线性代数问题设A=(α1,α2α3,α4）是四阶方阵，若（1,0,1,0）T是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则A的伴随*X=0的基础解系可为A α1，α2Bα1,α3C α1，α2 ,α3D α2，α3，α4_作业帮
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线性代数问题设A=(α1,α2α3,α4）是四阶方阵，若（1,0,1,0）T是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则A的伴随*X=0的基础解系可为A α1，α2Bα1,α3C α1，α2 ,α3D α2，α3，α4
线性代数问题设A=(α1,α2α3,α4）是四阶方阵，若（1,0,1,0）T是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，则A的伴随*X=0的基础解系可为A α1，α2Bα1,α3C α1，α2 ,α3D α2，α3，α4
解: 因为 α1,α2,α3线性无关,α4=α1+α2+α3所以 r(A)=3.所以 Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个解向量.又由于 α4=α1+α2+α3所以 (1,1,1,-1)^T 是Ax=0的基础解系.再由 β=α1+α2+α3+α4 知 (1,1,1,1)^T 是 Ax=β 的解所以 Ax=β 的通解为 (1,1,1,1)^T + c(1,1,1,-1)^T线性考研题1_百度文库
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线性考研题1
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你可能喜欢线性代数白痴来问问题了.1设A是4*6阶矩阵,则齐次线性方程组AX=0有非零解?2,n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则A相似于对角矩阵.( )这个对吗?都怪我没听课_作业帮
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线性代数白痴来问问题了.1设A是4*6阶矩阵,则齐次线性方程组AX=0有非零解?2,n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则A相似于对角矩阵.( )这个对吗?都怪我没听课
线性代数白痴来问问题了.1设A是4*6阶矩阵,则齐次线性方程组AX=0有非零解?2,n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则A相似于对角矩阵.( )这个对吗?都怪我没听课
线性代数白痴来问问题了.1设A是4*6阶矩阵,则齐次线性方程组AX=0有非零解?对吗?对2,n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量,则A相似于对角矩阵. ( )对.
1设A是4*6阶矩阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解？对吗？对，因为r(A)<4<62，n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，则A相似于对角矩阵。 (对 )
第一个问题：由于A的秩小于未知数的个数，所有有非零解。 第二个问题：A有n个线性无关的特征向量是A相似于对角矩阵的充要条件。线性代数第四章课件,数学_百度文库
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线性代数第四章课件,数学
线&#8203;性&#8203;代&#8203;数&#8203;第&#8203;四&#8203;章&#8203;课&#8203;件&#8203;,&#8203;数&#8203;学
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你可能喜欢线性代数(同济版)习题参考答案57-第14页
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线性代数(同济版)习题参考答案57-14
方程组(4.22)等价于；??x1???x=?2x+3,??1?2?x；?x3=x1,；??x3???x=1.??4?；x4?；=x1,=?2x1+3,=x1,=1.?；得方程Ax=b的通解为；x110???????x2?????；?=c??2?+?3?,x=??x??1??0?；(c∈R).；33.设η?是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,；解系,证明:；
