单调函数的单调性图像与x轴的交点

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-03 02:31 标签： 正无穷符号
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＞＞＞如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动．若E是EF与x轴的交点..
如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动．若E是EF与x 轴的交点，设OE=x（0≤x≤a），EF在移动过程中扫过平行四边形OABC的面积为y（图中阴影部分），则函数y=f（x）的图象大致是
A．B．C．D．
题型：单选题难度：中档来源：期末题
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动．若E是EF与x轴的交点..”主要考查你对&&函数图象&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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点集{（x，y）|y=f（x）}叫做函数y=f（x）的图像。 函数图像的画法：
（1）描点法： 一般我们选择一些特殊点（包括区间端点、最值点、极值点、函数图像与坐标轴的交点等）。 （2）用函数的性质画图 一般我们选择先确定函数的定义域，再看函数是否具有周期性和对称性、奇偶性，这样我们就可以只画出部分图像，之后根据性质直接得到其余部分的图像，然后判断单调性，确定特殊点或渐近线，进而得到函数的大致图像。 （3）通过图像变换画图 （一）平移变化： Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到； Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到． （二）对称变换： Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y轴对称即可得到； Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到； Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到； Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
函数图像的判断：
这里主要是抽象函数的图像，借助函数的对称性、周期性及单调性确定函数的图像；另外借助导数，就是函数在某点处的切线斜率的变化，体现在函数的图像上就是增长的快还是慢来确定函数的图像。 常用结论：（1）若函数y=f(x)定义域内任一x的值都满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图像关于直线成轴对称图形；特别地，y=f(x)满足恒成立，则y=f(x)的图像关于直线x=a成轴对称图形；（2）函数y=f(x)的图像关于直线x=a及x=b对称，则y=f(x)是周期函数，且2|b-a|是它的一个周期。&&
发现相似题
与“如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动．若E是EF与x轴的交点..”考查相似的试题有：
850030843452845410396219573796846478...=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、...
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＞＞＞已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，..
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，C三点．若点B的坐标为（2，0），且函数f（x）在区间[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．（1）求c的值；（2）求ba的取值范围；（3）求|AC|的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）由条件可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，∴x=0是f（x）的一个极值点，∴f′（0）=0而f′（x）=3ax2+2bx+c，故c=0．（2）令f′（x）=0，则3ax2+2bx=0，解得x1=0，x2=-2b3a．又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，得-2b3a≥2-2b3a≤4解得-6≤ba≤-3．（3）设A（α，0），C（β，0），则由题意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x3-（2+α+β）x2+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）则b=-a(2+α+β)d=-2aαβ，解得α+β=-ba-2αβ=-d2a又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），∴f（2）=0即8a+4b+d=0∴d=-4（b+2a），αβ=4+2ba从而|AC|=|α-β|=(α+β)2-4αβ=(ba-2)2-16∵-6≤ba≤-3∴当ba=-6时，|AC|max=43；当ba=-3时，|AC|min=3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R）的图象与x轴交于A，B，..”考查相似的试题有：
884632408194871094760357770219392855已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x^2-12x的一个极值点，（1）求a值（是16吧）（2）求单调区间 （3）若直线y=b与函数y=f（x）的图像有3个交点，求b的范围。
已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x^2-12x的一个极值点，（1）求a值（是16吧）（2）求单调区间 （3）若直线y=b与函数y=f（x）的图像有3个交点，求b的范围。
1.f(x)定义域x&0
f'(x)=a/x+2x-12
2.f'(x)=2(x-2)(x-4)/x
在(0,2)和(4,+无穷)上,f'(x)&0,f(x)单调增,在(2,4),f'(x)&0,f(x)单调减.
3.由2知,x=2时,f(x)有极大值16/ln2-20
x=4时,f(x)极小值 16/ln4 -32
若直线y=b与函数y=f（x）的图像有3个交点
16/ln4 -32&b&16/ln2-20
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