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浅谈求不定积分的方法及技巧
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不定积分在高等数学中占有非常重要的地位，不管是在教师资格考试还是中都有出题，另外不定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础，所以对于这方面的内容，大家一定要引起高度的重视。下面中公讲师陈向辉为广大考生总结了几种常用的方法与技巧，希望对备战在教师考试路上的你有所帮助。
以上就是对求解不定积分的常用方法进行的总结，大家可以根据具体的题目选择不同的方法，你将会收到意想不到的效果。
中公讲师陈向辉解析
注：本文章用于访问者个人学习、研究或欣赏，版权为&中公教师考试网&所有，未经本网授权不得转载或摘编。已经本网授权使用作品的，应在授权范围内使用，并注明&来源：中公教师考试网&。违反上述声明者，本网将追究其相关法律责任。
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相关文章阅读求arinx的不定积分
利用分部积分法
即 ∫udv=uv-∫vdu
∫arcsinx dx=x·arcsinx-∫xd（arcsinx）
=x·arcsinx-∫x/(1-x^2)^(1/2)dx
=x·arcsinx+(1/2)∫1/(1-x^2)^(1/2)d((1-x^2))
=x·arcsinx+(1-x^2)^(1/2)+C
用分部积分法即可:
=xlnx-∫xd(lnx)
=xlnx-∫1dx
=x(lnx-1)+C.
secx是正割，定义 斜边比邻边
也就是余弦的倒数。secx=1/cosx
cscx是余割，定义 斜边比对边
也就是正弦的倒数。cscx=1/sinx
解:令t=lnx.
原式=∫(1/lnx)d(lnx)
=∫(1/t)dt
∫x ln(x-1)dx=x^2/2* ln(x-1)-∫x^2/2ln(x-1)'dx
=x^2/2* ln(x-1)-∫x^2/2(x-1)dx
∫xcosx/sin^3x dx＝∫x*(csc)^2*cotxdx＝－∫x*cotxd(cotx)＝－1/2*∫xd((cotx)^2)＝-1/2*x...
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还有这个题目，用二重积分
第一题换元
第二题柱坐标可秒
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或求不定积分的方法 【范文十篇】
求不定积分的方法
范文一：几种求定积分的方法
要：微积分是高等数学的一个重要分支，它是数学的一个基础学科。特别对于高职院校来说，微积分是高职高等数学的主要内
容。而微积分中定积分的运算对于高职其他学科所涉及的数学运算和很多实际问题的解决有重要作用。
关键词：定积分；不定积分；牛顿—莱布尼兹公式；数形结合思想
一、用牛顿—莱布尼兹公式求定积分
牛顿-莱布尼兹定理：函数（fx）在闭区间［a，b］上连续，F（x）是（fx）的任一个原函数，则有
fx）dx=F（b）-F（a）。乙（
dx（x＞0）lnx所以把它积分积到d后面。解：该式中1的积分比较简单，
dx=乙lnxxd（ln-x）=乙udu=1u+C=1lnx+Clnx2
上式叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本公式。该式可叙述为：定积分的值等于其原函数在上、下限处的差。
为计算方便，上述公式常采用这样的格式
［F（x）］b。
fx）dx=F（x）│=乙（
（2）复合函数形式：对于简单的复合函数求积分，可以把d后面的尽量配成复合函数的自变量形式，然后把d后面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
由上式可知，想求定积分，先要求不定积分，然后再代值作差。那么不定积分的求法有哪些呢？总结起来大致有以下三种：
（一）直接积分法
直接积分法，就是根据积分公式和法则直接对被积函数进行积分；或者对被积函数进行简单整理，适当变形，将其化为可以用积分公式和法则来解决的形式，再进行积分。常用的整理方法有分式拆项法、三角恒等变换等。
1+2乙cos5xdx
解：该式应该把d后面的x配成5x，这样就和前面复合函数的自变量位置相同了。
cos5xdx（5x）=1乙cosudu=1sinu+C=1乙cos5xdx=1乙sin5x+C
2.第二类换元积分法
第二类换元积分法主要适用于被积函数中带根号的积分。去根号的方法有直接设根号为t，或用三角代换法。
解：该式不是基本积分表中的形式，应该先整理成积分表中的形式再积分。该式应用的整理方法是分式拆项法。
x+xdx=x+（1+x）dx=（11+乙2
+1dx然后再用基
解：该被积函数中带有根号，首先应该用换元法去掉根号，然后再用上面介绍过的直接积分法进行求解。
6令姨=t，则x=t（t＞0），dx=6t5dt，于是6
本积分表解决。
（二）换元积分法
有些函数无论怎么整理化简都无法变成基本积分表中的形式，因而无法用直接积分法来求解，那么可以用换元积分法来求解。而换元积分法又分为第一类换元积分法和第二类换元积分法。
1.第一类换元积分法
第一类换元积分法也叫凑微分，就是根据被积函数，利用微分形式不变性，凑成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积分。一般题型可分为乘积形式和复合函数形式两种。
（1）乘积形式：一般来说两个函数相乘的形式，求不定积分然后把d后时，可以先把其中比较简单的一个积分积到d后面，面的式子进行换元，就可以转化成直接积分法进行运算了。
dt=6（t6-t4+t2-1+12dt
整理到上面的形式后，再用直接积分法即可解决。
如果被积函数中含有根式姨或姨a＞0）时，可将被积式作如下变换：
（1）当含有姨时，可令x=asint（2）当含有姨时，可令x=atant（3）当含有姨时，可令x=asect以上三种变换叫做三角代换。
（三）分部积分法
方法二要比方法一简单一些，它省略了变量回代这一步，但由于引入了新的积分变量，必须相应地改变积分限。
三、巧用数形结合思想求定积分
定积分还可以用数形结合思想来求解。其实这根据的是定积分的几何意义。
分部积分法应用的题型是被积函数是两个不同类型的函数的乘积。另外，对于被积函数只是一个函数式，但不是基本积分表中的形式，也可以用分部积分法。
分部积分公式：udv=uv-的
乙把比较难求乙vdu。它的作用在于：
udv化为比较容易求的vdu来计算，可化难为易。分部积分的解题步骤：
1.找到式子中的u,把u留下，把另一个式子积分积到d后面
dx（a＞0）
分析：一般教材上都会推荐使用第二类换元积分法的三角代换来求解此题，但此类问题若使用数形结合来求解，则思路上会更为简捷清晰。下面我们来看一下这两种解法的比较。
方法一：传统解法（第二类换元积分法）
解：设x=asint，dx=acostdt。当x=0时，t=0；当x=a时，t=π。于
乙姨=乙姨acostdt=乙acostdt=a乙1+cos22
ππ（找到u的规律：“指三幂对反，谁在后面谁为u”）。
2.利用公式求解例5.求
解：被积函数是两个式子相乘，但是无论把哪个式子积分积到d后面，对于另一个式子的积分都没有帮助，所以用第一类换元积分法不能解此问题。
然后再用积分法则和第一类换元法来解决。
xd（sinx）=xsinx-
方法二：数形结合思想解题
解：由定积分的定义及几何意义可知，姨dx（a＞0）表
示由x轴，x=0，x=a和曲线y=姨所围成的曲边梯形的面积。而曲线y=姨就是圆x2+y2=a2位于x轴上方的部分。所以这四条曲线所围成的曲边梯形的面积正是以原点为圆心，以a为半径的圆的面积的1，即πa。因而
sinxdx=xsinx+cosx+C
掌握以上三种不定积分的求法，通过牛顿—莱布尼兹公式就可以求任意函数的定积分了。具体步骤是：先求出函数的不定积分，再代值作差。
二、定积分的换元积分法例6.求
dx（a＞0）=πa。
解：该题目可以用牛顿—莱布尼兹公式，先求出不定积分，再代值求定积分。但是这种方法的解题步骤不如直接用定积分的换元积分法来求解。下面我们比较一下这两种方法。
方法一：牛顿—莱布尼兹公式
=2tdt=2乙（1-1dt=2（t-ln1+t+c=21+dx姨（姨-1n1+姨）+c
这两种解法和思路相比较，显而易见，数形结合的方法简单容易得多。
定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除了上面介绍的几种，还有很多，值得我们不断去探索和钻研。我们把这些方法和技巧总结介绍给学生，不但可以扩充他们的知识面，而且可以激发他们对数学的学习兴趣，培养他们分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
［1］伍胜健.数学分析.北京大学数学科学学院.北京：北京大学出版社，2010.