方程组(4.22)等价于???x1???x=?2x+3,??1?2?x2?x3=x1,??x3???x=1.??4?x4?????=x1,=?2x1+3,=x1,=1.?得方程Ax=b的通解为x110???????x2??????=c??2?+?3?,x=??x??1??0??3?????x401(c∈R).33.设η?是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,???,ξn?r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)η?,ξ1,???,ξn?r线性无关;(2)η?,η?+ξ1,???,η?+ξn?r线性无关.证明:(1)假设η?,ξ1,???,ξn?r线性相关.而由基础解系的定义,知ξ1,???,ξn?r是线性无关的,则η?可以由ξ1,???,ξn?r线性表示.从而η?是齐次方程Ax=0的解,这与η?是非齐次线性方程组Ax=b的解矛盾.所以假设不成立.即η?,ξ1,???,ξn?r线性无关.(2)易知向量组η?,ξ1,???,ξn?r与向量组η?,η?+ξ1,???,η?+ξn?r等价.又由本题(1)的结论,η?,ξ1,???,ξn?r线性无关,知R(η?,η?+ξ1,???,η?+ξn?r)=R(η?,ξ1,???,ξn?r)=n?r+1.所以,η?,η?+ξ1,???,η?+ξn?r线性无关.另证.(1)反证法.假设η?,ξ1,???,ξn?r线性相关,则存在着不全为0的数k0,k1,???,kn?r使得k0η?+k1ξ1+???+kn?rξn?r=0.(4.23)其中,k0=0,否则,ξ1,???,ξn?r线性相关,这与基础解系是线性无关的产生矛盾.由于η?为特解,ξ1,???,ξn?r为基础解系,故得A(k0η?+k1ξ1+???+kn?rξn?r)=k0Aη?=k0b.而由(4.23)式可得A(k0η?+k1ξ1+???+kn?rξn?r)=0.故b=0,而题中方程组为非齐次线性方程组,有b=0.与题设产生矛盾,假设不成立,故η?,ξ1,???,ξn?r线性无关.(2)反证法.假设η?,η?+ξ1,???,η?+ξn?r线性相关.则存在着不全为零的数k0,k1,???,kn?r使得k0η?+k1(η?+ξ1)+???+kn?r(η?+ξn?r)=0.(4.24)即(k0+k1+???+kn?r)η?+k1ξ1+???+kn?rξn?r=0.若k0+k1+???+kn?r=0,由于ξ1,???,ξn?r是线性无关的一组基础解系,故k0=k1=???=kn?r=0,由(4.24)式得k0=0,此时k0=k1=???=kn?r=0,与假设矛盾.若k0+k1+???+kn?r=0由本题(1)知,η?,ξ1,???,ξn?r线性无关,故k0+k1+???+kn?r=k1=k2=???=kn?r=0,与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.34.设η1,???,ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,k1,???,ks为实数,满足k1+k2+???+ks=1.证明x=k1η1+k2η2+???+ksηs也是它的解.证明:由于η1,???,ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解.故有Aηi=b,(i=1,???,s).而A(k1η1+k2η2+???+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+???+ksAηs=b(k1+???+ks)=b,即Ax=b,(x=k1η1+k2η2+???+ksηs).从而x=k1η1+k2η2+???+ksηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,???,ηn?r+1是它的n?r+1个线性无关的解(由题33知它确有n?r+1个线性无关的解).试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+???+kn?r+1ηn?r+1,(其中k1+???+kn?r+1=1).证明:设x为Ax=b的任一解.已知η1,η2,???,ηn?r+1线性无关且均为Ax=b的解.取ξ1=η2?η1,ξ2=η3?η1,???,ξn?r=ηn?r+1?η1.(4.25)则它们均为齐次方程Ax=0的解.下用反证法证明:ξ1,ξ2,???,ξn?r线性无关.假设ξ1,ξ2,???,ξn?r线性相关,则存在不全为零的数l1,l2,???,ln?r使得l1ξ1+l2ξ2+???+ln?rξn?r=0.代入(4.25)式整理得?(l1+l2+???+ln?r)η1+l1η2+l2η3+???+ln?rηn?r+1=0.由η1,η2,???,ηn?r+1线性无关,知?(l1+l2+???+ln?r)=l1=l2=???=ln?r=0,与假设矛盾,故假设不成立.所以ξ1,ξ2,???,ξn?r线性无关,为齐次方程Ax=0的一组基.由于x,η1均为Ax=b的解,所以x?η1为齐次方程Ax=0的解.则x?η1可由ξ1,ξ2,???,ξn?r线性表示,设x?η1=k2ξ1+k3ξ2+???+kn?r?1ξn?r=k2(η2?η1)+k3(η3?η1)+???+kn?r+1(ηn?r+1?η1),整理得x=η1(1?k2?k3?????kn?r+1)+k2η2+k3η3+???+kn?r+1ηn?r+1=0.令k1=1?k2?k3?????kn?r+1,则k1+k2+k3+???