& 直线与圆锥曲线的综合问题知识点 & “已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-...”习题详情
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已知点F1，F2是双曲线M：x2a2-y2b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±√3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k，-1)，(k＞0)，且OAoOB=0，求k的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足OA+OB=mF2C，求m的值及△ABC的面积S△ABC．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2009-宝山区一模
分析与解答
习题“已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±根号3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k...”的分析与解答如下所示：
（1）由渐近线为y=±√3x，且右顶点到左焦点的距离为3，得到a=1，b=√3，c=2，由此能求出双曲线方程．（2）直线l的方程为y=k（x-2），由{x2-y23=1y=k(x-2)得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，再由韦达定理和平面向量知识能够得到k．（3）把&k=√35代入（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，得4x2+4x-9=0，此时{x1+x2=-1x1ox2=-94，所以|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1ox2]=4．由此入手能求出m的值及△ABC的面积S△ABC．
解：（1）∵渐近线为y=±√3x，且右顶点到左焦点的距离为3．∴a=1，b=√3，c=2，∴双曲线方程为：x2-y23=1．…（4分）（2）直线l的方程为y=k（x-2），由{x2-y23=1y=k(x-2)得（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0（*）所以{x1+x2=-4k23-k2x1ox2=-4k2+33-k2…（6分）由OAoOB=0得x1ox2+y1oy2=0即（1+k2）x1ox2-2k2（x1+x2）+4k2=0代入化简，并解得k=±√35（舍去负值），∴k=√35．…（9分）（3）把&k=√35代入（*）并化简得4x2+4x-9=0，此时{x1+x2=-1x1ox2=-94，所以|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1ox2]=4…（11分）设C（x0，y0），由OA+OB=mF2C得{x0=2-1my0=-√15m代入双曲线M的方程解得m=-32（舍），m=2，所以C(32，-√152)，…（14分）点C到直线AB的距离为d=√32，所以S△ABC=12do|AB|=√6．…（16分）
本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±根号3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量...
错误类型：
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经过分析，习题“已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±根号3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k...”主要考察你对“直线与圆锥曲线的综合问题”
等考点的理解。
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直线与圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题．
与“已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-y2/b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±根号3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k...”相似的题目：
设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为θ的直线交椭圆M于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证|AB|=；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．&&&&
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，动点M为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1ok2的取值范围．&&&&
抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边．（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；（3）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围．&&&&
“已知点F1，F2是双曲线M：x2/a2-...”的最新评论
该知识点好题
1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B 两点且AF=3BF，则双曲线离心率的最小值为（　　）
2已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2√33，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线&l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
3已知方向向量为v=(1，√3)的直线l过点(0，-2√3)和椭圆C：x2a2+y2b2=1&(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为√63．（1）求椭圆C的方程：（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足DM=λDN，求实数λ的取值范围．
该知识点易错题
1已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为2√33，左、右焦点分别为F1、F2，在双曲线C上有一点M，使MF1⊥MF2，且△MF1F2的面积为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线&l与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，在线段AB上取异于A、B的点Q，满足|AP|o|QB|=|AQ|o|PB|，证明：点Q总在某定直线上．
2已知方向向量为v=(1，√3)的直线l过点(0，-2√3)和椭圆C：x2a2+y2b2=1&(a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为√63．（1）求椭圆C的方程：（2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足DM=λDN，求实数λ的取值范围．
3已知点F1，F2是双曲线M：x2a2-y2b2=1的左右焦点，其渐近线为y=±√3x，且右顶点到左焦点的距离为3．（1）求双曲线M的方程；（2）过F2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n=(k，-1)，(k＞0)，且OAoOB=0，求k的值；（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足OA+OB=mF2C，求m的值及△ABC的面积S△ABC．
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双曲线的基本性质详解
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湖北省近五年2008-2012高考数学最新分类汇编八 解析几何 理（可编辑）
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＞＞＞已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离..
已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（I）由题设知ca=3，即b2+a2a2=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2-y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±a2+12，由题设知，2a2+12=6，解得a2=1所以a=1，b=22（II）由（I）知，F1（-3，0），F2（3，0），C的方程为8x2-y2=8&&& ①由题意，可设l的方程为y=k（x-3），|k|＜22代入①并化简得（k2-8）x2-6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤-1，x2≥1，x1+x2=6k2k2-8，x1x2=9k2+8k2-8，于是|AF1|=(x1+3)2+y1&2=(x1+3)2+8x1&2-8=-（3x1+1），|BF1|=(x2+3)2+y2&2=(x2+3)2+8x2&2-8=3x2+1，|AF1|=|BF1|得-（3x1+1）=3x2+1，即x1+x2=-23故6k2k2-8=-23，解得k2=45，从而x1x2=9k2+8k2-8=-199由于|AF2|=(x1-3)2+y1&2=(x1+3)2+8x1&2-8=1-3x1，|BF2|=(x2-3)2+y2&2=(x2+3)2+8x2&2-8=3x2-1，故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）-9x1x2-1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
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据魔方格专家权威分析，试题“已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离..”主要考查你对&&椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率），圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）圆锥曲线综合
&椭圆的离心率：
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。 2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。 3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。 4、焦距：。 5、离心率：；&离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆； 6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。。利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式，从而求离心率或离心率的取值范围．圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
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480711395096625347445753521304284375拒绝访问 |
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