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实验四1 第4章线性代数L
线性代数应用实验? 小行星轨道计算 ? 特征值问题及应用 ? 离散数据的多项式拟合 ? 人口预测问题1/18开普勒和行星运动定律约翰? 开普勒(1571年～1630)以数学的和谐性探索宇 宙,继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说。因 创立行星运动定律,被称为“天上的立法者”。 第一定律：行星在通过太阳的平
面内沿椭圆轨道 运行,太阳位于椭圆的一个焦点上。 第二定律：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常 数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫 过的面积相等。 第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同 行星轨道半长径的立方之比为一常数。2/18例4.2 小行星轨道问题 椭圆曲线方程 a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0以太阳为坐标原点,测得小行星坐标x y 4.5 5.5 5.5 5.5 6.5?a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5= C1 = C1 = C1 = C1 = C13/18Az = b ?z ? A ?1 b2 ? x1 ? 2 ? x2 2 ? x3 ? 2 ? x4 ? x2 ? 52 x1 y1 2 x2 y2 2 x3 y3 2 x 4 y4 2 x 5 y52 y1 2 y2 2 y3 2 y4 y5x1 x2 x3 x4 x5y1 ? ?a1 ? ? ? 1? ?? ? ? ? y2 ? ?a 2 ? ? ? 1? y3 ? ?a 3 ? ? ? ? 1? ?? ? ? ? y4 ? ?a4 ? ? ? 1? ?a ? ? ? 1? y5 ? ?? 5 ? ? ?MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法：A=[X.^2, 2*X.*Y, Y.^2, X, Y]? y1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? y2 ? X ? ? x 3 ? Y ? ? y3 ? ? ? ? ? ? y4 ? ? x4 ? ?y ? ?x ? ? 5? ? 5?4/18程序文件 mlab42.mX=[4.6;5.6;6.2756]; Y=[0.5;1.5;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; b=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\b; %A^(-1)*b或inv(A)*b a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on, plot(X,Y,'ro')5/18矩阵特征值问题A是n阶方阵,求非零向量 ? 和数 ? 使得A? ? ?? 称 ? 为特征向量,称 ? 为特征值.MATLAB解算特征值问题方法lamda=eig(A) ―― 计算A的特征值,这里lamda是A 的全部特征值构成的列向量。 [P,D]=eig(A) ――计算出A的全部特征值和对应的特 征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征 值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。6/18例. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的 人口15%迁往A镇. 假设某年A、B两镇人口各有120人 和80人.问两年后两镇人口数量分布如何? 设两镇总人口不变,人口流动只限于两镇之间.引入变量: x1(k) 表示 A 镇第 k 年人口数量; x2(k) 表示 B 镇第 k 年人口数量. 由第 k 年到第 k+1 年两镇人口数量变化规律如下( k ? 1) (k ) (k ) x1 ? 0.9 x1 ? 0.15x2x( k ? 1) 2? 0.1x(k ) 1? 0.85x(k ) 2( k ?1) (k ) ? ? ? ? x x 0 . 9 0 . 15 ? ? (k+1) = A X(k) 1 1 ? ? X ? ( k ?1) ? ? ? ? (k ) ? ? ? ? x2 ? ? ? 0.1 0.85? ? ? x2 ? ?7/18X(2)=AX(1)=A(AX(0))=A2X(0)X( 0)A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0 D=eig(A)X2 =120 80?120? ?? ? ?80 ?D=1.00 0.75若 ?1 ? 