数学教学中最迫切需要解决的教学问题之_百度文库
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数学教学中最迫切需要解决的教学问题之|
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你可能喜欢因式分解问题
因式分解问题
1、已知a、b、c是△ABC的三边，且a^2-2bc=b^2-2ac，是判断△ABC的形状。
2、已知a+b=2，则a^2-b^2+4b等于______。
3、已知（x-y）^2-2x+2y+1=0，则（x-y）^3的值为____。
4、无论x、y取何实数，整式x^2-4x+y^2-6y+13总是_______（填——非负数、正数、负数、非正数）
5、如图，一次函数y=x+5的图像经过点P(a,b)和Q（c,d），则a(c-d)-b(c-d)的值为______。
6、李大爷现计划建设两个正方形的养鸡场合养猪场，养猪场场的面积比养鸡场大60平方米，养鸡场和养猪场围墙总长60米，求两场面积。
1、解：
∵a^2-2bc=b^2-2ac
∴a^2-2bc+c^2=b^2-2ac+c^2
∴（a+c）?=（b+c）?
∴a+c=b+c
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形
2、解：依题意：
a^2-b^2+4b
=a?-（b?-4b+4-4）
=a?-（b-2）?+4
=a?-a?+4
=4
3、解：依题意：
（x-y）^2-2x+2y+1=0
∴（x-y-1）?=0
∴x-y-1=0
∴x-y=1
∴（x-y）?=1
4、非负数
5、一次函数y=x+5的图像经过点P（a,b)和Q（c,d) ∴b=a+5 a-b=-5d=c+5 c-d=-5a(c-d)-b(c-d)=(a-b)(c-d)=(-5)*(-5)=25
6、设养鸡场的边长为x，养猪场的面积为y。依题意：
x?-y?=-60……（1）
4x+4y=60……（2）
由（1）和（2）得：
x+y=15……（3）
x-y=-4……（4）
∴x=5.5，y=9.5
∴养鸡场的面积为30.25m?，养猪场的面积为90.25m?
&
如有疑问欢迎追问
如果满意谢谢采纳
第三题请具体点。
第六题x-y=-4……（4）怎么得出来的？
（x-y）?-2x+2y+1=0
（x-y）?-2（x-y）+1=0……【】
（x-y-1）?=0
∴（x-y）?=1?=1
x?-y?=-60……（1）
4x+4y=60……（2）
由（2）得：
x+y=15……（3）
由（1）得：
x?-y?=（x+y）（x-y）=-60……（4）
由（3）和（4）得：
∴x=5.5，y=9.5
∴场的面积为30.25m?，的面积为90.25m?
那第四题呢？
x^2-4x+y^2-6y+13
=x?-4x+4+y?-6y+9
=（x-2）?+（y-3）?
∵无论x和y取值（x-2）?≥0，（y-3）?≥0
∴（x-2）?+（y-3）?≥0
∴横线上填
希望能帮到你O(∩_∩)O哈！
的感言：麻烦您了，非常感谢
等待您来回答
理工学科领域专家小学生解决问题的解题分析方法
一、观察法
在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、 解决问题的首要步
骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。
观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件 与结论之间的关
系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要 想出道理、找出规 律。
二、尝试法
解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规 律，从而获得解题方
法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜 想，都要目的明确，
尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。
三、列举法
解应用题时，为了解题 的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列
举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时， 往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画 图。
四、综合法
从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知 数量的关系，一直
到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问
题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数
运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能
从已知逐步推到未知，使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。
五、分析法
从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导， 一直到问题得到解 决的解题方法叫分析法。
用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未
知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。
分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。
六、分析-综合法
综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较 复杂的应用题时，
由于单纯用综合法或分析法时，思维会出现障碍，所以要把综合法和分析法结合起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。
七、归一法
先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以 单位数量为标准，
计算出所求数量的解题方法叫做归一法。
归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一 法。
用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题
用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。
（一）一次直进归一法
通过一步运算求出单位 数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次 直进归一法。
1.解整数、小数应用题
2.解分数应用题
（二）一次逆转归一法
通过一步计算求出单位 数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫 做一次逆转归一法。
（三）二次直进归一法
通过两步计算求出单位数量，再求若干个单位数量和的解题方 法叫做二次直进归 一法。
（四）二次逆转归一法
通过两步计算，求出单位数量之后，再求出总数量里包含多少 个单位数量的解题 方法，叫做二次逆转归一法。
八、归总法
已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个 单位数量或单位数
量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。
解答这类问题的基本方法是：
总数量=单位数量&单位数量的个数；
另一单位数量（或个数）=总数量&单位数量的个数（或单位数量）。
=4.5（天）答略。
九、分解法
修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：把机 器拆开，对一个一
个零件进行研究，然后再装配起来。经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方法。
