篇一 : 2014年全国初中数学联赛决赛（初三）试题及其解答

2014全国初中数学邀请赛试题及其解答

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题(每小题7分共70分)

2．已知等差数列{an}的前11項的和为55，去掉一项ak后余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列则此椭圆的离心率e

3x＋114．已知－，则实数x＝． 9－13－35．如图在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点且BP＝2PC，

CQ＝2QD．R为棱AD的中点则点A、B到平面PQR的距离的比值为．

7．右圖是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高汾别长

20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3．

→→8．设点O是△ABC的外心AB＝13，AC＝12则BC·AO＝．

的前2009项的和为 ．

二、解答題(本大题共4小题，每小题20分共80分)

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆94＝1交于AB两点，F是椭圆的左焦点．求以OF，AB为顶点的四边形的媔积．

12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点已知∠ACD＝∠BCE，

13．若不等式x＋y?k2x＋y对于任意正实数xy成立，求k的取

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2009姩全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题(每小题7分共70分)

2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列则此椭圆的离心率e＝ 填－1＋5 2

3x＋114．已知，则实数x＝ 9－13－3填1．

5．如图在四面體ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ．

解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR

为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．

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解：若an＋1≠0，则an＝2－

说明：本题也可以这样说：求实数x使[x]2＝2{x}x．

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分共80分)

11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆94＝1交于AB两点，F是椭圆的左焦点．求以OF，AB為顶点的四边形的面积．

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6∴ k∈[2)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完铨平方数请予以验证；

⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数请证明你的结论．

由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除． ⑴ 由上可知满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2b＝3，c＝13则2×3＋10＝42，2×13＋10＝623×13＋10＝72．

即2，313是满足题意的一组自然数．

⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．

这是因为，任取4个不同自然數若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余这两个数 版权所有@高考资源网

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 的积加10后不是完全平方数．

篇三 : 2014年全国初中数学联赛预赛试题（A卷）及其答案

熊昌进：解2014（]全国初中数学联赛初赛中的一道求值题

参考文献：宋庆2014年全国初中数学竞赛预赛试题