设二次设函数f x0(x)=a^2+ax+a，...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-17 07:26 标签： 设函数f x0
高三数学(理科)练习题(一) (2)_百度文库
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高三数学(理科)练习题(一) (2)
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你可能喜欢设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足o
1)记F(x)=f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) F(x)为开口向上的抛物线,又x1,x2为F(x)与x轴的两交点 当x0,所以f(x)>x f(x)=[F(x)+x-x1]+x1 =[a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)]+x1 =a(x-x1)(x-x2+1/a)+x1 又x0 所以a(x-x1)(x-x2+1/a)
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已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），（1）求数列{an}的通项公式；（2）试构造一个数列{bn}，（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且limn→∞anbn=2，并说明理由；（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci-ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-aan（n为正整数），求数列{cn}的变号数．
题型：解答题难度：中档来源：普陀区一模
（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴△=a2-4a=0∴a=0或4，当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∝）上递增，故不存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．当a=4时，函数f（x）=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．an=Sn-Sn-1=1，n=12n-5，n≥2综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4，∴Sn=n2-4n+4（2）要使limn→∞anbn=2，，可构造数列bn=n-k，∵对任意的正整数n都有bn＜an，∴当n≥2时，n-k＜2n-5恒成立，即n＞5-k恒成立，即5-k＜2∴k＞3，又bn≠0，∴k?N*，∴bn=n-32，．（3）由题设Cn=-3，n=11-42n-5，n≥2，∵n≥3时，Cn+1-Cn=42n-5-42n-3=8(2n-5)(2n-3)＞0，∴n≥3时，数列{cn}递增，∵a4=-13＜0，由1-42n-5＞0n≥5，可知a4-a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵C1=-3，C2=-5，C3=-3，即C1-C2＜0，C2-C3＜0，∴此处变号数有2个．综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的极值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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