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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-15 22:22 标签： lnx 0.1741 求x
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已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m.(Ⅰ)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t)；(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由.
解：(Ⅰ)f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16, &&& 当t+1＜4,即t＜3时,f(x)在［t，t+1］上单调递增，h(t)=f(t+1)=-t2+6t+7;&&& 当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;&&& 当t＞4时，f(t)在［t,t+1］上单调递减，h(t)=f(t)=-t2+8t.&&& 综上h(t)=(Ⅱ)函数y=f（x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ（x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,∴φ′(x)=2x-8+=.(x＞0)&&& 当x∈(0,1)时,φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；&&& 当x∈（1，3）时，φ′（x)＜0,φ(x)是减函数；当x∈(3,+∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x=1或x=3时，φ′(x)=0.∴φ（x）最大=φ（1）=m-7.φ(x)+=φ(3)=m+6ln3-15.∵当x→0时& φ（x)＜0,x→+∞时& φ(x)＞0∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须即7＜m＜15-6ln3.&&& 所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点.m的取值范围为（7，15-6ln3）.
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第一个负4第二个18
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