［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.2版.北京：高等教
=2［姨-ln1+姨］0=4-2ln3
方法二：定积分的换元积分法
设姨=t，则x=t（t≥0）。且当x=0时，t=0；当x=4时，t=2。
=乙2tdt=2乙（1+1dt=2［t-ln1+t乙1+dx姨
育出版社，2006.
=2（2-ln3）（作者单位辽宁沈阳汽车工业学院）
求不定积分的几种方法
摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定意义。
关键词：不定积分 直接积分法 分部积分法 方程法
Abstract:There are many kinds of methods tosolve the indefinite integral. For different types of function using the most suitable method often can play a multiplier effect.In this paper, indefinite integral solutions are divided into several different types and the feasibility of the method of indefinite integral is discussed by integrating the practical examples,which is of certainsignificance to rapidly, correctly solving indefinite integral.
Key words: direc
equation method
不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。求不定积分的方法有很多，可用基本方法，如直接积分法求解、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法；也可用特殊解法，如方程法、方程组法等方法求解。下面将介绍几种常见的基本方法和特殊解法。
一、基本方法
1 直接积分法
直接积分法是求不定积分的基本方法，是基本途径，也是其他积分方法的基础，这一方法是直接利用积分法则和公式得出结果，或将被积函数做恒等变形，使之符合基本法与公式，然后再利用积分法则与公式做出结果。
例1 求不定积分
解：把该式分子相乘得到
分项后得到-+dx-dx
然后，利用基本公式求得结果为x-ln|x|+-2
注：在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数的代数和仍为任意常数，故只需在最后一个积分符号消失的同时，加上一个积分常数就可以了。
例2 求不定积分
解：因为此不定积分的被积函数是，由于分母是而=1，所以被积函数+secx+cscx从而= +=tanxcotx+c 22
注：此类题目的解题思路：尽量使分母简单，为此分子或分母乘以某个因子，把分母化为sinx（或cosx）的单项式，或将分母整个看成一项。一般通用方法为将“1”化为某个特定的等式。
例3 求不定积分,
解：在分子上加上cosx，再减去cosx得到
再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C
②在分子上减去1，再加上1得到==+=x+arctanx+c
注：此类题目的解题技巧是将被积函数加（减）项，把积分变成几个比较简单的积分进行计算。
从上面的几个典型例子来看，直接积分法往往需要对被积函数进行适当的恒等变形，或化简，或拆项，使被积函数变成可积函数代数和形式，此种方法求不定积分比较常见。
2 第一换元积分法（凑微分法）
求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题，解决这类问题的方法多种多样，其中有一种方法就是第一换元法，换元法是求不定积分的基本方法。第一类换元积分法主要适用于复合函数，将被积变量凑成复合函数的中间变量的形式，再利用直接积分法求出积分。
第一类换元积分法:若且u = (x)有连续的导数,则有:(x)dx=
第一类换元积分法的关键是：将被积表达式凑成两部分，(x)dx，从而形成一部分是u = (x)的函数,将另一部分(x)dx凑成微分du,这样就可以从积分公式中求出积分，再回代，就完成了积分。
例4 求不定积分
解：将dx凑为dx=d(1+2x),则 kk
=（凑微分）
==+C（令1+2x=u）
=+C（还原u=1+2x）
注：凑微分时经常对被积表达式的系数进行调整，但要注意它必须是等值变换。 例5 求不定积分?cos2xdx
解：设u=2x,du=2dx,dx=1du,则 2
111cos2xdxcosudxu==sinu+C=sin2x+C ??222
例6 求不定积分?1 x(1?2lnx)
11和(1?2lnx) 1?2lnx2解：因为被积函数可分解为
1?x(1?2lnx)??1(1?2lnx)2?1?2lnx
111d(1?2lnx)?ln?2lnx?c ?21?2lnx2
可见，凑微分法就是把被积式子中某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式[1]。
3 第二换元积分法
第二类换元积分法是通过适当选择置换式,使代换后的积分易于积出，它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。
第二类换元积分法：设函数x=?(t)单调可导，且?(t)?0，如果
?f[?(t)]??(t)dt??f[?(t)]??(t)dt?F[??1(x)]?C其中t=??1(x)是x=?(t)的反函数。
第二类换元积分法是恰当选取积分变量x作为新积分变量t的一个函数：
x=?(t)，并要?(t)具有反函数。也就是使原积分变为基本积分表中已有的形式或便于求解的积分，从而求出结果。根据被积函数表达式的不同，第二类换元法又分为去根号法和倒代换法。
3.1去根号法
（1）简单的根式变换
例如：求，可令，
（2）三角代换
，令xasint或xacost；；令xasect或xacsct；；令xatant或xacott
（3）双曲代换
xasht或xacht
例如：，可设xasht；?x
a?x22dx，可设xacht比用三角代换简便
（4）?R(sinx,cosx)dx，一般采用万能代换，设。当然，对具体的问题也要采用灵活的方法处理。
例7 求不定积分?x3
解：分析：因被积函数分母中含有根式，常用第二类换元积分法，但
因分子上含有变量x，因此也可用第一类换元积分法
解法1 应用第一类换元积分法
?1x2d(x2?1)1x2?11d(x2?1)2 ????d(1?x)??2222222?x?x?x?x
11x3?1112222??(x?1)d(x?1)??(x?1)2d(x2?1)?(x2?2)?x2?c 223
解法2 第二类换元积分法 令x2?1?t,x2?t?1,x?t?1,dx?dt 2?1
?1121(t?1)t?1111????dt??dt?t?t?c 23222?1t?xx3
1?(x2?2)?x2?c 3
解法3 用三角代换
令x?tant,dx?sec2tdt
?tan3tsec2tdt??tan3tsectdt??(sec2t?1)d(sect) ??sect?x2x311?sec3t?sect?c?(x2?2)?x2?c 33
解法4 用根式代换 令?x2?t,x2?t?1,x?t2?1,dx?tdt
?(t2?1)t2?11????(t2?1)dt?t3?t?c3?x2tt2?1x31?(x2?2)?x2?c 3
解法5 用双曲代换
令x?sht,dx?chtdt
?sh3t1chtdt??sh3tdt?ch3t?cht?c ??cht3?x2x3
11?cht(ch2t?3)?c?(x2?2)?x2?c 33
注：在使用换元积分法时，必须将结果中的新变量t换回原来的变量x，尤其在使用三角代换时，可利用直角三角形三边的关系换回原来的变量。
3.2倒代换法
对于某些被积函数，若分母中含有xn因子时，可作倒代法，即令：x?，从而可t
积出积分。
例8 求不定积分?a2?x2
（x?0） 4x
11，则dx??2dt，从而tt4解：因为被积函数中分母含有x，可设x??
