代数式是什么里Hom(V,V)是什么意思

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-12-25 11:11 标签： 代数式是什么
线性映射的集合Hom(U,V)中Hom是什么意思_百度知道
线性映射的集合Hom(U,V)中Hom是什么意思
具体Hom是什么单词的缩写啊？
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Homomorphisms 同态~~
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不是HOM吗？
hom是啥？不是个单词啊
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出门在外也不愁代数符号V及倒写的V是什么意思?_百度知道
代数符号V及倒写的V是什么意思?
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因为和开方符号“√”挺相近的V可能是开方符号，比如8^3，意思是8的3次方，一般写作8右上角一个3，倒写的V是指数
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乘方V是字母：VV倒写表示。 如：5 的 3 次方 就用：5 ^ 3 表示
v应该表示的是析取。。倒写的v应该表示和取。
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出门在外也不愁抽象观点下的线性代数(3)：再谈线性映射 | 日志 | 果壳网 科技有意思
上一集引申了过火了点，这一集就认真点讲吧。本集内容限定为有限维空间。继续做广告：如果想及时收到更新的话，请善用关注功能，谢谢~~~线性映射的一些基本性质考虑两个K-线性空间E, F，与任意的线性映射f : E -& F。这些线性映射组成的集合记为Hom(E,F)。f(E)显然构成F的一个子空间，我们将这个子空间记作Im(f)，它的维度dim(Im(f))记作rg(f)，这就是线性映射f的秩。容易知道，所有使得f(x)=0的集合也构成E的一个子空间，我们将这个子空间记作Ker(f)，称为f的核。容易知道有dim(Ker(f))+rg(f)=dim(E)，只需选取Ker(f)中的一组基和补空间中的一组基即可。如果选取F=E，容易知道f就是E的自同态（不一定是同构！）。我们将所有的这些线性映射f组成的集合记作End(E)。如果仅考虑E的自同构的话，我们将所有E的自同构组成的集合记作GL(E)，这个GL的意思不是百合，是General Linear Group的意思。线性映射、基与矩阵我们考虑E的一组基B=(e_1, ... , e_n)和F的一组基C=(d_1, ... , d_m)。对于任意的线性映射f，由于它是线性的，所以我们只需要知道B中的每个向量的像，就可以确定整个映射f了。我们可以将线性映射f记成f = (v_1, ... , v_n)，其中v_i = f(e_i)。然后，一般教材定义f在B,C下的矩阵就是说将u_i写成C中向量的线性组合（这里有唯一性），然后将u_i用这个线性组合系数组成的列向量写出来，然后拼起来就是矩阵了。其实我们老师也是这样子教的，不过我们在这里走得深入点。我们可以根据E的基B来定义E*（还记得对偶空间么？）中的一组基B*。我们定义B*中的元素e_k*如下：如果E中的向量u对于B的线性分解是u = sum(u_i · e_i, i)的话，那么e_k*(u)=u_k。这显然是一个对偶空间中的元素，因为它是一个从E到K的线性映射。然后容易知道，B*是一个自由族，同时也不难证明Vect(B*)=E*（在有限维的情况下成立），证明就让读者自己做了。我们说B*是B的对偶基。这也诱导了一个E和E*的同构。我们引入一个新的运算-×- : F × E* -& Hom(E,F)。其中v -×- u*的意思是一个从E到F的线性映射，它将E中的元素w映射到(u*(w))v上。容易知道这的确是一个从E到F的线性映射。然后，我们可以证明，所有d_i -×- e_j*组成的集合是Hom(E,F)的一组基。证明的梗概如下：Hom(E,F)显然是一个K-线性空间，而所有d_i -×- e_j*组成的集合是自由的。对于任意一个线性映射f，我们都可以将其分解成d_i -×- e_j*的线性组合，某个d_i -×- e_j*的系数正是v_j的线性组合中d_i前面的系数。从而，我们可以将f分解成{d_i -×- e_j*}这组基的线性组合，我们把f的线性分解中d_i -×- e_j*前面的系数记作m_(i,j)的话，我们就得到了f在基B,C下的矩阵表达。这跟前面将列向量拼起来得到的表达是一样的。那么，为什么要特地说这种定义方法呢？第一，这更深入地表达了矩阵表示的根源，我们由此知道矩阵表示中的每一个数实际上代表着原来的线性映射在一组自然的基下的线性分解。第二，这使得Hom(E,F)的线性空间的结构更清晰了。第三，这顺便还透露了，其实F和E*的张量积得到的线性空间与Hom(E,F)是同构的。用这个方法也可以更清晰地明白迹的含义。对于End(E)，由于它跟E和E*的张量积空间同构，所以我们只需要定义从E × E*到K的线性映射，就可以定义从End(E)到K的线性映射。而其中最自然的一个映射就是(u, v*) -& v*(u)了。而这个映射所诱导的从End(E)到K的线性映射，正是迹：Tr(f)。根据这样的定义，容易推得Tr(f) = sum(m_(i,i),i)。而这样子定义最大的好处是，可以毫不费力地得到矩阵乘法在课本上的通常等价定义。矩阵乘法对于K-线性空间E, F, G，考虑线性映射f : E -& F和线性映射g : F -& G。E, F, G的基分别是{e_i}, {f_i}, {g_i}。我们要研究的是h = g o f，也就是x -& g(f(x))这个线性映射。我们记f和g的矩阵表达分别为M1 = (f_(i,j))和M2 = (g_(i,j))。我们定义矩阵乘法*，为使M1*M2恰好表示g o f的矩阵的运算*。我们先证明 o 这个运算对于+有分配律：g o (f1 + f2) = g o f1 + g o f2，(g1 + g2) o f = g1 o f + g2 o f。这是显然的。然后我们考虑(g_l -×- f_k*) o (f_i -×- e_j*)。如果k不等于i的话，(g_l -×- f_k*) o (f_i -×- e_j*)显然是0。而(g_l -×- f_k*) o (f_k -×- e_j*) = (g_l -×- e_j*)，这是容易验证的。于是乎，直接展开h = g o f，容易知道h在Hom(E,G)（同构于G和E*的张量积）关于我们选定的基下的线性分解中，(g_i -×- e_j*)前面的系数是h_(i,j) = sum(g_(i,k) · f_(k,j), k)了。这就是课本上矩阵乘法的公式来历。--------------------------------------------------------------------今天完全没有不是线性空间的东西乱入（好吧我认为张量积也是线性空间的内容），大概是好懂些了。如果觉得这样可以的话，请推荐一下吧~~~谢谢~~~
本文由授权（）发表，文章著作权为原作者所有。
明天就要考高等代数，现在很想去shi的某人飘过……
强烈建议果壳开通上下标功能！
引用图钉的回应：明天就要考高等代数，现在很想去shi的某人飘过……其实我很想知道，国内的高等代数大概是学些什么内容的呢？~~~
引用万毒狂魔的回应：强烈建议果壳开通上下标功能！我也想啊……不过标起来的话写的时候大概也会相当麻烦……要是直接Latex多好……
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HOM-LIE+SL(N,C)的普遍包络代数及其HOM-PBW型基和HOM-LIE+SL(N,C)的2-上同调群
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