设α1，α2，α3是求齐次线性方程组组Ax...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-20 07:43 标签： 齐次线性方程
设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=(1,2,3),α2=(-1,2,3),且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=(1,2,3)^T,α2=(-1,2,3)^T,且R(A)=2,则Ax=b的通解是________.
我怀念的eWP
a1-a2 就是一个基础解所以通解就是 k( a1 -a2 )+ a1
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通解是α1 + t（α2-α1）， t 为任意实数。
扫描下载二维码设ξ1，ξ2，ξ3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示为（　　）A．ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3B．ξ1-ξ2-ξ3，ξ2，ξ3-ξ1C．ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1D．ξ1，3ξ3，ξ1-2ξ2
小莫无所不通
由题意，ξ1，ξ2，ξ3的任意线性组合都是AX=0的解向量，因此只需判断四个选项的向量组是否线性无关即可．①选项A．由于{ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3}={ξ1，ξ2，ξ3}={ξ1，ξ2，ξ3}A而|A|=，因此r{ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3}≤r（A）＜3∴{ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3}线性相关故A错误．②选项B．由于{ξ1-ξ2-ξ3，ξ2，ξ3-ξ1}={ξ1，ξ2，ξ3}={ξ1，ξ2，ξ3}A而，因此r{ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3}≤r（A）＜3∴{ξ1-ξ3，ξ1+ξ2+ξ3，ξ2+2ξ3}线性相关．故B错误；③选项C．由于{ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1}={ξ1，ξ2，ξ3}={ξ1，ξ2，ξ3}A而，因此r{ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1}≤r（A）＜3∴{ξ1-ξ2，ξ2-ξ3，ξ3-ξ1}线性相关．故C错误；④选项D．由于{ξ1，3ξ3，ξ1-2ξ2}={ξ1，ξ2，ξ3}={ξ1，ξ2，ξ3}A而，因此r{ξ1，3ξ3，ξ1-2ξ2}=r{ξ1，ξ2，ξ3}=3∴{ξ1，3ξ3，ξ1-2ξ2}线性无关故D正确．故选：D．
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由于已经知道齐次线性方程组AX=0的基础解系是含有三个解向量，因此只需判断四个选项的向量组是否为AX=0的解且是否线性无关即可．
本题考点：
齐次方程组解的判别定理．
考点点评：
此题实际上是考查向量组的线性相关性的判断，熟悉常见的判定方法是基础．
扫描下载二维码设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs_百度知道
设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs
β1，β1=t1α1+t2α2，βs=t1αs+t2α1设α1，…，β2=t1α2+t2α3，其中t1，试问当t1，t2满足什么关系时，α2，t2为常数，…，…，β2，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系
提问者采纳
com/zhidao/pic/item/ebcd8126cffc1e17167c: 90%">s1+(，所以:hidden"><table style="text-align，α2.com/zhidao/pic/item/ebcd8126cffc1e17167c:6px">03＝02+t<span style="vertical-align.t…02<table style="margin-right: initial initial，又α1:6px:90%">2k<span style="vertical-align：k1=k2=…=ks=0:6px.jpg') no-repeat由于βi（i=1，所以.=t0<td style="padding- background- background-clip，因此有;font-size:normal">t……s2; overflow-/zhidao/pic/item/35a85edf8db1cbdeb2b;padding-left:font-padding-left: margin-right:90%">1…1+t20t1k1ktt<span style="vertical-align: hidden?1)1<td style="padding-top: overflow-y，β2:6 width://hiphotos:6 background-clip: 1px" cellspacing="-1" cellpadding="-1">: no-repeat repeat:font-size: initial: 52; height:90%">1<td style="padding-top.<table style="text-/zhidao/pic/item/34a82c2daa37c6bc:normal:sub: background-attachment，…αs线性无关.jpg') no-repeat，由于α1，当<span style="vertical-align:font- padding-wordSpacing，α2:6px">t1k<span style="vertical-align:sub，由于α1.5px: 1px" cellspacing="-1" cellpadding="-1">ts1+(; background-attachment:90%">2<td style="padding-font-size://wordSpadding-left:sub:padding-left:6px?1)t2000<td style="padding-top:wordWrap: normal，所以根据齐次线性方程组解的性质知βi（i=1:6px">…s:90%">2＝0s＝0<td style="padding-top，…αs线性组合:sub:6px">…0ts＝0: 126px: initial:normal">t<td style="line- background-font-size，…αs是Ax=0的基础解系; overflow-y: initial initial: 1px: initial:90%">1+t<span style="vertical-align，α2; height:sub:6px: normal: url(http:90%">1k……tt<span style="vertical-align: url(http，α2.padding-left:super:90%">2k1…<td style="padding-top，β2:super: url(http:padding-left: background-repeat: 90%">s2≠0时;font- width: hidden: background-color: 0">; margin-right: 1px: normal，…αs是Ax=0的解，方程组①只有零解，即（t1k1+t2ks）α1+（t2k1+t1k2）α2+（t2k2+t1k3）α3+…+（t2ks-1+t1ks）αs=0:6px">ts+1t…<td style="padding-top?1+t2k0①系数行列式=k<span style="vertical-font-size：β1: initial，…βs线性无关的条件:6px">00<td style="padding-top:padding- font-size，下面来分析β1:6 height: 126px
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出门在外也不愁设n元齐次线性方程组Ax＝0的一个基础解系为α1,α2,α3,α4,则下列向量组中为Ax＝0的基础解系的是（ ）A．α1－α2,α2－α3,α3－α4,α4－α1B．α1＋α2,α2＋α3,α3＋α4,α4＋α1 C．α1,α1＋α2,α1＋α2＋α3,α1＋α2＋α3＋α4D．α1＋α2,α2＋α3,α3－α4,α4－α1
正确答案：CC【考点点击】本题在2008年10月真题第一大题第6小题中考查过．主要考查的知识点为基础解系的相关性质.【要点透析】A、B、D项中的向量组均线性相关,可排除A、B、D项,而C项的向量组线性无关,且和基础解系a1,a2,a3．a4中向量的个数一样,故C项正确.
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扫描下载二维码设α_1,α_2,α_3,&#8943;,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b设,〖α_(1,) α〗_2,α_3,&#8943;,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解,证明向量组α_1+β,α_2+β,&#8943;,α_m+β,β线性无关.“_”是指下标,设α_1，α_2，α_3，&#8943;，α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系，β是非齐次线性方程组Ax=b（b≠0）的一个特解，证明向量组α_1+β，α_2+β，&#8943;，α_m+β，β线性无关。
证明:设 k1(α1+β)+k2(α2+β)+&#8943;+km(αm+β)+kβ = 0则 k1α1+k2α2+&#8943;+kmαm+ (k1+k2+...+km+k)β = 0.等式两边左乘A,由已知Aαi=0,Aβ=b得(k1+k2+...+km+k)b = 0因为 b≠0,所以 k1+k2+...+km+k = 0所以 k1α1+k2α2+&#8943;+kmαm = 0由于 α1,α2,α3,&#8943;,αm 线性无关所以 k1=k2=...=km=0再由 k1+k2+...+km+k = 0 得 k = 0.故 向量组α1+β,α2+β,&#8943;,αm+β,β线性无关.
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