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已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1，0）为焦点的椭圆，点P为曲线C与曲线E在第一象限的交点，且|PF2|=53．（1）求曲线E的标准方程；（2）直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，依题意，c=1，|PF2|=53，利用抛物线的定义可得xP-（-1）=53，解得xP=23，∴P点的坐标为(23&，&263)，所以|PF1|=73，由椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=73+53=4，a=2．∴b2=a2-c2=3，所以曲线E的标准方程为x24+y23=1；（2）设直线l与椭圆E的交点A（x1，y1），B（x2，y2），A，B的中点M的坐标为（x0，y0），设直线l的方程为y=kx+m（k≠0，m≠0），与x24+y23=1联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，由△＞0得4k2-m2+3＞0①，由韦达定理得，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，则x0=-4km3+4k2，y0=kx0+m=3m3+4k2，将中点（-4km3+4k2，3m3+4k2）代入曲线C的方程为y2=4x（x＞0），整理，得9m=-16k（3+4k2），②将②代入①得162k2（3+4k2）＜81，令t=4k2（t＞0），则64t2+192t-81＜0，解得0＜t＜38，∴-68＜k＜68．所以直线l的斜率k的取值范围为-68＜k＜68．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1，0）为焦..”主要考查你对&&圆锥曲线综合&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
圆锥曲线综合
圆锥曲线的综合问题：
1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法： （1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部； （2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。 2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．②若当Δ&0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．当Δ&0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．
直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．(2)韦达定理法：不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．&
发现相似题
与“已知曲线C的方程为y2=4x（x＞0），曲线E是以F1（-1，0）、F2（1，0）为焦..”考查相似的试题有：
747432873147842118785441570364403139（2010o密云县一模）曲线C上任意一点到E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，PAoPF＝0．（1）求曲线C的方程；（2）_百度作业帮
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（2010o密云县一模）曲线C上任意一点到E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，PAoPF＝0．（1）求曲线C的方程；（2）
（2010o密云县一模）曲线C上任意一点到E（-4，0），F（4，0）的距离的和为12，C与x轴的负半轴、正半轴依次交于A、B两点，点P在C上，且位于x轴上方，．（1）求曲线C的方程；（2）求点P的坐标；（3）求曲线C的中心为圆心，AB为直径作圆O，过点P的直线l截圆O的弦MN长为，求直线l的方程．
（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．所以曲线C是以E、F为焦点的椭圆，且椭圆的长半袖a=6，半焦距c=4，所以短半轴2-42＝20，所以所求的椭圆方程为236+y220＝1；（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y）则由已知得236+y220＝1(x+6)(x-4)+y2＝0.则2+9x-18＝0，解之得x＝32，或x＝-6，由于y＞0，所以只能取
本题考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．
问题解析：
（1）设G是曲线C上任意一点，依题意，|GE|+|GF|=12．a=6，c=4，2-42＝20，由此可知所求的椭圆方程．（2）由已知A（-6，0），F（4，0），设点P的坐标为（x，y），则由已知得236+y220＝1(x+6)(x-4)+y2＝0.则2+9x-18＝0，解之得x＝32，或x＝-6，由此可推导出点P的坐标为；（3）圆O的圆心为（0，0），半径为6，其方程为x2+y2=36，直线l的方程为，圆心到l的距离，所以2-d2＝262-(32)2＝2×3215，由此可推导出所求的直线l的方程．提问回答都赚钱
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在中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA||PB|为常数。（1求曲线E的方程；（2是否存在直线L，使L与曲线
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在中，，动点P的轨迹为曲线E，曲线E过点C且满足|PA|+|PB|为常数。（1求曲线E的方程；（2是否存在直线L，使L与曲线E交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在，求出L的斜率的取值范围；若不存在说明理由。
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已知点F（0，a），直线l：y=-a，其中a为定值且a＞0，点N为l上一动点，过N作直线l1⊥l．l2为NF的中垂线，l1与l2交于点M，点M的轨迹为曲线C（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若E为曲线C上一点，过点
已知点F（0，a），直线l：y=-a，其中a为定值且a＞0，点N为l上一动点，过N作直线l1⊥l．l2为NF的中垂线，l1与l2交于点M，点M的轨迹为曲线C（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若E为曲线C上一点，过点E作曲线C的切线交直线l于点Q，问在y轴上是否存在一定点，使得以EQ为直径的圆过该点，如果存在，求出该点坐标，若不存在说明理由．
（Ⅰ）由条件知|MN|=|MF|，即点M到l的距离等于点M到点F的距离，∴点M的轨迹是以l为准线、F为焦点的抛物线，其方程为x2=4ay，（a＞0）．（Ⅱ）设E（x0，y0），则02＝4ay0，a＞0，过点E的切线的斜率为k=′|x＝x0=0，∴切线方程为y-y0=0(x-x0)，令y=-a，则-a-y0=0(x-x0)，得到x=02-4a22x0，∴Q（02-4a22x0，-a），假设存在满足条件的点H（0，t），则，即02+4a22x0，t+a)o(-x0，t-y0)=022-2a2+t2-ty0+at-ay0=2ay0-2a2+t2-ty0+at-ay0=ay0-2a2+t2-ty0+at=（a-t）y0+t2+at-2a2=0，∵H点为定点，则需与E点无关，∴2+at-2a2＝0，解得t=0．∴存在满足条件的点H（0，a）．
本题考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．
问题解析：
（Ⅰ）由条件知点M的轨迹是以l为准线、F为焦点的抛物线，其方程为x2=4ay，（a＞0）．（Ⅱ）设E（x0，y0），则02＝4ay，a＞0，过点E的切线方程为y-y0=0(x-x0)，令y=-a，得Q（02-4a22x0，-a），假设存在满足条件的点H（0，t），则，由此能求出存在满足条件的点H（0，a）．若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A,B为曲线E上的两点.求曲线E的方程._百度作业帮
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若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A,B为曲线E上的两点.求曲线E的方程.
若圆C过点M(0,1)且与直线l:y=-1相切,设圆心C的轨迹为曲线E,A,B为曲线E上的两点.求曲线E的方程.
方法一：设圆心C的坐标为C(x,y)则有√[(x-0)²+(y-1)²]=y+1,所以x²+(y-1)²=(y+1)²所以x²=4y方法二：依题意知,圆心到(0,1)点的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以圆心的轨迹是以(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以轨迹方程为x²=4y.