?a2?x2=?x422a2?11t2(?1)dt??(a2t2?1)2tdt，由于x?0，故?1t2t(at?1)d(a2t2?1)a?x22 ???(at?1)tdt??2?2ax4(a?x)?c 3a2x32232
注：第二换元积分法的换元表达式中，新变量t 处于自变量的地位，而在第一换元积分法的换元表达式中，新变量则处于因变量的地位[2]。此外，在使用第二换元积分法时，为保证x??(t)的反函数确实存在及原来的积分有意义，通常要求x??(t)是单调函数、有连续导数且??(t)?0。
4 分部积分法
分部积分法是乘积的微分公式的逆运算，其运算公式是
这个公式说明，积分不易求，而积分较容易求出时，可考虑此公式，使用分部积分时，必须把被积表达式化为u与dv的乘积，u与dv的选择显然没有一般的准则可以遵循，但是在某些情况下，也可归纳出一些规律来，一般被积函数是两种类型函数乘积的积分时可考虑分部积分法。
下面将适用于分部积分法的积分进行一些归类：
（1） 取u=，dv=
（2） 取u=，dv=
（3） 取u=，dv=
（4） 取u=，dv=dx
（5） 取u=arcsin(ax+b)，dv=dx
（6） 取u=arcos(ax+b)，dv=dx
（7） 取u=arctan(ax+b)，dv=dx
（8） ，u，v可任取；，u，v可任取；
上式中为n多项式。k，a，b均为常数
另外，如果被积函数中只有一个因子（例如lnx，arcsinx，arccos等），而又不能用别的方法求出积分时，不放用分部积分法，此时可设被积函数为u,dv=dx 例9 求不定积分;②
解：设u=lnx，dv=dx，有dv=dx，v=x
②设u=lnx，dv=，有du=dx，v=-
注：计算熟练以后，就可以省略“设”的步骤，把所设的式子当作一个整体，在心里面想着它是一个变数，就可以使书写简化。
例10 求不定积分
分析：可以用两种方法凑微分，但用哪一种行得通？要试试看。
解；==2 虽然还不能得到结果，但次数降低了，越变越简单。再进行一次分部积分得到：=2+
例11 求不定积分①；②
解：①=-=-+
-+C 所以=--]arctanx
arctanxarctanxxC
注：有些积分，用一次分部积分不行的话，可进行两次、三次或更多次的分部积分。直到能用基本公式求出或是能转化成所求式子即可[3]。不过，在进行这种涉及繁复的代数计算时，一定要注意掌握一个原则，就是动手之前仔细观察，根据经验判断是否存在更为简单的方法，只有在确实找不到简单方法之后，再开始根据这种确定的计算程式来进行计算。
从以上解法可以看出求解积分时，不论采用什么思路、选用什么积分方法，最终还是归结应用基本积分公式求出结果。因此在学习积分内容时，首先要熟悉基本积分公式和常见的积分法，更为重要的是要根据已给积分的被积函数形式，善于应用相关变形方法转化为基本积分公式类型处理。所以我们在今后的学习中，要灵活运用上述方法。
二、特殊解法
不定积分的基本计算方法有直接积分发、换元积分法、分布积分法、部分积分法，只要能够准确 合理的运用以上方法，总可计算不定积分。但对部分不定积分的计算，使用基本方法计算量很大或很难计算出结果。如果利用方程或方程组，会使不定积分的计算简洁清晰。下面分别介绍这两种方法
1、 方程法
在不定积分计算中，会遇到部分积分很难直接计算出结果，或者利用分部积 分后还原为被积分项。如果得到系数不是1的所求积分项，这时将等式看作关于所求积分的方程，通过解此方程可间接得到其结果，这种方法称为方程法。下面举例说明这种方法的作用[4]。
例12 求不定积分I??x2x2?1dx
解法1：利用换元积分法，设x?tant，则
I??tan2t?sec3tdt??sec5t?sec3tdt
因为?sec5tdt??sec3td(tant)?sec3t?tant?3?sec5tdt?3?sec3tdt 13则有?sec5tdt?sec3t?tant??sec3tdt 44
11故I?sec3t?tant??sec3tdt 44
又因?sec3tdt??sectd(tant)?sect?tant??sec3tdt??sectdt 则有
1111sect?tant??sectdt?sect?tant?lnsect?tant?c 2222
111故I?sec3t?tant?sect?tant?lnsect?tant?c(t?arctanx) 4883?sectdt?
即I?11x(2x2?1)x2?1?ln(x?x2?1)?c 88
3d解法2：利用方程法计算，由于(x2?1)2?3xx2?1， dx
则由分部积分法，得
I??xd(x?1)2?x(x?1)??(x?1)2dx333
31112?x(x?1)2??x2x2?1dx??x2?1dx 333
31112?x(x?1)2?I?(xx2?1)?lnx?x2?1336
即得到关于I的方程
111I?x(x2?1)2?I?(xx2?1)?lnx?x2?1 336
11x(2x2?1)x2?1?ln(x?x2?1)?c 88
注：比较以上两种方法，前者用基本计算方法，计算量大，计算过程复杂。而后者是得到关于所求积分的方程，解此方程就很容易得到所求积分。特别对被积函数中含有指数函数与三角函数的乘积时，往往可以采用这样方法进行积分[5]。 解此方程，得：I?3例13 求不定积分I??exsinxdx
解：利用分部积分法，得
I??sinxd(ex)?(ex)sinx??cosxd(ex)
?exsinx?excosx??exsinxdx
?exsinx?excosx?I
解关于I的方程I?exsinx?excosx?I，得
I?1x(esinx?excosx)?c 2
2、 方程组法
为了计算不定积分I，可以先找到另一个不定积分J以及实数a,b,c,d,使aI?bJ和cI?dJ的计算比较容易，这样可先计算aI?bJ和cI?dJ，然后再用代数方法解关于I和J的二元一次方程组，从而得到I，这种方法称为方程组法。下面举例说明这种方法在不定积分计算中的作用。
例14 求不定积分I??sinxdx 2sinx?3cosx
解法1：本题是形如?R(sinx,cosx)dx的三角函数有理式的不定积分，x可采用基本方法计算。令tan()?t，则得到有理函数积分2
I??4tdt利用部分分式法，得 22(1?t)(3?4t?3t)
23t?263t?2dt?dt22??131?t133t?4t?3
3t?232dt?ln(1?t)?2arctant?c1 ?1?t22
3t?212dt?ln3t?4t?3?c2?3t2?4t?32I?
31?t2426则I?ln2?arctant?c(c?c1?c2) t?313
x23将tan()?t代入，得到I?x?ln2sinx?3cosx?c 21313
2sinx?3cosxdx解法2：利用方程组法计算，先考虑容易计算的积分?2sinx?3cosx
2cosx?3sinxcosxdx，令J??dx则
和2sinx?3cosx2sinx?3cosx
2sinx?3cosx?2sinx?3cosxdx?2I?3J?x?c1
2cosx?3sinx
（2） dx??3I?2J?ln2sinx?3cosx?c2?2sinx?3cosx
2I?3J?x?c1?由（1），（2）得到关于I和J的方程组?
?3I?2J?ln2sinx?3cosx?
2326x?ln2sinx?3cosx?c(c?c1?c2)
注：比较上述两种方法，前者使用基本方法，虽然每一位初学者都容易想到此方法，但是该方法过程复杂，计算量很大。而后者只借助两个非常简单的积分和一个二元一次方程组就很容易得到结果[6]。
dx例15 计算不定积分I?? 1?x3
分析：本题是有利函数积分，而且分母可以进行标准分解，可利用部
分分式法计算，这是一种基本计算方法，很容易想到，但是计算过程解此方程组，得I?
1?x?x21?x?x2
dx和?就很容易计算了，复杂。如果考虑到积分?1?x31?x3
，得到关于I和J的方程组。 可设J??31?x
，则有 解：令J??31?x
1?x?x21I?J???dx?ln?x?c1 3?1?x1?x
1?x?x21x222113I?J???dx??(x?)?ln?x?c2323??1?xx?x?11?x2333
?I?J?ln?x?c?得到方程组
? 22113I?J?(x?)?ln?x?c2?23?1
解此方程组，得
I?12111?xc?c(x?)?ln?c(c?12) 222?x3总之,在求不定积分时,以上几种方法都可以用,但针对不同的被积函数要选择适当的方法,有些不定积分需要综合运用换元积分法和分部积分法求解,有些不定积分则需要巧妙的应用方程和方程组法才能更简捷的求出结果。在我们遇到具体问题时要仔细分析，选择一个合适而简便的方法来解答，这就需要熟练地掌
[7]握这几种方法,才能便于解决求不定的积分的问题。
[1] 华东师范大学数学系．数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001．
[2] 朱会杰．浅析不定积分的解法[J].科技传播.2011(02)．
[3] 王晗宁．浅谈不定积分的解法[J].中国商报.2010(02)．
[4] 李晓瑾．探讨不定积分的特殊解法[J].晋东南师范专科学校学报．2006（04）
[5] 马文素．浅谈不定积分的积分方法[J].青海师专学报.2006(05)．
[6] 高振兴．几类函数不定积分的解题技巧[J].电大理工.2006(04) ．
[7] 张骞．计算不定积分的两种特殊方法[J].雁北师范学院学报.2004(05)．
范文三：求不定积分的方法
换元法（一）：设f(u)具有原函数F(u)，u=g(x)可导，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函数.
即有换元公式:
解答：这个积分在基本积分表中是查不到的，故我们要利用换元法。
设u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：
换元法（二）：设x=g(t)是单调的，可导的函数，并且g'(t)≠0，又设f[g(t)]g'(t)具有原函数φ(t)，
则φ[g(x)]是f(x)的原函数.(其中g(x)是x=g(t)的反函数）
即有换元公式:
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元.
