tanF＝，又DCF＝90°，
＝＝，而AD＝2，得AC＝4.
又AC2＝AD·AF，2·(2＋2r)＝42，于是r＝3.
B级　知能提升
1．[2014·南通模拟]如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BCAC于点C，DFEB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝(　　)A．1
解析：设圆的半径为r，AD＝x，连接OD，得ODAC.
故＝，即＝，故x＝r.
又由切割线定理AD2＝AE·AB，
即r2＝(10－2r)×10，故r＝.
由三角形相似，知＝，则DF＝3.
2．如图所示，EA是圆O的切线，割线EB交圆O于点C，C在直径AB上的射影为D，CD＝2，BD＝4，则EA＝________.解析：由AB为圆O的直径，得ACBC，又CDAB，所以CD2＝AD·BD，得AD＝1，又由EA是圆O的切线，得EAAB，所以＝，得＝，即EA＝.
3．[2014·东城区综合练习]如图，已知PA是O的切线，A是切点，直线PO交O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交O于点E，若PA＝2，APB＝30°，则AE＝________.解析：根据已知可得，在RtPAO中，AO＝APtan30°＝2.所以OD＝1，且AOD＝120°.在AOD中，根据余弦定理可得AD＝＝.又根据相交弦定理得CD·DB＝AD·DE，即1×3＝×DE，所以DE＝，所以AE＝.
4．如图，圆O的直径AB＝8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P.(1)求证：BC2＝AC·BP；
(2)若EC＝2，求PB的长．
解：(1)AB为圆O的直径，ACB＝90°.
又ACBP，ACB＝CBP，ECA＝P.
∵EC为圆O的切线，ECA＝ABC，ABC＝P，
ACB∽△CBP.
∴＝，即BC2＝AC·BP.
(2)EC为圆O的切线，EC＝2，AB＝8，
EC2＝EA·EB＝EA(EA＋AB)，EA＝2.
ECA＝ABC，ACE∽△CBE，＝＝.
AB为圆O的直径，ACB＝90°，AC2＋BC2＝AB2.
AC＝，由＝，可得PB＝.
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如图，已知正方形ABCD中，点E是边CD的中点，AC、BE相交于点F，MF平行于AE交AB于M，连DF
1，求证：EA=EB
2，求证：DF=MF
3，求证：AE垂直于DF
提问者：angelalolita
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1, 因 DE=EC, AD=BC,所以两个直角三角形 ADE和BCE全等，
回答者：teacher037
2，由于CE//AB,EC:AB=1:2
故BF/BE=2/3
又MF//AE,故 MF/AE=2/3
因为EA=EB，故MF=BF
又易知三角形DAF和BAF全等，故DF=BF
回答者：teacher037
3，延长DF与BC相交于N点，设AE和DF相交于O点
由于CF:AF = EC:AB =1/2
又AD//BC,故CN:AD=CF:AF=1/2
故D是BC的中点，故CN=DE
又CD=AD，所以DCN与ADE全等，故角CDF和DAE相等，
故角DOA = EDF + DEA =DAE+DEA=90度
故AE与DF垂直。
回答者：teacher037一道几何解答题已知AB是圆O的直径,BE是切线,点F是EB中点,证明AC·CD=AD·BC_百度作业帮
一道几何解答题已知AB是圆O的直径,BE是切线,点F是EB中点,证明AC·CD=AD·BC
已知AB是圆O的直径,BE是切线,点F是EB中点,证明AC·CD=AD·BC
目测题目出错了. 应该是AB·CD = AD·BC.实际上∠DCA = ∠DBA = ∠BEA, △DCA ∽ △FEA.CD:AD = EF:AF = BF:AF.由△FBA ∽ △BCA, BF:AF = BC:AB.于是CD:AD = BC:AB, 即AB·CD = AD·BC.
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如图,三角形ABC中,E是AC上一点,且AE=AB,角EBC=1/2角BAC,以AB为直径的圆O交AC于点D,交EB于点F.（1）求证：BC与圆O相切； （2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长. 大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
（1）求证：BC与圆O相切； （2）若AB=8,sin角EBC=1/4,求AC的长. 大神,顺便帮帮忙,答了这道题吧,感激不尽
（1）证明：因为AB=AE所以角ABE=角AEB因为角ABE+角AEB+角BAC=180度所以角ABE+1/2角BAC=90度因为角EBC=1/2角BAC所以角ABE+角EBC=90度因为角ABE+角EBC=角ABC所以角ABC=90度因为AB是圆O的直径所以BC与圆O相切过点A作AM垂直BE于F,连接BD所以AM是三角形ABE的垂线因为AB=AE所以三角形ABE是等腰三角形所以AM是等腰三角形ABE的平分线,中垂线所以角BAM=角EAM=1/2角ABEBM=EM=1/2BE角AMB=90度所以三角形ABM是直角三角形所以sin角BAM=BM/AB因为角EBC=1/2角BAC所以角EBC=角BAM因为sin角EBC=1/4所以sin角BAM=1/4所以BM=2所以BE=4AE=8在三角形ABE中,由余弦定理得：cos角BAC=(AB^2+AE^2-BE^2)/2AB^AE所以cos角BAC=7/8因为AB是圆O的直径所以角ADB=90度所以三角形ADB是直角三角形所以cos角BAC=AD/AB所以AD=7因为角BAC=90度（已证）所以三角形ABC是直角三角形由勾股定理得：AC^2=AB^2+BC^2因为BC是圆O的切线（已证）所以BC^2=CD*AC因为CD=AC-AD所以AC(AC-7)=AC^2-64AC=64/7所以AC的长是64/7