一道多步复杂的应用题 是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题时，可
把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。我们把这种解题的思考方法称为分解法。
十、分组法
在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一 组一组有秩序地出
现的。只要能看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答出应
用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。
十一、份数法
把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数 或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。
（一）以份数法解和倍 应用题
已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。
（二）以份数法解差倍 应用题
已知两个数的差及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做差倍应用题。
（三）以份数法解变倍 应用题
已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系，求这两个数量的应 用题叫做变倍应用题。
变倍应用题是小学数学应用题中的难点。解答这类题的关键是要找出倍数的变化
及相应数量的变化，从而计算出“
1”份（倍）数是多少。
（四）以份数法解按比 例分配的应用题
把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题，叫做按比例分配的应用 题。
（五）以份数法解正比例应用题
成正比例的量有这样的性质：如果两种量成正比例，那么一种 量的任意两个数值
的比等于另一种量的两个对应的数值的比。
含有成正比例关系的量，并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫 做正比例应用题。
这里是指以份数法解正比例应用题。
（六）以份数法解反比例应用题
成反比例的量有这样的 性质：如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数值
的比，等于另一种量的两个对应数值的比的反比。
含有成反比例关系的量，并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用题，叫 做反比例应用题。
这里是指以份数法解反比例应用题。
（七）以份数法解分数应用题
分数应用题就是指分数 的三类应用题，即求一个数的几分之几是多少；求一个数
是另一个数的几分之几；已知一个数的几分之几是多少，求这个数。
（八）以份数法解工程问题
工程问题就是研究工作 量、工作时间及工作效率之间相互关系的问题，这种问题 的工作量常用整体“1”表示。
（九）以份数法解几何题
十二、消元法
在数学中，“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做
不到的。这时要先消去
一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结
果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。
（一）以同类数量相减的方法消元
（二）以和、积、商、 差代换某数的方法消元
解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数， 以达到消元的目的。
（三）以较小数代换较大数的方法消元
在用较小数量代换较大数量时，要把较小数量比较大数量少的 数量加上，做到等 量代换。
（四）以较大数代换较小数的方法消元
在用较大数量代换较小数量时，要把较大数量比较小数量多的 数量减去，做到等 量代换。
（五）通过把某一组数乘以一个数消元
当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时，应通 过把某一组数量乘
以一个数，而使同一类数量中有两个数值相等的数量，然后再消元。
（六）通过把两组数乘以两个不同的数消元
当应用题的两组数量中 没有数值相等的两个同类的数量，并且不能通过把某一组
数量乘以一个数，而使同一类的数量中有两个数值相等的数，而达到消元的目的时，应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数，而使同一类的数量中有两个数值相
等的数，然后再消元。
十三、比较法
通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找 出它们的联系与区
别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。
在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能 直接比较。在条件
不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。
（一）在同一道题内比较
在同一道题内比较，就 是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不 涉及其他题目。
1.直接比较
2.画图比较
有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、 比较看出数量关
系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。
3.列表比较
有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比 较条件时，要把题
中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。这就是说，要尽量
使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。
（二）和容易解的题比较
当一道应用题比较复杂 时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回
忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。
1.与常见题比较
2.与基本题比较
3.把逆向题与顺向题比较
（三）创造条件比较
对那些不能以题中现有 条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创 造可以比较的条件，再进行比较。
十四、演示法
对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成 的东西，如铅笔、
橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。
十五、列表法
把应用题中的条件简要 地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分 析、解答应用题的方法叫做列表法。
在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些
数量是同一类的。排列数量时，要尽量做到“同事横
对”，“同名竖对”。这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排
列，还要使它们的数位 上、下对齐。
这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联
系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。
（一）通过列表突出题目的解法特点
有些应用题的解法具有 一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理
成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。