设x=asint(-π/2<t<π/2)，那末
关于换元法的问题
不定积分的换元法是在复合函数求导法则的基础上得来的，我们应根据具体实例来选择所用的方法，求不定积分不象求导那样有规则可依，因此要想熟练的求出某函数的不定积分，只有作大量的练习。
分部积分法
这种方法是利用两个函数乘积的求导法则得来的。
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数.我们知道，两个函数乘积的求导公式为：
(uv)'=u'v+uv'，移项，得
uv'=(uv)'-u'v，对其两边求不定积分得：
这就是分部积分公式
例题：求 ， ，dx=acostdt,于
解答：这个积分用换元法不易得出结果，我们来利用分部积分法。
设u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部积分公式得：
关于分部积分法的问题
在使用分部积分法时，应恰当的选取u和dv，否则就会南辕北辙。选取u和dv一般要考虑两点：
(1)v要容易求得；
(2)容易积出。
范文四：科　 教 ｛ ｉ 　 Ｉ 文 化
求不 定积 分 的几种 方法　
刘 亚 婷　
（ 义 民族 师 范 学 院 ， 州 兴 义 ５ ２０ ） 兴 贵 ６４０　
摘 要： 不定积分的求法 ， 是学 习高等数学的基础 ， 也是 学好积 分学的基 本工具 。但 不定积分的计 算却是 高等数学的难点之一 ， 学好 不定积　 要 分　 珏须熟练掌握计算不定积分的三种方法（ ： 印 直接积分法 、 换元积分法 、 分部积分法 ）从 而为学好 高等数 学打下 坚实的基础 。 ， 　
关键 词 ： 直接 积 分 ： 元 积 分 ； 换 分部 积 分； 法　 方
１ 接 积 分 法　 直 是经过适 当的恒等 变形 ， 被积 蕊数化为　 将 基术积分公式中的几个被积函数的代数和。 　
解 ：－ － 被积 函数中含有　
ｔ－ 　　 ｕ ＝
， －６￣ｄ ＝６ ｄ ’ 　 Ｘ－ｔ ｘ －ｔ ｔ投ｌ ５
解 ：． 积 函 数 是 幂 函数 和 对 数 函 数 ， 可　 ‘被 ‘ 设 “＝ Ｉ（　 ３ ｄ ＝ ４ ｎ４ ），儿 　 　出 则 　 一 ｌ 　 　 ， 　
例１求不定积分Ｊ　 ｒ 　
：　 一 ６ 　
－ ４ ）一 　４ ）　 ， ， 　３ｒ 　 ｄ 　， 　３（ ：９ １ ｄ １ 　
＋ ～　 － 　 １ 　 ｎ 　　 赢 ） ｆ 一　 专 解 ：－ 不 定 积 分 的被 积 函 数 是　 ＿此 ． ， 　 ｃ －、当 被 积 函 数 中 含 有　 ： 　ｚ ～ ， 　 ￣９ 与　 －ｆ ２ 由于分母是 ｓ 　 Ｃ ｉ ， ｓ ２ ｉ Ｘ Ｏ； 而 ｉ 　＋ｃ ｓ ＝ｌ， ｎ ｌ 　 ｎ ｏ２ 　 　 被 积 函数 　 ！ 　 ： ｓｎ！ ｉ Ｊ＋ ｃ ｓ ｏ　 √ “ 时，可根据三焦函数的一些公式进行　 　一 　 ｓｎ ｃ 　 ｉ　 ｏｓ 　 Ｉ了　 ｎ 恰 当的　 角｛ 换 。 弋 　 一 一　 Ｉ 　 １ 　 － 　
。ｈｘ３ 　，　 　￣ －一 　 ）４ ） ！ （ 　』
【　 （ １ ９ｌ４ 一 ） ） （ｘ ３ ｎ 　 一Ｉｘ ２ｌ 　
ｓ一＝￣　 ｃｚ从而Ｊ ｉ ｓ２＋ｓｘ 　 ｌ ｔ ｚ ｃ ｃ ｘ
例５求不定积分． Ｉ ｒ 　 、 ｆ ＿出 √
在使朋分部积分时 ， Ｕ和　饷 选择要恰 当， 　
ｒ ｅ ｘ － ｃ ２ ＝ｔ 　一ｃｌ ｓ　 ａ ｃ ｄ　 ｓｘ ￣． ａ ￣ ｎ Ｏ　＋ｃ 　
２换 元 积 分法 　
解：设 积 函数是 、 ＝ 的形式 ， ‘ ． 　＿ 了 根据　 即 所选的 　要容易求得， ｖ 要比 ｆ 积　 Ｉｕ 　 ｄ “ 　 ｓｎ ｉ 　Ｈ 　 Ｏ 　 ＣＳ １ － 可令　 —ｓ ｔ 、＝　 ＝ ｉ， ， ｎ则 ｌ 　 ｆ 出。特别地 ， 　 在使用分 部积分的过程 中， 出现　 若
ｃｔ Ｌ 　 从 而 ｒ ｘ ｘ 　 ｔｉ ￣　 ａ 　ｌ ２ —ｒ ￣ ｄ ， 与原积分同类型的项时 ，ｈ利蹦解方程求 出原
　 　 『 积分。 　
　 ２１ ．第一类 换元积分法 （ 即凑微分法 ）将　 √ ， 被积 函数 分 解 为，ｆ（）和 　 （） ，从 而化 为 基　 　　】 　 本积 分 公 式 中有 的被 积 函 数 形式 ， 即 ： 　
ｆ ｏｔ ， ｃ２　ｊ ｓ ｆｃ 　ｓ ， １，ｔ １ Ｉ） 　 ｃ２　ｔ＋ ｓｄ 　 ｎ ＋ ａ ｏｔ 　 ２
义 由　 ＝ｓ ｔ ， ｉ 知 　 ｎ ａｃｉ ｓ２ ｃ ｔｎ　 ｒｓ 　，ｍ Ｆ ｏ ￣ｔ ｎ 　２ ｓ ，
例 ９ 求不定积分 ． ｃｓｘ ｘ 、 　 ｏ ２ｄ　
解 ： “： ，ｄ 设 　 “： Ｐ ｄ ， ｖ＝ Ｃ Ｓ ｘ ｘ ， 　　 ｄ Ｏ２ｄ 　
帕兰 ， 　 　 ｍ㈨
积 分　 Ｆｌ
曲 其 中ｓｎ ＝　， ｍ， √了 　 ｉｔ 嘣ｃ 二 『
， － ２ 　 故 ￣ ｄ ｌ ｘ： 　ｘ
ｖ 　ｓ ２ 则　 ＝ ｉ 　， ｎ
ｃｓ ｘｘ： ｏ２ ｄ 　
ｕ ＋ｒ ） 　
一 Ｉ ＂ ． 见， 　 Ｆ　 ＋ｆ可 凑
Ｈ－ （ ） 　 ｕ 　　
Ｊ（ｒｓｎ ａｃ ｉ　十　 Ｉ ～　 ） ｃ ＋ 　
义对Ｊ ｉ 越ｒ 令 “ 　 ｄ ＝ ， 　ｓ ２ 积分： ＝Ｐ ， Ｈ 　 　 ｎ
ｄｖ— ｓｎ２ ｄ ｉ ｘ ｘ，ｖ— ｌ 　
微 分 法 就 是 把 被 积 式 子 中某 一部 分 看 成 一 个 整　
２２２倒 代 换 法　 ．．
ｃｓ ， ｏ２ 从而Ｊ 　 　
２ ： ｘ 　 出
体 ，面把被积式子凑成关 于这个整体的积分公　 对 于 某 些 被 积 函 数 ， 分 母 中含 有　 因 子　 若 ｓｚ一 －　　 ｃ ＋ｌ ｎ 　 　　 ， ， 至此发现 　 时， 可作倒代换 ， 即令 ： 　 ， 而呵积出积分。 从 　 式。 　 ｒ 　 １ 　 例 ２求不定积分 Ｊ 　 ｉ 　 ， 　 所要计算的 ｆ ｏ２ ｋ出现在方程式中，于是　 　ｃ ｘ ｓａ 例６ 不 积 寿 ， 、 定 分ｒ 求 　 ＞　 ｏ ｌ 解 ：－ ｜被积函数可分解 为　 － 和　 ｆ— 　 。　 『。 解方程得： 　ｃｓ胁 ＝ 　 ｓ ２＋ ０２） ｆ 厂 ０２ 　Ｐ ２ｉ 　 ｃ 　 ＋　 　 （ｎ ｓ
小? ． － ， 　
础＋ｈ ２　
ｒ－ 　　 ｌ Ｉ
解： 被积函数中分 有　 可 ＝， ‘ ： 　 母含 设　 ； 　
１ ２ ｘ４ 　 ｎ １ ［ｆ 　 ｎ 　
