在△ABC中，ADoa平分角bac∠BAC交BC于...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-05 07:42 标签： oa平分角bac
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16．∠BAC的平分线AD交BC于D，经过A、D两点的⊙O交AB于E，且点O在AB上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求AF的长．
（1）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．（1分）∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD．（2分）∴OD∥AC．（3分）∵∠C=90°，∴OD⊥BC于D．∴BC是⊙O的切线．（4分）（2）过D作DG⊥AB于G，∴DG=DC，AG=AC．（5分）设DC=x，则BD=16-x，BG=8，∴82+x2=（16-x）2∴x=6．（6分）设半径为r，则（12-r）2+62=r2∴r=7.5．∴EG=3．（7分）连接DE，DF，易证△DGE≌△DCF，∴CF=3，∴AF=9．（8分）（2）证法2：（如图）连OD，OF，作OM⊥AF于M；设DC=x，（x的求法同于前面）∴x=6；∵OM⊥AF，OD⊥BC，则MC=OD=R，OM=DC=6，AM=12-R，∴R2=（12-R）2+62，∴R=7.5，∴AM=12-7.5=4.5，∴AF=2AM=9．证法3：（如图）连EF，与OD交于H点，设DC=x∴x=6，（求法同前）；在Rt△BOD中，BO=20-R，OD=R，BD=10；∴（20-R）2=R2+102，∴R=7.5，∴AE=15；∵EF=2FH=2CD=12，在Rt△EAF中，AF2=AE2-EF2=152-122=81，∴AF=9．证法4，（如图）连EF；设DC=x，∴x=6，（求法同前）∴EF=2FH=2CD=12；∵S△BEF+S梯形EFCB=S△ABC，
(EF+BC)o(AC-AF)=
ACoBC，∴AF=9．
在Rt△ABC中，斜边为c，两直角边分别为a，b．证明：
已知a-b=2+
，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为（　　）
如图，化简=（
A．2a﹣bB．b﹣2aC．﹣bD．b
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旗下成员公司（2014o重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B=∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）①过点E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE和△CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵FC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠ACF=90°-45°=45°，
∴∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，FA⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE=90°，
∠CAF+∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
（2）①如图，过点E作EH⊥AB于H，则△BEH是等腰直角三角形，
∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，
∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，
∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，
∴∠BEM=45°+45°=90°，
∴ME⊥BC；
②由题意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，
∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CAE=∠CEA=67.5°，
在Rt△ACM和Rt△ECM中
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），
∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，
又∵∠DAE=×45°=22.5°，
∴∠DAE=∠ECM，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD=CD=BC，
在△ADE和△CDN中，
∴△ADE≌△CDN（ASA），如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，AE⊥BC于E，∠B=40°，∠BAC=82°，则∠DAE=（　　） A. 7B. 8°C. 9°D. 10°
∵AE⊥BC于E，∠B=40°，∴∠BAE=180°-90°-40°=50°，∵AD平分∠BAC交BC于D，∠BAC=82°，∴∠BAD=41°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=9°．故选C．
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根据三角形内角和定理可求得∠BAE的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAD的度数，从而不难求解．
本题考点：
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考点点评：
此题主要考查三角形内角和定理及三角形的外角性质的综合运用．
解: 由于AD平分∠BAC交BC于D，则∠BAD=41°，
又AE⊥BC于E，则∠BAE＝90°-40°=50°，
从而 ∠DAE＝∠BAE-∠BAD＝50°-41°=9°。
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已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE,FE∶FD=4∶3.（1）求证：AF=DF；（2）求∠AED的余弦值；（3）如果BD=10，求△ABC的面积.
思路解析：根据题中角的关系进行转化，可证得AF=DF.并由勾股定理、切割线定理计算.（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠DAC+∠CAE.∵∠ADE=∠BAD+∠B，∴∠ADE=∠DAE.∴EA=ED.∵DE是半圆C的直径，∴∠DFE=90°.∴AF=DF.（2）解：连结DM，∵DE是半圆C的直径，∴∠DME=90°.∵FE∶FD=4∶3，∴可设FE=4x,则FD=3x.由勾股定理，得DE=5x.∴AE=DE=5x,AF=FD=3x.由切割线定理的推论，得AF·AD=AM·AE.∴3x(3x+3x)=AM·5x.∴AM=x.∴ME=AE-AM=5x-x=x.在Rt△DME中，cos∠AED==.（3）解：过A点作AN⊥BE于N，由cos∠AED=，得sin∠AED=.∴AN=,AE=x.在△CAE和△ABE中，∵∠CAE=∠B,∠AEC=∠BEA，∴△CAE∽△ABE.∴，即AE2=BE·CE.∴(5x)2=(10+5x)·x.解得x=2.∴AN=x=，BC=BD+DC=10+×2=15.∴S△ABC=BC·AN=×15×=72.
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lennoAA6013
∵AD平分∠BAC，∠BAD=30°，∴∠BAC=2∠BAD=2×30°=60°，∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-60°=80°．故答案为：80°．
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考点点评：
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