（二）通过列表暴露题目的中间问题
解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问 题（隐藏量），应
用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。
在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未
知的中间问题。同时也
便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障
碍，减轻了解题的难度。
十六、倍比法
解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。
（一）用倍比法解归一问题
可以用倍比法解答的应 用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、
小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上，倍比法是归一法的特殊形式。为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法
来解。反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。
（二）用倍比法解工程问题
用倍比法解工程问题， 不用设总工作量为“1”，学生较易理解，尤其是解某些较复杂的工程问题，用倍比法
解比较简捷。
十七、逆推法
小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找
入口，然后再沿着自己走过的路返回来。由于从出口
返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。
解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答， 如果从问题的结果
出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。
这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。
用逆推法解应用题列算 式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中
的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。
（一）从结果出发逐步逆推
（二）借助线段图逆推
（三）借助思路图逆推
（四）借助公式逆推
（五）借助假设法逆推
（六）借助对应法逆推
十八、图解法
图形是数学研究的对 象，也是数学思维和表达的工具。
在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形
象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。有时，作出了图形，答案便在图形中。
（一）示意图
示意图是为了说明事物 的原理或具体轮廓而绘成的略图。
小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。
（二）线段图
线段图是以线段的长短 表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种
图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。
（三）思路图
小学数学中的许多应用 题，需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的过程
用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。
例题参见前面的分析法 和综合法。
（四）正方形图
借助正方形图解应用题，就是以正方形的边长、面积表示应用 题中的数量，使应
用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来，从而达到便于解题的目的。
（五）长方形图
借助长方形图解应用 题，是以长方形的长表示一种数量，以长方形的宽表示另一
种数量，以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化为具体形象的面积来计算问题。
（六）条形图
条形图是把长方形的长 画得比较长，把长方形的宽画得比较短的一种图形。条形
图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的，也可以画成横的。题中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形内，也可写
在长方形外面。
条形图比线段图更直观一些，在用来解某些应用题时效果要比线段图好。
（七）圆形图
借助圆形图解应用题， 是以圆的面积或周长表示题中的数量，并在圆周内、外标
上数字、符号，从而达到便于分析数量关系的目的。
（八）染色图
在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量，以利于解 题的图形叫染色
图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。
十九、对应法
解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题 需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。因
此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。
用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数 量求未知数的解题 方法，称为对应法。
解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。
（一）解平均数应用题
在应用题里，已知几个 不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平 均数应用题。
解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式
（二）解倍数应用题
已知两个数的倍数关系 以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；
已知两个数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。
总起来讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数 量大小的这类应用 题，就叫做倍数应用题。
在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。然后，利用下面的公式 求出1倍数，使问题得到解决。
（三）解行程应用题
在距离、速度、时间三 个量中，已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做行程 应用题。
它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题（追及应用题） 三类。
在解行程应用题时，要找准速度、时间和距离之间的对应关系，然后再按照公式“速度&时间=距离”、“速度和&相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度差&追及所需时间=追及距离”来计算。
（四）解分数应用题
用分数计算来解答的应 用题，叫做分数应用题。
（五）解工程应用题
工程应用题，是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题，是 把全工程作为“1”。用工作的时间去除全工程“1”，可求单位时间的工作量；用单位时间的工作量去除全工程“1”，可求出完成工程所用的时间。
在解工程问题时，要找准工作效率、工作时间和工作量的对应 关系，然后再按照 公式“工作效率&工作时间=工作量”及其变形公式计算。
二十、集合法