则出　 从 －“　 ， 一 而厂≥ 　 √
Ｊ ＿’ 由于 ． 故 ｆ 二＝　 ＝ ｔ Ｉ 　 １ 　 　 ＞０， 　 ＿ 『 　
当 然 ，求 不 定 积分 的 方 法 是 灵 活 多样 的 ， 　 但关 键 是 观 察 被 积 函 数 的 结 构 ，并熟 练 掌 握 基　 本积 分 公 式 ， 结 合 以 上 几种 方 法 ， 再 轻松 地 解 答　 不定 积 分 的题 日。 　 参 考 文 献　 【１ ｌ同济 大学应 用数 学系． 高等数 学（ 第五版 ） ． ［ 　 ＭＩ 北 京 ： 京 高 等教 育 出 版社 ，０ ２ ７ ． 北 ２０ （） 　 １】 ２ 马杰
． 北京 大学数学科 学学院． 高等数 学全程　
辅 导 Ｉ ． 京 ： 京科 技 文献 出版 社 ，０ ４ Ｍ１ 北 北 ２０． 　
』一　 — 　、 ＿ 　 ２２第 二类换 庀积分 法它 足选择 新变 量 ｔ ． 　 ，ａ － ｔ （２Ｉ “ 　 　 ： ２ ｔ 　 的一个适　 的甬数　 ｆ ）来代换原来的积分变草　 即 ： Ｊ一妒 ， 使原积分变为基本积分表　 令 （）， 特 别地 ， 任使用 换元 积分 法时 ， 必须将 结　 中已钉的彤式或便 于求解的积分 ，从而求　｛ 结　 果中的新 变量 ｔ 回原来 的变量 ｘ尤 其在使用　 换 ， 果， 　 三角 代换 时 ，可 利 用直 角 ｉ角 彤 ＝边 的 关 系 换 　 ｉ
阻 　 ｆ∞ 坩 蝴 ｄ　 　 　＾
３分 部 积分 法　 作 者简 介 ： 亚婷 （９ ９ ， ， 州兴艾　 刘 １７ ～）女 贵 可 弛 ， 二 类 换 元 积 分 法 是 恰 当选 取 积 分　 第 ： 分 部 积 分 法 是 通 过 恰 　 地 选 择 Ｕ和 咖 ， 利　 人 ， 兴义民族师范学院助教， 主要 从事初 等数学　 变量 　作为新积分变量 ｆ 个函数： 《， 用分部 的一 　 ｔ ） 　 积分 公式 ｆ ｖ “ ｆ ｕ 结果的方 及 高等数学的教 育教 学工作　 　 ＝一 　 求出 ｕ ｄ ｖ ｄ 　 并 要　 ｆ求 具 有反 函 数 。 根 据 被 积 函 数 表 达 式　 法 　一般 地 ， 被 积 函 数 是 幂 函 数 和 正 （ ） 函　 ） 一 当 余 弦
两　 　 厢兰
‘ 原 的 量。 ∞ 　问 来 变 ｘ 　
的不同 ，第 一类换 元法义分为去根　 法和倒代　 换法。 　 ２２１去根 号法　 ．． ａ　 被积 甬数 ｜仪钉 一 种简单根式 Ｈ ， 、 ｆ Ｊ 一 ＇　 ｆ 可令 ｔ 等于该根式进 行代换　 例 ３ 求 小定 积分 ｆ ｓ √ 　 、 　 ｉ“ ｎ
数或 幂函数和指数 函数的乘积 时，可设幂甬数　 为 ｕ其余 部分为　 ；当被积函数是幂 甬数和对　 数函数或幂函数和反三角函数的乘积时 ， 可没对数　 函数函数或反 ： 三角函数为 ｕ 其余部分为　 ， 有　 但 的放积 函数需要 多次使 朋分部积 分公式 才能积　 出。 　
解：－ ． ＿ 被积函数只含有一种根　 ． 可令　 ‘ ．
例 ７求不定积分 ｆ ａ出　 、 　
， 　 Ｘ 　 ｄ 一２ ｔ ＿ 一√ ， ＝ｔ而 ｘ ｔ， Ｊ ｄ 故　
Ｊ 　 ｔ 　础一　　 Ｊ
解：＿ Ｔ ＿ 被积甬数是幂函数和指数函数。可 　 ｃ Ｊ　㈨设“　， ： 　 ， ／ 　 　 　 ： ＝： ｄ 从而 　ｎ 　 　 ｄ ｘ ＝ 　
ｈ 、 哩 中有 　 数 　　
例４求不定积分 ｒ 、 　
其 一　 １、 最 小 公 倍 数 。 ｔｋ为 １ ｎ的 ｔ １ 　
墨时 １ｎ　 ， 　。 　
胁＝ ： Ｊ ＝ 　 　 ‘ 　 　
～ 　 ， 　 ， 　
ｌ （　Ｊ　）一　 　 Ｉ 一 　 ：ｎ 一 　 ｎ Ｉ ａ
例 ８ 求　 定积分 ｒ Ｓ４ ） 　 、 ｘｇｘ ｄ ，　３ｘ
Ｊ√ （ 　＋√ 　 　）
２ —　 ０９
范文五：定积分的运算是定积分的重要内容，解决这类问题不仅要掌握定积分的几何意义及微积分基本定理，而且还应掌握相应的方法技巧，从而达到事半功倍的效果。 　　本文举三例说说解决这类问题的常见方法技巧。 　　一、 等价转化法 　　例1.求定积分 dx的值 　　分析：直接求，很很困难，观察被积函数，可将其拆分，则易于求解。 　　解： dx=（-）dx = [1nx|21-1n（x+2）|21] 　　= （-1n2+1n3）= 1n 　　二、 数形结合法 　　例2.求定积分 （-x）dx的值 　　分析：由定积分的几何意义知（-x）dx 表示的是右图中阴影影的面。 　　解：（-x）dx 表示圆（x-1）2 + y2 =1 　　与直线方程y=x所围成的图形（如图示）的面积， 　　因此 = （-x）dx =×12-×1×1=- 　　三、 运用性质法 　　已知函数f（x） =sin5 x+1，根据函数的性质，定积分的性质和几何意义，探求f（x）dx 的值。 　　分析：观察题设特点，可利用性质：若函数f（x）是奇函数，即 f（-x）=-f（x） ，则用 f（x）dx =0求解 　　解：由于y=sin5x 为奇函数，所以 sin5xdx=0 　　于是f（x）dx =sin5xdx+dx 　　=0+x|- = π 　　故 f（x）dx = π
范文六：求定积分的四种方法
浙江 曾安雄
定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．
一、定义法
例1 用定义法求?2
0x3dx的值.
分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．
解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n等分，则△x＝
?2i?（2）近似代替：△Si?f(?i)?x????x
n?2i??2i??2?（3）求和：??Si?????x???????. ?n?i?1i?1?n?i?1?n?nn3332． n
2??（4）取极限：S=lim??n??n???3332??4?n???2?????????? n??n??n???
?2???n?lim[?n(n?1)]
＝lim4??n??n44n??n?
4(n2?2n?1)
＝?lim＝4． n??n2
0x3dx=4．.
评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
二、微积分基本定理法
例2 求定积分?2
1(x2?2x?1)dx的值.
