空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求证：（1）MN为AB和CD的公垂线；&&&&& （2）求MN的长；（3）求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
证明：（1）如图所示，连接DM，CM．∵空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点，∴CM⊥AB，DM⊥AB，CM∩DM=M，∴AB⊥平面CMD，∴AB⊥MN．同理可证：CD⊥MN．∴MN为AB和CD的公垂线．（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，2-AM2=2-(12a)2＝32a．在Rt△CMN中，2-CN2=24-(12a)2=．（3）设异面直线AN与CM所成角为θ．
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（1）如图所示，连接DM，CM．利用等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理及性质定理可证AB⊥MN，CD⊥MN．即MN为AB和CD的公垂线．（2）由（1）可得：在Rt△ACM中，利用勾股定理可得2-AM2，在Rt△CMN中，同理可得2-CN2即可．（3）由于，利用数量积的性质即可得出．
本题考点：
异面直线及其所成的角．
考点点评：
本题考查了等腰三角形的性质、线面垂直的判定定理及性质定理、异面直线的公垂线、勾股定理、数量积的性质、异面直线所成的夹角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了空间想象能力，属于难题．
扫描下载二维码如图,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.求异面直线AN与CM所成角的余弦值
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这个空间四边形连上对角线后就是正四面体过M点作AN的平行线交BN于点P,连接PCAN与CM的夹角就是角MCP的补角设边长等于2,则经过计算得,MP=(√3)/2MC=√3PC=(√7)/2cosMCP=2/3所以夹角的余弦值是-2/3
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扫描下载二维码考点：向量在几何中的应用,异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算
专题：平面向量及应用,空间角
分析：（1）由题意，构造向量，利用向量的线性运算表示向量，从而可求MN的长；（2）利用向量的数量积公式，求出向量AN与MC的夹角的余弦值，即可求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
解：（1）如图所示，设AB=p，AC=q，AD=r．由题意可知|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°．∵MN=AN-AM=12（AC+AD）-12AB=12（q+r-p），∴|MN|2=（MN）2=14（q+r-p）2=14[q2+r2+p2+2（q•r-p•q-r•p）]=14[a2+a2+a2+2（a22-a22-a22）]=a22．∴|MN|=22a，即MN的长为22a．（2）设向量AN与MC的夹角为θ．∵AN=12（AC+AD）=12（q+r），MC=AC-AM=q-12p，∴AN•MC=12（q+r）•（q-12p）=12（q2-12q•p+r•q-12r•p）=a22．又∵|AN|=|MC|=32a，∴AN•MC=|AN|•|MC|•cosθ=a22，∴cosθ=23，∴向量AN与MC的夹角的余弦值为23．从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23．
点评：本题考查空间线段的计算，考查空间角，考查向量知识的运用，属于中档题．
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如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
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出门在外也不愁如图,空间四边形ABCD的每条边和AC,BD的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点,求证:MN垂直AB,MN垂直CD.
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连接MC,MD由已知△ABC△ABD为正三角形,MC⊥AB,MD⊥ABMD∩MC=MAB⊥面MCDMN属于面MCDMN⊥AB同理证下一问
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