1 则 A?1 ? ?1?1 ? ?1?0.9 0.15? ?120? ?120? ?0.1 0.85? ?80 ? ? ?80 ? ? ?? ? ? ?X( 0)?120? ?? ? ?80 ?是特征值1的特征向量8/18根据数学模型研究问题:(1) 如何求出 n 年以后的人口分布？ (2) 当 n 趋于无穷大时, 人口分布如何？ (3) 与特征值问题有无联系?( n) ? x1 ? ?0.9 0.15? ?100? ? ( n) ? ? ? ? ?100? 0 . 1 0 . 85 ? ? ? ? ? x2 ? ? ? nA40 = q1 =0.0 0.0A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; [P,D]=eig(A); alpha=P(:,1); q1=alpha(1)/sum(alpha) q2=alpha(2)/sum(alpha)0.6000q2 =0.40009/18例4.5 出租汽车问题。 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上,设了A,B两营 业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150 辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10% 被顾客租用开到B城 ,B城营业部汽车的12%被开到了 A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车 数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽 车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数 为x2(n)。 则有( n?1) ( n) ? x1 ? ?0.9 0.12? ? x1 ? ? ( n?1) ? ? ? ? ( n) ? ? ? ? x2 ? ? ? 0.1 0.88? ? ? x2 ? ?10/18营业部汽车总数量：120+150=270 =147+123 矩阵?0.9 0.12? 特征值 ?1 ? 1 A? ? T ? 特征向量 ? ? [ 0 . 12 , 0 . 1 ] 1 ?0.1 0.88?150 100 50 0150 100 50 0X=[147;123]; A=[0.9,0.12;0.1,0.88]; Cars=X; for k=1:6 X=A*X; Cars=[Cars,X]; end figure(1),bar(Cars(1,:)) figure(2),bar(Cars(2,:))1234567123456711/18离散数据的多项式拟合方法x f(x) x1 y1 x2 y2 …… xm …… ym求 n 次多项式 ( n & m ) P(x) = a1xn + a2 xn-1 + …… + an x + an+1S (a1 ,?, an?1 ) ? ? [ y j ? P ( x j )]2 ? minj ?1 m使得MATLAB求解多项式拟合方法如下:P =polyfit(x，y，n)输出变量P是一个具有(n+1) 个数的一维数组，表示 拟合多项式P(x)的系数(多项式降幂排列 )。12/18汽车紧急刹车问题数据拟合实验 V 20 25 30 35 40 45 50 55T20 28 41 53 7260657093 118 149 182 221 266V表示刹车时汽车行驶速度(英里/小时),T表示刹车 后汽车滑行距离(英尺) v=[20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70]*1.609; T=[20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266]*.3048; P2=polyfit(v,T,2);T2=polyval(P2,v); R2=sum((T-T2).^2) plot(v,T,'*',v,T2) P3=polyfit(v,T,3);T3=polyval(P3,v); R3=sum((T-T3).^2)R2 = 1.9634 R3 = 0.408013/18V=[20,30,40,60,80,100,120]; format bank T=polyval(P3,V); bar(V,T) [V;T]T=100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 1203.52 车速5.51 8.60 18.81 35.63 60.50 94.89表 汽车行驶速度与刹车滑行距离20406080100120滑距 3.52 8.60 18.81 35.63 60.50 94.8914/18人口预测问题 据统计，上世纪六十年代世界人口数据如下年 62 65 68(亿) 29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.2 34.83分析：根据马尔萨斯人口理论 ,人口增长率与人口 数量N成正比，用微分方程描述为 dN ? aN ? ln N = a t + b ? N(t) = exp( a t + b ) dt (1)对数变换：y=log(N) ? (2)线性拟合： E=polyfit(T,y,1) (3)计算函数:PE=exp(polyval(E,T))15/18中国人口数据资料(单位:亿)T N