分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．
第 1 页 共 3 页
解：函数y＝x?2x?1的一个原函数是y＝?x2?x．
1x3?8??1?192＝??4?2????1?1?＝． (x?2x?1)dx＝(?x2?x)|133?3??3?2
评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函
三、几何意义法
例3 求定积分?1
分析：利用定积分的意义是指曲边梯形
面积，只要作出图形就可求出．
?122dx表示圆x＋y＝1在第一、
二象限的上半圆的面积．
所以?2，又在x轴上方． ?1
?1＝)dx?． 2
评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．
四、性质法
例4 求下列定积分：
⑴??tanxdx；⑵??4?4??x2sinxdx． 2x?1
分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
x2sinx解：由被积函数tanx及2是奇函数
，所以在对称区间的积分x?1
值均为零．
第 2 页 共 3 页
?所以⑴ ??tanxdx＝0； 4
⑵????x2sinxdx＝0． x2?1
评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当f(x)为偶函数时，?f(x)dx＝2?f(x)dx；②当f(x)为奇函数时，?f(x)dx＝?a0?aaaa0．
第 3 页 共 3 页
范文七：●　
解 题 技 巧 与 方 法　
国 谚 ＊ 　
求定积分的一种特　方法　
◎吴 敏 演　 孟凤 娟　 （ 京 师 范 大 学泰 州 学 院数 学 系 ２ ５ ０ ） 南 　 ２ ３０　
【 摘要 】 在定 积分 的计算中， 如果适 当利用被积函数 的奇　
偶 性 和 积分 区 间 的对 称 性 ， 会 大 大 减 小 计 算 量． 过 下 面 将 通 　 的 一些例 题 来 说 明利 用 这 种特 殊 方 法 求解 定 积 分 的有 效 性． 　
【 关键词 】 积分 ； 定 奇偶性 ； 对称 性 　
求 定 积分 有 很 多 种 方 法 ， 般 有 牛 顿— — 莱 布 尼 茨 公　 一
２ ．函 数 是 奇 函 数 或偶 函数 ， 是 区 间 不对 称　 但 当 函 数 是 奇 函 数 或偶 函数 ， 区 间 不 对 称 时 ， 以通 过　 但 可
变 量 代 换 的 方 法 将 区 间 变 换 成 对 称 区 间 ； 可 以拆 分 区 间 ， 也 　
对 称 的 区 间 则利 用奇 偶 函 数 的性 质 求 定 积 分 ． 　
式 、 部 积 分 、 量 代 换 这 三 种 方 法 ， 三 种 方 法 是 求 一 些　 分 变 这 有 技 巧 的 定 积 分 的基 础 ， 本 文 就 一 些 特 殊 的 定 积 分 进 行　 而 求 解 （ 分 区 间 对 称 ， 积 函数 是 奇 偶 函 数 ） 积 被 ． 　
例 ４ 求 ， Ｊ［　一２　＋ ｉ（ ２ ］ ｘ的值． ＝ （ ） ｓ 　一 ） ｄ ｎ 　
分 析 观 察 可 知 积 分 区 间 不 对 称 ， 积 函 数 既 不 是 奇　 被 函 数 也 不 是偶 函 数 ， 以此 题 可 以 将 被 积 函 数 展 开 然 后 再　 所
预 备 定 理　
当 被 积 函数 具 有 奇 偶 性 且 积 分 区 间 关 于 原 点 对 称 时 ， 　 有 下 面 结论 ： 　 定 理 １ 设积分 区间关于原点 对 称 ， 为 ［ ａ ｎ （ ０　 记 一 ，］。＞ ）
求 定 积 分 ， 是 这 种 求 法 比 较 繁 琐． 观 察 可 以 发 现 ， 令　 但 由 若 ｔ 　 一 ， 积 分 就 转 化 成 了 区间 对 称 的 定 积 分 ， 可 以用 定　 ＝ ２原 也
理 ３求 解 ． 　
在［ ｏ。上可积， 一， ］ 则当被积函 是奇函数时， Ｊ，ｘａ ＝ ； 数， 有 （）ｘ ０ 　
解 法 １ ， Ｊ ［　一 ） ｉ（ ＝ （ ２　＋ｓ 　一２ ］ｘ ｎ ） ｄ． 　
令 ￡ 　 一２， ＝ 　＝０时　 ＝ 一２； ＝４时 ｔ 　 ：２，ｘ＝ｄ． ｄ ｔ 　
而 ， 偶函 当 是 数时， Ｊ 有　
下 面结 论 ： 　
） ：　 ， ） 　 　 ２ （　． Ｉ　
当 被积 函数 不 具 有 奇 偶 性 但 积 分 区 间 是 对 称 区 间 时有　
贝Ｊ （一）＋ｉ　 ２］ ＝Ｉ ｆ ｓｔｔ ０　 　 ２ ｓ（一） ｘ Ｊ 　 ｉ）． 』［ 　 ｎ ｏ ｄ 一（ ＋ｎ ｄ 一 　 ２ 　 　
’　 ｉｔ 奇 函数 ，． ＝ ． ｔ＋ｓ 是 ｎ ．， ０ 。 　
定理２ 当被积函 数
没有奇偶性时， （） ＝Ｊ【 ）　 Ｊ， 　 　 　 ＋
）　 ， 者 分 析 被 积 函数 ， 其 进 行 变 形 、 项 ， 为 奇　 ］ 或 对 拆 化 函 数或 偶 函数 ． 　 当 被积 函数 不 具 有 奇 偶 性 且 积 分 区 间 也 不 是 对 称 区 间　 时 有下 面结 论 ： 　
解 法 ２ ， ｆ［　一 ） ８ （ ＝ （ ２　＋ ｉ 　一２ ］ｘ ｎ ） ｄ　
Ｊ［ 一（ ２ ］ ｓ ［ 一（ ２ ］ｘ ４ 　一 ）　＋ ｉ ４ 　一 ） ｄ　 ｎ
Ｉ ［２ 　） ｓ （ 一 ］ｘ （ 一 　＋ ｉ ２ 　）ｄ　 ｎ
定 理 ３ 设 函 数 ＿在 区 间 ［ ，］ 可积 ， 有　 厂 。ｂ上 则
ｆ［ ２　＋ ｉ（ ２ ｄ］ （ 　一 ） ｓ 　一 ）ｘ ：一 ， ｎ ， 　
Ｊ （ ｄ ＝ｊ （ ＋ — ｄ． ， ｘ ，Ⅱ ｂ 　）ｘ 　） 　
二 、 接 利 用 奇 偶 性 来 求 定 积 分　 直
，＝０． 　
ｔ５ 求，　 ￣ ／ Ｊ ＝
例１计 ： 算ｆ 　
ｓ　 ． ｉｄ ｎｘ ２　
观察 可 知 该 题 的 积 分 区 间 不 对 称 ， 函 数 是 奇　 但
‘ 被 积 函数 是 关 于 原 点 对 称 的 奇 函 数 ， ． ‘ 　
函 数 ， 以可 以拆 分 区间 使 该 定 积 分 比较 容 易 计 算． 所 　
解 ，： 　
ｆ ｃ　　 ２ｄ＝ ． 　—ｓ ｓ 　ｘ ０ ｏ ｘｎ ２ｉ 　
Ｊ号 １＋ 　 一 　‘
例２计 厂 算：　
分析 用性质． 　
ｄ ｘ ． 　
被 积 函 数 是 关 于 原 点 的 偶 函 数 ， 可 以 直 接 利　 故
＋　 笔 ÷ 　
ｄ ２　 ｘ　 ＝ｆ ０
ｄ　 ｘ ＝
＝， 　＋， ， ２　
ｄ。） 一＝ｎｏ）　 ＿ （ｓ＝　ｃ　ｓ Ｉ丌 ｃ 　 ａａｃ ｏ 　 　 ｘ
÷　ｚ＝［２ 一 ａ如 　ａ ÷ｘｘ 　ｔ 　 ｄｎ ｔ　 ｎ ｃ　 ａＩ ２ ｔ ｎ　 ｘ
三、 间接 利 用 奇 偶 性 来 求 定 积 分　
１ ．区 间 对称 ， 数 不 是 奇 函 数 或 偶 函 数　 函
÷ ａ 　ｔ　 ｎ ２
例 ３ 计算 ：ｆ ３ （ ＋ｅ） ｘ 　ＸＩ １ 　 ｄ． ｎ 　
分 析 本 题 可 以 利 用 对 数 函 数 的性 质 进 行 变 形 将 对 数　 部 分 变 成 奇 函 数 ， 后 求 解 ； 可 以 利 用 定 理 ２进 行 求 解． 然 也 　 下 面 就 用 后 者进 行 求 解 ． 　
＝　ｔ　， 寻 ａ 　 ｎ ｚ
故 ， 　＋ ２ 　 ＿， ， ：
解　 Ｉ 　
Ｉ（ ｅ） ｘ ｎ １＋ 　 ｄ　
【 考文献】 参 　
［］ １ 同济 大 学 应 用 数 学 系． 等 数 学 （ 五 版 ） Ｍ ］ 北　 高 第 ［ ． 京 ： 等 教 育 出版 社 ，０ ２ 高 ２０ ． 　
ｆ ［３ （ ｅ）一 Ｉ（ ＋ｅ　 ］ｘ ＸＩ １＋ 　 　 ｎ １ 一） ｄ　 ｎ
［ ］ 东 师 范 大 学 数 学 系 ． 学 分 析 （ 三 版 ） Ｍ ］ 北　 ２华 数 第 ［ ． 京 ： 等 教 育 出版 社 ，０ １ ２０ 高 ２０ （ ０ ７重 印 ） ． 　
数 学 学 习 与研 究 ２ １． １ ０ ０ １　
范文八：定积分的四种求法
定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．
一、定义法
例1 用定义法求?2
0x3dx的值.
