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已知函数f(x)=logax+1x-1（a＞0，a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由x+1x-1＞0得函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），…（2分）又f(-x)=loga-x+1-x-1=logax-1x+1=loga(x+1x-1)-1=-logax+1x-1=-f(x)所以f（x）为奇函数．&&…（4分）（2）由（1）及题设知：f(x)=logax+1x-1，设t=x+1x-1=x-1+2x-1=1+2x-1，∴当x1＞x2＞1时，t1-t2=2x1-1-2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)∴t1＜t2．…（6分）当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．…（8分）（3）①当n＜a-2≤-1时，有0＜a＜1．由（2）可知：f（x）在（n，a-2）为增函数，…（9分）由其值域为（1，+∞）知loga1+nn-1=1a-2=-1，无解&&…（11分）②当1≤n＜a-2时，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知n=1logaa-1a-3=1…（13分）得a=2+3，n=1．…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=logax+1x-1（a＞0，a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（..”主要考查你对&&对数函数的图象与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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对数函数的图象与性质
对数函数的图形：
对数函数的图象与性质：
对数函数与指数函数的对比：
&(1)对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y=x对称．&(2)它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a&l时，它们是增函数；当O&a&l时，它们是减函数．&(3)指数函数与对数函数的联系与区别： 对数函数单调性的讨论：
解决与对数函数有关的函数单调性问题的关键：一是看底数是否大于l，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性，但应注意中间变量的取值范围；三要注意其定义域（这是一个隐形陷阱），也就是要坚持“定义域优先”的原则．
利用对数函数的图象解题：
涉及对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象人手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图象，特别地，要注意底数a&l与O&a&l的两种不同情况，底数对函数值大小的影响：
1.在同一坐标系中分别作出函数的图象，如图所示，可以看出：当a&l时，底数越大，图象越靠近x轴，同理，当O&a&l时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同、对数不等时判断底数大小的问题．&
2.类似地，在同一坐标系中分别作出的图象，如图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x=l把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数的底数都是由右向左逐渐减小，比如分别对应函数，则必有 &&&&
发现相似题
与“已知函数f(x)=logax+1x-1（a＞0，a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（..”考查相似的试题有：
619433327819338469251613410876411579知识点梳理
指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y=f({{a}^{x}})与y={{a}^{f(x)}}复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U=g（x） y={{a}^{u}}y={{a}^{g(x)}}
增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减
函数的奇偶形判断：1、相加判别法对于函数定义域内的任意一个x，若,则是奇函数；若，则是偶函数。2、相减判别法对于对于函数定义域内任意一个x，若，则是奇函数；若，则是偶函数。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设a是实数，函数f（x）=4x+|2x-a|（x∈R）．（1...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(-3)=a，试用a表示f(24)．
设a是实数，函数f(x)=4x+|2x-a|(x∈R)．(1)求证：函数f(x)不是奇函数；(2)求函数y=f(x)的值域(用a表示)．
设a是实数，函数f(x)=4x+|2x-a|(x∈R)．(1)求证：函数f(x)不是奇函数；(2)当a≤0时，求满足f(x)＞a2的x的取值范围；(3)求函数y=f(x)的值域(用a表示)．分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′(x1)•f′(x2)=-1，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．解答：解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴f′(x1)•f′(x2)=-1，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥[-(2x1+2)](2x2+2)=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=-32，x2=-12时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为y-(x21+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x21+a．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=1x2(x-x2)，即y=1x2x+lnx2-1．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是1x2=2x1+2&&①lnx2-1=-x21+a&&②，由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，由①②得a=x21+ln12x1+2-1=x21-ln(2x1+2)-1．∵函数y=x21-1，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，∴a（x1）=x21-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→-1-ln2．∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
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科目：高中数学
（;四川）已知圆C的方程为x2+（y-4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2．请将n表示为m的函数．
科目：高中数学
（;四川）已知函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，则a=36．
科目：高中数学
（;四川）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(43，13)．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2，求点Q的轨迹方程．
科目：高中数学
（;四川）已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2-x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
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已知函数f（x）=ax﹣2﹣1（a＞0，a≠1）．（I）求函数f（x）的定义域、值域；（II）是否存在实数a，使得函数f（x）满足：对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0．
题型：解答题难度：中档来源：湖北省期末题
解：（I）由4﹣ax≥0，得ax≤4．当a＞1时，x≤loga4；当0＜a＜1时，x≥loga4．即当a＞1时，f（x）的定义域为（﹣∞，loga4]；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为[loga4，+∞）．令t=，则0≤t＜2，且ax=4﹣t2，∴设g（t）=4﹣t2﹣2t﹣1=﹣（t+1）2+4，当t∈[0，2）时，g（t）是单调减函数，∴﹣5＜y≤3，∴函数f（x）的值域是（﹣5，3]．（II）若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f（x）有意义的一切x，都有f（x）≥0，则区间（2，+∞）是定义域的子集．由（I）知，若a＞1不满足条件；若0＜a＜1，x∈（2，+∞），0＜ax＜a2＜1，则．g（t）=﹣（t+1）2+4的对称轴为x=﹣1，在为减函数∵，∴x∈（2，+∞），f（x）＜0，即f（x）≥0不成立．综上，满足条件的a的取值范围是．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax﹣2﹣1（a＞0，a≠1）．（I）求函数f（x）的定义域、值域；（..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的定义域、值域&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数的定义域、值域
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。定义域、值域的概念：
自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 1、求函数定义域的常用方法有：
（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则& 。
&3、求函数值域的方法：
（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax﹣2﹣1（a＞0，a≠1）．（I）求函数f（x）的定义域、值域；（..”考查相似的试题有：
572927564334811026393538804302874035（2014o浙江模拟）已知函数f（x）=x|x-a|，若对任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，恒成立，则实数a的取值范围为______．
面皮呱呱Oc
f（x）=x|x-a|的图象如图，其在，[a，+∞）上是一个增函数，∵对任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0∴f（x）在[2，+∞）上是增函数，故[2，+∞）?[a，+∞）∴a≤2故答案为（-∞，2]
为您推荐：
对任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0可得出函数是一个增函数，由函数的单调性即可判断出参数的取值范围．
本题考点：
函数单调性的性质；函数恒成立问题．
考点点评：
本题考查函数单调性的性质，求解本题的关键是要把题设中的单调区间与函数在定义域上的单调区间进行比较，从而得出参数的取值范围．本题中借助图象说明函数单调性，利用图象的直观帮助解题．
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