函数f(x)=|x^2-1|函数的单调性递增...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-06 07:01 标签： 正无穷符号
已知函数f（x）=|x2-1|+x．（Ⅰ）若函数y=f（x）-c恰有两个零点，求实数c的取值范围；（Ⅱ）当x∈[-1，1_答案_百度高考
数学 绝对值不等式的解法...
已知函数f（x）=|x2-1|+x．（Ⅰ）若函数y=f（x）-c恰有两个零点，求实数c的取值范围；（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（ax）（a＜0）的最大值M（a）．
第-1小题正确答案及相关解析
解：由题意知（Ⅰ），易知 f（x）在（-∞，-1]，上单调递减，在，[1，+∞）上单调递增．又，y=f（x）-c恰有两个零点，即方程f（x）=c恰有两个不等实根，∴．（Ⅱ）设g（x）=f（ax）（a＜0），∴g（x）=，∴g（x）在，上单调递减，在，上单调递增，（1）当，即g（x）在[-1，1]上单调递减，∴此时M（a）=g（-1）=-a2-a+1．（2）当，即，g（x）在上单调递增，g（x）在上单调递减，∴此时．（3）当，即a＜-1时g（x）在，上单调递减，g（x）在，上单调递增，∴此时，===．综上所述：M（a）=．当前位置：
＞＞＞已知奇函数。（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)..
已知奇函数。（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象；（2）若函数f（x）在区间[-1，|a|-2]上单调递增，试确定a的取值范围。
题型：解答题难度：中档来源：0110
解：（1）当x＜0时，-x＞0，，又f（x）为奇函数，∴，∴ f（x）=x2+2x，∴m=2，y=f（x）的图象如右所示。
（2）由（1）知f（x）=，由图象可知，f（x）在[-1，1]上单调递增，要使f（x）在[-1，|a|-2]上单调递增，只需，解之得-3≤a＜-1或1＜a≤3。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知奇函数。（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)..”主要考查你对&&分段函数与抽象函数&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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分段函数与抽象函数
分段函数：1、分段函数：定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的； 分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。&抽象函数：
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数； 一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如：y=f（x），（x＞0，y＞0）。 知识点拨：
1、绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。 2、分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值，讨论奇偶性单调性等。 3、分段函数的处理方法：分段函数分段研究。
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254832488427818670455373750597782161已知函数f(x)=-x2+2|x-a|．为偶函数.求a的值,(Ⅱ)若a=12.求函数y=f(x)的单调递增区间,(Ⅲ)当a＞0时.若对任意的x∈[0.+∞).不等式f恒成立.求实数a的取值范围． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知函数f（x）=-x2+2|x-a|．（Ⅰ）若函数y=f（x）为偶函数，求a的值；（Ⅱ）若a=12，求函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：（Ⅰ）因为函数y=f（x）为偶函数，所以可由定义得f（-x）=f（x）恒成立，然后化简可得a=0；也可取特殊值令x=1，得f（-1）=f（1），化简即可，但必须检验．（Ⅱ）分x≥12，x＜12，将绝对值去掉，注意结合图象的对称轴和区间的关系，写出单调增区间，注意之间用“和”．（Ⅲ）先整理f（x-1）≥2f（x）的表达式，有绝对值的放到左边，然后分①0≤x≤a②a＜x≤1+a③x＞1+a讨论，首先去掉绝对值，然后整理成关于x的一元二次不等式恒成立的问题，利用函数的单调性求出最值，从而求出a的范围，最后求它们的交集．
解：（Ⅰ）解法一：因为函数f（x）=-x2+2|x-a|又函数y=f（x）为偶函数，所以任取x∈R，则f（-x）=f（x）恒成立，即-（-x）2+2|-x-a|=-x2+2|x-a|恒成立．…（3分）所以|x-a|=|x+a|恒成立，两边平方得：x2-2ax+a2=x2+2ax+a2所以4ax=0，因为x为任意实数，所以a=0…（5分）&&& 解法二（特殊值法）：因为函数y=f（x）为偶函数，所以f（-1）=f（1），得|1-a|=|1+a|，得：a=0所以f（x）=-x2+2|x|，故有f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数…（5分）（Ⅱ）若a=12，则f(x)=-x2+2|x-12|=-x2-2x+1，x＜12-x2+2x-1，x≥12．…（8分）由函数的图象并结合抛物线的对称轴可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1]和[12，1]…（10分）（Ⅲ）不等式f（x-1）≥2f（x）化为-（x-1）2+2|x-1-a|≥-2x2+4|x-a|，即：4|x-a|-2|x-（1+a）|≤x2+2x-1（*）对任意的x∈[0，+∞）恒成立．因为a＞0．所以分如下情况讨论：①0≤x≤a时，不等式（*）化为-4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2+4x+1-2a≥0对任意的x∈[0，a]恒成立，因为函数g（x）=x2+4x+1-2a在区间[0，a]上单调递增，则g（0）最小，所以只需g（0）≥0即可，得a≤12，又a＞0所以0＜a≤12…（12分）②a＜x≤1+a时，不等式（*）化为4（x-a）+2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2-4x+1+6a≥0对任意的x∈（a，1+a]恒成立，由①，0＜a≤12，知：函数h（x）=x2-4x+1+6a在区间（a，1+a]上单调递减，则只需h（1+a）≥0即可，即a2+4a-2≥0，得a≤-2-6或a≥6-2．因为6-2＜12所以，由①得6-2≤a≤12．…（14分）③x＞1+a时，不等式（*）化为4（x-a）-2[x-（1+a）]≤x2+2x-1，即x2+2a-3≥0对任意的x∈（a+1，+∞）恒成立，因为函数φ（x）=x2+2a-3在区间（a+1，+∞）上单调递增，则只需φ（a+1）≥0即可，即a2+4a-2≥0，得a≤-2-6或a≥6-2，由②得6-2≤a≤12．综上所述得，a的取值范围是6-2≤a≤12．…（16分）
点评：本题是函数的综合题，考查了函数的重要性质--奇偶性和单调性，同时考查了函数恒成立的一个常用结论：a＞f（x）恒成立，只要a＞f（x）的最大值；a＜f（x）恒成立，只要a＜f（x）的最小值．还重点考查了数学中一个重要数学数学方法--分类讨论．本题属于难题．
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已知函数f(x)=ax^3+1/2(sinθ)x^2-2x+c图像经过点（1,37/6),且在[-2,1)内单调递减,在[1,+∞）上单调递增（1）求f(x)解析式（2）若对于任意的x1,x2∈[m,m+3]（m≥0）,不等式|f(x1)-f(x2)|≤45/2恒成立,求m的取值范围
(1)f(1)=37/6,即a+1/2sinθ-2+c=37/6 ①f'(1)=0,即3a+sinθ-2=0 ②注意到f'(-2)≤0,即12a-2sinθ-2≤0 ③由②③可得sinθ≥1,故sinθ=1解得a=1/3,c=22/3故f(x)=1/3x^3+1/2x^2-2x+22/3(2)首先无视m≥0这一条件.思路：命题等价于在一个长度为3的区间上,最大值与最小值的差小于37/6.f(x)在-2,1这两个极值点两侧的单调性为增,减,增,故先算中间的区间.注意到|f(-2)-f(-5)|=45/2,|f(4)-f(1)|=45/2,故m∈[-5,1]时符合题意（自己看看为什么,这里表述不清楚,接下来令g(m)=f(m+3)-f(m)（m不属于[-5,1]）,解不等式|g(m)|≤45/2得-5≤m≤1,故当m不在[-5,1]时不合题意,综上m的取值范围为[0,1]
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