简介/对数函数
对数函数函数y=a^x&(a&0,a≠1)&的反函数y=loga(x)&(a&0,a≠1)&叫做对数函数．的一般形式为 ，它实际上就是 的。因此里对于a的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的，因为它们互为反函数。（1）对数函数的为大于0的实数集合。（2）对数函数的为全部实数集合。（3）函数总是通过（1，0）这点。（4）a大于1时，为，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。
历史/对数函数
16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，於是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。 德国的史提非（）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。 欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之积（商），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。 纳皮尔对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，化简了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为 Nap．㏒x=107㏑(107/x) 由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。 瑞士的彪奇（）也独立地发现了对数，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。 英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。 1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。 对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，正如科学家伽利略（）说：“给我时间，空间和对数，我可以创造出一个宇宙”。又如家拉普拉斯（）亦提到：“对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍”。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫“真数”，0.3010叫做“假数”，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用“假数”为“对数”。 我国清代的数学家（）发展了多种的求对数的捷法，著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家艾约瑟（） 看到这些著作后，大为叹服。 当今中学数学教科书是先讲“指数”，后以反函数形式引出“对数”的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年 ，J．威廉（）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数，和现在教科书中的提法一致。
概念与知识点/对数函数
定义在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?　【在一个普通对数式里&a&0,或=1&的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：&
log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common&logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural&logarithm)，并且把logeN&记为In&N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a&0，a≠1时，aX=N→X=logaN。（N&0）由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：在实数范围内，负数和零没有对数logaa=1log以a为底a的对数为1(a为常数)&恒过点(1，0)性质定义域求解：对数函数y=logax&的定义域是{x&丨x&0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x&0且x≠1和2x-1&0&，得到x&1/2且x≠1，即其定义域为&{x&丨x&1/2且x≠1}值域：实数集R，显然对数函数无界。定点：函数图像恒过定点(1，0)。单调性：a&1时，在定义域上为单调增函数;0&&a&1时，在定义域上为单调减函数。&奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数对称性：无最值：无零点：x=1注意：负数和0没有对数。两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：也就是说：若y=logab&(其中a&0,a≠1，b&0)当&a&1,0&b&1时，y=logab&0;当a&1,&b&1时，y=logab&0;当0&a&1,b&1时，y=logab&0;当a&1,&0&&b&1时，y=logab&0。&指数函数的求导:e的定义：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2....设a&0,a!=1----(log&a(x))'=lim(Δx→0)((log&a(x+Δx)-log&a(x))/Δx)=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*log&a((x+Δx)/x))=lim(Δx→0)(1/x*log&a((1+Δx/x)x/Δx))=1/x*lim(Δx→0)(log&a((1+Δx/x)x/Δx))=1/x*log&a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)=1/x*log&a(e)特殊地，当a=e时，(log&a(x))'=(ln&x)'=1/x。----设y=ax两边取对数ln&y=xln&a两边对求x导y'/y=ln&ay'=yln&a=a^xln&a特殊地，当a=e时，y'=(ax)'=(ex)'=e^ln&ex=ex。运算性质一般地，如果a(a&0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。底数则要&0且≠1&真数&0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。(a&1时)如果底数一样，真数越小，函数值越大。(0&a&1时）当a&0且a≠1时，M&0,N&0，那么：(1)loga(MN)=logaM+logaN;(2)loga(M/N)=logaM-logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R)(4)换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A&(b&0且b≠1)(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)&证明：
设a=nx则alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)(6)对数恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b(7)由幂的对数的运算性质可得(推导公式)1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M&,&log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M&,&log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M3.log(a^n)M^n=log(a)M&,&log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M4.log(以&n次根号下的a&为底)(以&n次根号下的M&为真数)=log(a)M&,log(以&n次根号下的a&为底)(以&m次根号下的M&为真数)=(n/m)log(a)M5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1表达方式(1)常用对数：lg(b)=log10b(10为底数)(2)自然对数:ln(b)=logeb(e为底数)e为无限不循环小数，通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义与指数的关系同底的对数函数与指数函数互为反函数。
当a&0且a≠1时，ax=N&x=㏒(a)N。
关于y=x对称。
对数函数的一般形式为&y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a&0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、
可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
显示方式： |
应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。
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3秒自动关闭窗口2.2.2对数函数及其性质
一般地,如果a（a大于0,且a不等于1）的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.一般地,函数y=log(a)X,（其中a是常数,a>0且a不等于1）叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y.因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数.目录定义产生历史函数性质运算性质表达方式与指数的关系编辑本段定义在实数域中,真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数,则值为虚数）,底数则要大于0且不为1.
对数函数的底数为什么要大于0且不为1?　【在一个普通对数式里 a0,a≠1时,a^X=N→X=logaN.（N>0）由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：在实数范围内,负数和零没有对数loga a=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点（1,0）编辑本段产生历史16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数.德国的史提非（）在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列（叫原数）,右边是一个等差数列（叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意）.欲求左边任两数的积（商）,只要先求出其代表（指数）的和（差）,然后再把这个和（差）对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积（商）,可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念.纳皮尔对数值计算颇有研究.他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法. 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系.在他的1619年发表《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳皮尔对数,记为Nap．㏒x,它与自然对数的关系为：Nap．㏒x=10㏑(107/x)由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离.瑞士的彪奇（）也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟（1620）.英国的布里格斯在1624年创造了常用对数.1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）.对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,简化了行星轨道运算问题.正如科学家伽利略（）说：「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」. 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ ）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」.最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 「假数」为「对数」.我国清代的数学家戴煦（）发展了多种求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（） 看到这些著作后,大为叹服.当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年 ,J．威廉（）在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和21世纪的教科书中的提法一致.
编辑本段函数性质定义域求对数函数y=loga x 的定义域是{x 丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx（2x-1）的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}值域：实数集R,显然对数函数无界.定点：函数图像恒过定点（1,0）.单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸
对数的图像00）当00;当00并且,在比较两个函数值时：如果底数一样,真数越大,函数值越大.（a>1时）如果底数一样,真数越大,函数值越小.（00,N>0,那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n∈R）（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)log（a）a^b=b 证明：设a^log（a)N=X,log（a)N=log（a)X,N=X（5）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)编辑本段表达方式（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b) （10为底数）（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) （e为底数）e为无限不循环小数,通常情况下只取e=2.71828　对数函数的定义编辑本段与指数的关系对数函数与指数函数互为反函数当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N关于y=x对称对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数）,可表示为x=a^y.因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1）,右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.
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如果a的n次方等于b（a大于0，且a不等于1），那么数n叫做以a为底b的对数，记做n=loga的b次方，也可以说log（a）b=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。相应地，函数y=logaX叫做对数函数。对数函数的定义域是（0，+∞）。零和负数没有对数。底数a为常数，其取值范围是（0，1）∪（1，+∞）。一般默认当a=10时，写作：lgb=n。...
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