我们在研究一些问题 时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。
例如，所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的
方法叫做集合法。
二十 一、守恒法
应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。解应用题时，抓住始终不变
的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。
（一）总数量守恒
有些应用题中不变的数 量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。
（二）部分数量守恒
当应用题中不变的数量 是题中的一部分数量时，要抓住这个不变的部分数量解 题。
（三）差数守恒
当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分 析数量关系解题。
二十二、两差法
解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出
另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。
差倍问题的数量关系是：
两数差&倍数差=1倍数
1倍数&倍数=几倍数
较小数+两数差=较大数
二十三、比例法
比和比例是传统算术的 重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比
例的知识来解答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。
用比例法解应用题，实 际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比 例法解简单、方便，容易理解。
用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成
反比例，然后列成比例式或方程来解答。
（一）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这 两种量中相对应的
两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：
（二）反比例
两种相关联的量，一种 量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两
个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：x&y=k（一定）
（三）按比例分配
按比例分配的应用题可 用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。
用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。
这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之
和）几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。
究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方 法。
有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分
配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。
1.按正比例分配
2.按反比例分配
3.按混合比例分配
把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价 及混合后的平均价
（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。
（四）连比
如果甲数量与乙数量的比是a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。
注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。
二十四、转换法
解答应用题时，通过转 换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较
快找到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。
（一）转换题中的情节
转换题中的情节是运用 联想改变原题的某个情节，使题目变得易于解答。
（二）转换看问题的角度
解应用题时，如果看问题的角度不适当就很难解出题。如果转 换看问题的角度，
把原来从正面看问题转换为从侧面看或从反面看，把这一数量转换为另一数量进行分析，就可能找到解题思路。
（三）转换题中的数据
转换题中的数据就是将 题中已知的数据进行等价变换，从而协调各个数据之间的 关系。
（四）转换为统一标准
当题中两个或几个数量的单位“1”不统一，不便于解答时，如把某个数
量作为标准单位“1”，把其他数量转化为以它为标准的分率，就会突破障碍，顺利
（五）转换隐蔽条件为明显条件
有些应用题的解题条件十分隐蔽。认真体会题中字、词、句的 含义，看清这些
字、词、句实质上说的是什么，必要时借助图形分析，或适当改变题中的条件，就可能把原来题中隐蔽的条件转换为明显条件，从而较快解题。
（六）转换叙述方式
对数量关系复杂、不易 理出头绪、不易分析解答的应用题，经过逐字、逐句地分
析，弄清每一句话的意思，然后转换原题的叙述方式，就可化繁为简，化难为易，使原题变得易于解答。
（七）转换解题的方法
当题目用通常方法很难 解答或不能解答时，应转换解题方法，使问题得到解决。
二十五、假设法
当应用题用一般方法很 难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个
或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从
而找到解题方法。这种解题方法就叫做假设法。
用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单 又便于计算的条件。
有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。
（一）假设情节变化
（二）假设两个（或几 个）数量相等
（三）假设两个分率（或两个倍数）相同
（四）假设某个数量不比其他数量多或不比其他数量少
（五）假设某个数量增 加了或减少了
（六）假设某个数量扩大了或缩小了
二十六、设数法
当应用题中没有解题必 需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果
假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位1，题中数量之间的关系就会变得清晰
明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。
实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多， 所以我们把它单列 为一种解题方法。
在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：一是所设数量要尽量小一
些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。
（一）设具体数量
（二）设单位“1”
二十七、代数法
解应用题时，用字母代 表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计
算，从而求得未知数的解题方法，叫做代数法。代数法也就是列方程解应用题的方法。学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。我们知道用算术法
解应用题时，未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是
用字母代表题中的未知数，因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表未知数的字母和已知数共同组成一