分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．
解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n等分，则△x＝2． n
?2i?（2）近似代替：△Si?f(?i)?x????x
n?2i??2i??2?（3）求和：??Si?????x???????. ?n?i?1i?1?n?i?1?n?nn333
2??（4）取极限：S=lim??n??n???3332??4?n???2?????????? n??n??n???
?2???n?lim[?n(n?1)]
＝lim4??n??n44n??n?
4(n2?2n?1)
＝?lim＝4． 2n??n
0x3dx=4．.
评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．
二、微积分基本定理法
例2 求定积分?2
1(x2?2x?1)dx的值.
分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．
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解：函数y＝x?2x?1的一个原函数是y＝32
1x3?8??1?192＝??4?2????1?1?＝． (x?2x?1)dx＝(?x2?x)|133?3??3?2
评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函
三、几何意义法
例3 求定积分?1
分析：利用定积分的意义是指曲边梯形
面积，只要作出图形就可求出．
?122dx表示圆x＋y＝1在第一、
二象限的上半圆的面积．
所以?2，又在x轴上方． ?1
?1＝)dx?． 2
评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．
四、性质法
例4 求下列定积分：
⑴??tanxdx；⑵??4?4??x2sinxdx． 2x?1
分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．
x2sinx解：由被积函数tanx及2是奇函数
，所以在对称区间的积分x?1
值均为零．
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?所以⑴ ??tanxdx＝0； 4
⑵????x2sinxdx＝0． x2?1
评注：一般地，若f(x)在[－a，a]上连续，则有性质：①当f(x)为偶函数时，?f(x)dx＝2?f(x)dx；②当f(x)为奇函数时，?f(x)dx＝?a0?aaaa
通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
参考文献：
[1]《数学分析》上册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.07
[2]《数学分析》下册（第二版）复旦大学数学系编.高等教育出版社，1983.11
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范文九：习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [? (t )]? ′(t ) dt
(代换: x = ? (t ))
(注意常见的换元积分类型)
3. 分部积分法
∫ u v′ dx = u v - ∫ u′v dx
使用原则: 1) 由 v′ 易求出 2)
∫ u′ v dx 比 ∫ u v′ dx 好求 .
排前者取为 u , 排后者取为 v′ .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 计算格式: 列表计算
多次分部积分的 规 律
( n +1) (n) (n) ′ u v d x = u v - u v dx ∫ ∫
- u′v ( n -2) ( n) ( n -1) ( n-2 ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ - u v dx = uv -u v +u v ∫ =L = u v ( n ) - u ′v ( n -1) + u ′′v ( n - 2) - L + (-1) n +1 ∫ u ( n +1) v dx 快速计算表格: u u(k ) u′ u′′ L u (n) u ( n+1) = uv
(-1) n+1 ∫
+ ∫ u ′′v ( n -1) dx
v ( n+1-k ) v ( n+1) v ( n ) v ( n-1) L v′ v 特别: 当 u 为 n 次多项式时, u ( n+1) = 0 , 计算大为简便 .
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2 3 dx . 例1. 求 ∫ x x 9 +4 2 3 解: 原式 = ∫ dx = ∫ 2x 2x 3 +2 2) x d ( 1 3 = 2∫ ln 3 1 + ( 2 ) 2 x 3 =
x 2 arctan( 3 )
x 2 ( 3) 2x 2 1 + (3)
da x = a x ln a dx dx
ln 2 - ln 3
例2. 求 解:
ln( x + 1 + x 2 ) + 5 1 + x2
原式 = ∫ [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] d [ ln( x + 1 + x 2 ) + 5 ]
3 2 2 = [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] 2 + C 3
d [ ln( x + 1 + x ) + 5 ] =
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x + 1 + x2
x + sin x dx . 例3. 求 ∫ 1 + cos x
x x x + 2 sin cos 2 2 dx 原式 = ∫ 2 x 2 cos 2 x x = ∫ x d tan + ∫ tan dx 2 2 x = x tan + C 2
1 dx . 例4. 设 y ( x - y ) = x , 求积分 ∫ x - 3y 解: y ( x - y ) 2 = x 令 x - y = t, 即 y = x -t
t3 x= 2 , t -1
t t 2 (t 2 - 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t -1 (t - 1)
t t 2 (t 2 - 3) = d t ∴ 原式 = ∫ 3 ? 2 d t ∫ 2 t -1 t - 3 t (t - 1) 2 2 2 t -1 t -1
2 1 ln ( x - y ) 2 - 1 + C =1 ln t - 1 + C = 2 2
arctan e x dx . 例5. 求 ∫ x e
解: 原式 = - ∫ arctan e x de - x
e = -e arctan e + ∫ e dx 2x 1+ e
2x 2x ( 1 + e ) - e = -e - x arctan e x + ∫ dx 2x 1+ e
2x arctan e + x - 1 ln ( 1 + e )+C 2
3 2x ( x - x + 2 ) e dx . 例6. 求 ∫
解: 取 u = x 3 - x + 2 ,
( 4) = e 2 x
u (k ) x3 - x + 2
2x 1 ( x3 2
∴ 原式 = e [
2 1 ? 6x 1 - x + 2) - 1 ( 3 x - 1 ) + - 16 ? 6] + C 4 8
1 e 2 x (4 x 3 8
- 6 x + 2 x + 7) + C
? ek x ? ? ? 说明: 此法特别适用于 Pn ( x)? sin ax ? dx ∫ 如下类型的积分: ?cos ax ? ? ?
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n I = sec x dx , 证明递推公式: 例7. 设 n ∫ 1 n-2 n-2 In = sec x ? tan x + I n-2 n -1 n -1
n-2 2 证: I n = ∫ sec x ? sec x dx
= sec n -2 x ? tan x - (n - 2) ∫ sec n-3 x ? sec x tan x ? tan x dx = sec
x ? tan x - (n - 2) ∫ sec n - 2 x ? (sec 2 x - 1) dx
= sec n- 2 x ? tan x - (n - 2) I n + (n - 2) I n-2 1 n-2 n -2 ∴ In = sec x ? tan x + I n-2 n -1 n -1
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例8. 求 ∫ x - 1 dx . 解: 设 F ′( x) = x - 1 =
x ≥1 x <1
x ≥1 x <1
则 F ( x) =
因 F ( x) 连续 , 利用 F (1 ) = F (1 ) = F (1) , 得
1 x2 - x + C , 1 2 2 1 x - 2 x + C2 , + - 1 +C 2 2
x - 1 dx1 = F ( x) = 1 - 1 + C1 = 1- -1 (xx + 2 C2 2 1 - +1x ) -+ C +,C , x < 1 2 22 2
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2 2 1 11 ( x -- 1)x + C + , C, 22 2
例9. 设 F ( x) 为 f ( x ) 的原函数, 且 F (0) = 1 , 当 x ≥ 0 时
有 f ( x) F ( x ) = sin 2 2 x , F ( x) ≥ 0 , 求 f ( x) .