94 .24 11.72 11.8512.511.98 12.11线性函数拟合N(t) = a1 t + a2(1) 求 L=[ a1 , a2]12L= polyfit(T,N,1)(2) 求线性函数值11.5 199119921993199419951996(3) 求残差平方和LT=polyval(L,T)r2=sum((N-LT).^2)16/18中国人口数据的线性拟合实验T=[]; N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]; 15 figure(1),bar(T,N) 10 L=polyfit(T,N,1) 5 LT=polyval(L,T); figure(2),plot(T,N,'o',T,LT) 0 93
r2=sum((N-LT).^2) r2 = 4. L2009=polyval(L,2009) L2009 = 13.9505199617/18中国人口数据的指数函数拟合实验T=; N=[11.58, 11.72, 11.85, 11.98, 12.11, 12.24]; y=log(N);E=polyfit(T,y,1); PE=exp(polyval(E,T)); figure(1),plot(T,N,'o',T,PE) R2=sum((N-PE).^2) Te=1 PE1=exp(polyval(E,Te)) figure(2),bar(Te,PE1)12.5 12 11.5 9319941995199615105098 10PE1 = 11.1 12.7 13.218/18思考题与练习题1. 用线性函数与指数函数两种模型对中国人口数据 进行拟合的结果差异是否很大？哪一种模型的残差 平方和更小？ 2.用马尔萨斯模型预测中国人口达到20亿，将会在多 少年以后发生？以中国960万平方公里国土面积计算， 人均占多少平方米？ 3.设非零正数p&1,q&1. 证明矩阵q ? ?1 ? p A? ? ? p 1 ? q ? ?有1特征值,对应的特征向量? ? [q p]T19/18
实验四 线方程组的直接解法一、问题提出给出下列几...2 a ?l l 2.75 ? 0.5?? 0.5? l32 ? 32...所以可以在小机器上解高阶三对角线形的线性代数方程...线性代数、电路原理、自 动控制原理等课程后的一门...第2章 MATLAB 语言的基础知识 本章主要讲解 MATLAB...4 实验四 MATLAB 的图形绘 制 2、MATLAB 图形绘制...实验九 1 实验三、实验十 2 实验四、实验十二 3...? 实验三 3.3 实验任务 MATLAB 在线性代数中的...12 , r, l, ? 的 1.试用摆角的角加速度的三种...1,?, n, j ? i,?, n) 数值线性代数实验四 ...? (D ? ?L)?1[?U ? (1 ? ?)D], f? ...k ?1 k ?4 k ?4 算法终止准则: y ? y ? ...x=-1*x; } double fun(char a[]) { int i,j; int l=strlen...实验结果: 4、结果分析:在变矩阵为上三角形矩阵的过程中,要进行一系列的四...椭圆周长 L ? 4? c ? a a2 ? b2 a ? /2...掌握简 单的程序设计,运用线性代数解决实际问题,掌握...四、实验原理 ( 两周为一时段,用 X ( k ) ?...实验二(贪心算法) 实验三(分治算法) 实验四(动态规划...(3)变换为上三角矩阵 U 和一个下三角阵 L。 (...第二个程序:LU 分解有点困难,主要的原因是线性代数...x1 ) L ( x ? x n ?1 ) 数据结构:两个一维...实验四 实验四实验题目:Hermite插值多项式 相关知识:...用Gauss消元法求解线性代数方程组 相关知识:在做...4页 1财富值喜欢此文档的还喜欢 计算方法上机实验 ...问题提出: Gauss 消去法是我们在线性代数中已经熟悉...我们自然关心插值多项式的次数增加时, L n ( x )...C语言上机实验指导 74页 免费 线性代数试题及答案。...(书 P55) 四、实验步骤与过程: 实验步骤与过程: ...1、#include &stdio.h& void main( ) { int l...