+kn?r+1=1,而且x=k1η1+k2η2+???+kn?r+1ηn?r+1.证毕.36.设V=????1x=(x1,x2,???,xn)T??x,x0??1,???n∈R满足x1+x2+???+xn=,V????2=x=(x1,x2,???,xn)T??x??,x??1,?n∈R满足x1+x2+???+xn=1.问V1,V2是不是向量空间?为什么?证明:集合V成为向量空间只需满足条件:若α∈V,β∈V,则α+β∈V;若α∈V,λ∈R,则λα∈V.(1)对任意的α∈V,β∈V,设α=(α1,α2,???,αn)T,α1+α2+???+αn=0,β=(β1,β2,???,βn)T,β1+β2+???+βn=0.则α+β=(α1+β1,α2+β2,???,αn+βn)T,且(α1+β1)+(α2+β2)+???+(αn+βn)=(β1+β2+???+βn)+(α1+α2+???+αn)=0.故α+β∈V1.对任意的λ∈R,λα=(λα1,λα2,???,λαn).因为λα1+λα2+???+λαn=λ(α1+α2+???+αn)=λ?0=0.故λα∈V1.综合(4.26)和(4.27)式,得证V1是向量空间.(2)V2不是向量空间,因为:(α1+β1)+(α2+β2)+???+(αn+βn)=(β1+β2+???+βn)+(α1+α2+???+αn)=1+1=2.故α+β∈/V2.37.试证:由a1=(0,1,1)T,a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T所生成的向量空间就是R3.(4.26)(4.27)证明:设A=(a1,a2,a3),因为??????0??|A|=|a1,a2,a3|=????1????1101????1????1????=?2=0.??0??知R(A)=3,故a1,a2,a3线性无关.由于a1,a2,a3均为三维,且秩为3,所以a1,a2,a3为此三维空间的一组基,故由a1,a2,a3所生成的向量空间就是R3.38.由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T所生成的向量空间记作L1,由b1=(2,?1,3,3)T,b2=(0,1,?1,?1)T所生成的向量空间记作L2,试证L1=L2.证明:容易发现向量组a1,a2与向量组b1,b2等价.因为a1=1(b1+3b2),2b1=?a1+3a2,a2=1(b1+b2);2b2=a1?a2.又由教材P.105例23知“等价的向量组生成的向量空间相同”,所以L1=L2.39.验证a1=(1,?1,0)T,a2=(2,1,3)T,a3=(3,1,2)T为R3的一个基,并把v1=(5,0,7)T,v2=(?9,?8,?13)T用这个基线性表示.解:记矩阵A=(a1,a2,a3).由于??????12??|A|=?????11????03????3????1????=?6=0,??2??即矩阵A的秩为3,故a1,a2,a3线性无关,为R3的一个基.设v1=k1a1+k2a2+k3a3,v2=λ1a1+λ2a2+λ3a3.要求得k1,k2,k3和λ1,λ2,λ3,即要求线性方程组Ax=v1和Ax=v2的解.由?????9??r2+r1?????(A,v1,v2)=??5?17??????13?????9???r3÷(?2)r3?r2???034??035?1745?17????????001?1?200?224?????3r2?4r3??r2÷3??????9?9????????r1?3r3001?1???10023?r1?2r2??010?.3?3????001?1?2求得方程组Ax=v1和Ax=v2的解,即????k1=2,k2=3,???k=?1,3????λ1=3,λ2=?3,???λ=?2.3v2=3a1?3a2?2a3.故v1=2a1+3a2?a3,40.已知R3?1?a1=??11的两个基为?????,a2=???1?????????1?????0??,a3=?0??11123???????????及b1=??2?,b2=?3?,b3=?4?.143求由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵.解:由过渡矩阵的定义知,从基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵为P=A?1B,这里A=(a1,a2,a3),B=(b1,b2,b3).因为???1111230??r1?r2??(A,B)=?00234??1????1r3?r21?111450???100234r?r/2r3+r1????011?1?1?1?23????????r3÷2r1?r2002?200所以??P=A?1B=??23??4???11?111?100234???,001?1000 23?11?1?1?1?0?1?1??.?1004包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、文学作品欣赏、外语学习资料、生活休闲娱乐、专业论文、应用写作文书、线性代数(同济版)习题参考答案57等内容。　
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