解: 由题设 F ′( x) = f ( x ) , 则 F ( x ) F ′( x) = sin 2 2 x , 故 即
1 - cos 4 x 2 ′ sin 2 x d x =∫ dx ∫ F ( x) F ( x)d x = ∫ 2 F 2 ( x) = x - 1 sin 4 x + C 4
Q F (0) = 1 , ∴ C = F 2 (0) = 1, 又 F ( x) ≥ 0 , 因此
F ( x) = x - 1 sin 4 x + 1 4
f ( x) = F ′( x) =
sin 2 2 x x-1 sin 4 x + 1 4
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法 指数函数有理式
万能代换 根式代换
三角函数有理式
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
1 ∫ ln x dx ,
sin x ∫ x dx , dx ∫ 1+ x4 ,
1 + x 3 dx ,
1 - k 2 sin 2 x dx (0 < k < 1) ,
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例10. 求 ∫
dx 1+ e + e + e
x 2 x 3 x 6
解: 令 t = e , 则 x = 6 ln t , dx = 6 dt t
dt dt = 6∫ 原式 = 6 ∫ 3 2 2 (1 + t + t + t ) t (t + 1)(t + 1) t 6 3 3t + 3 ? - 2 = ∫? - ? t t +1 t +1 ? dt ? ? 3 = 6 ln t - 3 ln t + 1 - ln(t 2 + 1) - 3 arctan t + C 2
x x - 3 ln(e 6
x 3 ln(e 3
x + 1) - 3 arctan e
3 cos x - sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
解: 令 3 cos x - sin x = A(cos x + sin x) + B (cos x + sin x )′ = ( A + B ) cos x + ( A - B ) sin x 令 a cos x + b sin x A+ B = 3 =1 2 x)′ 故 比较同类项系数 = A(c cos x + d sin x) +, B (c A cos x,+B d= sin A - B = -1 d(cos x + sin x) ∴ 原式 = ∫ dx + 2 ∫ cos x + sin x
= x + ln cos x + sin x + C a cos x + b sin x dx 的积分. 说明: 此技巧适用于形为 ∫ c cos x + d sin x
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sin x . 求 I1 = ∫ 例12 12. dx 及 a cos x + b sin x cos x I2 = ∫ dx . a cos x + b sin x 解：因为 a cos x + b sin x a I 2 + b I1 = ∫ d x = x + C1 a cos x + b sin x b I 2 - a I1 = ∫ b cos x - a sin x d x d(a cos x + b sin x) a cos x + b sin x = ln a cos x + b sin x + C2 1 I1 = 2 2 (bx - a ln a cos x + b sin x ) + C a +b 1 I 2 = 2 2 ( ax + b ln a cos x + b sin x ) + C a +b
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1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u - 1) A=1
1 ( 2+u )(u -1)
C = -1 2 1 1 1 = ln u + 2 + ln u - 1 - ln u + 1 + C 6 2 3 1 1 1 = ln(cos x + 2) + ln(1 - cos x) - ln(cos x + 1) + C 3 6 2
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dx . 求I = ∫ 例14 14. (a - b ≠ kπ ) sin( x + a ) ? sin( x + b) 1 sin[( x + a) - ( x + b)] d x 解: I = sin( a - b) ∫ sin( x + a ) ? sin( x + b) 1 cos( x + b)- cos( x + a)sin( x + b) sin( x + a ) = dx ∫ sin( a - b) sin( x + a ) ? sin( x + b) 1 [ ∫ cos( x + b) d x - ∫ cos( x + a) d x ] = sin( a - b) sin( x + b) sin( x + a ) 1 = [ ln sin( x + b) - ln sin( x + a) ] + C sin( a - b) 1 sin( x + b) = ln +C sin( a - b) sin( x + a )
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例15. 求 I = ∫
( x - a ) n +1 ( x - b) n -1
( n 为自然数)
dx 解: I = ∫ ( x - a ) ( x - b) n
x-a 令 t= x-b
n 1 a -b dt = n dx 2 t t ( x - b) n dx dt = ( a - b) t ( x - a )( x - b)
x-a a -b n - 1 则t = , n t dt = dx 2 x-b ( x - b)
n n 1 n dt = = + C = ∫ b-a a - b t2 b - a t
x-b +C x-a
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P222 6 , 9 , 18 , 19 , 28 , 31 , 38 , 39
定积分的求法
The definite integral calculation methods
院系：生物科学与技术学院
专业：生物科学
班级：生物科学ISEC班 姓名：石荣荣 学号：
摘要：定积分是积分学中的一个基本问题，定积分在微积分中占有极为重要的地位。定积分与微分相比，难度大、方法灵活。因此，我们要研究定积分的计算方法。常用的方法有定义法、莱布尼茨公式法、分部积分法、换元法以及其他特殊方法。定积分计算有着特殊的方法和技巧。据我们所知，目前定积分的求法相对来说比较完善，所以我们应在前人的基础上善于对其总结。同时，要把定积分应用于数学问题和实际问题也是十分重要。下面我们探讨一下定积分的计算技巧。 Abstract: The definite integral is the integral calculus is a fundamental problem,
definite integral calculus occupies a very important position, it is compared with the differential, difficult, flexible method. Therefore, we need to study the method of calculating the definite integral. Commonly used methods are defined in law ,the Leibniz formula method, step-by-step integration method ,by substitution and other special methods. The integral calculation has special methods and techniques. Here we will explore the definite integral calculation skills. As far as we know, at present the definite integral calculation methods are relatively perfect, so we should make conclusion actively from the forefathers. At the same time,to the problem of definite integral application in mathematical and practical problems is very important. Here we will explore the definite integral calculation skills.
1：定积分的常用方法
1.1：利用定义计算定积分 1.2：利用性质计算定积分
1.3：利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 1.4：利用换元法计算定积分 1.5：利用分部积分法计算定积分
2：定积分的特殊方法
2.1：利用奇偶性计算定积分
1：定积分的常用方法
1.1：利用定积分定义计算定积分
定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上有界，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], ,,, (xn-1,xn]，可知各小区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, ,,, △
xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式
设λ=max{△x1, △x2, ,,, △xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接
近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 ，即
?f(x)dx?I?lim?f(?i)?xi
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式
定理1：设f(x)在区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上可积。
定理2：设f(x)在区间［a,b］上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］上可积。 例：
1.2：利用定积分性质计算定积分
?f?x?dx???f?x?dx
性质1：函数的和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即
性质2：被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即
性质3：如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a<c<b,则
性质4：积分具有保号性，如果在区间［a,b］上，f(x)≥0,则
推论1：如果区间［a,b］上，f(x)≤g（x）,则
?x?dx??ag?x?dx
性质5：（积分中值定理）设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间［a,b］至少存在一点 t ,使下式成立：
（a≤t≤b）
性质6：（积分介值定理）设M及m分别是函数f(x)在区间［a,b］上的最大值及最小值，则
m?b?a???f?x?dx?M?b?a?
1.3：利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分
定理：设函数f(x)在［a,b］上连续，F(x)是f(x)在［a,b］上的一个原函数，则
1.4：利用换元法计算定积分
利用换元法计算定积分时，要注意换元条件。在做变量替换的时候，被积函数、积分上
限和下限，积分变元的微分三者同时替换，换元后不必替换原定积分的变量，直接利用牛顿-莱布尼茨公式计算。
定理1：假设f（x）在，［a,b］上连续，函数x=∮（t）满足条件： (1)：当t∈［α，β］时，a≤∮（t）≤b,且∮（α）=a,∮(β)=b, (2):∮(t)在［α，β］上具有连续导数，则有
cos5xsinxdx
在求解对应不定积分时，是采用“凑”微分的方法来进行的：
55cosxsinxdx??cosxd?cosx???
故本题可考虑设
解 ：设于是
t?cosx，则sin
xdx??dt，且当x?0时t?1，当
cosxsinxdx???tdt??tdt??t??
解 ： 设时
2x?1?t，则x?2,
dx?tdt，且当
x?0时t?1，当x?4
t2?13?22333????x?2t3t3522
?x??dt????dt??t?9??????11t332x?1?22??62?1
若直接应用分部积分公式，则积分化得更复杂．所以需要先用换元法． 解
x?t,dx?2tdt，于是 ?t，则
edx?2?tedt?2?tde?2te
?2?etdt?2e?2et
?2e?2?e?1??2
2:定积分的特殊方法
2.1：利用奇偶性计算定积分
(1)若f(x)在［a,-a］上连续且为偶函数，则 ：
f?x?dx?2?f?x?dx
(2)若f(x)在［a,-a］上连续且为奇函数，则 ?
小结：本文介绍了几种计算定积分的方法：定义法、莱布尼茨公式法、分部积分法、换元
法以及其他特殊方法。牛顿-莱布尼茨公式法在定积分中发挥了很大的作用，但是使用时被积函数在被积区间必须连续，而且得求出原函数，如果被积函数不具备这样的条件可以考虑换元法和分部积分法。定积分的分部积分法，要掌握它与换元积分法的结合使用，并了解递推公式法的使用及奇偶函数在以原点为对称的区间上的积分．所以给一个定积分的问题，能使用多种方法解决。
参考文献：
（1）：曹定华等，微积分［M］,上海：复旦大学出版社，2011.5 （2）：刘书田等，微积分［M］，北京大学出版社 （3）：水乃翔等，微积分［M］，浙江大学出版社
（4）：姚允龙等，高等数学与数学分析——方法引导［M］，上海： 复旦大学出版社，1982