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1.75亿学生的选择
求一道关于线性代数的问题~求一个用线性方程组解决的实际问题，与身边的生活越贴近越好，请详细给出解决过程。解决的问题至少要涉及4个以上未知数。谢谢诸位了
我会给高分的
& & & &无论是在日常生活中还是科学研究中，矩阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站时刻表、价目表、股市中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。& & & &计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计， 交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易 于用计算机进行计算。 线性方程组应用广泛。 主要有网络流模型， 人口迁移模型， 基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。& & & & 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型， 使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有 各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
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线性代数的应用
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线性代数在生活中的实际应用
制药工程学院 环境科学 苏雷
大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已。 ；；；初等的数学知识 学习线性代数数学建模 函数模型的建立及应用，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等。
线性代数中行列式 实质上是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年，日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间，行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后，行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在他的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年，法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用，这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今，由于计算机和计算软件的发展，在常见的高阶行列式计算中，行列式的数值意义虽然不大，但是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中，行列式的只是依然非常重要。
例如：有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮70克，磷8克，钾2克；乙种、
化肥每千克含氮64克，磷10克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮70克，磷5克，钾1.4克．若把此三种化肥混合，要求总重量23千克且含磷149克，钾30克，问三种化肥各需多少千克？ 解：
设甲、乙、丙三种化肥各需x1、x２、x３千克,依题意得方程组
??x2?x3?23,x1?
?8x1?10x2?5x3?149, ?2?0.6?1.4?30.
此方程组的系数行列式D??
D1??，D2??27，D3??81 55
由克莱姆法则，此方程组有唯一解：x?3;x2?5;x3?15. １即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、
阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站
时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表，它是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来，使我们不至于背一些表面看起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系，并通
过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算是非常重要的内容。
1??例：计算n????1?n
?n??11??nn
?? n??n?1?n?n?n
1?n?1??n??n?1?n??
?n??11??nn
???1??????n?1??
1nn?1n?1?n?
??1????n?1?
n(n?1)1??n
??n?n???n?
??n??1??n???1???n1??n?1???
在此例中,A2?A,所以A是幂等矩阵.
矩阵的初等变化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。向量组的线性相关，向量空间，向量组的秩，n维向量。这些都是线性代数的核心概念。线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升，最终，计算机并行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计，交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。线性方程组应用广泛。主要有网络流模型，人口迁移模型，基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等等。线性方程组的解法其中至关重要的
求解齐次线性方程组
?x1?2x2?x3?x4?0?
?2x1?x2?2x3?2x4?0. ?x?x?4x?3x?0
解：对系数矩阵A施行初等行变换：
21?r2?2r1?12
??A??21?2?2?~
?1?1?4?3?r?r??31
21?r3?r2?12
??0?3?6?4??~
?0?3?6?4?r?(?3)??2
5?3??x?2x?x4?0,3?14?r1?2r2?3012即得与原方程组同解的方程组?
??43~?x2?2x3?x4?0,?0000?3?????
5?x?2x?x4,3?1
3由此即得?(x3,x4可任意取值). 4
?x2??2x3?x4,
3?令x3?c1,x4?c2，把它写成通常的参数形式
x?2c?c2,2?1
?x??2c?4c,
?31??x4?c2,
???x1??2?3??????
x?24? ? ???.
?c?c?x?1?1?2?3??3????0??0??x?
方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题，这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用，在其他的许多科学领域中也有重要的应用。例如，在生物信息学中，人类基因的染色体图谱在进行DNA序列对比是就用到了矩阵的相似，这个概念。线性代数学习对数学建模十分必要。那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组是经常的事, 而并非解非线性方程组是经常的事呢? 这是因为, 大自然的许多现象恰好是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都是在不断地运动着的.所谓运动, 从数学上描述, 就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就是非常重要的. 以下为线性代数实际解决的应用问题：
基因间“距离”的表示
在ABO血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A1，A2，B，O区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率
一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记xki?
fki.由于对这四种群
2体的每一种有?fki?1，所以我们得到?xki?1.这意味着下列四个向量的每
个都是单位向量.记
?x11??x21??x31??x41?
?x12??x22??x32??x42?
?,a3???,a4???. a1???,a2??
?x13??x23??x33??x43??????????x14??x24??x34??x44?
在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.
现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们
a1和a2之间的夹角记为θ，那么由于| a1|=| a2|=1，再由内只公式，得cos??a1?a2
?,a2??. a1??
?0.4??????0.7?
cos??a1?a2?0.9187 得
??23.2°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.
表1.2基因间的“距离”
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