个等式（即方程），然后计算出未知数的值。这种解题思路直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。
小学生在开始学习用代 数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路
的干扰，在解题过程中可能出现一些错误。为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：
1.切实理解题意。通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条
件与未知条件之间是什 么关系。
2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。通常用字母x代表未知数，题目问什么就用x代表什么。小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。
有些练习题在用代数法 解答时，不能题中问什么都用x表示。x只表示题中另一个合适的未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。然后通过计算，求出
题目要求的那个未知
量。如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、计算方便着眼，灵活选择一个用x表示，其他未知数用含有x的代数式表示。
3.根据等量关系列方程。要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。列方程要同时符合三个条件：
（1）等号两边的式子表示的意义相同；（2）等号两边数量的单位相同；（3）等号两边的数量相等。如果一道应
用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。
列方程时，如果未知数x只出现在等式的一端，要注意把含有
未知数x的式子放在等式左边，这样解方程时比较方便。但不能在列方
程时，只把表示未知数的一个字母x单独写在等号左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然
是算术法。
4.解方程。解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。计算要有理有据，书写格式要正
解出x的数值后，不必注单位名称。
5.先检验，后写答案。求出x的值以后，不要忙于写出答案，而是
要先把x的值代入原方程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相
等。如果方程左右两边的得数相等，则未知数的值是原方程的
解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。这时就要重新检查：未知数设得对不对？方程列得对不对？计算过程有没有问
题？……一直到找出问题的根源。值得注意的是：即使求出的未知数的
值是原方程的解，也应仔细考虑一下，得出的这个值是否符合
题意，是否有道理。当证明最后得数确实正确后再写出答案。
列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方 程。找等量关系没
有固定方法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。
（一）根据数量关系式找等量关系，列方程解题
（二）抓住关键词语找 等量关系，列方程解题
（三）画图形找等量关系，列方程解题
（四）列表找等量关系，列方程解题
（五）根据公式找等量 关系，列方程解题
二十八、联想法
我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他 相关的概念，由某
种解题方法而想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。
通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、 对立的，或有一定
因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物、产生新的设想。
（一）纵向联想
这是把问题的前后条件 联系起来思考的方法。
（二）横向联想
这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。
（三）多角度联想
这是指对一个问题从几 个不同的角度进行思考的方法。
（四）由具体到抽象的联想
（五）由部分到整体的联想
（六）由一般到特殊的 联想
（七）由一种方法联想到另一种方法
这是指解决某个问题时，由一种方法想到另一些方法的思考方 法。
（八）情境联想
这是指回到问题的情境中去思考问题的方法。
（九）因果联想
二十九、直接法
解应用题时，不用经过 严密的逻辑推理，而是凭借已有的知识经验，迅速地解 题，就是在运用直接法。
以直接法解题的思维过程是快速缩小问题所涉及的范围，接触事物的本质，打开
解题的突破口。有些用一般方法解答要用四五步，甚至更多步计算才能求出结果的应用题，用直接法解答时，只用一两步计算就可以求出结果。
学习以直接法解题，可 促进思维的灵活性、敏捷性和创造性。
（一）凭借数目的特点
数进行计算时，一般通过心算就能得出结果。
解应用题时，凭借这些 数的这种特点，发现题目的本质，就可用简捷的方法解出 复杂的问题。
（二）凭借量、率对应的关系
有些应用题，可凭借直接看出题中哪个数量与哪个分率（“分率”就是不带单位名称的分数，是表示它所对应的数量占单位1的几分之几。）是相对应的一对数，
而用简捷的方法解答出来。
（三）凭借份数的多少
有些应用题，可以凭借直接看出题中某个数量的一份或几份是 多少，而用简捷的 方法解答出来。
（四）凭借倍数的多少
有些应用题，可凭借直接看出这一数量是另一数量的几倍或某 个数量倍数的变 化，而用简捷的方法解答。
（五）凭借包含多少个的道理
有些应用题，可凭借直接看出这一数量中包含多少个另一个数 量，而用简捷的方 法解答。
（六）凭借平均分的原理
解应用题时灵活运用平均分的原理，通过题中某一部分数量， 或者通过把已经平
均分出去的数量收回来的方法来解题，常常会使问题得到简捷的解决。
（七）凭借图形
当我们读过一道应用题 后，有时头脑中立刻闪现出表示题中数量关系的图形，凭
借这个图形我们会想到解答此题的方法，而不必仔细分析推理；有时刚刚画出表示题中数量关系的图形时，我们就领悟到解题方法。在这些情况下，得的解题方法往
往比较简捷。
（八）凭借从整体上考虑
有些应用题，如果把问题分成许多细节，一步一步地分析、推 理，有时要走弯
路，陷入困境。如果不把问题分成许多部分去研究，而是从整体上、从全局考虑，往往会迅速发现问题的实质，很快解决问题。
三十、四方阵
四方阵是著名教育家赵 宋光《新体制数学》中解应用题的一种方法。
通过画四方阵可以找准整数乘除题中数量间的对应关系，也可以找准分数（百分
数）题中的标准量、比较量和分率，从而明确题中数量间的关系，很快解答出应用题。
画四方阵图要遵守“同名竖对、同事横对”的规则；四方阵图中，“四个方位的数交叉相乘，两个积必定相等”是四方阵的性质；在计算时，x斜对方位的数必当除数。
三十一、分解质因数法
通过把一个合数分解为 两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分 解质因数法。
分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、
因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
三十二、最大公约数法
通过计算出几个数的最 大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
三十三、最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法 叫做最小公倍数 法。
三十四、解平均数问题的方法
已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做 平均数问题。
解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。总数量是几个数的和，总份数是
