对坐标对弧长的曲线积分分∫LPdx+Qdy如何化为一元定积分来计算？

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对坐标的曲线积分
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多元函数积分学
二重积分的概念与计算 思考题： 1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子， 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试. 答：在式中，表示将平面区域任意分割成份后所得第个小区域的面积, 是取自于第个小区域内的任何一点的坐标, 是二元函数在点处的函数值, 表示所有个小区域的直径中的最大值.
上式即表示, 当函数在平面区域内有定义时, 可将平面区域任意分割成个小区域, 记为第个小区域的面积, 然后在第个小区域中任取一点, 作乘积的和, 若此和式的极限存在, 则称二元函数在区域上可积, 并称上述极限值为二元函数在区域上的二重积分. 2. 试述二重积分的几何意义. 答：当在区域上满足时，代表以面内的区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 若, 则表示体积的负值. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限. 4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域的图形，并用极坐标描述D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域.
5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分. 答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分. 6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便. 答：当被积函数中含有的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分. 习作题 ：
计算, 其中. 解：如图，先对后对积分，则
=. 2. 计算，其中由面上的直线及所围成. 解：如图,
： 先对后对积分，得 =
=. 计算，其中. 解：令，则可表为： 从而
4. 计算，其中是由圆周与所围成的平面区域. 解：令，则可表为： 从而
=4. 5. 画出二次积分的积分区域并交换积分次序. 解：： 的图形如右图，由图可知，也可表为 所以交换积分次序后，得. 6. 利用二重积分求下列几何体的体积： （1）平面所围成的几何体. 解： 如图，该几何体可看成是以面的区域：为底，以平面为顶的柱体，故体积
. （2）平面= 0及抛物面所围成的几何体. 解：如图，几何体可看成是以面内的区域 ：为底，以曲面为顶的曲顶柱体. 故体积V= 令,,
则： 从而===. 第三节
三重积分的概念与计算 思考题： 1. 试述计算三重积分的步骤. 答：（1）画出积分区域的图形, （2）将向某个坐标面投影确定积分次序和积分限,（3）计算累次积分求得结果. 2. 总结出在不同的坐标系下，区域的表达式和相应的积分表达式. 答：（1）直角坐标下，常将方形域表为
相应的积分表达式为： （2）柱面坐标系下：常将柱形域表为
： 相应的积分表达式为 =. （3）球面坐标系下：常将球形域表为
： 相应的积分表达式为：
. 习作题： 1. 计算其中由平面 , = 0, = 0, = 0所围成的空间区域. 解：如图
. 2. 选适当的坐标系计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便, 此时，
=. 3. 利用三重积分计算曲面与曲面所围成的立体体积. 解：取球面坐标系计算方便. 此时两曲面所围区域
对坐标的曲线积分 思考题： 1. 对坐标的曲线积分如何化为一元定积分来计算？ 答：将曲线的方程参数化，设为 并确定的起点和终点对应的参变量的值，设为，则曲线积分即可化为对参变量的定积分，即 . 2. 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？ 答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变
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第七届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试卷解析
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对坐标的曲线积分计算思路与方法
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第1章第九届预赛非数学类试卷总体分析
试卷总体分析
可试听整节
第2章计算题
计算题第1题到第6题视频解析
第3章第二题
二元函数极值点判定的基本思路与方法
第4章第三题
对坐标的曲线积分计算思路与方法
第5章第四题
借助二重积分交换积分次序验证定积分不等式
第6章第五题
借助子数列与基本极限结论证明极限
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