这几个数的份数的和。解答这类问题的公式是；
总数量&总份数=平均数
三十五、解行程问题的方法
已知速度、时间、距离 三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行
程问题。解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。
行程问题的基本数量关系是：速度&时间=路程
路程&速度=时间
路程&时间=速度
行程问题常见的类型是：相遇问题，追及问题（即同向运动问 题），相离问题 （即相背运动问题）。
（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时 间的发展，必然面
对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系 可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）&相遇时间
相遇时间=总路程&（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
（1）求两地间的距离
（2）求各行多少
2.求相遇时间
（二）追及问题
追及问题的地点可以相 同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一
般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的 公式：
距离差=速度差&追及时间
追及时间=距离差&速度差
速度差=距离差&追及时间
速度差=快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及 时间三者之中，找
出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
（三）相离问题
相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做 相背运动问题。
解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和&时间=两个人或物体之间的距离”。
三十六、解工程问题的方法
工程问题是研究工作 量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者之间 的关系是：
工作效率&工作时间=工作量
工作量&工作时间=工作效率
工作量&工作效率=工作时间
根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求 出第三种量。
由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题两
类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程问题
中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算，但在计算过程中要涉及到分率。
（一）工作总量是具体数量的工程问题
（二）工作总量不是具 体数量的工程问题
（三）用解工程问题的方法解其他类型的应用题
（五）根据时间差解工程问题
三十七、解流水问题的 方法
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小学数学中涉
及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速&&&&&&&&&（1）
逆水速度=船速-水速&&&&&&&&&（2）
这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船 速是指船本身的速
度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在单位时间里流过的路程。
公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它
在静水中的速度与水流速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际
速度等于船速与水速之和。
公式（2）表明，船逆水航行时的速度等于船
在静水中的速度与水流速度之差。
根据加减互为逆运算的原理，由公式（1）可得：
水速=顺水速度-船速&&&&&&&&&（3）
船速=顺水速度-水速&&&&&&&&&（4）
由公式（2）可得：
水速=船速-逆水速度&&&&&&&&&（5）
船速=逆水速度+水速&&&&&&&&&（6）
这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水 速这三者中的任意 两个，就可以求出第三个。
另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。因为顺水速度
就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：
船速=（顺水速度+逆水速度）&2&&&（7）
水速=（顺水速度-逆水速度）&2&&&（8）
三十八、解植树问题的方法
植树问题是研究植树地 段的全长、间隔距离、株数三种数量之间的关系的应用
题。植树应用题基本分为两类：沿路旁植树；沿周长植树。
沿路旁植树，因为首尾两端都要种一棵，所以植树棵数要比分 成的段数多1；沿周长植树，因为首尾两端重合在一起，所以，植树的棵数
和所分成的段数相等。
解答植树问题的基本方法是：
（1）沿路旁植树
棵数=全长&间隔+1
间隔=全长&（棵数-1）
全长=间隔&（棵数-1）
（2）沿周长植树
棵数=全长&间隔
间隔=全长&棵数
全长=间隔&棵数
（一）沿路旁植树
（二）沿周长植树
三十九、解时钟问题的 方法
研究时钟的长针（分针）与短针（时针）成直线、成直角与重合的问题，叫做时 钟问题。
钟表的分针每小时走60个小格，而时针每小时只走5个小格；分针每分
出题中所要求的时间。
解题规律：
（1）求两针成直线所需要的时间，有：
（3）求两针重合所需要的时间，有：
求出所需要的时间后，再加上原来的时刻，就得出两针形成各 种不同位置的时 刻。
（一）求两针成直线所需要的时间
（二）求两针成直角所需要的时间
（三）求两针重合所需 要的时间
在11点到1点之间，两针除在12点整重合外，其他每一点钟之间都有一次重合。
四十、几何变换法
利用几何图形的变换解 答几何题的方法叫做几何变换法。
在实际生产和生活中，几何形体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的
组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易找出计算其面积或体积的方法。
（一）添辅助线法
有些组合图形按一般的 思考方法好像已知条件不足，很难解答。如果在图形中添
加适当的辅助线，就可能找到解题的途径。辅助线一般用虚线表示。
（二）分割法
分割法是在一个复杂的 几何图形中，添上一条或几条辅助线，把图形分割成若干
个已学过的基本图形，然后分别计算出各图形的面积或体积，再将所得结果相加的解题方法。
（三）割补法
在计算一些不规则的几 何图形的面积时，把图形中凸出来的部分割下来，填补到
相应的凹陷处，或较适当的位置，使图形组合成一个或几个规则的形状，再计算面积的解题方法叫做割补法。
（四）平移法
在看不出几何图形面积 的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移
动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形面积的解题方法叫做平移法。
（五）旋转法
将看不出计算方法的图 形的一部分以某一点为中心旋转适当角度，使图形重新组
合成能看出计算方法的形状，从而计算出图形面积的解题方法叫旋转法。
（六）扩倍法
（七）缩倍法
缩倍法与扩倍法正好相 反，它是先将图形的面积缩小若干倍，计算出面积，再把 面积扩大为原来那么大。
（八）剪拼法
有些几何图形比较抽象，不适于用割补、分割、平移等方法解
答。如果把这类图 形剪成若干部分，再重新组合、拼接，就有可能找到解答方法。
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